孟寶星，王成勤

（徐州工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 徐州 221140）

0 引言

步進(jìn)電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)是通過(guò)電機(jī)驅(qū)動(dòng)器產(chǎn)生控制脈沖信號(hào)實(shí)現(xiàn)的。電機(jī)驅(qū)動(dòng)器會(huì)產(chǎn)生不同頻率和數(shù)量的脈沖來(lái)控制步進(jìn)電機(jī)的速度和位移[1]。目前國(guó)內(nèi)外常用的電機(jī)控制器的加減速曲線有：梯形加減速曲線、分段線性加速曲線、指數(shù)加減速曲線以及S 型加減速曲線，其中梯形加減速曲線原理簡(jiǎn)單，速度為時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，實(shí)現(xiàn)容易，能滿足絕大應(yīng)用場(chǎng)景，具有較高的性價(jià)比，應(yīng)用廣泛。但是由于梯形加減速的加速度為常量，即加加速度為沖擊函數(shù)，會(huì)對(duì)電機(jī)造成不必要的柔性沖擊，影響電機(jī)的使用壽命。一些高性能的電機(jī)控制器會(huì)采用S 型加減速來(lái)解決梯形加減速存在的問(wèn)題。S 型加減速模式雖然優(yōu)于梯形加減速模式，但其仍然存在加加速度突變，會(huì)對(duì)系統(tǒng)造成一定程度的振動(dòng)，更重要的是S 型加減速模式在求解過(guò)程中存在多階函數(shù)，其運(yùn)算量較高且復(fù)雜，而傳統(tǒng)的步進(jìn)電機(jī)控制需要高達(dá)上千赫茲的脈沖發(fā)生速度，這會(huì)消耗較大的運(yùn)算資源，這使得采用S 型加減速的驅(qū)動(dòng)器成本相對(duì)偏高[2]。

蔡娜等[3]設(shè)計(jì)了一種新的可實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)的拋物線型速度給定算法。這種算法響應(yīng)速度更快，控制精度更高，減少了失步、過(guò)沖現(xiàn)象的發(fā)生率，避免了機(jī)械柔性沖擊，但對(duì)系統(tǒng)要求仍然較高。周黎等[4]提出了一種“正矢型”加減速曲線，實(shí)現(xiàn)了對(duì)步進(jìn)電機(jī)的精準(zhǔn)控制，減少了失步過(guò)沖現(xiàn)象的發(fā)生率，但動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度較慢。

1 步進(jìn)電機(jī)控制系統(tǒng)概述

步進(jìn)電機(jī)常用于各種運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)當(dāng)中，是一種常用的控制執(zhí)行部件，主要有反應(yīng)式、永磁式和混合式三種類型。從繞組數(shù)目分類來(lái)看主要有兩相、三相和五相步進(jìn)電機(jī)。目前市面上最常見(jiàn)的步進(jìn)電機(jī)為兩相混合式步進(jìn)電機(jī)，大約占有97%以上的市場(chǎng)份額。主要針對(duì)兩相混合式步進(jìn)電機(jī)系統(tǒng)進(jìn)行討論。

步進(jìn)電機(jī)驅(qū)動(dòng)器，是一種將電脈沖信號(hào)轉(zhuǎn)換為電機(jī)角位移的驅(qū)動(dòng)執(zhí)行器。如圖1 所示。由于步進(jìn)電機(jī)本身是運(yùn)動(dòng)部件，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生慣性。在步進(jìn)電機(jī)控制的過(guò)程中，速度不能發(fā)生突變，否則會(huì)對(duì)其機(jī)械結(jié)構(gòu)產(chǎn)生較大的沖擊，一般稱其為剛性沖擊。如果加加速度產(chǎn)生突變，也會(huì)造成電機(jī)磨損。最理想的情況是：電機(jī)運(yùn)動(dòng)的速度、加速度及加加速度皆連續(xù)且可導(dǎo)，可以最大程度的避免電機(jī)運(yùn)行過(guò)程中造成電機(jī)的磨損。這也是在步進(jìn)電機(jī)驅(qū)動(dòng)過(guò)程中需要引入電機(jī)加減速的原因。

圖1 步進(jìn)電機(jī)驅(qū)動(dòng)器結(jié)構(gòu)框圖

分析了傳統(tǒng)S 型加減速的基本原理，并分析了它存在的局限性。為了解決上述問(wèn)題，引入了改進(jìn)型的S 型加減速算法，利用三角函數(shù)擬合S 型加減速的變加速階段，將三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)換為移位運(yùn)算，從而顯著降低算法的計(jì)算量，具有較高的適用性。

2 傳統(tǒng)S 型加減速算法解析

S 型加減速曲線名稱是由系統(tǒng)在加減速階段的速度曲線形狀呈S 形而得來(lái)的，采用降速與升速對(duì)稱的曲線來(lái)實(shí)現(xiàn)升降速控制。正常情況下的S 曲線運(yùn)行過(guò)程可分為加加速段、勻加速段、減加速段、勻速段、加減速段、勻減速段和減減速段7 段。在變加減速區(qū)，加速度的導(dǎo)數(shù)為恒值；恒加減速區(qū)，加速度為恒值；勻速段的速度為恒值，加速度為零。S 形加減速在任何一點(diǎn)的加速度都是連續(xù)變化的，從而避免了柔性沖擊，速度的平滑性很好，運(yùn)動(dòng)精度高[2]。

根據(jù)加減速階段的7 段模型，設(shè)S為行駛位移，J為加加速度，A為加速時(shí)加速度，DA為減速時(shí)加速度，Vmax為電機(jī)的最大速度，Vs為電機(jī)的起始速度，Ve為電機(jī)的終止速度，fa為加速度函數(shù)，fj為加加速度，fv為速度函數(shù)，fs為位移函數(shù)。在S 型加減速模型中A不是固定值，所以可以設(shè)置Amax為加速時(shí)最大加速度，Dmax為減速時(shí)最大加速度，同樣在設(shè)定Amax=Dmax，Vs=Ve的情況下進(jìn)行討論，其他方向上同理。

標(biāo)準(zhǔn)的S 型加減速是以加加速度為恒定值來(lái)進(jìn)行建模，所以fj的函數(shù)表示如下：

由此可以得到fa的函數(shù)表達(dá)為：

定義一組數(shù)值代入公式可以得到相應(yīng)的函數(shù)曲線，假設(shè)J= 200，Amax= 100，Vmax= 200，Vs= 30，S=0，便可以畫出fj和fa，以及fv和fs的函數(shù)圖形，如圖2、3 所示。

圖2 S 型加減速fj 和fa 函數(shù)圖形

圖3 S 型加減速fv 和fs 函數(shù)圖形

通過(guò)仿真得到了S 加減速的模型，但是同時(shí)也發(fā)現(xiàn)在計(jì)算fv的公式中出現(xiàn)了大量的4 次方的運(yùn)算，在執(zhí)行S 型加減速的計(jì)算過(guò)程中需要頻繁的進(jìn)行開四次根的計(jì)算，由于在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中電機(jī)控制的脈沖頻率一般可以達(dá)到200 K 左右，這需要強(qiáng)大的算力保障，且S 型加減速依然存在加加速度的突變，在一定程度上也會(huì)造成設(shè)備的振動(dòng)。故此一般傳統(tǒng)的低端步進(jìn)電機(jī)控制產(chǎn)品普遍采用梯形加減速算法，而沒(méi)有采用S 型加減速算法，這樣的確降低了控制器成本和研發(fā)難度，但是也導(dǎo)致了電機(jī)的性能和壽命的降低，穩(wěn)定性也受到了不小的影響[5]。

3 改進(jìn)型S 形加減速算法設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)

通過(guò)上文的分析，可以看到S 型加減速的基本原理及其存在局限性，S 型加減速的局限性主要在于其加加速度依然存在突變，這樣依然會(huì)在一定程度上導(dǎo)致設(shè)備的振動(dòng)和磨損，且S 型加減速算法的運(yùn)算過(guò)程中存在4 階函數(shù)，其在工程應(yīng)用中對(duì)控制器的性能提出了較高的要求，這樣大大提高系統(tǒng)的復(fù)雜度和成本。

S 型加減速存在的問(wèn)題主要存在于7 段控制模型中的加加速模式和減加速模式，在S 型加減速算法中，引入了加加速度J的概念，且在加加速和減加速狀態(tài)下J為常量。如果把J從常量狀態(tài)定制為多階可導(dǎo)的三角函數(shù)模型，便從數(shù)學(xué)建模的角度解決了加加速度突變的問(wèn)題。

所以在改進(jìn)型的算法中，引入Jmax為最大加加速度，并在加加速度階段設(shè)定加加速度的曲線定義為：

其中定義：

上文中t3時(shí)間段為電機(jī)在保持Vmax勻速運(yùn)動(dòng)的階段，所以可以通過(guò)積分計(jì)算出加速和減速時(shí)間段的位移，假設(shè)加速階段的位移為Sa，減速階段的位移為Sd，則可以得到：

通過(guò)上述算式可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)t = t1時(shí)，J= 0。這樣便確保了加加速度的連續(xù)性，依次代入t=t1+ t2，t= 2t1+ t2，t=t1+ t2，t= 2t1+ t2+ t3，t=3t1+ t2+ t3，t= 3t1+2t2+ t3幾個(gè)時(shí)間點(diǎn)，均可以得到J= 0。這樣確保了加加速度的連續(xù)性，根據(jù)fj的函數(shù)表達(dá)，可以得出fa的函數(shù)表達(dá)為：

代入t在各個(gè)時(shí)刻的值，可以發(fā)現(xiàn)加速度A依然連續(xù)且可導(dǎo)，然后根據(jù)加速度函數(shù)便可以得到速度的函數(shù)表示如下：

得到速度函數(shù)帶入求速度對(duì)時(shí)間的積分，得到位移。

定義一組數(shù)據(jù)Jmax= 200，Amax= 100，Vmax= 200，Vs=Ve= 30，S= 800，便可以畫出fj和fa，以及fv和fs的函數(shù)圖形，如圖4、5 所示。

圖5 改進(jìn)型S 型加減速fv 和fs 函數(shù)圖形

在實(shí)際的求解過(guò)程中可以發(fā)現(xiàn)整個(gè)函數(shù)本身還是遵循梯形加減速的加速、勻速及減速三個(gè)階段，S型加減速是指把加速階段又分為加加速階段，勻加速階段和減加速階段，減速階段為加速階段相反。且在三角函數(shù)擬合的S 型加減速中，是根據(jù)加速階段和減速階段的位移，得到勻速階段的位移情況，最終計(jì)算出勻速階段的時(shí)間。所以在求解的時(shí)，可以把加速階段，勻速階段和減速階段分別求解。舉例說(shuō)明如下：

例如在2t1+t2+t3開始的減速階段，定義其實(shí)時(shí)間為2t1+t2+t3，定義該時(shí)間變量為tt，便可以得到：

該函數(shù)與加速階段的函數(shù)基本一致，支持改為負(fù)值。這樣便可以把整個(gè)三角函數(shù)分為3 段進(jìn)行分析的話，可以大大減小運(yùn)算量，如果在硬件計(jì)算中引入并行計(jì)算，便可以大大提升系統(tǒng)的運(yùn)行效率，滿足實(shí)時(shí)性、精度和資源占用等方面的要求[6]。

4 改進(jìn)型S 形加減速中的三角函數(shù)求解問(wèn)題

改進(jìn)型S 型加減速算法，其需要的計(jì)算均為三角函數(shù)計(jì)算，可以通過(guò)查表法將三角函數(shù)求導(dǎo)轉(zhuǎn)換為移位運(yùn)算。其思路如下：要計(jì)算一個(gè)角度θ的三角函數(shù)值。首先，選擇一個(gè)初始的量（x0，y0），通常設(shè)為（x0，0），表示初始角度為0 的向量，x0的值一般根據(jù)經(jīng)驗(yàn)選擇，特定的值可以在保證一定精度的前提下減少迭代的次數(shù)；然后，將目標(biāo)角度θ分解成一系列旋轉(zhuǎn)操作，每次旋轉(zhuǎn)一個(gè)小的角度。在每次旋轉(zhuǎn)之后，通過(guò)縮放操作來(lái)逼近目標(biāo)角度的三角函數(shù)值。

因?yàn)閿?shù)據(jù)的右移n位相當(dāng)于乘以2(-n)，于是可以將初始縮放因子設(shè)置為1，0，每次迭代減半，假設(shè)縮放因子為gain，便可以得到

其中，d表示旋轉(zhuǎn)方向（或者），矢量（x0，y0）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度得到的值的表達(dá)式為：

因把cosθ去掉不影響求值的結(jié)果，得到：

以tanθ作為縮放因子，建立一個(gè)縮放因子表格，建立從2(0)，2(-1)，2(-1)的表格，然后通過(guò)迭代查表，便可以計(jì)算出θ的角度值。

表1 為設(shè)置最高17 次迭代的縮放因子表格。

表1 縮放因子表格

表1 除了計(jì)算縮放因子對(duì)應(yīng)的值，還把求取角度之后放大1024 倍的取整值也給出，目的是考慮到在嵌入式環(huán)境中，對(duì)浮點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算比較耗費(fèi)時(shí)間，且1024 也剛好是數(shù)據(jù)左移10 位的值。如便可以簡(jiǎn)單實(shí)現(xiàn)三角函數(shù)的快速實(shí)現(xiàn)，

下面是該算法的核心部分C 語(yǔ)言代碼：

include

#include

#define M_PI 3.14159265358979f

#define TABLE_SIZE 17 // 迭代次數(shù)

//按照角度擴(kuò)大1024 倍運(yùn)算

static const int atanTable [TABLE_SIZE] = {46080，27203， 14373，7296，//83662，1833，917，458，//128229，115，57，29，//204814，7，4，2，//327681 }；

// Cordic 算法計(jì)算正弦和余弦

//最小值：0.001，小于這個(gè)值為0 度，不需要判斷

void cordic（double angle，double*sinVal，double*cosVal）

{

int x = 35628;

int y = 0；

int z = 0；

int nextX，nextY，nextZ；

angle = angle*180 / M_PI；

int unit =（（int）angle））/ 90；

angle =（（int）angle））% 90；

z =（int）round（angle*1024）；

for（int i = 0; i < TABLE_SIZE; i++）

{

if（（abs（z）<= 1）

{

break;

}

else if（z ＞0）

{

nextX = x -（y ＞＞i）;

nextY = y +（x ＞＞i）;

nextZ = z - atanTable[i];

}

else

{

nextX = x +（y ＞＞i）;

nextY = y -（x ＞＞i）;

nextZ = z + atanTable[i];

}

x = nextX;

y = nextY;

z = nextZ;

}

double val = sqrt（（double）x*x +（double）y*y）;

switch（unit）

{

case 0：

*sinVal =（（double）y）/ val;

*cosVal =（（double）x）/ val;

break;

case 1：

*sinVal =（（double）x）/ val;

*cosVal = -（（double）y）/ val;

break;

case 2：

*sinVal = -（（double）y）/ val;

*cosVal = -（（double）x）/ val;

break;

case 3：

*sinVal = -（（double）x）/ val;

*cosVal =（（double）y）/ val;

break;

}

}

int main（）{

double angle = -20.0*M_PI/180; // 待計(jì)算的角度，以弧度為單位

double sinValue，cosValue;

cordic（angle，&sinValue，&cosValue）; // 使用Cordic 算法計(jì)算正弦和余弦

printf（"Angle：%.2f "，angle）;

printf（"Sin：%.4f "，sinValue）;

printf（"Cos：%.4f "，cosValue）;

return 0;

}

以下是一段基于cortex-M3 內(nèi)核的控制器執(zhí)行效率對(duì)比代碼，以0.01 弧度作為單位，對(duì)0-6.28 進(jìn)行正弦和余弦計(jì)算，如下：

angle = 0;

runtime_start（）;

for（i = 0; i < 628; i++）

{

angle += 0.01;

cordic（angle，&sinValue，&cosValue）;

}

runtime_stop（）;

printf（"cordic time：%d. "，（time_cnt<<16）|runtime）;

angle = 0;

runtime_start（）;

for（i = 0; i < 628; i++）

{

angle += 0.01;

sinValue = sin（angle）;

cosValue = cos（angle）;

}

runtime_stop（）;

printf（"math time：%d. "，（time_cnt<<16）|runtime）;

測(cè)試的結(jié)果如下：

三角函數(shù)轉(zhuǎn)化位移時(shí)間為：11971 個(gè)機(jī)器時(shí)間周期；

普通三角函數(shù)運(yùn)算時(shí)間為：58413 個(gè)機(jī)器時(shí)間周期。

可見(jiàn)在傳統(tǒng)的嵌入式系統(tǒng)當(dāng)中，采用三角函數(shù)轉(zhuǎn)換為移位運(yùn)算的執(zhí)行效率，為普通三角函數(shù)運(yùn)算性能的4.8 倍。

5 結(jié)語(yǔ)

在步進(jìn)電機(jī)控制系統(tǒng)中為了解決電機(jī)在運(yùn)行過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生剛性沖擊、柔性沖擊以及加加速度突變產(chǎn)生的設(shè)備振動(dòng)問(wèn)題，對(duì)傳統(tǒng)的加減速模型進(jìn)行改進(jìn)，根據(jù)三角函數(shù)多階連續(xù)可導(dǎo)的性質(zhì)，引入三角函數(shù)曲線擬合，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定型，且在運(yùn)算性能有限的場(chǎng)景中，也可以快速的利用查表法進(jìn)行三角函數(shù)的求解，把三角函數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化加減和移位運(yùn)算。避免了不必要的快速浮點(diǎn)和求階運(yùn)算，大大提升了系統(tǒng)的運(yùn)行效率，降低系統(tǒng)的成本。