馬 嵐

(江蘇省鹽城市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué),江蘇 鹽城 224006)

2023年上海市數(shù)學(xué)競(jìng)賽的第11題是一道以三角形為背景的最值問題,主要考查正弦定理、余弦定理、輔助角公式、直線方程、復(fù)數(shù)、平面幾何等相關(guān)知識(shí).試題簡(jiǎn)潔且內(nèi)涵豐富,很有新意,值得探究.本文呈現(xiàn)其解法,并給出推廣結(jié)論,供大家參考.

1 題目的呈現(xiàn)與解法探究

題目給定Rt△ABC,其中∠ACB=90°,BC=a,AC=b,點(diǎn)D,E,F分別在邊BC,CA,AB上,使得△DEF是正三角形,求△DEF面積的最小值.

解法1 如圖1,設(shè)∠CDE=θ,△DEF的邊長(zhǎng)為x,則BD=a-xcosθ,∠BDF=120°-θ,∠BFD=60°+θ-B.

在△BDF中,由正弦定理,可得

評(píng)注解法1應(yīng)用正弦定理,結(jié)合輔助角公式,利用正弦函數(shù)的有界性進(jìn)行放縮,求出△DEF邊長(zhǎng)的最小值,從而求得其面積的最小值.這種解題思想是三角形中有關(guān)最值問題的常用思路.

解法2如圖2,以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CB為x軸,CA為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則A(0,b),B(a,0).

設(shè)△DEF的邊長(zhǎng)為t,∠FDB=θ,則∠EDC=120°-θ.

于是F(tcos(120°-θ)+tcosθ,tsinθ).

圖2 解法2示意圖

即bx+ay-ab=0.

由于點(diǎn)F在直線AB上,所以

btcos(120°-θ)+btcosθ+atsinθ-ab=0.

評(píng)注解法2利用△ABC是直角三角形,以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系,使得點(diǎn)A,B落在坐標(biāo)軸上,并容易求得直線AB的方程,再用點(diǎn)F在直線AB上求解△DEF邊長(zhǎng)的最小值.解法2的思維難度與運(yùn)算量要比解法1小,且過程簡(jiǎn)潔.解三角形與解析幾何的結(jié)合能增強(qiáng)知識(shí)之間的融會(huì)貫通,拓展知識(shí)面,對(duì)提高解題能力具有重要意義.

解法3如圖2,以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CB為x軸,CA為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則A(0,b),B(a,0).

因?yàn)閨ED|=|EF|,且∠DEF=60°,

z2=z1(cos60°+isin60°)

=(2m-2ni)(cos60°+isin60°)

即bx+ay-ab=0.

由于點(diǎn)F在直線AB上,所以

解法4如圖3,作△BDF的外接圓,作GB⊥BC,并交圓于點(diǎn)G,連接GD,GE.

圖3 解法4示意圖

因?yàn)椤螱BD=90°,

所以GD是△BDF外接圓的直徑.

又因?yàn)椤螪BF+∠GBF=∠DBF+∠A=90°,

所以∠GBF=∠A.

即得∠GBF=∠GDF=∠A.

于是∠GDE=∠A+60°.

設(shè)△DEF的邊長(zhǎng)為x.

在△BDF中,由正弦定理,得

在△GDE中,由余弦定理,得

GE2=DG2+DE2-2DG×DEcos(A+60°)

評(píng)注解法4利用平面幾何性質(zhì),結(jié)合正、余弦定理求解,簡(jiǎn)化了推理和運(yùn)算過程,具有直觀、簡(jiǎn)捷的特點(diǎn).解三角形問題的本質(zhì)是幾何問題,如果能恰當(dāng)利用平面幾何知識(shí),往往可以避開繁瑣的代數(shù)運(yùn)算,使解決問題的過程得到簡(jiǎn)化[1].

2 試題的推廣

證明如圖4,設(shè)正△DEF內(nèi)接于△ABC,點(diǎn)D,E,F分別在邊BC,CA,AB上.設(shè)∠BFD=θ,則易得∠DEC=∠A+60°-θ,設(shè)△DEF的邊長(zhǎng)為x.

圖4 推廣結(jié)論示意圖

在△DEC中,由正弦定理,得

又因?yàn)锽D+DC=BC=a,故

前述的幾種解法,從不同的思維角度解答問題,各顯神通.學(xué)數(shù)學(xué)離不開解題,同時(shí)要注意的是,數(shù)學(xué)問題的解決僅僅只是一半,更重要的是在解題中要善于觀察、善于思考、善于轉(zhuǎn)化,只有這樣才能將零散的數(shù)學(xué)知識(shí)串聯(lián)起來,運(yùn)用自如.