董文峰 任宏章

?南京師范大學(xué)蘇州實驗學(xué)校

對于數(shù)學(xué)概念的教學(xué),一般更多關(guān)注的是怎樣“習(xí)得”概念,課堂偏重于教師的教的設(shè)計和學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的表述和理解.

筆者感覺數(shù)學(xué)概念教學(xué)多關(guān)注學(xué)生怎樣“研得”概念.從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度出發(fā)進(jìn)行課堂問題設(shè)計,通過課堂對話開展學(xué)習(xí),課堂聚焦學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng),課堂重心落在在怎樣“研得”概念上,落在數(shù)學(xué)概念的模型建構(gòu)上,落在數(shù)學(xué)研究對象本質(zhì)特征的感悟和發(fā)現(xiàn)上,自然生成數(shù)學(xué)概念,學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在數(shù)學(xué)概念的“研得”過程中得到提升.

下面筆者以蘇科版初中數(shù)學(xué)九年級下冊第六章“6.1二次函數(shù)”為例,闡述“研得”二次函數(shù)概念的過程.

1 學(xué)習(xí)目標(biāo)的素養(yǎng)定位

生成性教學(xué)觀點認(rèn)為:學(xué)生的已有經(jīng)驗和現(xiàn)有水平是有效建構(gòu)生成性教學(xué)的基礎(chǔ)和起點,只有以學(xué)生的基礎(chǔ)為生成點,才是有效進(jìn)行生成性教學(xué).教師通過與學(xué)生的平等對話,促使學(xué)生的知識理解和掌握水平在課堂上充分地展現(xiàn)出來,這樣在課堂教學(xué)中,教師就可以較好地照顧到每個學(xué)生的發(fā)展,對預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行或升或降的調(diào)整和改變,以適合當(dāng)前學(xué)生發(fā)展水平的需要[1].學(xué)習(xí)過程以生成性教學(xué)理論為指導(dǎo),希望通過創(chuàng)設(shè)問題情境,設(shè)計串聯(lián)問題驅(qū)動,實行課堂靈動對話,促進(jìn)數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的自然生成,實現(xiàn)學(xué)生抽象建模和邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.

鑒于此,確定學(xué)習(xí)目標(biāo)如下:

(1)以舊引新,依據(jù)課本圖片素材,預(yù)設(shè)生成變量關(guān)系,形成對二次函數(shù)變量關(guān)系的初步理解;

(2)建立模型,激活原有認(rèn)知經(jīng)驗,通過類比發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)關(guān)系式的本質(zhì)特征,概括、抽象二次函數(shù)的概念;

(3)鞏固理解,利用概念解決問題,會確定二次函數(shù)自變量的取值范圍,形成運用二次函數(shù)概念解決問題的能力;

(4)總結(jié)建構(gòu),鞏固研究函數(shù)對象關(guān)系的基本方法,提高研究數(shù)學(xué)概念的思維能力,發(fā)展數(shù)學(xué)直觀、數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng).

學(xué)習(xí)重點:從實際情境中抽象出二次函數(shù)模型,通過觀察、比較、概括,抽象生成二次函數(shù)概念.

2 學(xué)習(xí)過程的環(huán)節(jié)設(shè)計與教學(xué)分析

我們知道,課堂學(xué)習(xí)的溝通不僅包含信息發(fā)出的表達(dá)與信息接收的傾聽,還包括信息接收者對信息發(fā)出的反饋,師生高階的思維對話是思想的碰撞、共建,是思維互動與智慧共生.

2.1 創(chuàng)設(shè)問題情境,感悟變量關(guān)系

教者呈現(xiàn)出兩幅圖片,如圖1、圖2所示.

圖1

圖2

圖1是初中七年級上冊第一章第一節(jié)“生活與數(shù)學(xué)”中的圖片,圖2是八年級上冊第六章第一節(jié)“函數(shù)”中的圖片.

圖1中,長方形籬笆問題涉及到哪些量?針對圖1,同學(xué)們想提出什么問題?

圖2中,水滴激起的波紋不斷向外擴展的過程中涉及到哪些變量?針對圖2,同學(xué)們想提出什么問題?

教學(xué)分析：此設(shè)計基于情境,從學(xué)生的生活現(xiàn)實出發(fā),著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū),采用已經(jīng)學(xué)習(xí)過的教材上的兩幅圖片,一下子調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,讓學(xué)生充分感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界之間的聯(lián)系.再通過設(shè)問,激發(fā)學(xué)生想要探求實際問題的欲望,引發(fā)學(xué)生的深層思考.學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)問題中的基本要素,進(jìn)而提出要研究的問題,為深入研究數(shù)學(xué)問題中基本要素之間的關(guān)系做了良好鋪墊.在問題的探討過程中學(xué)生有了系統(tǒng)思維的意識,進(jìn)行了多元對象之間關(guān)系的梳理.

2.2 依據(jù)變量關(guān)系,建立函數(shù)模型

針對圖1、圖2,教者接著提出如下問題:

問題1蘇科版七年級上冊第7頁“試一試”第3題——學(xué)校打算用16 m長的籬笆圍成長方形的生物園飼養(yǎng)小兔.怎樣圍可使小兔的活動范圍較大?

若16 m長的籬笆圍成的長方形生物園長為xm、寬為ym,則x,y有何關(guān)系?

若圍成的長方形生物園面積為16 m2,其長為xm、寬為ym,則x,y有何關(guān)系?

若16 m長的籬笆圍成的長方形生物園長為xm、面積為Sm2,則x,S有何關(guān)系?

問題2如圖2,若水滴激起的波紋不斷向外擴展的圓面積為S、圓周長為C、圓的半徑為r,則S,C,r之間有何關(guān)系?

問題3如圖3,一面長與寬之比為2∶1的矩形鏡子,四周鑲有邊框.已知鏡面的價格是120元/m2,邊框的價格是30元/m,加工費為45元.設(shè)鏡面寬為xm,求總費用y(單位:元).

圖3

教學(xué)分析：教者設(shè)計的問題1與問題2,巧妙運用課本情境,通過追問,自然得到了變量間的不同關(guān)系,生成學(xué)生熟悉的一次函數(shù)、反比例函數(shù)模型,還有即將研究的新的函數(shù)模型(二次函數(shù)).這些變量關(guān)系放一起,通過比較,在原有學(xué)習(xí)經(jīng)驗的驅(qū)使下,學(xué)生很容易就會產(chǎn)生疑問“S=πr2”“S=8x-x2”是什么函數(shù)?此時繼續(xù)拋出問題3,問題3的設(shè)計對變量間的關(guān)系提出了更高的要求,也為后面新函數(shù)的一般形式“y=ax2+bx+c(a≠0)”的出現(xiàn)作了鋪墊,彌補了前面沒能呈現(xiàn)出的含有a,b,c的函數(shù)模型.

2.3 類比發(fā)現(xiàn)特征,抽象生成概念

師:觀察“S=8x-x2,S=πr2,y=240x2+180x+45”,這些函數(shù)有哪些共同特征?

生1:自變量的最高次數(shù)都是二次.

生2:等式兩邊的式子都是整式.

師:如果讓你給這些函數(shù)取個名字,會怎么取?

生3:二次函數(shù).

師:那什么是二次函數(shù)?你能給它下個定義嗎?

學(xué)生有些猶豫,教者等待30 s學(xué)生依然沒有反應(yīng).于是教者讓學(xué)生回顧一次函數(shù)的定義.

師:一次函數(shù)是怎么定義的?

生4:函數(shù)y=kx+b叫做一次函數(shù).

師:k和b有要求嗎?

生4:k和b為常數(shù),且k≠0.

師:你能完整敘述一次函數(shù)的定義嗎?

生5:形如y=kx+b,其中k和b為常數(shù),且k≠0的函數(shù)叫做一次函數(shù).

師:什么是二次函數(shù)?能下定義了嗎?

生6:形如y=ax2+bx+c的函數(shù)稱為二次函數(shù).

生7:形如y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),且a≠0)的函數(shù)稱為二次函數(shù).

生8補充道:其中,x是自變量,y是x的函數(shù).

師:式子S=8x-x2,S=πr2好像不是這個形式?

生9:是這個形式,只不過前一個式子的常數(shù)項是0,后一個式子的一次項系數(shù)和常數(shù)項都是0.

師:太棒了!為你點贊.像一次函數(shù)一樣,我們把函數(shù)式y(tǒng)=ax2+bx+c中的a,b,c分別稱為二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.

師:a能不能等于0?

生10:a不能等于0,如果a等于0,ax2項就不存在了,它就不是二次函數(shù)了.

師:太棒了!你的認(rèn)識真到位,b,c有要求嗎?

生11:b,c可以等于0,沒有限制條件.上面兩個式子就是例證.

師:請分別說出函數(shù)式S=8x-x2,S=πr2,y=240x2+180x+45中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.

…………

教學(xué)分析：蘇科版初中數(shù)學(xué)教材中的情境問題只有二次函數(shù)模型,教者挖掘課本素材,通過變量關(guān)系的感悟增加了一次函數(shù)、反比例函數(shù)模型,當(dāng)學(xué)生提到一次函數(shù)這個名詞時,教者很敏銳地抓住契機,得出二次函數(shù)名稱,并引導(dǎo)學(xué)生從呈現(xiàn)的關(guān)系式中抽象二次函數(shù)的特征.

課堂在師生的對話中推進(jìn),二次函數(shù)的特征、內(nèi)涵和關(guān)鍵點都由學(xué)生通過觀察、比較、發(fā)現(xiàn)得出.特別是當(dāng)學(xué)生不能歸納二次函數(shù)概念時,教師不是急切地表達(dá),而是耐心地等待,通過類比一次函數(shù)的概念,讓學(xué)生去細(xì)細(xì)地品位.學(xué)生思考后大膽發(fā)表自己的見解,概念在學(xué)生互相修正中完善,最終形成完整的二次函數(shù)概念的表述.

2.4 變式拓展問題,活用概念解題

教者在概念形成后設(shè)計了三個問題,鞏固對二次函數(shù)概念的理解和運用.

問題4下列函數(shù)中,y是x的二次函數(shù)的是哪些?說明理由.

(2)y=(x-3)2-x2;

(3)y=ax2+bx+c.

教學(xué)分析：問題4針對二次函數(shù)的概念進(jìn)行鞏固,其中包含了常見的典型錯誤類型.第(1)個表達(dá)式從形式上看存在二次,實際為負(fù)二次,所含式子是分式.第(2)個表達(dá)式直接判斷時很容易認(rèn)為是二次函數(shù),但化簡來看二次項可以相減,最后結(jié)果只存在一次項和常數(shù)項,是一次函數(shù).教者的提醒促進(jìn)了學(xué)生深入思考,函數(shù)的判斷不能只看表象,要通過簡化看實質(zhì).第(3)個表達(dá)式教者引導(dǎo)學(xué)生觀察二次項系數(shù)沒有限制條件,不能作出判斷,學(xué)生的補充使判斷思路更加清晰.這樣的三個表達(dá)式加深了學(xué)生對二次函數(shù)概念的理解,提高了學(xué)生的辨證思維能力.

問題5已知函數(shù)y=(m+3)x|m|-1,求m的值.

在學(xué)生提議之下進(jìn)行分類,如下:

(1)已知一次函數(shù)y=(m+3)x|m|-1,求m的值.

(2)已知反比例函數(shù)y=(m+3)x|m|-1,求m的值.

(3)已知二次函數(shù)y=(m+3)x|m|-1,求m的值.

生12:對于問題(3),根據(jù)題意得|m|-1=2,則m=±3.

生13:m≠-3,二次項的系數(shù)不能為0.

教學(xué)分析：問題5中只給出了一個關(guān)鍵詞“函數(shù)”,在教師的意料之中,學(xué)生蒙了一下后,發(fā)現(xiàn)題目是開放的,需要分類討論.學(xué)生提出了函數(shù)分別為一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)三種情況.當(dāng)生12求出問題(3)中m的值時,生13馬上指出“m≠-3,二次項的系數(shù)不能為0”,說明學(xué)生對二次函數(shù)概念的理解已經(jīng)很深刻了.

問題6如圖4,用16 m長的籬笆圍成一邊靠墻(墻長6 m)的長方形生物園飼養(yǎng)小兔,設(shè)垂直于墻的一邊長為x(單位:m),生物園的面積為y(單位:m2),求y與x之間的關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍.

圖4

教學(xué)分析：通過追問,引導(dǎo)學(xué)生對問題進(jìn)行深入分析,不斷激發(fā)學(xué)生思考,得出函數(shù)關(guān)系式,進(jìn)而歸納出自變量的取值范圍.自變量的取值除了使函數(shù)式有意義,還必須使實際問題有意義.學(xué)生對相關(guān)問題的認(rèn)識有了進(jìn)一步的理解,也為后期研究二次函數(shù)應(yīng)用問題做了鋪墊.

2.5 整體總結(jié)建構(gòu),生成認(rèn)知體系

問題7(1)本節(jié)課是怎樣引入二次函數(shù)概念的?

(2)二次函數(shù)的本質(zhì)特征是什么?什么是二次函數(shù)?

(3)本節(jié)課研究了二次函數(shù)概念在哪些方面的應(yīng)用?

(4)通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),你還有哪些疑問?

師生對話后,最后學(xué)生提出:通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),我們還想知道二次函數(shù)的圖象是怎樣的,有什么性質(zhì),還有哪些運用.

教學(xué)分析：課堂小結(jié)教者沒有采取直白告知的方式,而是設(shè)計了四個問題,讓學(xué)生回顧、梳理、表述,教者適時追問,學(xué)生自主總結(jié),自然形成二次函數(shù)概念的認(rèn)知體系、研究方法.通過第(4)個問題的回答,甚至形成整個二次函數(shù)章節(jié)學(xué)習(xí)的體系框架.

3 教學(xué)反思

課堂從學(xué)生已有的知識和學(xué)習(xí)經(jīng)驗開始,在知識、方法和思想不斷生成的過程中推進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的形成、課堂學(xué)習(xí)的深度開展和靈性智慧的提升,課堂學(xué)習(xí)取得了良好的教學(xué)效果[2].

3.1 基于情境,系統(tǒng)思考,提出問題

本節(jié)課以學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗為基礎(chǔ),深入挖掘已經(jīng)學(xué)過的圖片問題中數(shù)學(xué)元素之間的關(guān)系,把新知識的學(xué)習(xí)建立在舊知識基礎(chǔ)之上,沒有就題論題,而是突破教材情境問題中只有二次函數(shù)模型的情況,更廣泛考慮了周長一定長與寬的關(guān)系、面積一定長與寬的關(guān)系等內(nèi)容.通過教師引導(dǎo),學(xué)生在真實的情境中系統(tǒng)思考,發(fā)現(xiàn)關(guān)系和提出問題,生成除即將研究的二次函數(shù)表達(dá)式外,還有一次函數(shù)表達(dá)式、反比例函數(shù)表達(dá)式,多元數(shù)學(xué)元素之間的關(guān)系更符合問題的實際,更符合學(xué)生認(rèn)知的實際.

3.2 問題導(dǎo)向,類比研究,揭示本質(zhì)

課堂學(xué)習(xí)是以教師創(chuàng)造性地設(shè)計,學(xué)生創(chuàng)造性地學(xué),最終獲得充分發(fā)展,而不是以記憶與理解來作為教學(xué)效果的最終特征[3].本節(jié)課通過“情境+問題串”的方式組織學(xué)習(xí)活動,充分挖掘教材素材,七個問題串聯(lián),逐步揭示二次函數(shù)概念及組成要素之間的關(guān)系,通過類比一次函數(shù)發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)的特征——兩個變量、自變量最高次數(shù)為二次、二次項系數(shù)不為0、整式形式,進(jìn)一步通過類比抽象概括出二次函數(shù)的概念.

概念的運用環(huán)節(jié)設(shè)置了三個問題,第一層次是判斷,第二層次是確定字母系數(shù)的值,第三層次是關(guān)系式的建立和自變量取值范圍的確定,這樣的變式處理從不同角度由淺入深加強學(xué)生對二次函數(shù)概念本質(zhì)特征的理解.

3.3 靈動對話,整體建構(gòu),生成發(fā)展

在課堂學(xué)習(xí)過程中,教師給予學(xué)生足夠的思考空間,激發(fā)興趣,開拓思維,從而促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí).對于二次函數(shù)的概念,課堂中沒有匆忙“給出”,而是引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較,激活學(xué)生原有的認(rèn)知經(jīng)驗.對于二次函數(shù)的概念,一個學(xué)生的表達(dá)不完善,被接著的學(xué)生補充,教師的等待和追問推動了概念的表達(dá),概念在不斷生成的過程中完美呈現(xiàn),從而促進(jìn)學(xué)生對二次函數(shù)概念的深刻思考和再認(rèn)識,推動學(xué)生抽象概括、推理能力等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成.這一學(xué)習(xí)過程也充分體現(xiàn)了研究數(shù)學(xué)概念的一般思考方法.

課堂最后的小結(jié)階段,設(shè)計了四個小問題引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容,通過學(xué)生的交流對話、自主總結(jié),整體建構(gòu)形成認(rèn)知體系.問題7(4)引導(dǎo)學(xué)生大膽預(yù)測即將學(xué)習(xí)的內(nèi)容,學(xué)生的展望準(zhǔn)確、到位,學(xué)生的學(xué)習(xí)能力在這樣的學(xué)習(xí)過程中得到培養(yǎng).這樣體現(xiàn)生成發(fā)展教學(xué)意義的課堂小結(jié),使學(xué)生帶著問題進(jìn)課堂,滿懷解決問題后的喜悅走出課堂,抑或帶著新的疑問進(jìn)行課后的深入研究[4].

本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中,學(xué)生“研得”了函數(shù)的概念,更重要的是進(jìn)一步鞏固了研究函數(shù)的基本方法,即從生活情境中建立函數(shù)模型,發(fā)現(xiàn)新函數(shù)模型,思考新函數(shù)模型的特征,抽象新函數(shù)概念,利用新函數(shù)概念解決問題.發(fā)展了數(shù)學(xué)模型意識和數(shù)學(xué)抽象能力.