楊謹(jǐn)僮, 陳 沖

1.西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院, 四川 南充 637002;2.西華師范大學(xué) 公共數(shù)學(xué)學(xué)院, 四川 南充 637002

為了解決物理學(xué)中關(guān)于彈性理論的相關(guān)問(wèn)題,研究者發(fā)現(xiàn)了積分方程。積分方程不僅在數(shù)學(xué)、物理學(xué)中有著重要的作用,在工程、生物等其他科學(xué)領(lǐng)域建模[1]中也有著不小的貢獻(xiàn)。本文考慮如下線性Volterra-Fredholm積分方程:

(1)

(2)

近年來(lái),多種數(shù)值方法被用于求解線性和非線性Volterra-Fredholm積分方程[4-15]。文獻(xiàn)[4-6]中采用了最小二乘法求解線性Volterra-Fredholm積分方程,此外求解線性Volterra-Fredholm積分方程還有泰勒展開(kāi)方法[7-8]、皮卡徳迭代方法[9]、伯努利矩陣方法[10]等。Wazwaz[11]應(yīng)用了改進(jìn)的分解方法對(duì)非線性Volterra-Fredholm積分方程進(jìn)行數(shù)值研究,得到了近似解。配置法是常用的一種數(shù)值方法,該方法能夠方便有效地求出該方程的近似解,且靈活多變,不僅可以求解Volterra型積分方程[16]和Fredholm型積分方程[17],還可以求解Volterra-Fredholm積分方程[12-15]。Toucahrd多項(xiàng)式相比于文獻(xiàn)[12-15]中的函數(shù)而言,其形式簡(jiǎn)單且計(jì)算方便。因此,本文提出Touchard多項(xiàng)式配置法求解形如式(1)和式(2)的Volterra-Fredholme積分方程,并對(duì)該方法進(jìn)行收斂性分析。

1 Touchard多項(xiàng)式

圖沙多項(xiàng)式(Touchard polynomials)也被稱為指數(shù)多項(xiàng)式[18-19],是由法蘭西數(shù)學(xué)家Jacque Touchard在1939年首先研究的多項(xiàng)式。Kuzmin和Leonova利用Touchard多項(xiàng)式及相關(guān)性質(zhì)解決了單服務(wù)器排隊(duì)系統(tǒng)和循環(huán)排列問(wèn)題[20]。Touchard多項(xiàng)式由二項(xiàng)型多項(xiàng)式序列所構(gòu)成,形式為

(3)

T0(x)=1,

T1(x)=1+x,

T2(x)=1+2x+x2,

T3(x)=1+3x+3x2+x3。

2 方法構(gòu)造

考慮形如方程(1)的線性Volterra-Fredholm積分方程求近似解的算法構(gòu)造。用Touchard多項(xiàng)式構(gòu)造函數(shù)un(x),即

(4)

其中,n是任意非負(fù)整數(shù),ti是未知的Touchard多項(xiàng)式系數(shù),Ti(x)(i=0,1,…,n-1)是由方程(3)定義的Touchard多項(xiàng)式。

用un(x)近似代替u(x),將式(4)代入方程(1),令

(5)

方程(5)化簡(jiǎn)為

(6)

(7)

令

方程(7)可表示為矩陣形式

CH=F,

(8)

其中,矩陣C、H、F定義為

C=[t0,t1,…,tn-1],H=(hij)n×n,F=[f(x1),f(x2),…,f(xn)]。

由方程(8)解得向量C,代入方程(4)中得到方程(1)的近似解。

3 解的存在唯一定理

1)k(s,t)∈C([a,b]×[a,b]),

定理1 如果條件1)和2)成立,則積分方程(1)存在唯一解。

證明?u(x),v(x)∈C[a,b],有

即

因?yàn)?<α<1,故P:C[a,b]→C[a,b]是壓縮映射,由巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理可得方程(1)的解存在且唯一。

3) 當(dāng)x∈[a,b]時(shí),u(βx+γ)∈C([a,b]×[a,b]),

定理2 如果條件3)和4)成立,則方程(2)存在唯一解。

其證明過(guò)程在文獻(xiàn)[3]中有詳細(xì)介紹。

4 收斂性分析

證明由范數(shù)定義可得

由上式可得

當(dāng)α滿足條件2)時(shí),可得

即收斂性得證。

其證明過(guò)程與定理3相同。

5 基本算例

本節(jié)將應(yīng)用第2節(jié)介紹的Touchard多項(xiàng)式配置法計(jì)算Volterra-Fredholm積分方程的近似解。通過(guò)算例驗(yàn)證該方法的可行性和有效性。

例1[3]求解形如方程(2)的線性Volterra-Fredholm積分方程

的近似解,其中,A(x)=1/10,a=-1,b=1,β=1/2,γ=-1/4,q(x,t)=x,g(x,t)=t,且f(x)隨著λ1、λ2的變化而變化。該方程的精確解為u(x)=x2+x。

表1 例1中Touchard多項(xiàng)式配置法與最佳平方逼近法誤差對(duì)比

表2 例1誤差計(jì)算表

在本算例中,該誤差的計(jì)算公式為error=|un(xi)-u(xi)|,x∈[a,b],其中un(x)和u(x)分別是例2中的近似解和精確解。

通過(guò)表3和表4的結(jié)果可以看出,當(dāng)n=3、4時(shí),隨著n的增大,所得到的近似解與精確解之間的誤差在縮小。但是當(dāng)n=5、6時(shí)得到的近似解與精確解之間的誤差雖然比n=3時(shí)小很多,但明顯比n=4時(shí)變大了。這說(shuō)明并不是n取值越大越好。對(duì)比n取不同的值時(shí)近似解跟精確解之間的誤差,發(fā)現(xiàn)n=4的近似效果比n=3、5、6的近似效果要好很多。

表3 例2中n=4時(shí)Touchard多項(xiàng)式配置法誤差跟T-F方法誤差對(duì)比

表4 例2中n=3、5、6時(shí)方程的近似解與精確解的誤差

通過(guò)圖1的幾條曲線對(duì)比,發(fā)現(xiàn)當(dāng)n=4時(shí)得到的逼近函數(shù)更加逼近真實(shí)函數(shù),反觀當(dāng)n=3、5、6時(shí)的逼近效果較n=4差一些。在本算例中,因?yàn)樵摲匠痰木_解是多項(xiàng)式的形式且最高次是3次方,因此當(dāng)n=4時(shí)比n=3、5、6得到的近似解效果更好。通過(guò)表3的結(jié)果可以看出,當(dāng)n=4時(shí)應(yīng)用本文中的Touchard多項(xiàng)式配置法得到的近似解相比文獻(xiàn)中的T-F方法[21]效果較好。

圖1 例2中n=3、4、5、6時(shí)的近似解和精確解

6 結(jié)語(yǔ)

本文提出了用Touchard多項(xiàng)式配置法求解形如方程(1)和方程(2)的線性Volterra-Fredholm積分方程。并通過(guò)算例驗(yàn)證了該方法的可行性和有效性。如果想要獲得精度更高的近似解,可以通過(guò)增加基函數(shù)個(gè)數(shù)n的值來(lái)得到較好的結(jié)果,但并非n越大越好。通過(guò)具體算例分析,可發(fā)現(xiàn)當(dāng)方程的真實(shí)解是以多項(xiàng)式的形式出現(xiàn),應(yīng)用本文中的方法得到的近似解與精確解的誤差較小,效果較好。當(dāng)方程的精確解是以其他形式出現(xiàn),則應(yīng)用本文方法得到的逼近解與精確解的逼近效果較前述情況差一些。結(jié)合例1和例2中的表、圖分析,發(fā)現(xiàn)當(dāng)n的值較大時(shí),應(yīng)用本方法獲得逼近函數(shù)比n取較小的值的逼近效果好。但如果得到的逼近函數(shù)已經(jīng)足夠貼近真實(shí)函數(shù),即使增大n的值,其逼近效果改變不大。