李順初, 劉 盼*, 付雪倩, 邵東鳳, 范 林, 桂欽民

1.西華大學 理學院, 四川 成都 610039;2.北京東潤科石油技術股份有限公司, 北京 100029

眾所周知,微分方程對于理解生物學、物理學、工程技術等領域有著十分重要的作用[1-3]。在實際問題中,若能求出常微分方程的解析解會對理解和解決實際工程和科學問題有著重要的意義。迄今為止,許多求解微分方程的方法已被提出[4-5]。其中,第二種Weber方程作為特殊函數(shù)中的重要一類,已有許多學者進行了通解、邊值問題求解等內容的研究[6-7]。

彈性在經濟學、數(shù)學等學科中具有十分重要的地位,自1920年需求彈性的概念被阿爾弗雷德·馬歇爾[8]提出后,肖人俊等[9]給出了供給與需求的價格彈性公式。之后,Woods等[10]提出了彈性及彈性系數(shù)的概念,彈性在經濟學中的應用逐漸廣泛。在數(shù)學領域,李順初等[11]提出彈性外邊界的概念,簡化了求解微分方程的彈性邊值問題的計算過程。彈性、彈性系數(shù)、彈性外邊界等概念在工程學、物理學、經濟學[12-15]等各個學科得到了廣泛應用。

彈性理論擁有著濃厚的科學背景,基于彈性的特征,本文提出一種微分變換——彈性升階變換,并用于求解可化為第二種Weber方程的一階非線性微分方程的解析解,是求解微分方程解析解的一個重要擴展。

1 預備知識

1.1 彈性的定義

定義1 如果函數(shù)y=f(x)可微并且f(x)≠0,則彈性函數(shù)可以定義成[10]

(1)

這種將y轉化為u的變換就稱為彈性升階變換。

1.2 彈性的意義

1.3 彈性的導數(shù)

引理1 如果函數(shù)y=f(x)二階可微并且y≠0,則

1.4 第二Weber方程

引理2 第二Weber方程[16]為

它的本征值為λ=2n+1(n=0,1,2,…),它的通解可以表示為

z=ADn(x)+BEn(x),

2 利用彈性升階變換求解一類一階非線性微分方程

2.1 主要定理及其證明

定理1 一類一階非線性微分方程

(2)

式中,λ=2n+1(n=0,1,2,…),通解存在且

(3)

式中,C、F為任意常數(shù),Dn(x)、En(x)分別為n次的第一類、第二類Weber函數(shù)。

證明設y為z的彈性函數(shù),由彈性的定義式(1)得到當z≠0時,有

(4)

再由引理1,得

從而可由方程(2)、(4)變形為

此為參數(shù)λ的第二種Weber方程。利用引理2,可以得到解為

z=ADn(x)+BEn(x),

(5)

式中,A、B為任意常數(shù)且A2+B2≠0,Dn(x)、En(x)分別稱為n次的第一類、第二類Weber函數(shù)。再根據(jù)式(4)求出式(5)的彈性,即可得出方程(2)的解為

當A2+B2≠0時,可得

式中,C、F為任意常數(shù)。因此得到式(3)。

最后,將式(3)代入式(2),經驗證定理1成立。

2.2 利用彈性升階變換求解微分方程的步驟

步驟1 利用彈性的定義及引理1,將一階非線性微分方程轉化為第二種Weber方程;

步驟2 利用引理2求得第二種Weber方程的解;

步驟3 求步驟2中得到的解的彈性,即可得此一階微分方程的解析解。

求解流程如圖1所示。

圖1 求解流程

2.3 舉例

研究如下一階非線性微分方程

(6)

的通解為

(7)

式中,C、F為任意常數(shù)。

解可以看出式(6)符合式(2)形式。

步驟1 設y為z的彈性函數(shù),由彈性的定義式(1)得到當z≠0時,有

(8)

再由引理1,得

從而可將方程(6)轉化為

步驟2 根據(jù)引理2,求第二種Weber方程的解為

式中,A、B為任意常數(shù)且A2+B2≠0。D1(x)、E1(x)分別稱為一次的第一類、第二類Weber函數(shù)。易得z二階可微。

步驟3 利用式(8)求z的彈性,即可得此一階非線性微分方程的解析解為

式中,C、F為任意常數(shù)。由此得到式(7)。最后,將式(7)代入微分方程(6),經驗證為微分方程(6)的解。

3 結論與認識

彈性是任何一個函數(shù)相對于其自變量所特有的性質,由此,本文提出了彈性升階變換這一概念并將其應用于非線性微分方程的求解中。彈性升階變換能解出可化為第二種Weber方程的一類一階非線性微分方程的解析解。實際上,若通過彈性升階變換能將微分方程轉化為任意可求解的微分方程,那么都可用彈性升階變換法求其解析解。彈性升階變換法擴大了非線性微分方程的可求解類,是求解微分方程解析解的一個重要擴展。