張 立,盧飛躍

(廣州番禺職業(yè)技術(shù)學(xué)院 智能制造學(xué)院,廣東 廣州 511483)

在量子力學(xué)教科書中,對一維受限勢和三維受限勢的可解模型有相當(dāng)多的討論,比如一維情況下,有一維無限深勢阱、方勢阱、線性勢及一維線性諧振子等,三維情況下,有球形方勢阱、三維線性諧振子及氫原子等[1-3].然而,對于二維受限勢,除了二維氫原子和二維諧振子外[4],二維可解模型卻討論得相對比較少.在本文中,我們提出一類二維三角形受限勢的精確可解模型,主要包括等腰直角三角形、半等邊三角形和等邊三角形這三類不同形狀的三角形量子結(jié)構(gòu)(見圖1),選取適當(dāng)?shù)牟牧蠀?shù),分析此類量子結(jié)構(gòu)中的電子能譜和波函數(shù)的特征.

(a) 半等邊三角形 (b) 等腰直角三角形 (c) 等邊三角形圖1 三類三角形模型

另外,從半導(dǎo)體材料科學(xué)的角度,研究三角形截面量子結(jié)構(gòu)的電子能譜與波函數(shù)特性也有相當(dāng)重要的意義.基于先進(jìn)的晶體生長技術(shù),人們已經(jīng)獲得了自由站立的三角形截面量子結(jié)構(gòu)[5,6].比如,基于金屬有機(jī)物化學(xué)沉積技術(shù),美國學(xué)者楊培東小組[5]在2003年合成了三角形截面的GaN半導(dǎo)體納米線,透射電鏡顯示納米線的截面接近于等邊三角形.中國學(xué)者Yu及其合作者[6]基于熱化學(xué)氣相沉積技術(shù),于2011年成功制備出三角形截面的AlN納米棒,掃描電鏡圖證實了此生成物具有三角形的截面形貌,如圖2所示.印度學(xué)者Gangopadhyay 和 Nag[7]提出了GaAs等腰直角三角形截面的結(jié)構(gòu),用于分析箭頭形納米線結(jié)構(gòu)中的電子特性,所得結(jié)果與實驗符合很好.

(a) GaN (b) AlN圖2 三角形截面納米線的透射電鏡圖[5,6]

基于以上實驗發(fā)現(xiàn)與二維可解受限勢討論不足的事實,因此研究二維三角形受限勢是十分有意義的.我們將基于一種非分離變量方法,給出3種不同截面的三角形受限勢結(jié)構(gòu)中的精確解析的電子態(tài)波函數(shù)和能級表達(dá)式,以AlN材料為例,數(shù)值計算和分析體系的能級結(jié)構(gòu)與波函數(shù)的分布特點.

1 理論方法

考慮單電子被局域在二維三角形受限勢中,3種不同的三角形截面,即半等邊三角形、等腰直角三角形與等邊三角形被考慮了.這些三角形模型及建立的二維坐標(biāo)系,見圖1.電子在二維三角形受限勢作用下的薛定諤方程可寫為

(1)

其中Φ(x,y)是電子波函數(shù),me是電子的質(zhì)量,E是電子的能量本征值,V(x,y)為電子的受限勢,它表示為

(2)

1.1 半等邊三角形受限勢

(3)

(4)

(5)

由式(5)和式(1),可以得到半等邊三角形中電子的能級方程,即

(6)

1.2 等腰直角三角形受限勢

等腰直角三角形的3個內(nèi)角分別為π/4、π/4和π/2,設(shè)它的兩條直角邊長為lI,如圖1(b)所示.以等腰直角三角形的直角頂點為原點,以兩條直角邊分別為x和y軸,建立二維平面直角坐標(biāo)系,則等腰直角三角形的三條邊的直線方程可寫為

x=0,y=0,x+y=lI

(7)

(8)

其中CI是電子波函數(shù)歸一化常數(shù),p和q也是2個量子數(shù),它們只能取一系列的整數(shù)值,即q=1,2,3,…,p=q+1,q+2,q+3,…,通過積化和差的方法,可以證明,當(dāng)量子數(shù)q和p同為奇數(shù)或同為偶數(shù)時,要滿足ΦI(x,y)在邊界x+y=lI上為0,則式(8) 中的第2項前的符號必須取“-”號;而當(dāng)q和p一個為奇數(shù),另一個為偶數(shù)時,式(8)中的第2項前的符號必須取“+”號.考慮了量子數(shù)q和p的奇偶性后,等腰直角三角形中電子波函數(shù)可改寫為

(9)

由式(9)和式(1),可以得到等腰直角三角形中電子的能級方程,即

(10)

特別地,當(dāng)q=1,p=2時,電子獲得最低的能量,即半等邊三角形中電子的基態(tài)能.當(dāng)(q,p)的取值分別為(1,3),(2,3),(2,4),…時,分別獲得電子的第一激發(fā)態(tài)、第二激發(fā)態(tài)、第三激發(fā)態(tài)等激發(fā)態(tài)的能級.

1.3 等邊三角形受限勢

(11)

相比于前2種三角形,由于等邊三角形具有更高的對稱性.因此,等邊三角形中的電子態(tài)波函數(shù)及相應(yīng)的能級方程,受到很多學(xué)者[8]的關(guān)注,并獲得了精確解析的結(jié)果.這些研究發(fā)現(xiàn),等邊三角形受限勢中的電子態(tài)波函數(shù)分為對稱和反對稱兩種類型.在我們建立的坐標(biāo)系下,對稱的電子波函數(shù)ΦE/S(x,y)可寫為[8]

(12)

反對稱的電子波函數(shù)ΦE/A(x,y)可寫為

(13)

由式(12)、式(13)和式(1),可以得到等邊三角形中電子的能級方程,即

(14)

2 結(jié)果與討論

下面在有效質(zhì)量近似下,以典型的AIN三角形量子結(jié)構(gòu)為例進(jìn)行了數(shù)值計算.AIN材料中電子有效質(zhì)量約為me= 0.4m0(m0為自由電子的質(zhì)量)[9].

表1給出了3種類型三角型量子結(jié)構(gòu)中電子的基態(tài)E1、第一激發(fā)態(tài)E2、第二激發(fā)態(tài)能量E3及相鄰態(tài)之間的能量間隔ΔE1、ΔE2隨三角形面積S變化的數(shù)據(jù).隨著S的增大,三角形的基態(tài)、激發(fā)態(tài)及能量間隔均減小,表現(xiàn)出明顯的量子受限效應(yīng).而且注意到在相同的S情況下,半等邊三角形(等邊三角)的基態(tài)能量最高(最低),而等腰直角三角形的基態(tài)能量處于中間.這說明在三角形面積一定情況下,半等邊三角形(等邊三角形)的量子受限程度最高(最低).這一結(jié)果也可從對稱性方面獲得理解,通常量子結(jié)構(gòu)對稱性高(低)時,能量相對較低(高).等邊三角形有3條平面對稱軸,對稱性最高;等腰直角三角形有1條平面對稱軸,對稱性次之;而半直角三角形無平面對稱軸,對稱性最低.另外,發(fā)現(xiàn)半等邊三角形的ΔE1、ΔE2幾乎完全相等.對于等腰直角三角形與等邊三角,其ΔE2與ΔE1比值約為0.6與1.25.這些結(jié)論直接可從能級方程(6)、(10)與(14)中獲得.

表1 三種類型三角型量子結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)表

圖3 半等邊三角形(a)—(d)與等腰直角三角形(e)—(h)中電子基態(tài)與低激發(fā)態(tài)波函數(shù)分布圖

圖4 等邊三角形中對稱基態(tài)與低激發(fā)態(tài)(a)—(d)及反對稱的低激發(fā)態(tài)(e)—(h)電子態(tài)波函數(shù)分布圖

總之,基于一種非分離變量方法,我們得到了3種二維三角形量子結(jié)構(gòu)(半等邊三角形、等腰直角三角形與等邊三角形)中的解析精確的電子態(tài)波函數(shù)與能級方程.以典型的AIN半導(dǎo)體材料參數(shù)進(jìn)行了數(shù)值計算,討論了這些三角形量子結(jié)構(gòu)能級結(jié)構(gòu)與波函數(shù)分布特點.發(fā)現(xiàn)在相同截面積情況下,半等邊三角形的基態(tài)能量最高,等邊三角形的最低,而等腰直角三角形的基態(tài)能量處于中間.半等邊三角形電子波函數(shù)既不是對稱的,也不是反對稱的.等腰直角三角形的電子波函數(shù)分布表現(xiàn)出對稱性或反對稱性的特點.當(dāng)量子數(shù)為分?jǐn)?shù)時,等邊三角形的電子波函數(shù)有一條對稱軸;當(dāng)量子數(shù)為整數(shù)時,等邊三角形電子波函數(shù)有3條對稱性.等邊三角形對稱電子波函數(shù)關(guān)于對稱軸對稱,反對稱電子波函數(shù)關(guān)于對稱軸反對稱.本文的研究結(jié)果不僅豐富和補(bǔ)充了量子力學(xué)中二維可解勢的理論模型,還可用于進(jìn)一步研究這些三角形截面量子結(jié)構(gòu)的光電子特性[6-8,10,11].