鄭洽好,黃瑞軒,校 媛,盧榮德

(1. 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 少年班學(xué)院,安徽 合肥 230026;2. 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 計算機科學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230026;3. 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 臨床醫(yī)學(xué)院,安徽 合肥 230026;4. 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 物理學(xué)院,安徽 合肥 230026)

阿拉果圓盤實驗是多年來吸引人們的電磁阻尼與驅(qū)動的實驗之一.該實驗展示了電與磁之間的密切關(guān)系,阿拉果于1825年為此獲得Copley獎,可堪稱為19 世紀(jì)原創(chuàng)性實驗之一:在運動和變化中產(chǎn)生的電磁感應(yīng)效應(yīng)[1].阿拉果圓盤實驗已在大學(xué)物理中提供有效的教學(xué)價值.在大學(xué)物理入門課程中,一般是先介紹電,再介紹磁.通過證明沿著長導(dǎo)線的電流會在導(dǎo)線周圍產(chǎn)生磁場即安培定律,從而引入了磁與電密切相關(guān)的觀點;法拉第的實驗進(jìn)一步表明,變化的磁通量產(chǎn)生感應(yīng)電動勢[2].大多數(shù)工科專業(yè)的學(xué)生在大學(xué)物理入門課程和后續(xù)專業(yè)基礎(chǔ)課程中了解到電磁阻尼與驅(qū)動過程.稍后,他們還將在后續(xù)專業(yè)基礎(chǔ)課程中學(xué)習(xí)電機的特性等.

阿拉果圓盤實驗是旋轉(zhuǎn)的磁體在圓盤中感應(yīng)出電流,從而產(chǎn)生了與磁針或磁體相互作用的磁場,電磁阻尼與驅(qū)動效應(yīng)[1,3]可重復(fù)性強.因此,該實驗可在大學(xué)物理教學(xué)中是一個很好的交叉學(xué)科應(yīng)用案例,它銜接了物理和工科專業(yè)教育[4,5].由于此實驗可使用現(xiàn)代一些電機、電表輕松構(gòu)建,因此可布置給學(xué)生制作項目或在實驗室中作為大學(xué)物理實驗設(shè)計與探究.既可為非工科專業(yè)學(xué)生的大學(xué)物理課程中引入電磁概念[5],也可作為課堂演示和設(shè)計與制作實驗,以激發(fā)大學(xué)生對科學(xué)的興趣.

阿拉果圓盤實驗的數(shù)學(xué)描述和模擬結(jié)果是多學(xué)科優(yōu)質(zhì)案例[6,7].本文擬用適合于本科生的水平進(jìn)行定量描述,而相較于其他的阿拉果圓盤實驗的不同或改進(jìn)之處:基于單極電機結(jié)構(gòu),采用電刷與靈敏電壓表的接腳通過槽來限定軌跡,創(chuàng)意設(shè)計與制作更便于演示實驗并拓展為可定量分析的儀器,以磁針與圓盤轉(zhuǎn)速及其關(guān)系探究實驗作為案例.為了滿足大學(xué)物理教學(xué)目的,我們還為現(xiàn)代模式的阿拉果圓盤實驗選擇了可置換不同金屬材料圓盤或絲網(wǎng)的便捷模式,利于課堂與實驗教學(xué)中使用與推廣.

1 經(jīng)典模式的回顧

首先回顧一下經(jīng)典阿拉果圓盤實驗.1825 年,法國的Francois Arago通過圖 1 所示實驗裝置發(fā)現(xiàn)了一種神秘的效應(yīng),當(dāng)時稱之為“自轉(zhuǎn)磁力”.在實驗中,他在圓形銅盤上方借助一根無扭線懸掛了一根磁針,皮帶轉(zhuǎn)輪可旋轉(zhuǎn)圓盤.他注意到轉(zhuǎn)動圓盤會影響磁針向同一方向轉(zhuǎn)動.如果圓盤的旋轉(zhuǎn)速度足夠快,磁針就會略有滯后且連續(xù)旋轉(zhuǎn)[8].

圖1 經(jīng)典的阿拉果圓盤實驗裝置

在倫敦的查爾斯·巴貝奇 (1792～1871) 和約翰F W 赫歇爾 (1792～1871) 很快注意到了阿拉果的相同現(xiàn)象,他們做了一個反向?qū)嶒瀃9].他們通過旋轉(zhuǎn)放置在下方的磁鐵來旋轉(zhuǎn)一個保持水平的銅盤,該銅盤繞中心旋轉(zhuǎn).由于附近磁鐵的運動,導(dǎo)電的非磁性材料中產(chǎn)生了某種形式的磁性.勿容置疑,旋轉(zhuǎn)的磁鐵在圓盤中感應(yīng)出電流,從而產(chǎn)生了與磁針或磁鐵相互作用的磁場.阿拉果圓盤實驗由Faraday將其升華到“電磁感應(yīng)”理論高度,而羅蘭圓盤實驗則常用于解釋星球自旋的生磁現(xiàn)象,即所謂“發(fā)電機”的生磁原理.

2 現(xiàn)代模式的模擬與設(shè)計

隨著現(xiàn)代技術(shù)的發(fā)展,直流電機、電刷和電表可便捷獲取,因此可對經(jīng)典阿拉果圓盤實驗進(jìn)行重新設(shè)計與制作,簡易搭建現(xiàn)代模式的阿拉果圓盤實驗裝置,便于對其進(jìn)行深層次探究.

2.1 磁場的模擬

首先模擬外磁場的情況:該實驗中,外界磁場為小磁針?biāo)a(chǎn)生的磁場,可近似認(rèn)為是磁偶極子在r處產(chǎn)生磁場,而在r′處圓形載流導(dǎo)線回路可近似為如圖2所示的一個磁偶極子,在線徑可略導(dǎo)線上,載流導(dǎo)線微元dl′線電流I近似為原電流I0.

圖2 等效模型示意圖

該z軸方向面積S磁偶極子的偶磁矩μ為

μ=I0S=I0Sez

(1)

該磁偶極子在r處產(chǎn)生磁矢勢為A(r),則

(2)

又因為

(3)

所以

(4)

半徑R圓盤在柱坐標(biāo)系(r′,φ′,z)下表示為

r′=R(icosφ′+jsinφ′)

(5)

dl′=dr′=(-isinφ′+jcosφ′)dφ′

(6)

于是球坐標(biāo)系(r,θ,φ)下表示為

(7)

所以磁矢勢為

(8)

式中er、eθ為為基矢.則球坐標(biāo)系(r,θ,φ)下磁感應(yīng)強度為

(9)

其中μ0為真空磁導(dǎo)率,磁偶極矩μ是沿z軸方向,如圖3所示,利用計算機模擬該磁場的三維立體分布情況.

圖3 計算機模擬該磁場的三維立體分布散點圖

2.2 感應(yīng)電流的產(chǎn)生

如圖4(a)所示銅圓盤可分割成無數(shù)個銅圓環(huán),從而探究其產(chǎn)生感應(yīng)電流[9].由于小磁針磁場是軸對稱分布,穿過圓盤磁通量Φ保持不變,感應(yīng)電動勢ε為

圖4 構(gòu)建的模型及積分示意圖

(10)

因無感應(yīng)電動勢出現(xiàn),即

ε=∮E·dl′=0

(11)

說明無渦旋電場E出現(xiàn),與實驗結(jié)果不符合.

可將圓盤近似分解為無數(shù)個銅棒,每個銅棒上都有感應(yīng)電動勢產(chǎn)生,其中某個與磁鐵夾角α的銅棒離小磁針r處產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為

(12)

其中B(r,α)為小磁針在(r,α)處的磁感應(yīng)強度,r′為銅棒離轉(zhuǎn)心的位矢.該式表明:某銅棒上有且僅有磁感線穿進(jìn)(穿出), 因此感應(yīng)電流也是一側(cè)流入一側(cè)流出的.可認(rèn)為轉(zhuǎn)速為ωt圓盤變速過程是準(zhǔn)靜態(tài)的,即每個階段有一個固定的角速度ω0,即

ωt≡ω0

(13)

故如圖4(b)所示某銅棒,有

|Δε(r,α)|≠0

(14)

為此可說明確有沿著徑向流動電流,且徑向電流產(chǎn)生的磁場在水平方向上的分量都是同向的,從而對小磁針產(chǎn)生了一個轉(zhuǎn)動力矩,使小磁針發(fā)生了旋轉(zhuǎn).根據(jù)巴比奇和赫歇爾發(fā)現(xiàn)的銅盤割裂效果,可推測圓盤的真實結(jié)構(gòu)應(yīng)當(dāng)是上面兩種情況的疊加.半徑R銅圓環(huán)既然不參與感應(yīng)電流的形成,而參與導(dǎo)體回路的形成,在這個模型中也是至關(guān)重要的.

下面可定量計算感應(yīng)電動勢Δε(r,α),計算過程中用到的物理量,如圖4(c)所示.

(15)

圖5 (a) 圓盤中某棒上電勢隨r的分布曲線; (b) 圓盤中某一棒的電動勢隨α變化的模擬曲線

2.3 轉(zhuǎn)動力矩及轉(zhuǎn)速

將電動勢近似為均勻分布,可簡化模型為無限長導(dǎo)線,即一段長為h′銅棒所產(chǎn)生磁場磁感應(yīng)強度

(16)

其中Re是材料電阻,由磁荷觀點,可得到位于rmag轉(zhuǎn)動力矩

(17)

這僅是正下方一根銅盤產(chǎn)生的效應(yīng),若要考慮到其他銅盤共同的效應(yīng),μ為磁偶極矩,則應(yīng)計算一個復(fù)雜的積分.但是該積分結(jié)果形式與ΔM相同,可以X代替積分因子,總的力矩形式上記為

(18)

由前面對感應(yīng)電動勢的計算,可知當(dāng)小磁針性質(zhì)、位置不變時,感應(yīng)電動勢僅與圓盤角速度ω和所處位置α有關(guān).若考慮一側(cè)的電動勢總和,也要涉及到一個復(fù)雜的角度積分,且形式也不改變,則該力矩表達(dá)式為

M=Zωeθ

(19)

Z是常系數(shù),可得運動方程:

(20)

這里設(shè)ωt是小磁針的轉(zhuǎn)速,J是小磁針的轉(zhuǎn)動慣量.為考慮之后的運動,可用相對運動的觀點,可得適用于全程運動方程:

(21)

該方程表明,小磁針角速度ωt的變化始終落后于圓盤角速度ω變化(在準(zhǔn)靜態(tài)過程下),說明電磁感應(yīng)理論能正確地說明小磁針的滯后效應(yīng).

3 現(xiàn)代模式實驗裝置的制作與應(yīng)用

基于以上模擬分析,有2種簡捷設(shè)計與制作.

3.1 單極電機結(jié)構(gòu)的制作

單極電機的結(jié)構(gòu)可抽象為如圖6所示的電路.在理想的對稱情況下,兩側(cè)支路將通過相等電流I,外界磁場為B(r)是非均勻的,在矢徑r0處產(chǎn)生的磁場為B(r0),這個磁場將對該處電流元產(chǎn)生一個安培力,其大小為

圖6 (a) 單極電動機的構(gòu)造; (b) 基于Python實現(xiàn)的磁偶極子磁場平面分布; (c) 單極電機結(jié)構(gòu)裝置的制作

dF(r0)=Idl′×B(r0)

(22)

由于兩側(cè)電流方向相同,而磁力線對稱分布,由矢量的運算反對稱性,這個磁場在兩側(cè)產(chǎn)生的安培力大小相等、方向相反,其表征力為FA.這2個安培力對半徑為R線圈產(chǎn)生同方向的轉(zhuǎn)動力矩M=R×FA,因此可驅(qū)動線框旋轉(zhuǎn).

在現(xiàn)實情況下,由于存在摩擦力與阻力矩Mf,這個力矩與轉(zhuǎn)速相關(guān),當(dāng)2M接近于Mf時,根據(jù)轉(zhuǎn)動定律

Jα=2M-Mf

(23)

其中J是線圈的轉(zhuǎn)動慣量,可知線圈的轉(zhuǎn)速將趨于穩(wěn)定.該過程因為產(chǎn)生焦耳熱而消耗電池能量,線圈轉(zhuǎn)速會逐步減弱,而在穩(wěn)定后較短時間內(nèi)仍可認(rèn)為線圈做勻速圓周運動.由于搭建單極電機的材料除磁鐵外都不具有磁性,實驗所用電池,除了兩端電極之外不含金屬導(dǎo)體,因此對原磁場產(chǎn)生的影響可略.

所用電池參數(shù)顯示,正常短路電流約在6～12 A,由安培環(huán)路定理,該電流I在r處產(chǎn)生磁場為

(24)

這個磁感應(yīng)強度在10-3m內(nèi)將衰減至10-3T.實驗前用精密高斯計測得磁鐵在電機所處空間范圍內(nèi)所產(chǎn)生磁感應(yīng)強度約為10-1～10-2T ,因此電流產(chǎn)生磁場對原磁場的分布影響在建模時也可略.

不妨把磁鐵看成磁偶極子,可用磁荷的觀點,可類推出磁偶極子r處的磁感應(yīng)強度B表達(dá)式為

(25)

用計算機模擬可得出這個磁場分布,如圖6(b)所示.設(shè)線圈半徑為R,線圈離磁體高度為H,其中的電流為I,則在柱坐標(biāo)系中一側(cè)線框受到力矩為

(26)

其中

合力矩為M,由

Jβ=2M-Mf

(27)

其中Mf為摩擦力與阻力產(chǎn)生的力矩,聯(lián)立可給出轉(zhuǎn)動加速度β.

實驗過程中無豎直方向安培力存在,由于摩擦力存在.因此可認(rèn)為

(28)

摩擦力矩近似為常量,因此轉(zhuǎn)速ω的線圈將做加速運動.受電磁感應(yīng)等效應(yīng)的影響,B和導(dǎo)線中I要發(fā)生變化.當(dāng)β=0時,開始做勻速轉(zhuǎn)動.

3.2 實驗裝置的制作與探究

根據(jù)前面的實驗,基于單極電機結(jié)構(gòu)利用阿拉果圓盤可制作電磁感應(yīng)演示儀.如圖7(a)所示,用塑料盒將馬達(dá)、可置換不同材料的圓盤和傳動裝置封裝,靈敏電壓表和圓盤用電刷連接.實驗時,電源開啟,此時磁針與旋轉(zhuǎn)的圓盤相對運動,圓盤內(nèi)形成徑向電流,可觀察到靈敏電壓表發(fā)生偏轉(zhuǎn),可定量驗證電磁感應(yīng)現(xiàn)象.電刷與靈敏電壓表的接腳通過槽來限定軌跡,還以轉(zhuǎn)速表、轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)器定量驗證可置換不同材料的阿拉果圓盤相對磁場運動時,定量檢測其徑向電流.實驗裝置示意如圖7(b)所示.

圖7 (a) 演示模型圖; (b) 實際實驗裝置圖

以磁針與圓盤轉(zhuǎn)速及其關(guān)系探究實驗作為案例,如表1數(shù)據(jù).

表1 磁針與圓盤轉(zhuǎn)速的實驗數(shù)據(jù)(圓盤轉(zhuǎn)速為ω0,磁針轉(zhuǎn)速為ωt,單位rad/min)

如圖8所示磁針轉(zhuǎn)速擬合曲線ωt=ω0(1-e-1.03t)說明磁針轉(zhuǎn)動滯后特點,即磁針會跟隨著圓盤轉(zhuǎn)動,但稍有落后.考慮到實際過程中還存在空氣阻力與電刷的摩擦力及其扭轉(zhuǎn)張力影響,從而圓盤設(shè)定轉(zhuǎn)速也有局部小范圍偏低.從實驗結(jié)果來看,銅盤轉(zhuǎn)速局部抖動對磁針轉(zhuǎn)速幾乎沒影響,所以設(shè)定轉(zhuǎn)速的銅盤(圖中虛線)可使磁針異步轉(zhuǎn)動.

圖8 磁針與圓盤轉(zhuǎn)速及其關(guān)系的實驗曲線

在建模時曾推測,阿拉果圓盤可置換不同模式的絲網(wǎng)模型[9].若要深層次探究,可嘗試制作不同材料絲網(wǎng)模型,用不同材料的絲網(wǎng)模型來置換阿拉果圓盤,用靈敏電壓表檢測各種現(xiàn)象是否出現(xiàn),以此來驗證可能出現(xiàn)的非恒定的阻尼與驅(qū)動效應(yīng).

4 結(jié)束語

本文回顧了阿拉果圓盤在經(jīng)典模式下的工作原理,將其簡化為旋轉(zhuǎn)圓盤和磁針的效果.我們描述了徑向感應(yīng)電流驅(qū)動過程,這是大學(xué)物理入門課程中的典型問題之一.通過求解電流的安培定律,我們發(fā)現(xiàn)運動方程似乎是渦流驅(qū)動效應(yīng)[10].根據(jù)所獲得的結(jié)果,置換不同材料的絲網(wǎng)模型進(jìn)行驗證,我們可拓展為一種用于定量分析不同材料的絲網(wǎng)中徑向電流分布的實驗儀器.

對于現(xiàn)代模式的阿拉果的圓盤實驗,我們使用了簡捷的設(shè)計來傳遞安培定律、法拉第定律、直流電機、電刷和轉(zhuǎn)速計的核心概念.實踐表明,使用相對運動可顯著提高阿拉果圓盤的效果.電機具有非?？斓捻憫?yīng)時間[10].在現(xiàn)代模式的阿拉果圓盤實驗中,它們被用作快速直觀的便攜式演示,并且由于電機是許多工業(yè)設(shè)備的關(guān)鍵部件,為后續(xù)課程可持續(xù)學(xué)習(xí)提供有益的教學(xué)價值.許多工科學(xué)生在課程中會遇到工業(yè)設(shè)計中的電機.因此,現(xiàn)代阿拉果圓盤實驗是大學(xué)物理教學(xué)的一個交叉學(xué)科案例,因為它結(jié)合了物理學(xué)和電氣工程的概念,適合于大學(xué)物理教學(xué)中推廣應(yīng)用.