傅瑞琦

(金華市教育教學研究中心,浙江 金華 321000)

為實現(xiàn)核心素養(yǎng)導向的教學目標,整體把握教學內容之間的關聯(lián),幫助學生建立能體現(xiàn)數(shù)學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數(shù)學知識體系[1],要改變過于注重以課時為單位的教學設計,推進單元整體教學.“單元—課時”教學設計是在單元教學設計的基礎上,給出課時教學設計,以充分體現(xiàn)教學的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性和思維的系統(tǒng)性[2],體現(xiàn)數(shù)學知識之間的內在邏輯關系,以及學習內容與核心素養(yǎng)表現(xiàn)的關聯(lián).

“一次函數(shù)”是浙教版《義務教育教科書·數(shù)學》(以下統(tǒng)稱“教材”)(八年級上冊)第五章的內容,是學生學習函數(shù)概念后學習的第一個特殊函數(shù).畫出函數(shù)圖象這一數(shù)形結合活動,是認識函數(shù)概念、發(fā)現(xiàn)函數(shù)性質、理解函數(shù)本質的重要環(huán)節(jié).如何通過畫函數(shù)圖象從整體與結構上認識函數(shù)要素之間的關聯(lián),從而培養(yǎng)幾何直觀?筆者以“一次函數(shù)的圖象”為中心課時,探討基于幾何直觀的“單元—課時”的教學設計,引導學生感悟數(shù)學思想方法,理解數(shù)學本質.

1 單元內容、目標及解析

函數(shù)主要研究變量之間的關系,表達現(xiàn)實世界事物的簡單規(guī)律,是第4學段(7～9年級)“數(shù)與代數(shù)”的核心內容,對高中進一步學習函數(shù)具有“腳手架”的作用.每一類特殊函數(shù)都隸屬于“函數(shù)”大單元,不同函數(shù)之間都存在一些必然的、邏輯上的聯(lián)系,將它們整體看待更能體現(xiàn)知識內容的整體性、思想方法的一致性,為學生整體把握知識、提升素養(yǎng)提供了載體.

1.1 單元內容及解析

函數(shù)是學生學習“數(shù)與式”“方程與不等式”后學習的第3個主題,其單元知識結構圖如圖1所示,圍繞函數(shù)的要素(對應關系),形成“引入變量—對應關系—畫出圖象—探究性質—解決問題”的學習結構,即從問題情境中抽象概括函數(shù)概念,借助在直角坐標系中的描點,理解函數(shù)圖象與表達式的對應關系,直觀得出性質,在應用中感悟函數(shù)本質,增強幾何直觀,發(fā)展應用意識.

圖1

1.2 單元目標及解析

目標1 經(jīng)歷從問題情境中發(fā)現(xiàn)變量之間的數(shù)量關系獲得研究對象的過程,通過“觀察、分析、概括”獲得函數(shù)概念,體悟相關函數(shù)概念獲得的一般方法.

達標標志 通過對兩個變量對應關系的分析,表述概念.

目標2 經(jīng)歷從函數(shù)表達式出發(fā),通過“列表、描點、連線”探究圖象的類型,會畫3種函數(shù)的圖象,知道它們的整體特征、變化規(guī)律,獲得函數(shù)性質.

達標標志 描點畫出函數(shù)圖象,能通過觀察、分析、歸納得出圖象性質,結合圖象對函數(shù)關系進行分析.

目標3 能用函數(shù)相關知識解決簡單實際問題,掌握其學習路徑,形成結構化的知識體系,進一步發(fā)展模型觀念、抽象能力、幾何直觀和推理能力.

達標標志 能從實際問題中建立函數(shù)模型,利用函數(shù)有關知識解決問題,能梳理函數(shù)的學習思路,推廣、類比并規(guī)劃一個新函數(shù)的學習路徑.

2 課時教學設計

“單元—課時”教學設計是在整體分析教學內容和學生認知規(guī)律的基礎上,讓學生經(jīng)歷前后一致、邏輯連貫的完整學習過程.在宏觀層面上,筆者圍繞函數(shù)的要素,讓學生經(jīng)歷函數(shù)“畫出圖象—概括性質—解決問題”的學習過程;在微觀層面上,關注每一環(huán)節(jié),將之前學習函數(shù)獲得的方法遷移到新函數(shù)的學習中,深化知識結構.為此,筆者選擇函數(shù)圖象這一單元,規(guī)劃學習課時,選擇“一次函數(shù)的圖象”進行課時設計(見表1),重點關注幾何直觀的形成途徑.

表1 “一次函數(shù)的圖象”課時設計

2.1 課時教學目標

1)經(jīng)歷“取值列表、描點連線”得到一次函數(shù)圖象的過程,加深對函數(shù)概念的理解,感受變化與對應的數(shù)學思想;

2)會畫一次函數(shù)的圖象,了解其意義,會求一次函數(shù)的圖象與坐標軸的交點;

3)完善一次函數(shù)圖象的學習路徑,發(fā)展圖象獲得過程中的抽象能力,數(shù)與形關聯(lián)中的幾何直觀,觀察、歸納和論證過程中的推理能力.

2.2 教學重點和難點

重點 畫一次函數(shù)的圖象.

難點 學生能夠從感性角度接受“一次函數(shù)的圖象是一條直線”,但從理性角度接受,驗證圖象的完備性(在直角坐標系中滿足一次函數(shù)表達式的點在直線上)、純粹性(圖象上點的坐標滿足函數(shù)表達式),學生不容易理解其意義,這是本節(jié)課教學的難點.

3 教學過程設計

3.1 提出問題

問題1 在A型的彈簧下懸掛質量分別為1 kg,2 kg,3 kg,……的小球,記下彈簧長度(見表2).若小球的質量為2.5 kg,試求彈簧的長度.

表2 彈簧長度變化

師生活動 學生歸納,小球每增加1 kg,彈簧長度增加0.5 cm.當小球的質量為2.5 kg時,彈簧的長度為9+0.5×0.5=9.25(cm).

追問1 彈簧的長度y(cm)與小球的質量x(kg)之間是函數(shù)關系嗎?

師生活動 依據(jù)函數(shù)概念,關系式為y=0.5x+8,是一次函數(shù).

追問2 如圖2,若將各彈簧間隔相同距離擺放,觀察有什么特征?

圖2

設計意圖 在實驗情境中抽象出一次函數(shù)模型,直觀感受一次函數(shù)圖象.問題1的設問是基于圖象加密活動,讓學生感受點與點之間還有無數(shù)個點需要探究,體會學習函數(shù)圖象的必要性,為形成推理能力和抽象能力做準備.

追問3 聯(lián)系函數(shù)概念,將學習一次函數(shù)哪些內容?如何學習?

設計意圖 聯(lián)系圖象法的直觀優(yōu)點、學生已有的知識結構,提出學習函數(shù)圖象的必要性.圍繞函數(shù)圖象的組成要素(符合表達式的點),數(shù)形結合地研究函數(shù),形成函數(shù)的學習路徑.

3.2 探究圖象

問題2 什么是函數(shù)圖象?如何畫出函數(shù)y=kx+b的圖象?

師生活動 通過取值、描點和連線畫出圖象,采取特例研究的方法,如先畫y=2x,y=2x+2等的圖象來總結畫圖方法形成函數(shù)圖象的概念.

探究1 畫一次函數(shù)y=2x的圖象.

思考 該函數(shù)表達式有什么特征?根據(jù)這個特征思考如何取值,并猜想圖象特征.

師生活動 引導學生根據(jù)表達式的代數(shù)特征,猜想圖象的幾何特征.

追問1 根據(jù)表3的數(shù)據(jù)在圖3中描點,描出的這些點有什么特征?如何說明坐標滿足y=2x的點都在這條直線上?

表3 以x=0為基準左右對稱取值

圖3

1)當x=0時,y=0,圖象過原點;

2)當x,y的值同正或同負時,圖象過第一、第三象限;

3)當x=2時,y=4,或當x=-2時,y=-4,圖象關于原點對稱;

4)當x=1時,y=2,或當x=2時,y=4,函數(shù)值隨著x的增大而增大;

……

追問2y=2x的圖象一定是一條直線嗎?如何驗證?

師生活動 經(jīng)歷用幾何畫板軟件驗證的過程.一是驗證圖象的完備性,如圖4,在任意兩點之間作一點M(m,2m),說明滿足y=2x的點都在這條直線上;二是驗證圖象的純粹性,如圖5,在直線上取一點P(x,y),度量點的坐標滿足y=2x,說明直線上任意一點的坐標都滿足函數(shù)表達式.

圖4 圖5

設計意圖 借助特例y=2x,獲得“根據(jù)特征取值—描點—順次聯(lián)結—加密驗證”的圖象一般畫法.借助幾何畫板軟件進一步驗證圖象的完備性和純粹性,感悟思維的嚴密性,發(fā)展幾何直觀.

探究2 畫一次函數(shù)y=2x+2的圖象.

思考y=2x+2與y=2x在形式上有何聯(lián)系?根據(jù)這個關系如何取值?

師生活動 根據(jù)表4的取值描點后發(fā)現(xiàn),相同x值的對應點,函數(shù)y=2x圖象上的點都向上平移2個單位就是y=2x+2圖象上的點.

表4 以x=0為基準左右對稱取值

追問1 試猜想函數(shù)y=kx+b(其中k≠0)與函數(shù)y=kx的圖象關系?如何簡便地畫一次函數(shù)y=kx+b的圖象?你有什么經(jīng)驗?

師生活動 概括得出函數(shù)y=kx+b(其中k≠0)與y=kx的圖象是互相平行的直線.根據(jù)“兩點確定一條直線”,簡化畫函數(shù)圖象的方法.

設計意圖 通過列表、描點發(fā)現(xiàn)兩個圖象的平移關系,即函數(shù)y=kx+b的圖象可以轉化為函數(shù)y=kx的圖象,優(yōu)化畫圖過程,經(jīng)歷從特殊到一般,感受化歸轉化思想,進一步發(fā)展幾何直觀.

3.3 畫出圖象

問題3 在同一直角坐標系中畫出函數(shù)y=3x,y=-3x+2的圖象.

師生活動 畫出圖象(如圖6),為方便描點,取點的坐標盡可能是整數(shù).

圖6

追問1 試判斷點(-2,-6)是否在函數(shù)圖象上?

師生活動 方法1是把x=-2代入函數(shù)表達式求值,判斷y值是否為-6;方法2是由y=-6,得方程-6=3x和-6=-3x+2,求得解是否為-2.

追問2 如何求圖象與坐標軸的交點坐標?如何求兩條直線的交點坐標?

設計意圖 通過判斷點是否在函數(shù)圖象上,以及求交點坐標,體會點的坐標與函數(shù)表達式之間的關系、方程與函數(shù)的關聯(lián),進一步體會圖象的直觀作用以及數(shù)形結合的思想.

追問3 說一說“一次函數(shù)表達式”“函數(shù)圖象上的點”“函數(shù)圖象”之間的關聯(lián).

師生活動 引導學生總結,通過“一次函數(shù)表達式”取兩組對應值,描出兩點畫出直線(函數(shù)圖象),也可以在直線(函數(shù)圖象)上取兩點,求該“一次函數(shù)表達式”.

設計意圖 通過畫圖象后的解題反思,進一步領會“表達式、圖象上的點、圖象”之間的關聯(lián),自然引出待定系數(shù)法求函數(shù)表達式,完善研究函數(shù)的路徑.

3.4 問題解決

問題4 B型彈簧不掛小球時長6 cm,掛上小球后伸長的長度與所掛的小球質量成正比,掛上1 kg的小球彈簧的長度為6.9 cm.當用相同質量的小球時,該彈簧與問題1中A型彈簧的長度能否相等?

思考 你能通過畫圖象的方法判斷嗎?

師生活動 設彈簧的長度為y(cm),小球質量為x(kg),在圖7中畫出兩個函數(shù)的圖象,兩直線有交點,說明兩彈簧的長度能夠相等.

圖7

追問1 你能求兩直線的交點坐標嗎?其實際意義是什么?

設計意圖 通過畫圖象后進行判定,體現(xiàn)圖象的直觀性.用圖象知識解決問題,再一次體現(xiàn)圖象的意義和用處,發(fā)展幾何直觀和推理能力.

3.5 概括總結

問題5 通過本節(jié)課的學習,獲得了哪些新知?是按照怎樣的路徑研究?進一步將學習什么內容?

師生活動 引導學生通過小結,概括出知識結構圖.

設計意圖 將本節(jié)課的知識納入一次函數(shù)的知識結構中,指出進一步學習的內容和方向(圖象性質和應用),形成完整的知識體系,進一步完善學習路徑.

4 教學建議

函數(shù)的教學目標是要讓學生理解用函數(shù)表達變量關系的實際意義,體會建模思想;理解函數(shù)圖象與表達式的對應關系,增強幾何直觀;會用函數(shù)表達現(xiàn)實世界的變化規(guī)律,發(fā)展應用意識.

4.1 運用圖表體驗函數(shù)模型

圖表具有信息量大、整體性強、直觀明了等特點,常成為人們表達和交流的重要工具[3].因此,在一次函數(shù)的研究中,通過取值列表,一是感知變量的對應關系、函數(shù)表達式與圖象的關聯(lián);二是初步感知函數(shù)的性質、系數(shù)對圖象的影響等,如用點坐標的符號判斷圖象所經(jīng)過的象限;三是發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=2x與y=2x+2圖象間的平移關系,即研究函數(shù)y=kx+b的圖象可轉化為研究函數(shù)y=kx的圖象問題,體現(xiàn)化歸思想,為其他特殊函數(shù)圖象的研究提供路徑,發(fā)展基于圖表的幾何直觀.

4.2 數(shù)形結合發(fā)展推理能力

直角坐標系可以直觀描述函數(shù)兩個變量之間的對應關系,為數(shù)形結合提供邏輯基礎,通過數(shù)形結合活動幫助學生借助圖象的直觀,逐步形成代數(shù)形式的直觀,從而發(fā)展數(shù)學直覺.例如,y=2x的代數(shù)特征與函數(shù)圖象特征的關聯(lián),為“形”的角度研究函數(shù)提供基礎.求圖象的交點坐標,是用函數(shù)的觀點,即用圖象的直觀性來處理方程問題.又如,數(shù)(y=kx+b)與形(直線)的對應關系,斜率k相同的兩條直線可以互相平移等,形成從幾何變化的視角研究圖象、探索性質的思維,將抽象的邏輯推理體現(xiàn)在具體的圖象之中.關注基于代數(shù)的邏輯推理,基于圖象的函數(shù)想象,提升發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力,以及有邏輯地表達與交流的能力,促進推理能力的形成.

4.3 提煉路徑實現(xiàn)方法遷移

本單元主要研究對象是函數(shù),需要以一次函數(shù)的研究為起點,完善研究函數(shù)的途徑、依據(jù)、結果等,構成研究方法體系,為后續(xù)學習反比例函數(shù)、二次函數(shù)提供路徑.如圖8,在一次函數(shù)圖象的研究中,形成“一般描點法”到“方法優(yōu)化”的結構,應用該結構研究反比例函數(shù)圖象,并深化結構研究二次函數(shù)圖象.通過類比,進行前后連貫、邏輯一致的教學,幫助學生構建有序、系統(tǒng)的知識結構,促進知識與方法的遷移,以及幾何直觀等核心素養(yǎng)的形成.

圖8

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)[M].北京:北京師范大學出版社,2022.

[2] 章建躍.《普通高中教科書·數(shù)學(人教A版)》“單元—課時教學設計”體例與要求[J].中學數(shù)學教學參考(上旬),2019(8):14-16.

[3] 鮑建生,章建躍.數(shù)學核心素養(yǎng)在初中階段的主要表現(xiàn)之三:幾何直觀[J].中國數(shù)學教育(初中版),2022(7/8):3-9.