王玲謙, 周輝*, 陳漢明, 李紅輝

1 油氣資源與工程全國重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,CNPC物探重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,中國石油大學(xué)(北京), 北京 102249 2 中國石油東方地球物理公司物探技術(shù)研究中心, 涿州 072751

0 引言

地震反演作為地震勘探中重要的定量解釋手段,它利用地表觀測地震記錄和地震正演機(jī)制,預(yù)測地下介質(zhì)彈性參數(shù),根據(jù)反演得到的彈性參數(shù),可以進(jìn)一步獲得孔隙度、泥質(zhì)含量等巖石物理參數(shù)信息(宗兆云等, 2012; 汪玲玲等, 2017; 郭強(qiáng)等, 2017; 張凌遠(yuǎn)等, 2021; 印興耀等, 2020a; 劉軍等, 2022; 周林等, 2022; 陳國飛等, 2023).但是,地震反演具有嚴(yán)重的不適定性,主要表現(xiàn)為反演解的不唯一和不穩(wěn)定.為了獲得穩(wěn)定可靠的反演結(jié)果,通常采用正則化方法,使反演結(jié)果具有某種期望的特征.常用的正則化方法可以分為確定型和統(tǒng)計型兩類.在確定型正則化方法中,通過L2范數(shù)正則化獲得連續(xù)平滑的彈性參數(shù)反演結(jié)果(Tikhonov, 1963),全變分正則化獲得具有塊狀分布特征的地下彈性參數(shù)(Gholami, 2015),通過L1范數(shù)、Lp范數(shù)、L1-2范數(shù)重構(gòu)地下稀疏的反射系數(shù)序列進(jìn)行稀疏脈沖反演(Zhang et al., 2013; 曹靜杰, 2016; Wang et al., 2018).此外,近些年發(fā)展了許多自適應(yīng)的確定型地震反演方法,通過自適應(yīng)地提取構(gòu)造特征來約束反演結(jié)果(張宏兵等, 2007; She et al., 2018, 2019; 印興耀等, 2020b; Wang et al., 2021b).在統(tǒng)計型正則化中,基于貝葉斯理論,利用觀測記錄不匹配項構(gòu)建似然函數(shù),結(jié)合不同的統(tǒng)計模型來定量表示待反演參數(shù)的先驗(yàn)信息并用于地震反演,主要包括基于高斯分布的平滑模型反演、基于柯西分布的稀疏反射系數(shù)重構(gòu)、基于混合高斯分布的自適應(yīng)多巖相地震反演等(Buland and Omre, 2003; Grana and Rossa, 2010; Alemie and Sacchi, 2011; Grana et al., 2017; De Figueiredo et al., 2019).在確定型和統(tǒng)計型正則化中,大部分方法起源于信號和圖像處理,基于地震褶積正演模型的線性化假設(shè),這些方法可以很好地結(jié)合到地震反演問題中,并取得了預(yù)期的效果.但是,許多去噪方法非線性強(qiáng),難以靈活地應(yīng)用于地震反演.

在地震數(shù)據(jù)去噪的研究中,期望在不損害有效信號的同時,恢復(fù)出無噪聲干擾的地震記錄,為后續(xù)儲層預(yù)測提供可靠數(shù)據(jù)(劉洋等, 2017).在過去的幾十年里,學(xué)者們提出了許多去噪方法,利用地震記錄有效信號的可預(yù)測性,構(gòu)建預(yù)測濾波器來去除噪聲干擾,包括正向、反向預(yù)測技術(shù)(Wang, 1999)、f-x反褶積(Naghizadeh and Sacchi, 2012; 國朧予等, 2020)、t-x預(yù)測濾波(Abma and Clearbout, 1995)、非穩(wěn)態(tài)自動回歸(Yang et al, 2014; Wu et al., 2016)等.有學(xué)者研究利用統(tǒng)計信息去除地震記錄中的高斯白噪聲和脈沖噪聲的均值濾波方法(劉財?shù)? 2007; 劉洋等, 2011; 王偉等, 2012).基于分解的方法將含噪數(shù)據(jù)分解為不同成分,通過選擇信號的主要成分達(dá)到去除噪聲的目的,這些方法包括奇異值分解方法(Bai et al., 2018)、經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Chen et al., 2016)、連續(xù)小波變換(Mousavi et al., 2016a)、形態(tài)學(xué)分解(Huang et al., 2017)和低秩分解法(Kumar et al., 2015)等.基于稀疏變換的方法,首先將地震數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到稀疏域,通過閾值函數(shù)處理稀疏系數(shù),最后將稀疏系數(shù)反變換到時空域(Fomel and Liu, 2010; Yuan et al., 2015, 2017).稀疏變換方法可以分為解析法和學(xué)習(xí)方法兩種(Rubinstein et al., 2010).在解析法中,利用已知的數(shù)學(xué)性質(zhì)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,可以得到基于數(shù)學(xué)模型的解析解,這些數(shù)學(xué)模型包括傅里葉變換(Naghizadeh and Sacchi, 2012)、拉東變換(Xue et al., 2014)、小波變換(Mousavi and Langston, 2016)、曲波變換(Hennenfent et al., 2010; Zu et al., 2016)等.這些解析的稀疏變換具有高度的結(jié)構(gòu)化,并且可以快速地實(shí)現(xiàn),但缺乏適應(yīng)性,難以有效去除觀測數(shù)據(jù)的噪聲干擾.基于學(xué)習(xí)類的去噪方法采用機(jī)器學(xué)習(xí),從一系列樣本中訓(xùn)練數(shù)學(xué)模型.與解析方法相比,學(xué)習(xí)類方法可以自適應(yīng)提取有效信號的特征(Beckouche and Ma, 2014; Siahsar et al., 2017; Zu et al., 2019).

隨著地震去噪方法的不斷成熟,將其應(yīng)用到其他反問題的求解中,可以進(jìn)一步提高去噪方法研究的適用性和研究價值.近些年,已經(jīng)有許多將圖像處理中的濾波類方法應(yīng)用到地震反演問題的研究(She et al., 2018, 2019; Wang et al., 2021b; 王竟儀等, 2023).Dai等(2019)將保邊平滑濾波應(yīng)用到地震疊后波阻抗反演中,通過對每次迭代輸出的彈性參數(shù)模型進(jìn)行保邊平滑濾波,提高反演結(jié)果的穩(wěn)定性,并且凸顯出邊界信息.He等(2020)將塊排列平滑濾波應(yīng)用到多尺度彈性波全波形反演中,對每一次反演結(jié)果進(jìn)行采樣點(diǎn)重排列和分段平滑濾波,提高反演結(jié)果的抗噪性.Wang 等(2021a)推導(dǎo)出了塊排列平滑濾波的正則化形式,該正則化策略是線性的,與褶積正演模型結(jié)合,可以通過常用的迭代類算法進(jìn)行線性求解.雖然,許多去噪類方法已經(jīng)成功應(yīng)用到地震反演問題的求解中,但依舊存在許多問題.主要包括,很多去噪算法無法寫出具體的表達(dá)形式,而且迭代濾波的反演方法會使反演結(jié)果難以滿足觀測地震記錄.此外,雖然上述研究通過對一些現(xiàn)有去噪算法進(jìn)行調(diào)整,構(gòu)建了線性的正則化約束項,但不適用于非線性的濾波算法,不具備靈活性和通用性.

綜合去噪類算法引入到地震反演中的嘗試和存在的問題,本文提出一種去噪算法驅(qū)動的地震反演正則化方法,該方法可以將去噪算法靈活地結(jié)合到地震反演正則項的構(gòu)建中,通過限定去噪算法服從齊次性性質(zhì),直接推導(dǎo)出目標(biāo)函數(shù)的梯度形式,利用傳統(tǒng)的共軛梯度法進(jìn)行求解.由于該方法是以拉普拉斯正則化為基礎(chǔ),因此屬于確定型正則化方法.在模型測試和實(shí)際數(shù)據(jù)測試中,分別采用非局部均值濾波(Non-Local Mean, NLM)和字典學(xué)習(xí)(Dictionary Learning, DL)去噪算法,構(gòu)建相應(yīng)的正則項.在合成數(shù)據(jù)和實(shí)際數(shù)據(jù)測試中,與傳統(tǒng)的迭代濾波反演方法比較,證明所提出的去噪算法驅(qū)動的地震反演正則化方法的可靠性和實(shí)用性.

1 基本原理

1.1 疊后地震波阻抗反演

基于褶積正演模型,疊后觀測地震記錄y可以表示為

y=WDx,

(1)

(2)

其中,ρ(x)表示先驗(yàn)信息約束,λ表示超參數(shù),用于控制先驗(yàn)信息對反演結(jié)果影響的權(quán)重,反演結(jié)果具備的特征取決于先驗(yàn)約束ρ(x)的選取.因此,正則化項的確定一直是地震反演中備受關(guān)注的問題.目前常用的正則化方法包括平滑約束、全變分約束、稀疏約束等.基于反演結(jié)果偏差與真實(shí)模型呈正交關(guān)系的假設(shè)條件,本文采用拉普拉斯正則化,并將去噪算法作用后的結(jié)果作為真實(shí)模型,構(gòu)建去噪算法驅(qū)動的正則項:

(3)

其中,去噪算法f(g)應(yīng)用到待反演參數(shù)x上.該正則項正比于對數(shù)波阻抗x和去噪算法去除的殘差[x-f(x)].在目標(biāo)函數(shù)(2)中,通過求取目標(biāo)函數(shù)極小值確定反演結(jié)果,保證觀測記錄不匹配項和正則項之和最小.對于去噪算法驅(qū)動的正則項(3),要使得其數(shù)值較小,有兩種方式.一種是待反演參數(shù)x接近去噪處理后的結(jié)果f(x),即x≈f(x).另一種是反演結(jié)果的殘差[x-f(x)]與反演結(jié)果x的互相關(guān)較小.

為了便于后續(xù)目標(biāo)函數(shù)(2)的求解,本文基于去噪算法f(g)滿足齊次性條件進(jìn)行目標(biāo)函數(shù)的求取,即去噪算子滿足:

f(cx)=cf(x).

(4)

為了減弱齊次性條件的硬性約束,本文假設(shè)當(dāng)去噪算法在|c-1|≤ε時滿足等式(4),就認(rèn)為去噪算法具有齊次性,其中ε為較小的閾值,即當(dāng)c接近于1時滿足齊次性條件.該性質(zhì)用于目標(biāo)函數(shù)對反演的參數(shù)x的求導(dǎo)運(yùn)算.去噪算法作用后的結(jié)果f(x)對x的導(dǎo)數(shù)可以表示為

(5)

(6)

因此,去噪算法處理的結(jié)果f(x)可以表示為

(7)

1.2 目標(biāo)函數(shù)求解

結(jié)合目標(biāo)函數(shù)式(2)和去噪算法驅(qū)動的正則化項式(3),可以得到基于去噪算法正則化的目標(biāo)函數(shù):

(8)

該目標(biāo)函數(shù)的梯度為

(9)

基于去噪算法的齊次性式(7),目標(biāo)函數(shù)的梯度可以更新為

(10)

可以看到,基于去噪算法齊次性條件,簡化了原目標(biāo)函數(shù)的梯度求解,不需要對復(fù)雜、非線性的去噪算法求導(dǎo).目標(biāo)函數(shù)式(8)為常規(guī)的線性方程組的極小化問題,本文采用共軛梯度算法進(jìn)行求解,算法偽代碼如算法1所示.

1.3 性質(zhì)分析

去噪算法驅(qū)動的地震反演正則化方法,可以有效結(jié)合常規(guī)的去噪算法.當(dāng)去噪算法滿足齊次性條件時,可以利用梯度下降類算法直接求解.常規(guī)的去噪算法如均值濾波和保邊平滑濾波,采用固定窗長和權(quán)重系數(shù),屬于線性運(yùn)算,滿足齊次性性質(zhì),因此可以直接代入構(gòu)建的地震反演正則化項中.為了驗(yàn)證所提出方法的有效性,本文采用目前常用的非局部均值濾波(NLM)和字典學(xué)習(xí)(DL)去噪算法,并驗(yàn)證它們滿足齊次性性質(zhì).

非局部均值濾波方法采用變權(quán)重系數(shù)加權(quán)平均,屬于非線性濾波方法,需要進(jìn)一步證明其滿足齊次性條件.基于NLM的去噪算法可以表達(dá)為

f(x)=Q(x;σ)x,

(11)

其中,Q為濾波器的權(quán)重值,σ為濾波器的超參數(shù),用于控制局部彈性參數(shù)x的相似性對濾波器權(quán)重系數(shù)的影響.由于濾波器的權(quán)重系數(shù)與彈性參數(shù)x有關(guān),因此該去噪算法屬于非線性算法.欲獲得第j個采樣點(diǎn)的濾波結(jié)果,使用第i個采樣點(diǎn)處對應(yīng)的彈性參數(shù)值,其對應(yīng)的濾波器權(quán)重值為

(12)

其中,

(13)

(14)

其中,Rix為點(diǎn)i處對應(yīng)的數(shù)據(jù)塊,j為待求點(diǎn)位置,n表示濾波的采樣點(diǎn)個數(shù),標(biāo)準(zhǔn)化算子dj用于保證濾波的權(quán)重系數(shù)和為

(15)

若使NLM濾波算法滿足齊次性條件,需要滿足:

f(cx)=Q(cx;σ)(cx)=Q(x;σ)cx=cf(x),

(16)

即需要滿足:

Q(cx;σ)=Q(x;σ),

(17)

把比例算子c作用到待反演參數(shù)x上,公式(13)中的ei,j可以表示為

(18)

根據(jù)泰勒展開,分母可以近似表示為

(19)

將式(19)代入到式(18),式(12)中的Qi,j(x;σ)可以表示為

Qi,j((1+ε)x;σ)≈Qi,j(x;σ+δ)

(20)

其中Qi,j(x;σ)關(guān)于σ求偏導(dǎo),可以寫成:

(21)

將式(21)代入到式(20)可得:

(22)

根據(jù)式(19),將δ=-εσ代入式(22),可以得到:

(23)

Qi,j(cx;σ)≈Qi,j(x;σ),

(24)

近似滿足等式(17).因此,NLM去噪算法滿足齊次性條件.

基于字典學(xué)習(xí)正則化的地震反演方法,先利用測井?dāng)?shù)據(jù)訓(xùn)練更新得到字典,本文采用K-SVD和正交匹配追蹤(OMP)迭代的方法,獲得的字典記錄了地下構(gòu)造的局部特征,其示意圖如圖1所示.在通過測井?dāng)?shù)據(jù)x獲得字典時,為了提高字典學(xué)習(xí)的計算效率,并且提供充足的樣本,采用滑動窗將測井?dāng)?shù)據(jù)分割成塊的形式Rix,利用OMP計算波阻抗Rix在字典P下的稀疏表征Г,然后根據(jù)f(Rix)=P?；謴?fù)出待反演的結(jié)果,該步驟相當(dāng)于線性濾波,滿足齊次性條件.因此,對于字典學(xué)習(xí)算法只需要考慮基于OMP的稀疏表征是否滿足齊次性條件,求解該問題可以表示為

圖1 基于測井?dāng)?shù)據(jù)的字典學(xué)習(xí)示意圖Fig.1 Schematic diagram of dictionary learning based on logging data

(25)

其中β2為允許OMP重構(gòu)稀疏系數(shù)與原始波阻抗的偏差.基于OMP的稀疏重構(gòu)算法如算法2所示.雖然式(25)為非線性問題,但稀疏系數(shù)Г可以通過最小二乘法直接求解獲得,因此待反演波阻抗的稀疏表征過程滿足齊次性條件.

2 合成數(shù)據(jù)測試

為了證明去噪算法驅(qū)動的正則化方法的可靠性和實(shí)用性,本文將傳統(tǒng)的去噪算法與拉普拉斯正則化結(jié)合,分別構(gòu)造非局部均值濾波和字典學(xué)習(xí)正則項,并與常規(guī)的直接對反演結(jié)果迭代濾波的反演方法進(jìn)行對比.在合成數(shù)據(jù)測試中,利用合成數(shù)據(jù)所用子波進(jìn)行反演,將兩種基于去噪算法的正則化方法應(yīng)用于Marmousi模型的疊后波阻抗反演.在實(shí)際資料中,通過井震標(biāo)定提取的子波作為反演所用地震子波.為了定量表示反演結(jié)果的可靠性,采用均方根誤差衡量反演結(jié)果的精度:

(26)

基于褶積模型,采用主頻為30 Hz的雷克子波進(jìn)行正演模擬,得到無噪疊后觀測地震記錄,如圖2a所示,時間采樣間隔為1 ms.在觀測記錄中加入隨機(jī)噪聲,使其信噪比為2,如圖2b所示,以測試所提出方法的抗噪性.圖3a、b分別為Marmousi模型的真實(shí)波阻抗模型和初始模型,初始模型采用大小為181×181點(diǎn)的平滑窗得到.

圖2 模擬的觀測地震記錄(a) 無噪記錄; (b) 信噪比為2的含噪記錄.Fig.2 The synthesized observed seismic record(a) Thenoise-free data; (b) The noisy data with SNR=2.

圖3 真實(shí)模型和初始模型(a) 真實(shí)波阻抗模型; (b) 初始波阻抗模型.Fig.3 The true and initial models(a) The true acoustic impedance model; (b) The initial acoustic impedance model.

為了便于對比,本文將非局部均值濾波和字典學(xué)習(xí)算法引入到模型約束的迭代反演中,得到的反演結(jié)果如圖4a和圖5a所示.在迭代反演過程中,先通過模型約束得到初始反演結(jié)果,再對初步反演結(jié)果進(jìn)行濾波,得到的結(jié)果作為新的參考模型進(jìn)一步約束反演(She et al., 2018, 2019; Dai et al., 2019).分別將兩種去噪算法結(jié)合到拉普拉斯正則化中,得到的反演結(jié)果如圖4b和圖5b所示.理論上,迭代濾波反演沒有考慮反演結(jié)果正演合成記錄與觀測記錄的匹配問題.基于非局部均值濾波的方法,雖然可以有效消除反演結(jié)果中的小擾動,但是模糊了邊界等有用信息.而基于字典學(xué)習(xí)的迭代反演方法,雖然可以有效提取研究工區(qū)的局部構(gòu)造,但字典學(xué)習(xí)是在單道上進(jìn)行處理的,沒有充分利用觀測地震記錄的空間信息,因此橫向連續(xù)性較差,信噪比較低.相比之下,去噪算法驅(qū)動的正則化方法的反演結(jié)果,在保證高信噪比的同時,有效保護(hù)了邊界和斷層等信息.為了定量對比去噪算法驅(qū)動的正則化方法的反演效果,分別計算四種方法反演結(jié)果的均方根誤差,如表1所示.相比于傳統(tǒng)模型約束的迭代濾波反演策略,基于去噪算法的正則化方法反演結(jié)果精度更高.

表1 反演結(jié)果均方根誤差Table 1 Root-mean-square error of inversion results

圖4 基于非局部均值濾波的反演結(jié)果(a) 常規(guī)迭代濾波的反演結(jié)果; (b) 基于去噪算法正則化的反演結(jié)果.Fig.4 The inversion results by NLM filter(a) The conventional inversion result by iterative filtering; (b) The inversion result by denoising algorithm driven regularization.

圖5 基于字典學(xué)習(xí)的反演結(jié)果(a) 常規(guī)迭代濾波的反演結(jié)果; (b) 基于去噪算法正則化的反演結(jié)果.Fig.5 The inversion results by DL(a) The conventional inversion result by iterative filtering; (b) The inversion result by denoising driven regularization.

為了進(jìn)一步驗(yàn)證所提出正則化方法的反演效果,計算各個采樣點(diǎn)和CDP的反演結(jié)果與真實(shí)模型的相關(guān)系數(shù),如圖6所示.圖6a、b為基于NLM濾波算法的迭代濾波(NLM-Filt)和正則化方法(NLM-REG)的反演結(jié)果與真實(shí)模型的相關(guān)系數(shù),圖6c、d為基于DL去噪算法的迭代濾波(DL-Filt)和正則化方法(DL-REG)的反演結(jié)果與真實(shí)模型的相關(guān)系數(shù).可以觀察到,無論在不同CDP上還是采樣點(diǎn)上,對于相同的去噪算法,基于去噪算法正則化的反演結(jié)果精度高于迭代濾波方法.為了驗(yàn)證超參數(shù)λ對反演結(jié)果的影響,分別在非局部均值濾波正則化和字典學(xué)習(xí)正則化反演中測試不同λ的影響,如圖7a所示.超參數(shù)λ的選取決定了反演效果,當(dāng)λ過大時,使反演結(jié)果呈現(xiàn)出去噪算法期望的特征,卻難以準(zhǔn)確匹配觀測記錄,而λ過小時,會使反演結(jié)果更匹配含噪的觀測記錄,出現(xiàn)較大誤差.在模型測試和實(shí)際數(shù)據(jù)測試中,本文利用已知井?dāng)?shù)據(jù)確定λ的取值.此外,分別在不同信噪比的觀測資料下,本文測試了反演結(jié)果對觀測記錄噪聲的敏感性,不同信噪比觀測地震記錄的反演結(jié)果的RMSE如圖7b所示.去噪算法驅(qū)動的正則化方法不容易受到觀測記錄中噪聲的影響.為了檢驗(yàn)去噪算法正則化反演方法的收斂性,分別記錄了兩種去噪算法正則化的目標(biāo)函數(shù)值和反演結(jié)果的均方根誤差隨迭代次數(shù)的變化,示于圖8和圖9.可以看到,在反演過程中,目標(biāo)函數(shù)值和反演結(jié)果的均方根誤差逐漸減小,最終收斂到穩(wěn)定的值.

圖6 各采樣點(diǎn)和CDP反演結(jié)果與真實(shí)模型的相關(guān)系數(shù)變化 基于NLM去噪算法的(a)不同CDP和(b)不同采樣點(diǎn)的相關(guān)系數(shù)變化; 基于DL去噪算法的(c)不同CDP和(d)不同采樣點(diǎn)的相關(guān)系數(shù)變化.Fig.6 Correlation coefficients variation with sampling points and CDPs Correlation coefficients of inversion results by NLM (a) at different CDPs and (b) at different sampling points, DL (c) at different CDPs and (d) at different sampling points.

圖7 反演結(jié)果均方根誤差隨(a)超參數(shù)λ的變化和(b)信噪比的變化Fig.7 RMSE variation with (a) hyper-parameter λ and (b) SNR

圖8 基于非局部均值濾波正則化的(a)均方根誤差和(b)目標(biāo)函數(shù)值隨迭代次數(shù)的變化Fig.8 (a) RMSEand (b) objective function variation with iterations of NLM regularization

圖9 基于字典學(xué)習(xí)正則化的(a)均方根誤差和(b)目標(biāo)函數(shù)值隨迭代次數(shù)的變化Fig.9 (a) RMSE and (b) objective function variation with iterations of DL regularization

3 實(shí)際數(shù)據(jù)測試

為了驗(yàn)證去噪算法驅(qū)動的地震反演正則化策略在實(shí)際應(yīng)用中的效果,選擇OpendTects開源工區(qū)F3反演數(shù)據(jù)集中縱測線Inline=244過井(F06-1)剖面進(jìn)行疊后波阻抗反演.該工區(qū)地震記錄的時間采樣間隔為4 ms,通過井震標(biāo)定提取用于反演的地震子波.二維地震記錄剖面如圖10a所示,利用該工區(qū)測井?dāng)?shù)據(jù)和層位信息,通過低通濾波和內(nèi)插外推得到波阻抗初始模型,如圖10b所示.可以看到該地震剖面淺層信噪比較低,橫向連續(xù)性較差.本文分別測試非局部均值濾波正則化和字典學(xué)習(xí)正則化的反演效果,并與傳統(tǒng)的迭代濾波類方法進(jìn)行對比.

圖10 (a) 疊后地震記錄; (b) 波阻抗初始模型Fig.10 (a) The poststack seismic data; (b) Initial acoustic impedance model

圖11a、b分別為非局部均值濾波和正則化的反演結(jié)果.圖11a突出了低頻的構(gòu)造信息,卻嚴(yán)重降低了反演結(jié)果的分辨率.圖11b有效提高了反演結(jié)果的空間連續(xù)性和分辨率.字典學(xué)習(xí)迭代濾波算法反演結(jié)果(圖12a)由于是在單道上進(jìn)行的,往往表現(xiàn)出較差的空間連續(xù)性和較低的信噪比,而基于字典學(xué)習(xí)正則化的反演結(jié)果(圖12b)信噪比和分辨率相對更高.通過與位于CDP 88處的測井曲線(圖13)對比可以看到,反演結(jié)果與測井曲線匹配較好,存在的偏差主要由井震頻帶不匹配和井震標(biāo)定偏差造成.分別計算四種方法的反演結(jié)果與測井曲線的均方根誤差,如表2所示,可見,引入去噪算法正則化的反演結(jié)果與傳統(tǒng)迭代濾波方法相比精度較高,在剖面中有效提高了反演結(jié)果的空間連續(xù)性和分辨率.

表2 反演結(jié)果均方根誤差Table 2 Root-mean-square error of inversion results

圖11 (a) 基于非局部均值濾波的反演結(jié)果; (b) 基于非局部均值濾波正則化的反演結(jié)果; (c) 局部放大的基于非局部 均值濾波的反演結(jié)果; (d) 局部放大的非局部均值濾波正則化的反演結(jié)果Fig.11 The inversion results by (a) NLM filter and (b) NLM regularization; The local zoomed in results from (c) NLM filter inversion result and (d) NLM regularized inversion result

圖12 (a) 基于字典學(xué)習(xí)濾波的反演結(jié)果; (b) 基于字典學(xué)習(xí)正則化的反演結(jié)果; (c) 局部放大的基于字典 學(xué)習(xí)濾波的反演結(jié)果; (d) 局部放大的字典學(xué)習(xí)正則化的反演結(jié)果Fig.12 The inversion results by (a) DL filter and (b) DL regularization; The local zoomed in results from (c) DL filter inversion result and (d) DL regularized inversion result

圖13 反演結(jié)果與測井曲線對比(a) 非局部均值濾波正則化反演; (b) 字典學(xué)習(xí)正則化反演.Fig.13 The comparison between borehole data and inversion results(a) NLM regularization inversion;(b) DL regularization inversion.

4 討論

本文提出了一種如式(3)所示的去噪算法驅(qū)動的正則化方法,雖然成功推導(dǎo)出其對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)形式,可進(jìn)行最優(yōu)化求解.但從該式形式上看,該式起到的約束作用并不直觀.可以考慮其替代形式:

(27)

即期望反演結(jié)果同時滿足觀測地震記錄和去噪算法作用后的結(jié)果f(x).將該形式展開可以得到:

(28)

可以看到,替代形式的第一項等價于本文提出的正則化策略.但是,這種替代的導(dǎo)數(shù)形式會更加復(fù)雜,而且需要更多的近似條件才能直接寫出其對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)形式,因此會帶來更多誤差.

5 結(jié)論

本文提出了一種去噪算法驅(qū)動的地震反演正則化策略,利用相對成熟的去噪算法,構(gòu)建正則項,用于約束地震反演結(jié)果.通過構(gòu)建一種通用的正則化形式,只需要簡單地引入去噪算法,就可以構(gòu)建相應(yīng)的反演目標(biāo)函數(shù)并得到其梯度.本文首先推導(dǎo)了去噪算法正則化目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),并證明了傳統(tǒng)的非局部均值濾波和字典學(xué)習(xí)去噪算法滿足齊次性條件,可以直接求導(dǎo).在模型測試中,分別測試了兩種濾波類算法迭代反演和正則化反演.反演結(jié)果表明,基于去噪算法正則化的反演結(jié)果穩(wěn)定性和可靠性更高,隨著迭代的進(jìn)行,目標(biāo)函數(shù)逐漸收斂到穩(wěn)定的值,并且新提出的正則化策略可以采用傳統(tǒng)的共軛梯度法有效求解.實(shí)際資料測試也表明,基于去噪算法的正則化方法可以有效均衡反演結(jié)果的精度和空間連續(xù)性.

但是,本文只證明了非局部均值濾波和字典學(xué)習(xí)去噪算法滿足齊次性條件,將其結(jié)合到去噪算法驅(qū)動的正則化方法中,并在合成數(shù)據(jù)和實(shí)際數(shù)據(jù)反演中進(jìn)行了驗(yàn)證,后續(xù)可以進(jìn)一步將更復(fù)雜、有效的去噪算法(如卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)去噪方法)引入到本文所提出的正則化框架中,進(jìn)一步提高去噪算法驅(qū)動的正則化方法的適用范圍.