鄭繼會，王遠(yuǎn)路

（貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽 550025）

特征值問題有著重要的物理背景, 它在量子力學(xué)、流體力學(xué)、現(xiàn)代科技、工程等領(lǐng)域中都有廣泛應(yīng)用[1-5].目前已經(jīng)存在很多求解特征值問題的方法[6-11],如譜方法、有限元法和有限差分法,對于譜方法[12-15]，求解區(qū)域主要基于規(guī)則區(qū)域，如圓域、球域[16]、矩形或長方體域,例如文獻(xiàn)[17]中李艷琴等人用譜Galerkin 方法求解了矩形區(qū)域上的四階橢圓特征值問題以及文獻(xiàn)[18]中安靜提出了基于Legendre-Galerkin逼近的一種有效的譜方法求解Steklov 特征值問題;有限元方法的優(yōu)點是能夠容易處理并求解復(fù)雜區(qū)域上的問題，還易于編制大型通用計算軟件的優(yōu)點；但要獲得高精度的數(shù)值逼近, 通常的有限元方法需要大量的時間復(fù)雜度和存儲容量。對于有限差分法[19],其思想方法簡捷明了，用差商代替微商，格式構(gòu)造比較方便靈活。當(dāng)區(qū)域比較復(fù)雜時, 構(gòu)造差分格式通常是困難的。 因此,提出一種利用高斯譜配置法來計算任意凸四邊形區(qū)域上的二階橢圓特征值問題是有意義的。

本文提出了任意凸四邊形區(qū)域上二階橢圓特征值問題基于高斯點的一種有效的譜配置法。此方法首先利用等參變換將任意凸四邊形區(qū)域上的函數(shù)轉(zhuǎn)化為［-1,1］×［-1,1］上的函數(shù),然后由邊界條件，利用Legendre 多項式的性質(zhì)構(gòu)造一組有效的基函數(shù), 將逼近解由這組基函數(shù)展開。再次, 編程求解出每個基函數(shù)在這些高斯點處的節(jié)點值, 將離散格式推導(dǎo)為一個能夠有效求解的線性特征系統(tǒng)。 最后,我們給出了一些數(shù)值算例, 數(shù)值結(jié)果表明該方法是有效的和收斂的。

1 高斯配置法

針對一個模型，考慮二階橢圓特征值問題如下：

其中是一個正的常數(shù)。

為了保證凸區(qū)域上的等參變換是一對一的，變換的Jacobi 行列式需要滿足下列條件：

為了能夠使用[-1,1]上的正交多項式逼近，需要進(jìn)一步作坐標(biāo)變換：

有

同理：

從而(1)可化為如下的等價形式：

其中

2 算法的有效實現(xiàn)

在這一節(jié)，我們將描述算法的實現(xiàn)過程。首先，我們構(gòu)造逼近空間XN的一組基函數(shù)。令，其中Lk(t)為k 次Legendre多項式，則逼近空間XN 可表示為：

其中uij為展開系數(shù)。令

通過一系列的推導(dǎo)和整理得:

其中：

其中，

3 數(shù)值算例

為了表明算法的正確性和有效性，我們呈現(xiàn)了一系列數(shù)值算例，我們將在MATLAB平臺上進(jìn)行編程測試。

圖1 矩形區(qū)域

我們在表1 中列出了前四個特征值的數(shù)值結(jié)果。

表1 對于不同的N 前4 個特征值的數(shù)值結(jié)果

從表1 可以觀察到，當(dāng)N≥25 時，前四個特征值達(dá)到了至少10-13的精度。為了進(jìn)一步表明算法的收斂性，對于不同的N，將逼近特征值與精確特征值之間的誤差曲線在圖2 中被給出，圖2 也表明了我們的算法是收斂的。

圖2 逼近特征值與精確特征值之間的誤差曲線

圖3 一般的凸四邊形區(qū)域

表2 對于不同的N，前4 個特征值的數(shù)值結(jié)果

從表2 可以觀察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)N 大于等于30 時，前四個特征值至少達(dá)到了10-10的精度。進(jìn)一步為了表明該算法的收斂性，我們?nèi)=60 時的逼近解作為參考解，針對不同的N，在圖4 中畫出了數(shù)值特征值與參考解之間的誤差曲線圖，圖4 也表明了我們算法是合理的和收斂的。

圖4 逼近特征值與參考解之間的誤差曲線

4 結(jié)論

針對二階橢圓特征值問題，提出了任意凸四邊形區(qū)域上二階橢圓特征值問題基于高斯點的譜配置法。通過等參變換和仿射變換將任意凸四邊形區(qū)域變換到矩形區(qū)域［-1,1］2，再利用正交多項式逼近進(jìn)行編程求解。對于規(guī)則的矩形區(qū)域，數(shù)值特征值收斂很快，而且具有譜精度。對于不規(guī)則凸四邊形區(qū)域，由于在尖角處解的正則性較低，所以收斂速度要慢一些，因此本文提出的算法還可以利用譜元法進(jìn)一步改進(jìn)和優(yōu)化，但這是我們即將思考的研究方向。