高海燕，張 悅

（1.蘭州財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)學(xué)院；2.甘肅省數(shù)字經(jīng)濟(jì)與社會(huì)計(jì)算科學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，蘭州 730020）

0 引言

生產(chǎn)者價(jià)格指數(shù)（Producer Price Index，PPI）是衡量工業(yè)企業(yè)產(chǎn)品出廠價(jià)格變動(dòng)趨勢(shì)和變動(dòng)程度的指數(shù)，其變化情況既可以預(yù)測(cè)未來(lái)居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)（Consumer Price Index，CPI）的走勢(shì)，又可以在一定程度上反映生產(chǎn)領(lǐng)域的景氣程度，因此探究PPI的內(nèi)在變動(dòng)規(guī)律具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。目前，大多數(shù)關(guān)于PPI的研究是基于時(shí)間序列分析方法展開(kāi)的。例如，趙永興（2013）[1]利用EGARCH模型研究中國(guó)PPI 分類(lèi)指數(shù)的波動(dòng)情況；張立（2012）[2]基于向量自回歸模型研究生產(chǎn)者價(jià)格指數(shù)和居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系；喬寶華等（2021）[3]基于面板模型研究PPI上漲對(duì)我國(guó)工業(yè)經(jīng)濟(jì)的影響，并對(duì)如何有效推動(dòng)中國(guó)工業(yè)經(jīng)濟(jì)的穩(wěn)定發(fā)展給出建議；Tang等（2019）[4]提出了基于模糊信息?；腉A-SVR-ARIMA 混合模型，旨在解決PPI估計(jì)中的不精確問(wèn)題。上述針對(duì)離散數(shù)據(jù)的傳統(tǒng)多元統(tǒng)計(jì)分析方法未能充分挖掘數(shù)據(jù)的潛在信息。事實(shí)上，PPI是隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù)，可將其視為在離散時(shí)間點(diǎn)上具有特定結(jié)構(gòu)的函數(shù)曲線，即“函數(shù)型數(shù)據(jù)”。因此，可以從函數(shù)的視角出發(fā)來(lái)探究其內(nèi)在規(guī)律。

函數(shù)型數(shù)據(jù)分析（Functional Data Analysis，F(xiàn)DA）[5]將離散觀測(cè)值用函數(shù)曲線的形式表示，運(yùn)用函數(shù)曲線的研究方法剖析數(shù)據(jù)。然而，傳統(tǒng)方法在分析高頻數(shù)據(jù)時(shí)，可能存在維數(shù)高、噪聲大、數(shù)據(jù)缺失、離群點(diǎn)多等問(wèn)題，給統(tǒng)計(jì)分析帶來(lái)困難。FDA 方法將樣本數(shù)據(jù)背后的生成過(guò)程視為一個(gè)函數(shù)過(guò)程，可以克服高頻數(shù)據(jù)分析中遇到的上述問(wèn)題。從函數(shù)的角度出發(fā)，F(xiàn)DA不僅可以研究數(shù)據(jù)的相關(guān)性特征，還可以對(duì)數(shù)據(jù)的變化率（導(dǎo)數(shù)）以及變化規(guī)律（微分方程）等函數(shù)特征進(jìn)行研究。例如，王德青等（2021）[6]利用函數(shù)型數(shù)據(jù)建模思想構(gòu)建函數(shù)型金融狀況指數(shù)（Financial Conditions Index，F(xiàn)CI），以動(dòng)態(tài)、連續(xù)的視角測(cè)度FCI，展現(xiàn)了自2002 年以來(lái)中國(guó)金融整體形勢(shì)的動(dòng)態(tài)變化規(guī)律；王丙參等（2021）[7]運(yùn)用多元函數(shù)主成分分析法與保序主成分評(píng)價(jià)法研究中國(guó)31個(gè)省份的經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平，研究表明，中國(guó)各省份的經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平差異日漸縮小。因此，運(yùn)用FDA方法研究經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)，既有助于準(zhǔn)確掌握數(shù)據(jù)特征，又能夠很好地吻合實(shí)際數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)，具有一定的優(yōu)勢(shì)。

主微分分析（Principal Differential Analysis，PDA）是通過(guò)一個(gè)微分方程去擬合噪聲數(shù)據(jù)，以捕獲單個(gè)曲線的特征或曲線上特征變化的方法。在研究高維數(shù)據(jù)時(shí)，通過(guò)捕捉單個(gè)觀測(cè)對(duì)象的動(dòng)力學(xué)的重要特征，在他們內(nèi)部尋找估計(jì)方程的解的維度空間，以找到最佳描述數(shù)據(jù)的空間。用微分算子分析數(shù)據(jù)有許多優(yōu)點(diǎn)：一是對(duì)光滑函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，涉及速度與加速度，能夠?qū)?jīng)濟(jì)系統(tǒng)的變化進(jìn)行建模；二是很少有微分方程具有封閉的解析表達(dá)式，因此可從微分方程的數(shù)值解出發(fā)探討數(shù)據(jù)的特征。借助微分算子分析經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)，與限制在系統(tǒng)本身狀態(tài)的直接建模相比，可以涵蓋更廣泛的動(dòng)力學(xué)行為。

本文基于函數(shù)型數(shù)據(jù)分析方法對(duì)我國(guó)PPI進(jìn)行分析，克服了多元統(tǒng)計(jì)分析方法中沒(méi)有充分利用數(shù)據(jù)內(nèi)在信息的不足。首先，通過(guò)擬合函數(shù)法將離散數(shù)據(jù)擬合成勻滑曲線并探究其導(dǎo)數(shù)信息，進(jìn)而運(yùn)用相平面圖、主微分分析方法對(duì)PPI的動(dòng)態(tài)變化規(guī)律進(jìn)行研究，結(jié)果表明PDA方法能夠較好地刻畫(huà)中國(guó)PPI 的動(dòng)態(tài)演變規(guī)律和波動(dòng)特征；其次，通過(guò)對(duì)中國(guó)PPI 的季節(jié)變動(dòng)進(jìn)行深入分析，發(fā)現(xiàn)其呈現(xiàn)循環(huán)變動(dòng)的規(guī)律，具有一定的周期性；最后，為探究不同地區(qū)間PPI 的異同，基于PPI 變化速度，對(duì)中國(guó)31 個(gè)省份進(jìn)行函數(shù)型聚類(lèi)分析，結(jié)果表明我國(guó)不同地區(qū)的PPI具有顯著差異。

1 函數(shù)型數(shù)據(jù)和主微分分析模型

1.1 離散數(shù)據(jù)的函數(shù)擬合

函數(shù)型數(shù)據(jù)分析的關(guān)鍵是在離散時(shí)間點(diǎn){tj} 觀測(cè)一個(gè)連續(xù)可微的過(guò)程：

其中，{yj} 為觀測(cè)值序列，x(t)為潛在連續(xù)可微函數(shù)，εj為不可觀測(cè)的誤差成分。為保證擬合函數(shù)x(t)精確表示觀測(cè)值{yj}，通常使用最小二乘準(zhǔn)則刻畫(huà)擬合函數(shù)的準(zhǔn)確性；同時(shí)也要求擬合函數(shù)是勻滑的，因此將導(dǎo)數(shù)平方的積分作為粗糙懲罰項(xiàng)，以刻畫(huà)函數(shù)的光滑程度。因此，考慮以下擬合方程：

其中，Dk表示k階導(dǎo)數(shù)，λ為修勻參數(shù)，可通過(guò)廣義交叉驗(yàn)證準(zhǔn)則（Generalized Cross-Validation，GCV）得到。通常通過(guò)最小化式（2）獲得擬合函數(shù)x(t)。

1.2 主微分分析模型

在實(shí)際問(wèn)題中，為得到更準(zhǔn)確的擬合函數(shù)，通常利用某些具有特殊結(jié)構(gòu)的函數(shù)構(gòu)造粗糙懲罰項(xiàng)。對(duì)于函數(shù)x(t)，假設(shè)存在線性微分算子：

于是，相應(yīng)的微分方程為：

其中，I為單位算子；βj為Djx的系數(shù)，可以是常數(shù)，也可以是時(shí)間的函數(shù)。式（4）也可表示為零化的線性微分算子Lx=0，可以用其分析PPI的變化模式。為求解最優(yōu)擬合函數(shù)，用Lx平方的積分代替式（2）中的PENk(x)，即通過(guò)最小化式（5）來(lái)求解擬合函數(shù)x(t)。

在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的研究中，從輸入、輸出的視角出發(fā)，探尋經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的內(nèi)在運(yùn)行規(guī)律。設(shè)函數(shù)觀測(cè)對(duì)象xi,i=1,…,N及與其對(duì)應(yīng)的協(xié)變量函數(shù)fi,i=1,…,N，通過(guò)xi和fi來(lái)確定式（6）：

當(dāng)系統(tǒng)不存在強(qiáng)迫函數(shù)時(shí)，f(t)=0，此時(shí)的目標(biāo)在于尋找一個(gè)線性微分算子使其滿足線性微分方程Lxi=0,i=1,…,N。為此，需要估計(jì)m個(gè)權(quán)重系數(shù)函數(shù)βj,j=0,…,m-1，從而得到微分算子L。若要求微分算子L滿足Lxi=0，則可將Lxi看作式（7）的殘差：

基于殘差函數(shù)的范數(shù)平方和，構(gòu)建如下最小二乘準(zhǔn)則：

當(dāng)系統(tǒng)的強(qiáng)迫函數(shù)fi與輸出函數(shù)xi同時(shí)被觀測(cè)到時(shí)，求解非齊次方程Lxi=fi,i=1,…,N。此時(shí)，最小二乘準(zhǔn)則變?yōu)椋?/p>

本文在之后的研究中，僅考慮強(qiáng)迫函數(shù)為0的情形。

1.3 微分方程系數(shù)函數(shù)的估計(jì)

基于上文中的最小二乘準(zhǔn)則，估計(jì)微分算子中的權(quán)重系數(shù)函數(shù)βj(t),j=0,…,m-1。目前，最常用的估計(jì)權(quán)重系數(shù)函數(shù)的方法為逐點(diǎn)最小化法和共發(fā)函數(shù)型線性模型方法。然而，逐點(diǎn)最小化法要求逐點(diǎn)設(shè)計(jì)矩陣列滿秩。因此，這里采用共發(fā)函數(shù)型線性模型方法。假設(shè)已經(jīng)利用離散觀測(cè)序列{yj} 估計(jì)出擬合函數(shù)的前m階導(dǎo)數(shù)。設(shè)陣，回歸系數(shù)函數(shù)向量ω=(ω1(t),…,ωp(t))′是p維列向y(t)=(y1(t),…,yN(t))′，Z(t)為包含函數(shù)xij的N×p函數(shù)矩量，ε(t)為N次觀測(cè)誤差，從而共發(fā)函數(shù)型線性模型的矩陣形式為：

則加權(quán)正則化擬合準(zhǔn)則為：

在利用共發(fā)函數(shù)型線性模型估計(jì)微分方程的系數(shù)函數(shù)時(shí)，令p=m，取y(t)=Dmx(t)=(Dmx1,…,DmxN)′，ω(t)=β(t)=(β0(t),…,βm-1(t))′，則估計(jì)微分方程系數(shù)函數(shù)β(t)的共發(fā)函數(shù)型線性模型為：

將以上結(jié)果代入式（11），并最小化LMSSE(ω)，可得式（12）中權(quán)重系數(shù)β0(t),β1(t),…,βm-1(t)的估計(jì)。

在利用共發(fā)函數(shù)型線性模型估計(jì)微分方程的系數(shù)函數(shù)時(shí)，事先假定已經(jīng)估計(jì)出擬合函數(shù)的前m階導(dǎo)數(shù)Djxi。然而，已有研究表明，一旦估計(jì)出初始微分方程，就需要重新估計(jì)導(dǎo)數(shù)，可以通過(guò)使用相應(yīng)的線性微分算子來(lái)定義粗糙懲罰項(xiàng)[5]。為得到穩(wěn)定的導(dǎo)數(shù)估計(jì)值，需要多次重復(fù)上述步驟。事實(shí)上，這是一個(gè)迭代過(guò)程，PDA的具體過(guò)程（迭代算法）如下：

步驟2：利用初始擬合函數(shù)最小化式（8），得到微分算子的初始估計(jì)L1。

步驟3：令懲罰項(xiàng)為λ∫[L1xj(t)]2dt，最小化式（8），得到新的擬合函數(shù)。

1.4 相平面圖

在運(yùn)用函數(shù)型數(shù)據(jù)分析方法研究經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的過(guò)程中，可通過(guò)研究函數(shù)導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系來(lái)探究其動(dòng)態(tài)變化趨勢(shì)。因此，當(dāng)擬合函數(shù)勻滑時(shí)，將其一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)分別看作橫、縱坐標(biāo)，繪制相平面圖。從物理學(xué)的角度來(lái)看，一階導(dǎo)數(shù)代表速度，二階導(dǎo)數(shù)代表加速度，速度和加速度分別與物體運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能和勢(shì)能有關(guān)。因此，相平面圖既能反映研究系統(tǒng)中動(dòng)能和勢(shì)能的交替變化規(guī)律，又能反映函數(shù)曲線變化的速度與加速度之間的關(guān)系。

2 中國(guó)PPI的季節(jié)變動(dòng)特征分析

2.1 PPI函數(shù)型數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特征

本文對(duì)近年來(lái)的中國(guó)PPI 進(jìn)行研究。鑒于國(guó)家統(tǒng)計(jì)局于2011 年1 月實(shí)施新的工業(yè)生產(chǎn)者價(jià)格統(tǒng)計(jì)調(diào)查制度方法，故選取2011 年1 月至2021 年12 月中國(guó)PPI 的月度數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，數(shù)據(jù)來(lái)源于國(guó)家統(tǒng)計(jì)局官方網(wǎng)站。圖1呈現(xiàn)了中國(guó)PPI隨時(shí)間變動(dòng)的情況，可以看出，PPI具有明顯的周期性。

圖1 2011—2021年中國(guó)生產(chǎn)者價(jià)格指數(shù)

對(duì)PPI 序列進(jìn)行曲線擬合并修勻。本文選用5 階B-樣條基函數(shù)擬合函數(shù)曲線，節(jié)點(diǎn)為各年份的每個(gè)月份。由于基函數(shù)個(gè)數(shù)等于內(nèi)節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)與階數(shù)之和，而2011—2021年共有132個(gè)月，因此共有135個(gè)基函數(shù)。并采用粗糙懲罰法對(duì)擬合函數(shù)進(jìn)行修勻，以保證其光滑性，選取的修勻參數(shù)值λ=1e-5，繪制中國(guó)PPI 數(shù)據(jù)的擬合效果圖，如圖2 所示，圖中圓圈表示離散觀測(cè)值，實(shí)線為擬合曲線。從圖2 中可以看出，PPI 擬合曲線與離散觀測(cè)值的擬合程度較高，能夠反映PPI 隨時(shí)間變化的趨勢(shì)及重要特征。2011年夏季末至2012年夏季末，PPI有迅速下降的趨勢(shì)；2012年夏季末至2014年，PPI處于穩(wěn)定的波動(dòng)狀態(tài)，而2015年年末至2017年年初，PPI快速反彈；2017年至2020年，PPI 處于規(guī)律的波動(dòng)下降狀態(tài)；但是2020 年夏季初至2021 年年末，由于新冠肺炎疫情之后經(jīng)濟(jì)復(fù)蘇，PPI 又快速攀升，并在2021 年10月達(dá)到最大值。因此，PPI隨時(shí)間的變化具有明顯的周期性。

圖2 曲線擬合效果圖

為進(jìn)一步掌握中國(guó)PPI的變化特征及規(guī)律，本文引入數(shù)據(jù)特征的代表值：均值函數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差函數(shù)，利用MATLAB軟件繪制2011年1月至2021年12月這132個(gè)月中國(guó)PPI 的均值函數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差函數(shù)曲線，如圖3 所示?？梢钥闯?，PPI均值函數(shù)隨著時(shí)間的變化呈現(xiàn)周期性變化，平均波動(dòng)周期約為3～4年；PPI標(biāo)準(zhǔn)差函數(shù)在2021年之前呈現(xiàn)周期性波動(dòng)且總體上處于下降趨勢(shì)，這說(shuō)明PPI有一個(gè)較為穩(wěn)定的發(fā)展趨勢(shì)，在此期間中國(guó)經(jīng)濟(jì)市場(chǎng)不斷完善，生產(chǎn)領(lǐng)域經(jīng)濟(jì)較為樂(lè)觀，人們生活水平逐漸提高。

圖3 均值、標(biāo)準(zhǔn)差函數(shù)曲線

2.2 基于PDA的中國(guó)PPI的季節(jié)變動(dòng)特征

由PPI 的統(tǒng)計(jì)特征可知，PPI 具有明顯的周期性。因此，本文基于PDA方法研究2011—2021年中國(guó)PPI的季節(jié)變動(dòng)特征。圖2顯示，PPI數(shù)據(jù)的擬合曲線較為光滑，故可能存在一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，分別代表PPI的速度變化曲線和加速度變化曲線。從下頁(yè)圖4可以看出，PPI的變化速度及加速度曲線均呈周期性變化趨勢(shì)。加速度曲線基本處于規(guī)則的波動(dòng)狀態(tài)，而速度變化曲線波動(dòng)幅度較大。在2011年年末速度為最小值，這是因?yàn)?011年秋季歐債危機(jī)爆發(fā)，在之后的五年里，PPI雖然上下波動(dòng)，但總體上呈下跌趨勢(shì)，這對(duì)我國(guó)的經(jīng)濟(jì)造成了一定的影響；2017年和2021年P(guān)PI的變化具有較大的速度，這是因?yàn)?017年世界經(jīng)濟(jì)逐漸好轉(zhuǎn)，我國(guó)供給側(cè)結(jié)構(gòu)性改革持續(xù)深化，PPI結(jié)束了連續(xù)五年的下跌，2021 年由于新冠肺炎疫情的影響導(dǎo)致運(yùn)輸成本增加，在一定程度上帶動(dòng)了PPI的上漲。因此，PPI的速度與加速度變化趨勢(shì)與我國(guó)的經(jīng)濟(jì)狀況密切相關(guān)。

圖4 PPI擬合曲線的一階、二階導(dǎo)數(shù)

進(jìn)一步探索PPI的動(dòng)態(tài)變化模式。通過(guò)繪制PPI的相平面圖（見(jiàn)下頁(yè)圖5），探究PPI 變化速度與加速度的關(guān)系以及動(dòng)能與勢(shì)能交替變化的規(guī)律。圖5 中的1、2、3、4、5、6、7、8、9、O、N、D 分別對(duì)應(yīng)一年中的1 月至12 月，兩條相互垂直的虛線的交點(diǎn)為絕對(duì)零點(diǎn)，此點(diǎn)處PPI的速度和加速度都為零，標(biāo)志著PPI 在此點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能和勢(shì)能都為零。此外，曲線越靠近絕對(duì)零點(diǎn)，PPI變化的速度和加速度就越小，即曲線波動(dòng)的持久性和變化幅度就越弱。而相平面圖中曲線圍成的“圈”對(duì)應(yīng)擬合函數(shù)曲線中“波峰—波谷—波峰”的變化周期，圈的大小反映了PPI 在周期內(nèi)波動(dòng)的劇烈程度。由圖5 可知，各個(gè)年份PPI 的相平面圖都大致呈圓圈狀，具有顯著的季節(jié)特征。

圖5 2011—2021年中國(guó)PPI相平面圖

圖5（a）中，2011年P(guān)PI的相平面圖由一個(gè)半圈和一個(gè)小圈組成，小圈從1月開(kāi)始，途徑2至5月直到6月上旬結(jié)束，可以看到，該圈的軌道范圍比較小，且基本處于絕對(duì)零點(diǎn)附近，意味著PPI 在2011 年春季和夏季的變化幅度較小，處于略有波動(dòng)的平穩(wěn)狀態(tài)。PPI 的加速度自5 月開(kāi)始下降，在8月達(dá)到最小值，然后從8月又開(kāi)始上升，到年末上升趨勢(shì)減弱，達(dá)到最大值，這段時(shí)間的曲線軌跡處于垂直虛線的左邊區(qū)域，說(shuō)明在這段時(shí)間里，PPI變化的速度為負(fù)，處于負(fù)增長(zhǎng)狀態(tài)，稱(chēng)其為秋季和冬季的變化特點(diǎn)。因此，PPI 在2011 年呈現(xiàn)春季和夏季、秋季和冬季不同的變化特征。

圖5（c）中，2013 年的相平面圖大致呈一個(gè)“圓圈”形狀，PPI速度自1月起開(kāi)始下降，途徑2月，到3月中旬速度達(dá)到最小值，之后速度開(kāi)始增大，到5 月中旬速度由負(fù)變?yōu)檎?，則說(shuō)明PPI 從減少變?yōu)樵黾?，途?、7、8 月，到8 月達(dá)到速度最大值之后開(kāi)始放緩，但PPI 仍處于上升狀態(tài)，直到11 月PPI 速度由正變負(fù)，導(dǎo)致PPI 開(kāi)始下降，直到年末。并且從圖1可以看出，2013年P(guān)PI波動(dòng)幅度較小，因此其經(jīng)濟(jì)狀態(tài)可看作一般的經(jīng)濟(jì)狀態(tài)，即2013 年生產(chǎn)領(lǐng)域的經(jīng)濟(jì)狀況代表正常經(jīng)濟(jì)狀態(tài)下的物價(jià)變動(dòng)情況。由于在圖5(c)中四個(gè)季節(jié)分別位于以絕對(duì)零點(diǎn)為中心的四個(gè)不同的象限中，且在每個(gè)象限中速度和加速度分別有相應(yīng)的上升或下降的趨勢(shì)。因此，在一般的經(jīng)濟(jì)狀態(tài)下，一年內(nèi)PPI的變動(dòng)具有較強(qiáng)的季節(jié)特征。

由圖5（e）可知，2015年P(guān)PI整體呈下降趨勢(shì)，相應(yīng)地，其相平面圖基本處于垂直虛線的左側(cè)，除11、12 月外，一階導(dǎo)數(shù)均為負(fù)值。進(jìn)一步，將相互垂直的虛線看作平面直角坐標(biāo)系，1、2、3月位于第二象限，一階導(dǎo)數(shù)為負(fù)，二階導(dǎo)數(shù)為正且逐漸減小，這說(shuō)明PPI在春季呈下降趨勢(shì)；4月至7月中旬位于第三象限，在這一時(shí)間段里PPI的一階、二階導(dǎo)數(shù)均為負(fù)，且運(yùn)行軌跡自4 月開(kāi)始逐漸遠(yuǎn)離絕對(duì)零點(diǎn)，因此PPI 的變動(dòng)趨勢(shì)自4 月開(kāi)始逐漸增大；7 月中旬到10月中旬運(yùn)行軌跡又回到第二象限；10 月中旬之后曲線位于第一象限，此時(shí)間段PPI一階、二階導(dǎo)數(shù)均為正，運(yùn)動(dòng)軌跡遠(yuǎn)離絕對(duì)零點(diǎn)，PPI呈輕微上升趨勢(shì)。因此，2015年P(guān)PI也呈現(xiàn)較為明顯的季節(jié)變動(dòng)。

總的來(lái)說(shuō)，相平面圖可視化了PPI隨時(shí)間變化的季節(jié)變動(dòng)特征，不同年份的變動(dòng)趨勢(shì)存在差異。結(jié)合圖1和圖5 可以剖析PPI 波動(dòng)變化的原因。2011 年歐債危機(jī)爆發(fā)，股市出現(xiàn)熊市，油價(jià)下降，央行兩次降息，PPI降幅劇烈，圖5（a）顯示2011年下半年P(guān)PI的動(dòng)能一直為負(fù)值；2012年起全球經(jīng)濟(jì)開(kāi)始復(fù)蘇，特別是2014 年，由于全球經(jīng)濟(jì)分化，國(guó)際大宗商品的價(jià)格急速走低，PPI勢(shì)能較?。慌c一般年份相比，2016 年的相平面圖較為特殊，圖5（f）中曲線全部位于垂直虛線的右邊區(qū)域，PPI速度都為正，加速度也基本為正，動(dòng)能和勢(shì)能都較大，PPI一直處于增長(zhǎng)狀態(tài)且增長(zhǎng)速度較快，具有明顯的特征。2016年10月，人民幣正式被納入特別提款權(quán)（SDR）貨幣籃子，加劇了國(guó)內(nèi)經(jīng)濟(jì)的波動(dòng)性；2017年年初，由于國(guó)際原油出口國(guó)集體減產(chǎn)，因此原油價(jià)格顯著攀升，PPI達(dá)到較高水平；2018年中美貿(mào)易戰(zhàn)爆發(fā)，我國(guó)經(jīng)濟(jì)遭受猛烈沖擊，從圖5（h）中可以看出，PPI 速度負(fù)值較多，PPI再一次呈下降趨勢(shì)；2019年以來(lái)，國(guó)際原油價(jià)格整體先揚(yáng)后抑，國(guó)內(nèi)相關(guān)行業(yè)產(chǎn)品價(jià)格隨之波動(dòng)，PPI小幅度下降；2020年，受新冠肺炎疫情影響，PPI在上半年有所下降，在下半年又有所回升，但整體上呈下降趨勢(shì)；2021 年，受新冠肺炎疫情影響，全球商品流動(dòng)受到限制，運(yùn)輸成本上升，進(jìn)而影響到上游產(chǎn)品的國(guó)際貿(mào)易，后疫情時(shí)代經(jīng)濟(jì)也開(kāi)始復(fù)蘇，在一定程度上帶動(dòng)了PPI上漲。

基于主微分分析的相關(guān)思想，運(yùn)用MATLAB 軟件對(duì)PPI數(shù)據(jù)進(jìn)行主微分分析，選取如下三階線性微分方程進(jìn)行分析：

其中，β0(t)稱(chēng)為彈性系數(shù)，反映了在位置x處施加于系統(tǒng)的位置相關(guān)力；β1(t)、β2(t)分別與速度、加速度成正比，反映整個(gè)系統(tǒng)的變化速度和加速度。權(quán)重函數(shù)β0(t)、β1(t)和β2(t)的變化曲線如圖6所示。

由圖6 可以看出，β0(t)、β1(t)和β2(t)均具有一定的波動(dòng)性，且β0(t)和β2(t)都是以0為中心波動(dòng)，β1(t)以1為中心波動(dòng)且均為正值，說(shuō)明近年來(lái)中國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展?fàn)顩r較為樂(lè)觀。通過(guò)β0(t)、β1(t)和β2(t)的值可以得到任意時(shí)間中國(guó)PPI所滿足的微分方程，并通過(guò)線性微分算子的表達(dá)式可以觀測(cè)到PPI的位置及相應(yīng)的梯度變化。

為說(shuō)明微分算子L在逼近xi時(shí)候的效果，可以繪制經(jīng)驗(yàn)強(qiáng)迫函數(shù)Lxi與簡(jiǎn)單導(dǎo)數(shù)的對(duì)比圖，如果這些經(jīng)驗(yàn)強(qiáng)迫函數(shù)都很小，且類(lèi)似于噪聲，則可以說(shuō)明此微分方程在數(shù)據(jù)表示方面具有較好的效果。圖7 為經(jīng)驗(yàn)強(qiáng)迫函數(shù)與簡(jiǎn)單三階導(dǎo)數(shù)的平均值對(duì)比圖，實(shí)線為經(jīng)驗(yàn)強(qiáng)迫函數(shù)的平均值，虛線為簡(jiǎn)單三階導(dǎo)數(shù)的平均值。從圖7 中可以看出，相較于簡(jiǎn)單三階導(dǎo)數(shù)，經(jīng)驗(yàn)強(qiáng)迫函數(shù)的變化幅度要小很多，且圍繞0值上下波動(dòng)，類(lèi)似于噪聲。因此，微分方程式（13）的擬合效果較為理想。

圖7 經(jīng)驗(yàn)強(qiáng)迫函數(shù)與簡(jiǎn)單導(dǎo)數(shù)的對(duì)比

為了進(jìn)一步判斷PDA 方法的效果，本文以天津和陜西為例，繪制PPI的原始觀測(cè)值與函數(shù)型數(shù)據(jù)擬合曲線的對(duì)比圖，如圖8所示，圖中圓圈表示原始觀測(cè)值，實(shí)線表示微分方程解的擬合曲線，可以看出，微分方程的擬合效果較好。因此，運(yùn)用PDA 方法研究PPI 數(shù)據(jù)，不僅可以得到PPI數(shù)據(jù)的導(dǎo)數(shù)信息，而且可以較好地?cái)M合曲線，具有相當(dāng)好的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

圖8 原始觀測(cè)值與基于微分方程的擬合曲線的對(duì)比

本文通過(guò)求解微分方程式（13）來(lái)觀察PPI 在微分算子張成的空間上的性質(zhì)。針對(duì)初值條件，估計(jì)PPI線性微分方程的數(shù)值解，如圖9所示。

圖9 PPI微分方程的數(shù)值解

2.3 PPI季節(jié)變動(dòng)的刻畫(huà)

本文基于FDA方法，從原始PPI中分離重要的季節(jié)變動(dòng)并對(duì)其進(jìn)行刻畫(huà)。首先，對(duì)能夠捕捉到PPI長(zhǎng)期變動(dòng)趨勢(shì)的勻滑曲線g(t)進(jìn)行擬合；其次，從PPI 原始數(shù)據(jù)序列函數(shù)x(t)中減去勻滑曲線g(t)，得到季節(jié)變動(dòng)成分和誤差成分；最后，采用基函數(shù)擬合法擬合PPI 的季節(jié)變動(dòng)成分。PPI季節(jié)變動(dòng)曲線可寫(xiě)為：

其中，用PPI月度序列數(shù)據(jù)擬合x(chóng)(t)，g(t)使用4階B-樣條基函數(shù)對(duì)PPI 的年度數(shù)據(jù)序列進(jìn)行擬合。下頁(yè)圖10為PPI的季節(jié)變動(dòng)曲線s(t)。

圖10 PPI季節(jié)變動(dòng)曲線

從圖10 中可以看出，PPI 的季節(jié)波動(dòng)較大，極不穩(wěn)定。結(jié)合圖1和圖10可以看出，PPI波動(dòng)曲線與其季節(jié)波動(dòng)曲線有相似趨勢(shì)。例如，2012—2014年，PPI變化較小，其對(duì)應(yīng)的季節(jié)變動(dòng)幅度也相對(duì)較小；而2016—2018 年，PPI 變動(dòng)較大，其季節(jié)變動(dòng)幅度也相對(duì)較大?？梢钥闯?，PPI 的季節(jié)變動(dòng)呈現(xiàn)循環(huán)的變動(dòng)趨勢(shì)，具有一定的周期性。因此，采用傅里葉基函數(shù)擬合季節(jié)變動(dòng)曲線，如圖11所示，實(shí)線表示季節(jié)變動(dòng)曲線s(t)的估計(jì)，圓圈表示各個(gè)年份每月的季節(jié)變動(dòng)的數(shù)值點(diǎn)?？梢钥闯?，基于傅里葉基函數(shù)的線性組合擬合得到的季節(jié)變動(dòng)曲線效果較好，很好地呈現(xiàn)了中國(guó)PPI 的季節(jié)波動(dòng)特征，基本刻畫(huà)了PPI 的季節(jié)變化規(guī)律。

圖11 季節(jié)變動(dòng)函數(shù)的擬合曲線

3 中國(guó)31個(gè)省份PPI差異性分析

基于函數(shù)型數(shù)據(jù)的主微分分析方法研究中國(guó)31個(gè)省份（不含港澳臺(tái)）PPI 的波動(dòng)特征。對(duì)31 個(gè)省份2011 年1月至2021年12月共132個(gè)月的PPI數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。采用7階B-樣條基函數(shù)，以月份為節(jié)點(diǎn)，基函數(shù)個(gè)數(shù)為137。為保證擬合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的光滑性，在采用粗糙度懲罰方法時(shí)懲罰項(xiàng)為擬合函數(shù)的5 階導(dǎo)數(shù)，通過(guò)GCV 準(zhǔn)則，取修勻參數(shù)λ=1e-3，勻滑的31 個(gè)省份的PPI 擬合曲線如圖12 所示?？梢钥闯?，31個(gè)省份PPI的動(dòng)態(tài)走勢(shì)大致相同，呈現(xiàn)較為平緩的上下波動(dòng)的趨勢(shì)。

圖12 中國(guó)31個(gè)省份PPI的擬合曲線

為了進(jìn)一步分析不同省份PPI之間的異同，本文對(duì)31個(gè)省份的PPI 變化速度進(jìn)行函數(shù)型聚類(lèi)分析。由上文可知，通過(guò)PDA方法得到的權(quán)重系數(shù)函數(shù)β1(t)反映了PPI的變化速度，因此對(duì)31 個(gè)省份的β1(t)采用函數(shù)型聚類(lèi)分析方法（FNMF）[8]，根據(jù)各省份經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)走勢(shì)，將31個(gè)省份分成三類(lèi)，聚類(lèi)結(jié)果如表1所示。

表1 聚類(lèi)結(jié)果展示

各類(lèi)中心與全國(guó)PPI速度的比較如圖13所示，可以看出三類(lèi)省份在整個(gè)樣本區(qū)間上的差異大致可分為三個(gè)階段。第一階段為2011—2014 年，此階段三類(lèi)省份經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)差異較大，2011年上半年，第三類(lèi)省份經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)速度最快，第一類(lèi)省份經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)速度最慢，而在2011 年下半年，第一類(lèi)省份經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)速度最快，第三類(lèi)省份最慢，如此循環(huán)往復(fù)，導(dǎo)致省際經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)速度存在差異的因素很多，例如各省份政府出臺(tái)的相關(guān)政策、開(kāi)放程度以及投資規(guī)模等；第二階段為2014年至2019年年末，此階段各省份之間的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)速度差異逐步縮小，基本與全國(guó)增長(zhǎng)速度持平；2020年之后為第三階段，在這一階段由于新冠肺炎疫情的影響，導(dǎo)致三類(lèi)省份的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)速度差異又逐漸變大。

圖13 各類(lèi)中心與全國(guó)PPI速度比較

此外，圖13 還顯示，三類(lèi)省份的PPI 增長(zhǎng)速度與全國(guó)PPI 增長(zhǎng)速度的差異逐步減小。總體上看，在2014 年之前，第二類(lèi)省份的PPI 增長(zhǎng)速度與全國(guó)PPI 增長(zhǎng)速度差異最小，而第一、三類(lèi)省份與全國(guó)PPI 增長(zhǎng)速度差異最大，2014年之后三類(lèi)省份的PPI增長(zhǎng)速度逐漸趨同，后疫情時(shí)代，新冠肺炎疫情在上海、陜西、甘肅等省份再次暴發(fā)，導(dǎo)致第一類(lèi)省份的PPI 增長(zhǎng)速度與其他兩類(lèi)省份趨于相反的方向。

進(jìn)一步，結(jié)合表2 和圖13 可知，31 個(gè)省份可分為三類(lèi)：第一類(lèi)省份涵蓋了我國(guó)大多數(shù)省份，其分布在我國(guó)的不同區(qū)域，具有相似的經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)；第二類(lèi)省份除北京和河北外，均為我國(guó)偏遠(yuǎn)地區(qū)省份，如新疆、西藏等，其受地理、歷史等因素的影響，第二產(chǎn)業(yè)較為落后；第三類(lèi)省份大多分布于我國(guó)東中部地區(qū)，如安徽、江蘇等，這類(lèi)省份地理?xiàng)l件優(yōu)越、氣候宜人，其第一產(chǎn)業(yè)、第二產(chǎn)業(yè)都較為發(fā)達(dá)?？偟膩?lái)說(shuō)，三類(lèi)省份在空間分布上特征明顯，存在區(qū)域發(fā)展差異。

4 結(jié)論

本文采用函數(shù)型數(shù)據(jù)分析方法，克服傳統(tǒng)多元統(tǒng)計(jì)分析方法未能充分挖掘數(shù)據(jù)潛在信息的不足，從函數(shù)的角度出發(fā)，利用相平面圖、主微分分析方法以及基函數(shù)擬合法對(duì)我國(guó)生產(chǎn)者價(jià)格指數(shù)進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析。同時(shí)通過(guò)函數(shù)型聚類(lèi)分析方法將中國(guó)31個(gè)省份的PPI變化速度聚為三類(lèi)，并探究三類(lèi)省份經(jīng)濟(jì)發(fā)展趨勢(shì)的差異。研究結(jié)果表明：第一，PPI具有明顯的季節(jié)特征，在不同年份具有時(shí)間范圍和變動(dòng)規(guī)模上的差異，而正常年份對(duì)應(yīng)的相平面圖的幾何特征較為相似；第二，主微分分析方法既能直觀地觀測(cè)到PPI的位置及相應(yīng)的梯度變化，又能動(dòng)態(tài)地刻畫(huà)PPI的變化規(guī)律和波動(dòng)特征；第三，傅里葉基函數(shù)能夠很好地?cái)M合季節(jié)變動(dòng)曲線，能更加形象地展示我國(guó)PPI 的季節(jié)變動(dòng)特征；第四，三類(lèi)省份的PPI 在空間分布上特征明顯，且經(jīng)濟(jì)發(fā)展趨勢(shì)具有顯著差異，2011—2014 年，三類(lèi)省份PPI 的增長(zhǎng)速度差異較大，2014 年至2020 年年末，三類(lèi)省份的PPI增長(zhǎng)速度與全國(guó)PPI 增長(zhǎng)速度逐漸趨同，2021 年以后，由于新冠肺炎疫情再次在小范圍內(nèi)暴發(fā)，導(dǎo)致第一類(lèi)省份的PPI增長(zhǎng)速度下降，異于其他兩類(lèi)省份。