魏王杰

(云南師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院 云南 昆明 650092;云縣第二中學(xué) 云南 臨滄 675800)

劉 垚

(云南師范大學(xué)體育學(xué)院 云南 昆明 650092)

姚 斌

(云南師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院 云南 昆明 650092)

1 引言

最速降線在逃生軌道、糧食輸運(yùn)軌道[1]、過山車軌道、滑板場地、以及我國古建筑中的“大屋頂”排水系統(tǒng)[2]中均有應(yīng)用.

最速降線最初由伽利略提出,后經(jīng)牛頓、洛必達(dá)、萊布尼茨等驗(yàn)證,在不考慮阻力時(shí),它是一條下凹的圓擺線[3].然而,在真實(shí)的物體下滑過程中,下滑物體總會(huì)受到諸如摩擦力、粘滯力等的作用(其中摩擦力受正壓力影響,正壓力又受物體自重、速度和所處下滑軌道位置的影響;而粘滯力則受速度、溫度等影響,因此,這些力都是大小、方向均在變化的非線性力),使得對(duì)真實(shí)下滑過程的研究變得異常復(fù)雜.

Tracker是一款視頻分析和物理建模軟件,利用它可以標(biāo)記用戶所指定的視頻中的目標(biāo),從而進(jìn)行位置追蹤、旋轉(zhuǎn)角度分析、動(dòng)力學(xué)模型分析等操作[4].因此,可利用該軟件輔助進(jìn)行非光滑最速降線問題的研究.

本文在分析最速降線問題的基礎(chǔ)上,設(shè)計(jì)制作非光滑下滑軌道實(shí)驗(yàn)裝置,進(jìn)行6個(gè)軌道的下滑實(shí)驗(yàn);利用Tracker軟件分析獲取下滑實(shí)驗(yàn)中小球的位移時(shí)間曲線,進(jìn)而對(duì)比研究6個(gè)非光滑下滑軌道的下滑時(shí)間,獲得并驗(yàn)證其中下滑時(shí)間最短的下滑軌道曲線.

2 最速降線問題

無阻力時(shí)的最速降線問題可表述為:在一豎直平面內(nèi)有不重合的兩點(diǎn)P和M,M位于P的斜下方,在該豎直平面內(nèi)的所有連接P和M的路徑里,找出一條路徑,使得質(zhì)點(diǎn)在只受重力作用下,從P點(diǎn)開始靜止下滑,到M點(diǎn)的滑行用時(shí)最短.

該問題最早由伽利略在1630年提出[5],后經(jīng)眾多學(xué)者分別利用常規(guī)數(shù)學(xué)變分法、斯涅爾定律等方法求解[6-8],得出一致結(jié)論:無阻力時(shí)的最速降線是一條下凹的圓擺線,其解的形式為

(1)

其中,C為常數(shù),α為引入的參量.

然而,在實(shí)際的下滑過程中,物體不僅受重力作用,而且還受其他阻力——如摩擦力等的影響,于是,最速降線將不再是圓擺線.不過,經(jīng)文獻(xiàn)[8]證明可知,當(dāng)只考慮摩擦力時(shí),最速降線中任意一點(diǎn)的切線方向與水平方向的夾角(記為β)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)應(yīng)為常數(shù),即β-t圖像應(yīng)是一條直線.在后文中,我們也將把這個(gè)因素作為判別是否是最速降線的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn).

3 實(shí)驗(yàn)裝置設(shè)計(jì)及實(shí)驗(yàn)過程

3.1 實(shí)驗(yàn)裝置設(shè)計(jì)

為了利用Tracker軟件研究從P點(diǎn)到M點(diǎn)的最速降線問題,本文設(shè)計(jì)了如圖1所示的最速降線實(shí)驗(yàn)裝置.該裝置由底座、起點(diǎn)擋板、終點(diǎn)擋板、雪弗板軌道、背景板、激光筆校準(zhǔn)裝置、校準(zhǔn)條以及直徑為10 mm的紅色小玻璃球構(gòu)成.其中,起點(diǎn)擋板高45 cm,終點(diǎn)擋板高5 cm,兩板水平距離60 cm,P點(diǎn)和M點(diǎn)水平相距60 cm,豎直相距40 cm.此外,制作雪弗板軌道的雪弗板長度、寬度和厚度分別為90 cm、30 cm、0.3 cm,以保證其有足夠的延展性可以彎成不同的軌道,且足以承載小玻璃球?qū)壍赖膲毫?從而在小球滾下時(shí)軌道不發(fā)生明顯彎曲,進(jìn)而影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果.同時(shí),為了使小球的運(yùn)動(dòng)軌跡在豎直平面上,沿著彎曲雪弗板軌道表面還粘貼了彼此平行的兩條間距為10 mm的雪弗板細(xì)條.

圖1 最速降線實(shí)驗(yàn)裝置

實(shí)驗(yàn)還設(shè)置了激光筆校準(zhǔn)裝置.實(shí)驗(yàn)時(shí)打開激光筆開關(guān),調(diào)整其位置使小球在點(diǎn)P位置時(shí)激光均射在小球球心,以確保小球每次都能從點(diǎn)P開始運(yùn)動(dòng),從而減小實(shí)驗(yàn)誤差.此外,實(shí)驗(yàn)裝置中還有長0.4 m的校準(zhǔn)條,作為在Tracker軟件中建立標(biāo)尺時(shí)的參照物.另外,本實(shí)驗(yàn)之所以選擇白色背板和紅色小球,是為了提高小球和背景的對(duì)比度,便于利用Tracker軟件更準(zhǔn)確的實(shí)時(shí)追蹤小球,從而獲得較為精確的小球運(yùn)動(dòng)軌跡.

3.2 實(shí)驗(yàn)過程

(1)6個(gè)下滑軌道的獲得

(2)小球的自由下滑

參看圖1,從軌道上端P點(diǎn)無初速度釋放小球,使其沿雪弗板軌道自由下滑到M點(diǎn).釋放小球前已先打開激光筆校準(zhǔn)裝置,使小球每次釋放時(shí)激光都正射過小球的球心,以確保每次小球都從相同的位置釋放.

(3)視頻錄制

利用靜止放置的手機(jī)以錄像的形式記錄下小球在各軌道上的運(yùn)動(dòng)過程.為了能利用Tracker軟件準(zhǔn)確抓取小球的運(yùn)動(dòng)過程,手機(jī)視頻錄制時(shí)設(shè)置視頻的分辨率為1080 P,幀率60幀,視頻編碼的兼容性設(shè)置為最好,并在良好的光照條件下進(jìn)行視頻錄制.

4 數(shù)據(jù)提取及分析

4.1 利用Tracker軟件提取數(shù)據(jù)

實(shí)驗(yàn)視頻處理過程如圖2所示,詳細(xì)步驟為:

(1)如圖2(a)所示,找到所錄制的小球下滑視頻;

(2)導(dǎo)入視頻:如圖2(b)所示,打開Tracker軟件,將實(shí)驗(yàn)視頻慢放0.5倍處理并導(dǎo)入;

(3)建立坐標(biāo)系:如圖2(c)所示,用“十”字定位針選取起點(diǎn)擋板的頂部為坐標(biāo)原點(diǎn),使坐標(biāo)的橫軸正向與底座平行并指向右,縱軸正向建立在豎直面內(nèi)豎直向上.

(4)建立標(biāo)尺:如圖2(d)所示,選擇底板上的白色雪弗板校準(zhǔn)條為參照物,并輸入?yún)⒄瘴锏拈L度為0.4 m;

(5)建立質(zhì)點(diǎn):如圖2(e)所示,將小球中心設(shè)為質(zhì)點(diǎn);

(6)追蹤質(zhì)點(diǎn):如圖2(f)所示,逐幀分析小球運(yùn)動(dòng)的視頻,找到小球從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)的起始幀和結(jié)束幀,可獲得小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間、位置坐標(biāo)和速度等物理量.

4.2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

(1)小球運(yùn)動(dòng)的6個(gè)軌跡

將Tracker中小球運(yùn)動(dòng)的水平位移x和豎直位移y全精度導(dǎo)入Origin,可得小球在軌道1～6上的運(yùn)動(dòng)軌跡,分別如圖3(a)～(f)所示.

圖3 小球在6個(gè)軌道上的運(yùn)動(dòng)軌跡

(2)小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間

小球在6個(gè)軌道上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間均少于1 s,用手動(dòng)計(jì)時(shí)方法難以準(zhǔn)確記錄.實(shí)驗(yàn)中采用逐幀追蹤的方法,利用Tracker追蹤小球在每一幀的運(yùn)動(dòng)時(shí)間,再利用總幀數(shù)計(jì)算出小球運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間.為了進(jìn)一步提高時(shí)間精度,導(dǎo)入Tracker中時(shí)把視頻進(jìn)行了慢放0.5倍處理,使每幀對(duì)應(yīng)的時(shí)間減少了一倍,即把時(shí)間精度提高了一倍.

表1 各軌道上的小球下滑總時(shí)間

圖4 軌道3的小球運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)

圖5 軌道3和5的小球β-t線性擬合圖

(3)小球運(yùn)動(dòng)最速下降軌道的尋找

6個(gè)軌道的下滑時(shí)間如表1所示.由此可得,小球在軌道3和5上的運(yùn)動(dòng)總時(shí)間都出現(xiàn)了極小值,因此,我們還需考慮這兩條軌道的軌跡斜率是否具有勻變性,即在最速降線軌道上運(yùn)動(dòng)的物體其軌道切線方向與x軸的夾角β隨時(shí)間是均勻變化的,也就是β-t圖像應(yīng)該滿足線性關(guān)系(是一條直線).利用Origin軟件繪出軌道3和5上小球運(yùn)動(dòng)的β-t散點(diǎn)圖,并進(jìn)行線性擬合,如圖6所示.經(jīng)計(jì)算,軌道3的線性擬合度為0.986 34,而軌道5的線性擬合度僅為0.941 79.因此,軌道3更趨近于最速降線.

圖6 圓擺線軌道上的小球運(yùn)動(dòng)軌跡

(4)最速降線軌道與圓擺線軌道的比較

將M點(diǎn)的位置坐標(biāo)(0.6,-0.4)代入圓擺線方程(1),可解出C=0.2,α=3.07,取α∈[0,3.07]作出此擺線,并將雪弗板軌道彎成該擺線的形狀,進(jìn)而進(jìn)行小球下滑實(shí)驗(yàn).同樣,利用Tracker分析小球的下滑視頻,可得小球的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖6所示,下滑的總時(shí)間為0.517 s,比軌道3的更長.可見,對(duì)于非光滑軌道,圓擺線并不是最速降線,這也和現(xiàn)存文獻(xiàn)的結(jié)論是一致的.

4.3 誤差分析

在利用Tracker軟件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)提取過程中,最主要的誤差可能出現(xiàn)在把小球近似為質(zhì)點(diǎn)所引起的誤差.這個(gè)誤差來源于兩方面,一方面是運(yùn)動(dòng)方式的不同(小球做的是滾動(dòng),包含一部分角動(dòng)能,而質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)則不包含角動(dòng)能),一方面是運(yùn)動(dòng)路徑識(shí)別的時(shí)候,小球的球心高于實(shí)際軌道,也會(huì)引入一定的誤差.

為此,本文還利用Matlab編程求解了光滑軌道時(shí)的最速下滑時(shí)間為0.438 s,和非光滑軌道的最速下滑時(shí)間0.483 s(表1)比較,我們的求解誤差應(yīng)遠(yuǎn)小于10%,應(yīng)用在教學(xué)甚至研究中都較為可靠.

5 結(jié)論

本文利用Tracker軟件輔助進(jìn)行非光滑下滑軌道最速降線問題的研究.在分析最速降線問題的基礎(chǔ)上,制作了非光滑下滑軌道實(shí)驗(yàn)裝置,進(jìn)行了6個(gè)軌道的下滑實(shí)驗(yàn),進(jìn)而利用運(yùn)動(dòng)軌跡分析軟件Tracker從下滑視頻中分析獲得下滑過程的位移時(shí)間曲線.研究結(jié)果表明,利用Tracker軟件輔助,可以分析原本難以分析的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)學(xué)問題,為物理教學(xué)提供了便利.