李忠相

(重慶市第一中學(xué)校 重慶 400030)

在幾何學(xué)里,一個(gè)曲線族的包絡(luò)線是跟該曲線族的每條線都至少一點(diǎn)相切的一條曲線.在很多物理問(wèn)題中,也用到包絡(luò)線的概念.

比如,在均勻重力場(chǎng)中,空中某一定點(diǎn)以相同速率向各個(gè)方向拋出物體,如果只考慮重力,物體運(yùn)動(dòng)軌跡均為拋物線,所有這些拋物線的包絡(luò)線也是一條拋物線,如圖1所示.若拋體初速度大小為v0,重力加速度為g,將拋出點(diǎn)記為坐標(biāo)原點(diǎn),水平向右為x軸正方向,豎直向上為y軸正方向,包絡(luò)線的方程為

圖1 均勻重力場(chǎng)中拋體軌跡及其包絡(luò)線

(1)

這是大家熟知的結(jié)論,證明從略.下面介紹3個(gè)平方反比有心力場(chǎng)中的拋體包絡(luò)線,并給出簡(jiǎn)潔的證明.

包絡(luò)線1：平方反比引力場(chǎng)中,從定點(diǎn)同速率向同一平面內(nèi)不同方向拋出物體的橢圓軌跡的包絡(luò)線也為橢圓.

以地球(質(zhì)量記為M、半徑為R,萬(wàn)有引力常量為G)的引力場(chǎng)為例,在離地球表面h高度處的同一點(diǎn)以相同的速率u向各個(gè)方向拋出大量小物體,只要初始速率u不太大,這些小物體都繞地球做橢圓運(yùn)動(dòng),這些橢圓軌跡的包絡(luò)線也是橢圓,如圖2所示.

圖2 平方反比引力場(chǎng)中橢圓的包絡(luò)線

證明:

易知,所有小物體具有相同的機(jī)械能,于是它們的軌跡具有相同的半長(zhǎng)軸a,由橢圓軌跡的能量公式

(2)

(3)

小物體軌跡為橢圓要求初始速率u的范圍為

(4)

顯然,地心O為所有軌跡的一個(gè)公共焦點(diǎn)F1,若將拋出點(diǎn)記為A,由于拋出點(diǎn)是橢圓軌跡上的一點(diǎn),它到兩焦點(diǎn)的距離之和為2a,所以另一個(gè)焦點(diǎn)F2與A的距離r為

r=2a-(R+h)

(5)

所有可能的F2點(diǎn)在紙平面內(nèi)構(gòu)成一個(gè)圓,如圖3中虛線圓所示.對(duì)于圓周上任意一個(gè)F2點(diǎn)對(duì)應(yīng)的軌跡如圖3中實(shí)線橢圓.在軌跡上的任何一點(diǎn)P,到A點(diǎn)和到O(F1)點(diǎn)的距離之和有

圖3 軌跡分析圖

(6)

式中第一個(gè)小于等于是因?yàn)槿切蔚囊贿呅∮诹韮蛇呏?當(dāng)3段線段共線時(shí)取等于;第二個(gè)等于再次利用了橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為2a.當(dāng)P點(diǎn)在AF2延長(zhǎng)線上時(shí)取等于.上式表明,任意一個(gè)軌跡上任意一點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)(A、O)的距離之和小于等于一個(gè)定值,也就是說(shuō)所有軌跡上的所有點(diǎn)都在一個(gè)橢圓范圍之內(nèi),這個(gè)邊界橢圓就是所有軌跡的包絡(luò)線,A點(diǎn)和O點(diǎn)就是這個(gè)橢圓的焦點(diǎn).對(duì)于任一特定的軌跡,AF2連線上的P就是剛好處于包絡(luò)上的點(diǎn).于是可以寫(xiě)出這個(gè)包絡(luò)線橢圓的半長(zhǎng)軸a0、半焦距c0以及半短軸b0為

(7)

(8)

(9)

若以地心O為坐標(biāo)原點(diǎn),OA方向?yàn)閥軸正方向,垂直于OA向右為x軸正方向,則包絡(luò)線的方程為

(10)

包絡(luò)線2：平方反比斥力場(chǎng)中,從定點(diǎn)同速率向同一平面內(nèi)不同方向拋出物體的雙曲線軌跡的包絡(luò)線也為雙曲線.

以固定點(diǎn)電荷(電荷量記為 +Q)的靜電場(chǎng)為例,在離點(diǎn)電荷距離為d的同一點(diǎn)以相同的速率u向同一平面內(nèi)各個(gè)方向發(fā)射質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子,這些帶電粒子的軌跡均為雙曲線,這些雙曲線的包絡(luò)線也是雙曲線,如圖4所示.

圖4 平方反比斥力場(chǎng)中雙曲線的包絡(luò)線

證明：

易知,所有帶電粒子具有相同的能量,于是它們的軌跡具有相同的半實(shí)軸a,由雙曲線軌跡的能量公式

(11)

得

(12)

顯然,固定點(diǎn)電荷所在處為所有軌跡的一個(gè)公共焦點(diǎn)F1.如圖5所示.

圖5 平方反比斥力場(chǎng)中雙曲線的包絡(luò)線

將拋出點(diǎn)記為A,選擇其中任意一根雙曲線軌跡,過(guò)F1作軌跡的對(duì)稱軸即為雙曲線的實(shí)軸,實(shí)軸上存在另一個(gè)焦點(diǎn)F2,雙曲線上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之差為定值2a,則A點(diǎn)和F2之間的距離也為定值.即

(13)

所有可能的F2點(diǎn)在紙平面內(nèi)構(gòu)成一個(gè)圓,如圖5中虛線圓所示.在軌跡上的任何一點(diǎn)P,到F1點(diǎn)和到A點(diǎn)的距離之差有

2a-(d-2a)=4a-d

(14)

式中第一個(gè)大于等于是因?yàn)槿切蔚囊贿呅∮诹韮蛇呏?當(dāng)3段線段共線時(shí)取等于;第二個(gè)等于再次利用了雙曲線上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之差為2a.當(dāng)P點(diǎn)在AF2延長(zhǎng)線上時(shí)取等于.上式表明,任意一個(gè)軌跡上任意一點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)(A、F1)的距離之差大于等于一個(gè)定值,也就是說(shuō)所有軌跡上的所有點(diǎn)都在一個(gè)雙曲線的一支范圍之內(nèi),這個(gè)邊界雙曲線就是所有軌跡的包絡(luò)線,A點(diǎn)和F1點(diǎn)就是這個(gè)雙曲線的焦點(diǎn).對(duì)于任一特定的軌跡,AF2連線上的P就是剛好處于包絡(luò)上的點(diǎn).于是可以寫(xiě)出這個(gè)包絡(luò)線雙曲線的半實(shí)軸a0、半焦距c0以及半虛軸b0為

(15)

(16)

(17)

若以地心F1為坐標(biāo)原點(diǎn),F1A方向?yàn)閤軸正方向,垂直于F1A向上為y軸正方向,則包絡(luò)線的方程為

(18)

包絡(luò)線3：平方反比斥力場(chǎng)中,從過(guò)力心的同一平面內(nèi)遠(yuǎn)處同方向同速率不同瞄準(zhǔn)距離入射物體的雙曲線軌跡的包絡(luò)線為拋物線.

以固定點(diǎn)電荷(電荷量記為 +Q)的靜電場(chǎng)為例,如圖6所示.

圖6 平方反比斥力場(chǎng)中雙曲線的包絡(luò)線

在過(guò)點(diǎn)電荷的平面內(nèi)從遠(yuǎn)處以相同的向右的速率u入射質(zhì)量為m、電荷量為 +q的粒子,它們具有不同的瞄準(zhǔn)距離b.這些帶電粒子的軌跡均為雙曲線,這些雙曲線的包絡(luò)線為拋物線.

證明：

易知,所有帶電粒子具有相同的能量,于是它們的軌跡具有相同的半實(shí)軸a,由雙曲線軌跡的能量公式

(19)

得

(20)

圖7 軌跡分析圖

(21)

式(21)右邊

(22)

于是

(23)

即該雙曲線軌跡上任一點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離和到一定直線的距離大于等于零,當(dāng)P點(diǎn)在AF2延長(zhǎng)線時(shí)取等于.如果把軌跡的偏轉(zhuǎn)角記為θ,由雙曲線的基本性質(zhì)有

(24)

(25)

(26)

這就是所有這些雙曲線軌跡的包絡(luò)線方程,其中a由式(20)確定.