[摘? 要] 以二次函數(shù)為背景,融平面幾何、三角函數(shù)等核心知識(shí)、核心方法于一體的綜合題,是中考或其他大型聯(lián)考的必考題型,有很強(qiáng)的區(qū)分度. 縱觀歷年來(lái)學(xué)生的答題情況,他們往往在運(yùn)算上出現(xiàn)障礙. 學(xué)生想不到重建平面直角坐標(biāo)系來(lái)簡(jiǎn)化二次函數(shù)表達(dá)式,以削減計(jì)算量.
[關(guān)鍵詞] 二次函數(shù);重建平面直角坐標(biāo)系;簡(jiǎn)化
在每年的中考復(fù)習(xí)或中考中,都會(huì)出現(xiàn)以二次函數(shù)為背景的原創(chuàng)綜合題. 有這么一類二次函數(shù)綜合題,要么是解題思路雖很清晰,但因運(yùn)算量大、技巧性強(qiáng),難倒了一大批學(xué)生;要么是解題思路隱蔽,思路受阻,又難倒了一大批學(xué)生. 對(duì)于這類綜合題,有無(wú)良好的應(yīng)對(duì)之策?下面舉例說明.
例題1 如圖1所示,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A(-1,0),B(-3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D,拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為E.
(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)E的坐標(biāo);
(2)略;
(3)若過點(diǎn)E的直線與拋物線交于M,N兩點(diǎn),連接DM,DN,判斷DM與DN的位置關(guān)系并說明理由.
原解析 (1)易得拋物線的解析式為y=-x2-4x-3,E(-2,0).
(2)略.
(3)此問的解決思路多樣且清晰,如:①運(yùn)用勾股定理的逆定理,即由DM 2+DN 2=MN 2,推得DM⊥DN;②運(yùn)用直線DM與直線DN的斜率乘積為-1推得DM⊥DN;③運(yùn)用(圖1中的)△MFD∽△DGN,證得∠FMD=∠NDG,從而推得DM⊥DN. 但無(wú)論采用哪種方法均需設(shè)出直線MN的解析式y(tǒng)=kx+2k,及M(x,y),N(x,y). 不妨采用方法②,根據(jù)題意,令-x2-4x-3=kx+2k,即x2+(k+4)x+2k+3=0,所以x+x=-k-4,x·x=2k+3. 所以k·k=·===
==-1.所以DM⊥DN.
原解析的剖析及新解析的設(shè)想:以上求解第(3)問的方法很常規(guī),但對(duì)數(shù)式運(yùn)算的要求很高,只有具備一定運(yùn)算能力的學(xué)生才能完成. 這道題煩瑣在何處?筆者認(rèn)為煩瑣在二次函數(shù)解析式是二次三項(xiàng)式. 那能否將二次三項(xiàng)式化為二次一項(xiàng)式?可以!重新建立平面直角坐標(biāo)系即可. 以拋物線的頂點(diǎn)D為原點(diǎn),以拋物線的對(duì)稱軸為y軸,建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系x′Dy′,于是可得在新平面直角坐標(biāo)系下拋物線的解析式為y=-x2. 而且容易看出,在新的平面直角坐標(biāo)系中,原圖形的形狀、圖形中的相對(duì)位置和數(shù)量關(guān)系均未改變,改變的僅僅是各條直線及拋物線的解析式. 所以第(3)問可以化歸到新的平面直角坐標(biāo)系中來(lái)加以解決.
第(3)問的新解析? 以拋物線的頂點(diǎn)D為原點(diǎn),以拋物線的對(duì)稱軸為y軸,建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系x′Dy′. 于是可得在新平面直角坐標(biāo)系下拋物線的解析式為y=-x2,直線MN的解析式為y=kx-1. 設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),令-x2=kx-1,即x2+kx-1=0,所以x+x=-k,x·x=-1. 所以k·k=·====-1. 所以DM⊥DN.
例題1中的新解法簡(jiǎn)捷明了,這不禁讓筆者回想起多年前的一道題.
例題2 (江蘇如皋一模)如圖3所示,拋物線y=x2+bx+c的頂點(diǎn)為M,對(duì)稱軸是直線x=1,與x軸的交點(diǎn)為A(-3,0) ,B兩點(diǎn). 將拋物線y=x2+bx+c繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,M,A兩點(diǎn)分別為M,A兩點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn),旋轉(zhuǎn)后的拋物線與y軸相交于C,D兩點(diǎn).
(1)寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)及拋物線的解析式.
(2)略.
(3)設(shè)P是旋轉(zhuǎn)后拋物線上DM之間的一動(dòng)點(diǎn),是否存在一點(diǎn)P,使四邊形PMMD的面積最大?如果存在,請(qǐng)求出四邊形PMMD面積的最大值;如果不存在,請(qǐng)說明理由.
原解析 (1)易求得B(5,0),拋物線的解析式為y=x2-x-.
(2)略.
(3)此問太新穎了,在平時(shí)的教學(xué)和練習(xí)中,學(xué)生只研究過拋物線開口向上或向下的情況,開口向左或向右的拋物線他們沒研究過. 對(duì)于此問,能做出正確答案的學(xué)生太少了,教師們的做法也大多是將其轉(zhuǎn)化到開口向上的拋物線上去研究. 全市統(tǒng)一閱卷時(shí),所給的參考答案也是上述方法,詳述如下.
如圖3所示,連接MD,因?yàn)镾是定值,所以要使四邊形PMMD的面積最大,只需要S最大. 將△PDM繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,則點(diǎn)M與點(diǎn)M重合. 設(shè)旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)P與點(diǎn)Q是對(duì)應(yīng)點(diǎn),點(diǎn)D與點(diǎn)F是對(duì)應(yīng)點(diǎn). 因?yàn)镼,F(xiàn)兩點(diǎn)都在拋物線y=x2-x-上,所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為(-5,5). 設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為n,
n+= -(n+2)2+. 所以當(dāng)n=-2時(shí),S取得最大值=. 因?yàn)辄c(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,-4),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(9,-4),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,-10),所以S=×6×8=24. 所以四邊形PMMD的最大面積為24+=. 所以存在點(diǎn)P使四邊形PMMD的面積最大,且最大面積為.
原解析的剖析及新解析的設(shè)想:以上求解第(3)問的方法體現(xiàn)了還原的轉(zhuǎn)化思想,而且對(duì)“求點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F的坐標(biāo)”要求也較高. 在新的問題背景中,很少有學(xué)生想到還原、轉(zhuǎn)化. 有無(wú)簡(jiǎn)捷之法?有!筆者注意到旋轉(zhuǎn)后拋物線與原拋物線的形狀相同,為了便于寫出旋轉(zhuǎn)后拋物線的解析式,我們不妨以M為原點(diǎn),以旋轉(zhuǎn)后拋物線的對(duì)稱軸為y軸建立如圖4所示的平面直角坐標(biāo)系x′My′,此時(shí),旋轉(zhuǎn)后的拋物線在新的平面直角坐標(biāo)系下的解析式為y=x2,而且在新的平面直角坐標(biāo)系下,原圖形的形狀、圖形中的相對(duì)位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系均保持不變,改變的僅是直線或拋物線的解析式. 于是第(3)問可以化歸到新的平面直角坐標(biāo)系中來(lái)加以解決.
(3)問的新解析? 以M為原點(diǎn),以直線MM為y軸建立如圖4所示的平面直角坐標(biāo)系x′My′. 為了研究問題的方便,可抽出基本圖形如圖5所示. 在新的平面直角坐標(biāo)系x′My′下,拋物線的解析式為y=x2,直線CD的解析式為y=9,所以D(-6,9). 所以直線DM的解析式為y=-x. 過點(diǎn)P作y′軸的平行線交直線DM于點(diǎn)Q, 設(shè)Pp,
p-p2= -(p+3)2+(-6<p<0). 所以當(dāng)p=-3時(shí),S有最大值. 又因?yàn)镾=×6×8=24,所以四邊形PMMD的面積有最大值,且最大值為24+=.
上兩例的新解析凸顯了重新建立平面直角坐標(biāo)系的普適性和簡(jiǎn)捷性.
(1)以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn),以拋物線的對(duì)稱軸為y軸建立新的平面直角坐標(biāo)系并不影響原來(lái)的圖形形狀、圖形中的相對(duì)數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系——這是重新建立平面直角坐標(biāo)系的普適性.
(2)在新的平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)的解析式一般是以形如y=ax2(a≠0)的形式參與運(yùn)算,大大降低了運(yùn)算量——這是重新建立平面直角坐標(biāo)系后解決問題的簡(jiǎn)捷性.
在與同行們進(jìn)行研討時(shí),筆者發(fā)現(xiàn)教師們?cè)谟龅綇?fù)雜的二次函數(shù)解析式參與運(yùn)算或?qū)佄锞€繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后不知解析式時(shí),他們很少想到重新建立平面直角坐標(biāo)系. 另外,筆者上網(wǎng)搜索有關(guān)重新建立平面直角坐標(biāo)系的文獻(xiàn),發(fā)現(xiàn)這樣的文獻(xiàn)也很少. 基于此,筆者將平時(shí)教學(xué)中的點(diǎn)滴心得,流于筆端,撰寫成文,以期對(duì)大家有一定的借鑒作用,不當(dāng)之處,敬請(qǐng)指正!
作者簡(jiǎn)介:李霞(1976—),本科學(xué)歷,中學(xué)一級(jí)教師,從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作,曾獲如皋市優(yōu)秀教育工作者稱號(hào).