黃曉陽,趙 斌,周 軍

(西北工業(yè)大學(xué) 精確制導(dǎo)與控制研究所, 西安 710072)

0 引言

隨著航空航天技術(shù)的發(fā)展以及攻防對抗技術(shù)的不斷升級,現(xiàn)代作戰(zhàn)環(huán)境日益復(fù)雜,精確制導(dǎo)技術(shù)正不斷向低成本和高性能方向發(fā)展,由此衍生出2個技術(shù)熱點:多彈協(xié)同制導(dǎo)技術(shù)與巡航導(dǎo)彈變體技術(shù)。

現(xiàn)代軍事行動中,空中目標(biāo)具有一定的隱身特性以及機動性,這導(dǎo)致單枚導(dǎo)彈完成任務(wù)的難度增加,因此使用多枚普通導(dǎo)彈對目標(biāo)進(jìn)行協(xié)同圍捕作戰(zhàn)是一種更為有效的攻擊策略。多彈協(xié)同制導(dǎo)能夠建立信息共享機制,在此基礎(chǔ)上實現(xiàn)對目標(biāo)(群)的配合作戰(zhàn),在提升武器系統(tǒng)探測感知能力、智能化水平、作戰(zhàn)效能和效費比方面更具潛力。

作為目前研究的另一熱點,變體巡航導(dǎo)彈在不同的飛行環(huán)境下和執(zhí)行不同的飛行任務(wù)時可以通過改變外形條件,以獲得相適應(yīng)的氣動性能和飛行狀態(tài)[1]?？勺兒舐右硌埠綄?dǎo)彈能夠?qū)C翼置于小后掠角位置,此時導(dǎo)彈過載能力較強,但阻力較大,飛行速度較小;而機翼置于大后掠角位置時,能夠在保持一定過載能力下降低其飛行阻力,增加飛行速度,該特性能夠較好地平衡飛行過載與飛行速度之間的需求,適用于異構(gòu)條件下的彈群協(xié)同作戰(zhàn)場景。將多彈協(xié)同制導(dǎo)技術(shù)與導(dǎo)彈變體特性相結(jié)合,對于實現(xiàn)對高價值飛行器目標(biāo)(群)的精確攔截[1],降低作戰(zhàn)成本、提高作戰(zhàn)效能、實現(xiàn)低成本非對稱作戰(zhàn)具有重要的意義。

彈群的協(xié)同制導(dǎo)存在2種可行方式,分別是隱式協(xié)同模式與顯式協(xié)同模式。隱式協(xié)同模式下,彈群中每一枚導(dǎo)彈都跟蹤既定的約束目標(biāo)從而實現(xiàn)彈群的協(xié)同效果。文獻(xiàn)[2]最早考慮彈群的協(xié)同問題,并引入了齊射攻擊的概念,文獻(xiàn)提出的ITCG(impact time control guidance law)方法通過使彈群跟蹤相同的終端時間約束以保證彈群同時命中目標(biāo),但該方法對剩余時間的估計并非十分準(zhǔn)確,因此協(xié)同效果有限。文獻(xiàn)[3]在文獻(xiàn)[2]的基礎(chǔ)上增加了對導(dǎo)彈攻擊角度的約束,降低了目標(biāo)的逃逸概率。文獻(xiàn)[5]提出了一種非奇異的滑膜制導(dǎo)律對導(dǎo)彈攻擊時間進(jìn)行控制,從而實現(xiàn)彈群的齊射攻擊。文獻(xiàn)[6-7]解決了對到達(dá)時間估計不準(zhǔn)確的問題。文獻(xiàn)[6]基于純比例制導(dǎo)律提出了到達(dá)時間的解析形式,相比于傳統(tǒng)估計方法提高了對剩余時間估計的精度。文獻(xiàn)[7]通過構(gòu)造視線角的多項式函數(shù),避免了對到達(dá)時間的估計。文獻(xiàn)[8]提出線性二次最優(yōu)控制律以及基于微分方程的制導(dǎo)律,保證彈群中每一枚導(dǎo)彈都能夠按照預(yù)設(shè)的攻擊角度命中目標(biāo)。文獻(xiàn)[9]在文獻(xiàn)[8]的基礎(chǔ)上,考慮時變的加速度約束,保證在滿足加速度約束下實現(xiàn)對機動目標(biāo)的協(xié)同攻擊。

相較于隱式協(xié)同模式,顯式協(xié)同模式下的彈群可以利用彈間通訊對協(xié)調(diào)量的期望值進(jìn)行實時的調(diào)整。文獻(xiàn)[10]提出導(dǎo)彈間通訊的方式進(jìn)行彈群的協(xié)同設(shè)計,利用相鄰導(dǎo)彈節(jié)點提供的狀態(tài)信息并基于多智能體的一致性理論設(shè)計了分布式的協(xié)同制導(dǎo)律,實現(xiàn)了彈群到達(dá)時間的一致性。文獻(xiàn)[11]在文獻(xiàn)[10]的基礎(chǔ)上考慮了攻擊角度的約束,在利用彈間通訊保證彈群齊射攻擊的同時,每一枚導(dǎo)彈將按照預(yù)設(shè)的攻擊角度命中目標(biāo)。文獻(xiàn)[12]進(jìn)一步考慮了導(dǎo)彈之間的相互聯(lián)系,相鄰導(dǎo)彈之間保持相對的攻擊角度對目標(biāo)進(jìn)行圍捕攻擊。文獻(xiàn)[13]基于“領(lǐng)彈-從彈”架構(gòu),采用了高階滑膜控制器并設(shè)計了彈群齊射攻擊制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[14]將彈群的三維空間運動模型解耦為側(cè)向平面運動模型和縱向平面運動模型,針對兩個平面分別設(shè)計協(xié)同制導(dǎo)律實現(xiàn)三維空間內(nèi)彈群的協(xié)同制導(dǎo)。文獻(xiàn)[15]在文獻(xiàn)[14]的基礎(chǔ)上增加彈群攻擊角度約束,實現(xiàn)了三維場景下彈群對目標(biāo)攻擊角度散布和到達(dá)時間的一致,但需要速度可控條件。文獻(xiàn)[16]研究了三維空間中彈群通訊過程中存在時滯的情況,給出了在通訊時延下三維空間內(nèi)彈群齊射攻擊的制導(dǎo)律設(shè)計方法。文獻(xiàn)[17]針對多枚再入式導(dǎo)彈進(jìn)行了三維空間內(nèi)的協(xié)同制導(dǎo)律方法設(shè)計,考慮了速度不受控、大小時變帶來的影響。文獻(xiàn)[14-17]雖然在一定程度上實現(xiàn)了三維空間內(nèi)對目標(biāo)的協(xié)同攻擊,但沒有考慮導(dǎo)彈的視場約束。而在彈群中,若一枚導(dǎo)彈丟失目標(biāo),不僅無法保證該導(dǎo)彈完成既定的打擊目標(biāo),還將會通過彈間通訊影響其余導(dǎo)彈對目標(biāo)的攻擊效果。

現(xiàn)有文獻(xiàn)中還沒有考慮變體特性的彈群協(xié)同制導(dǎo)相關(guān)研究。因此本文中提出一種在末制導(dǎo)階段帶有視場約束的變體彈群協(xié)同制導(dǎo)方法。該方法采用“領(lǐng)彈-從彈”架構(gòu),其中,領(lǐng)彈跟蹤恒定的速度前置角指令,而從彈則利用彈群間的數(shù)據(jù)通訊,實現(xiàn)對多個相對的速度前置角的跟蹤,從而使多枚導(dǎo)彈沿不同曲率的軌跡和方向?qū)δ繕?biāo)實施攻擊。領(lǐng)彈跟蹤的速度前置角指令不會發(fā)生改變,過載需求較小,但其彈道曲率較大、路程較長,因此需要采用大后掠角飛行,以降低飛行阻力,提高飛行速度實現(xiàn)彈群到達(dá)時間一致;從彈需要根據(jù)相鄰導(dǎo)彈速度前置角信息,實現(xiàn)調(diào)整速度前置角指令,需要較大過載實現(xiàn)快速穩(wěn)定控制,從彈跟蹤較小速度前置角飛向目標(biāo),彈道較平直,因此更適用于后掠翼置于較小后掠角的情況。

綜上所述,本文中所提制導(dǎo)律基于領(lǐng)彈-從彈架構(gòu)與多智能體一致性理論,適用于由多枚具有變體特性的導(dǎo)彈構(gòu)成的彈群,能夠?qū)崿F(xiàn)具有變體特性的導(dǎo)彈對運動目標(biāo)的協(xié)同圍捕攻擊。

1 數(shù)學(xué)建模

將導(dǎo)彈與目標(biāo)均視作質(zhì)點,給出縱向平面內(nèi)的彈群中第i枚導(dǎo)彈與目標(biāo)相對運動關(guān)系如圖1所示。

圖1 彈群中第i枚導(dǎo)彈與目標(biāo)相對運動模型

在圖1中,XOY為慣性坐標(biāo)系;Mi和T分別代表彈群中第i枚導(dǎo)彈和目標(biāo)(腳標(biāo)i表示該屬性屬于彈群中第i枚導(dǎo)彈);aMi和aT表示導(dǎo)彈和目標(biāo)的加速度,方向分別與導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度vMi和vT方向垂直;ri表示導(dǎo)彈和目標(biāo)間距離的大小;qi為目標(biāo)相對于導(dǎo)彈在慣性系下的視線角;θMi和θT分別表示導(dǎo)彈和目標(biāo)的航跡角;ηMi表示導(dǎo)彈的速度前置角,以此表征導(dǎo)彈視場。

1.1 相關(guān)假設(shè)

為不失一般性,在進(jìn)行全捷聯(lián)彈群協(xié)同制導(dǎo)控制一體化建模與協(xié)同算法設(shè)計過程中引入以下假設(shè):

假設(shè)1導(dǎo)彈在末制導(dǎo)階段無動力飛行,彈群與目標(biāo)的速度大小保持不變。

假設(shè)2假設(shè)彈群中所有從彈的速度vMf均相同,假設(shè)彈群中所有領(lǐng)彈的速度vMl均相同。

假設(shè)3假設(shè)彈群間通訊拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可變,且滿足彈群中導(dǎo)彈間可相互通訊。

假設(shè)6彈群采用雙向通訊,并且彈群通訊拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)總是包含至少一棵有向生成樹。

假設(shè)6保證了領(lǐng)彈能夠有效影響從彈,即在設(shè)定通訊拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下,從彈彈群跟蹤指令能夠趨向于由通訊拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與領(lǐng)彈狀態(tài)決定的穩(wěn)定狀態(tài)。

1.2 變體導(dǎo)彈與目標(biāo)運動建模

彈群設(shè)計模型主要由導(dǎo)彈與目標(biāo)相對運動模型、導(dǎo)彈運動學(xué)模型、目標(biāo)運動學(xué)模型3部分構(gòu)成。

結(jié)合文獻(xiàn)[20]并結(jié)合圖1,直接給出慣性系下的導(dǎo)彈與目標(biāo)相對運動模型:

(1)

導(dǎo)彈運動學(xué)方程如下

(2)

式(2)中:(xM,yM)表示導(dǎo)彈在慣性坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。

目標(biāo)運動模型建模與導(dǎo)彈運動模型建模方法相同,如下所示

(3)

式(3)中:(xT,yT)表示目標(biāo)在慣性坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。

1.3 “領(lǐng)彈-從彈”通訊拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

假設(shè)彈群由N枚導(dǎo)彈構(gòu)成,其中包括m枚領(lǐng)彈與n枚從彈,第1枚到第m枚導(dǎo)彈為領(lǐng)彈,第m+1枚到第N枚導(dǎo)彈為從彈,用G=(V,ε)表示彈群的通訊拓?fù)鋱D,其中V={1,2,…,N}表示由導(dǎo)彈作為圖節(jié)點構(gòu)成的集合,ε?V×V表示導(dǎo)彈之間通訊鏈路構(gòu)成的集合。

記A=[aij]∈RN×N,i,j∈[1,N]表示彈群通訊拓?fù)鋱D的鄰接矩陣,若彈群中的第i枚導(dǎo)彈可以收到第j枚導(dǎo)彈的訊息,則aij=1否則aij=0。記B∈RN×N為對角矩陣,其對角線上的元素bi表示彈群中第i枚導(dǎo)彈可以接收到訊息的導(dǎo)彈的數(shù)量。最后記L=B-A表示彈群通訊拓?fù)鋱D的Laplace矩陣,L可以做如下分解

(4)

式(4)中:Ll∈Rm×N,Lf∈Rn×N,可進(jìn)一步分解為

(5)

圖2 彈群通訊結(jié)構(gòu)示意圖

1.4 變體彈群被控對象模型

基于2.2節(jié)與2.3節(jié)所述模型以及假設(shè)5,可以直接給出變體彈群的模型,彈群中領(lǐng)彈與從彈的模型如式(6)所示。

(6)

式(6)中:第i枚導(dǎo)彈的加速度aMi與速度vMi滿足式(7)所示條件。

(7)

2 彈群協(xié)同制導(dǎo)律設(shè)計

2.1 引理及定義

引理1[19]定義積分型障礙Lyapunov函數(shù),

(8)

式(8)中:z=x-xd表示跟蹤誤差;|x|

若狀態(tài)滿足|x|

(9)

函數(shù)對時間t的偏導(dǎo)數(shù)可以表示如下:

(10)

2.2 彈群協(xié)同圍捕制導(dǎo)律設(shè)計

基于式(6)所示彈群中的領(lǐng)彈與從彈模型,給出領(lǐng)彈-從彈制導(dǎo)架構(gòu)下關(guān)于彈群達(dá)到一致性協(xié)同圍捕的定義。

針對1.4節(jié)所示模型及定義1,構(gòu)造彈群的誤差變量如下:

(11)

彈群的誤差變量的導(dǎo)數(shù)可表示如下:

(12)

基于1.4節(jié)所示模型(6)、定義的誤差變量(11),直接給出領(lǐng)彈與從彈的控制加速度分別如式(13)與式(14)所示:

(13)

(14)

其中:e為自然常數(shù);kl為領(lǐng)彈彈群制導(dǎo)律設(shè)計參數(shù);kf為從彈彈群的制導(dǎo)律設(shè)計參數(shù)。

為便于穩(wěn)定性分析,給出式(13)與式(14)的向量表示:

(15)

(16)

由式(13)、式(14)可知,所設(shè)計制導(dǎo)律在假設(shè)3條件下,只需要彈群中每一枚導(dǎo)彈將自身速度前置角ηMi作為通訊變量進(jìn)行廣播,即能夠滿足制導(dǎo)律要求。

2.3 穩(wěn)定性分析

定理1對于1.4節(jié)所示領(lǐng)彈-從彈模型,采用式(15)所示控制器,若彈群初始視線角滿足|ηMi|

1) 領(lǐng)彈彈群與從彈彈群定義的誤差變量最終穩(wěn)定收斂至有界集合內(nèi)。

2) 受限狀態(tài)ηMi,i=1,…,N始終滿足視線角約束|ηMi|

3) 在“領(lǐng)彈-從彈”架構(gòu)下構(gòu)成了對目標(biāo)的協(xié)同圍捕態(tài)勢。

證明為確保彈群的受限狀態(tài)滿足視線角約束|ηMi|

(17)

式(17)所示積分型障礙Lyapunov函數(shù)由于其結(jié)構(gòu)簡單,適用于對固定指令跟蹤時變量受約束的情況。然而,從彈跟蹤指令是通過通訊拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)實時計算獲得,該值隨時間變化,其微分較復(fù)雜,式(17)所示積分型障礙Lyapunov函數(shù)將不再適用,因此為從彈設(shè)計對數(shù)型障礙Lyapunov函數(shù)如下:

(18)

當(dāng)從彈彈群中導(dǎo)彈i的前置角ηMi逐漸增加并趨向于kc時,Vi趨向于無窮,而當(dāng)狀態(tài)ηMi逐漸收斂至穩(wěn)定狀態(tài)時,si=0使得Vi=0。上述障礙Lyapunov函數(shù)利用對數(shù)的形式,在保證函數(shù)非負(fù)的前提下構(gòu)成了對速度前置角的限定條件,從而保證了視場受限。

根據(jù)式(17)與式(18),綜合設(shè)計給出彈群的Lyapunov函數(shù)如下:

(19)

對式(19)求導(dǎo)可得:

將式(12)代入式(20),并利用向量形式簡化可得:

(21)

將式(15)所示彈群控制加速度代入式(21)可得:

(22)

由式(22)可知,所設(shè)計Lyapunov函數(shù)導(dǎo)數(shù)小于等于0,Lyapunov函數(shù)將趨向于0,結(jié)合Lyapunov含義可知,誤差變量最終穩(wěn)定收斂至有界集合內(nèi)系統(tǒng)穩(wěn)定且受限狀態(tài)ηMi,i=1,…,N始終滿足視線角約束|ηMi|

3 仿真驗證

根據(jù)假設(shè)3,設(shè)置5枚導(dǎo)彈組成彈群對運動目標(biāo)進(jìn)行協(xié)同攻擊,彈群中共包含2枚領(lǐng)彈與3枚從彈,通訊拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖3所示。彈群制導(dǎo)律控制參數(shù)以及彈群初始場景設(shè)置見表1與表2。

表1 制導(dǎo)律參數(shù)

表2 初始仿真場景參數(shù)

圖3 彈群間通訊拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

場景1:At=10sin(πt/4)m/s2,視場角約束為23°,2枚領(lǐng)彈速度前置角的跟蹤指令分別為17°與-17°,仿真結(jié)果見圖4。

圖4 場景一彈群飛行狀態(tài)

場景2:目標(biāo)方波機動,機動加速度幅值為10 m/s2,角頻率π/4,視場角約束為23°,2枚領(lǐng)彈速度前置角的跟蹤指令分別為17°與-17°,得到仿真結(jié)果見圖5。

圖5 場景二彈群飛行狀態(tài)

為避免彈目距離趨向于0時彈群飛行的末段奇異,當(dāng)彈群中最小彈目距離小于50 m時,彈群采用獨立比例導(dǎo)引律進(jìn)行制導(dǎo),如式(23)所示。

(23)

式(23)中,導(dǎo)引系數(shù)k取為5。

由圖4(a)與圖5(a)可知,所設(shè)計誤差變量能夠較快的收斂到0點附近;由圖4(b)與圖5(b)可知,在所設(shè)計制導(dǎo)律下從彈加速度在-160～160 m/s2,由圖4(c)與圖5(c)可知,領(lǐng)彈加速度在-100～100 m/s2,彈群加速度曲線變化合理,同時可知領(lǐng)彈控制過載小于從彈控制過載,因此領(lǐng)彈更適用于采用大后掠角飛行,而從彈更適用于小后掠角飛行;由圖4(d)與圖5(d)可知,2個場景下的速度前置角能夠?qū)崿F(xiàn)在領(lǐng)彈設(shè)定跟蹤前置角間的平均散布,并結(jié)合圖4(e)與圖5(e)可知,彈群能夠?qū)δ繕?biāo)實現(xiàn)側(cè)向平面內(nèi)的圍捕攻擊態(tài)勢。2種場景下的脫靶量如表3所示,由此可知,兩個仿真場景下彈群能夠?qū)δ繕?biāo)實現(xiàn)有效的攻擊。

表3 2種仿真場景下的脫靶量

4 結(jié)論

針對彈群在相對攻擊角度下的協(xié)同圍捕攻擊問題,利用變體飛行器狀態(tài)可變特性,提出一種基于“領(lǐng)彈-從彈”架構(gòu)并考慮視場約束的彈群協(xié)同圍捕制導(dǎo)設(shè)計方法,該方法通過對數(shù)型Lyapunov函數(shù)與積分型Lyapunov函數(shù)進(jìn)行制導(dǎo)律的設(shè)計,能夠在李雅普諾夫意義下實現(xiàn)穩(wěn)定。仿真結(jié)果表明,所設(shè)計制導(dǎo)律能夠在視場約束下實現(xiàn)變體彈群以相對攻擊角度對目標(biāo)進(jìn)行有效的協(xié)同攻擊。