陳婷婷 王 凱,,2) 成 利 周加喜,)

* (湖南大學(xué)機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院,長(zhǎng)沙 410082)

? (香港理工大學(xué)機(jī)械工程系,香港 999077)

引言

壓電材料因其可實(shí)現(xiàn)機(jī)械能和電能互換的特性,受到工程應(yīng)用及科研人員的重視,被廣泛應(yīng)用于健康監(jiān)測(cè)、計(jì)量元件的傳感結(jié)構(gòu)及損傷探測(cè)等領(lǐng)域[1-4].從環(huán)境振動(dòng)、機(jī)械振動(dòng)或者人體運(yùn)動(dòng)中采集能量,將其轉(zhuǎn)化為電能可以極大滿足傳感器自主供電的環(huán)保要求和經(jīng)濟(jì)需求[5-6].近些年來由于微電子及物聯(lián)網(wǎng)的高速發(fā)展,對(duì)μW/mW 級(jí)的電能應(yīng)用場(chǎng)景逐漸增多,因此將壓電材料用于能量俘獲并應(yīng)用于傳感器自供能設(shè)計(jì)也得到極大的關(guān)注[7-10].壓電俘能材料根據(jù)外力加載方向的不同,可以分為d33 和d31 兩種模式,d33 模式是施加的外力方向平行于壓電材料極化方向;而d31 模式是施加的外力方向垂直于壓電材料極化方向.其中,d33 模式更適用于高頻能量俘獲,而d31 模式一般由組合梁的方式呈現(xiàn),更適合于中低頻段能量俘獲[11],同時(shí)后者俘能結(jié)構(gòu)因可設(shè)計(jì)性更強(qiáng),得到更加廣泛的研究.

懸臂梁結(jié)構(gòu)是最常見的壓電俘能方式,Sun 等[12]綜述了超低頻振動(dòng)能量采集的研究情況,其中懸臂梁式的壓電能量采集結(jié)構(gòu)在文中占了很重要的篇幅.傳統(tǒng)的線性懸臂梁壓電俘能器利用結(jié)構(gòu)共振獲取高效振動(dòng)能量俘獲,但其工作頻帶窄,且必須要匹配到其共振頻率時(shí)才能實(shí)現(xiàn)高效俘能.因此,簡(jiǎn)單的線性懸臂梁壓電俘能裝置因其低頻振動(dòng)能量轉(zhuǎn)化效率較低、俘能頻帶較窄而難以勝任復(fù)雜環(huán)境的能量俘獲.為解決線性懸臂梁壓電俘能方法的局限性,研究人員設(shè)計(jì)了頻率可調(diào)[13-14]的壓電能量采集器來增加其實(shí)用性.為拓寬壓電俘能器的有效工作頻帶,研究人員在梁上加裝多個(gè)質(zhì)量塊構(gòu)造多模態(tài)懸臂梁[15-17],實(shí)現(xiàn)了振動(dòng)能量高效俘獲頻帶的成倍拓寬.在提高能量轉(zhuǎn)化效率方面,利用多段懸臂梁協(xié)同工作,可以明顯提升能量采集系統(tǒng)的俘能效率[18].此外,Zou 等[19]構(gòu)建了機(jī)械調(diào)制能量采集方法體系,從激勵(lì)形式轉(zhuǎn)換、升頻與力和運(yùn)動(dòng)放大等3 方面提高機(jī)械能量采集系統(tǒng)性能.但是,對(duì)于傳統(tǒng)線性共振型壓電能量采集系統(tǒng)而言,面臨著承載能力和低固有頻率之間的矛盾,難以實(shí)現(xiàn)低頻,甚至超低頻振動(dòng)能量高效俘獲.

為克服線性共振型壓電能量采集方法在低頻振動(dòng)能量高效俘獲方面的局限性,研究人員發(fā)展了非線性多穩(wěn)態(tài)振動(dòng)能量俘獲方法,并迅速獲得極大的關(guān)注.例如,Liao 等[20]利用流體誘導(dǎo)振動(dòng)設(shè)計(jì)了一種雙穩(wěn)態(tài)壓電能量采集器(BS-PEH),其研究結(jié)果表明所提出的振動(dòng)能量采集方法能夠明顯提高能量采集功率密度.Feng 等[21]提出了一種仿生雙穩(wěn)態(tài)壓電能量采集器,并證明了其在寬頻振動(dòng)能量俘獲方面的優(yōu)勢(shì).Wang 等[22]也設(shè)計(jì)了一種基于彈簧的雙穩(wěn)態(tài)能量收集器(SBEH),并證明了其從不同低頻振動(dòng)環(huán)境中俘能的能力.Zhou 等[23]受鳥類雙翅飛行機(jī)理的啟發(fā),提出一種新型仿生雙翅壓電能量采集器(BDEH),用于采集低頻振動(dòng)能量.多穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)由于其運(yùn)動(dòng)形式更加豐富,將其與壓電材料結(jié)合用于振動(dòng)能量俘獲受到很多學(xué)者的關(guān)注和研究.Fang 等[24]綜述了多穩(wěn)態(tài)效應(yīng)特點(diǎn)及其在能量采集等多方面的應(yīng)用.以三穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)為例,其結(jié)構(gòu)有3 個(gè)對(duì)稱的勢(shì)能阱,且勢(shì)能阱的深度要比雙穩(wěn)態(tài)淺,寬度要比雙穩(wěn)態(tài)寬,因此能實(shí)現(xiàn)較低強(qiáng)度下更寬頻的振動(dòng)能量采集.Zhou 等[25]探究了非對(duì)稱的三穩(wěn)態(tài)能量采集器的動(dòng)力學(xué)行為以期能提高三穩(wěn)態(tài)壓電俘能器的俘能效果.聶欣等[26]研究了窄帶隨機(jī)激勵(lì)下三穩(wěn)態(tài)壓電俘能器,并且通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了三穩(wěn)態(tài)壓電俘能器在隨機(jī)振動(dòng)能量俘獲方面的優(yōu)越性.

但是,不論是雙穩(wěn)態(tài)還是三穩(wěn)態(tài)等多穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu),都難以擺脫勢(shì)能阱和勢(shì)壘的束縛,即只有當(dāng)系統(tǒng)跨越勢(shì)壘時(shí)才能產(chǎn)生較大的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)幅值,從而實(shí)現(xiàn)振動(dòng)能量的高效俘獲.為克服勢(shì)壘對(duì)低頻振動(dòng)能量高效俘獲的限制,Chen 等[27]設(shè)計(jì)了一種有自減勢(shì)壘效應(yīng)的雙穩(wěn)態(tài)能量收集器,采用彈簧磁振子對(duì)懸臂梁進(jìn)行雙向糾偏,使勢(shì)壘在返回平衡位置時(shí)動(dòng)態(tài)降低;而當(dāng)遠(yuǎn)離平衡位置時(shí),勢(shì)能增強(qiáng),實(shí)現(xiàn)了16.17 Hz的超寬高效率振動(dòng)能量采集頻帶.鄭友成等[28]設(shè)計(jì)了一種線性放大與非線性磁力復(fù)合增強(qiáng)的三穩(wěn)態(tài)壓電俘能裝置,可以減小低能軌道到高能軌道所需的激發(fā)能量,同時(shí)還拓寬了阱間運(yùn)動(dòng)的頻率范圍.

雖然研究人員在線性共振型壓電能量采集方法和非線性多穩(wěn)態(tài)壓電能量采集方法方面進(jìn)行了諸多研究,但要想實(shí)現(xiàn)低頻小振幅振動(dòng)能量高效采集,尤其是在10 Hz 以下的超低頻俘能,還存在一定困難.鑒于此,本文提出了一種準(zhǔn)零剛度驅(qū)動(dòng)式壓電能量采集裝置.其中,壓電復(fù)合梁結(jié)合連桿形成負(fù)剛度機(jī)構(gòu),并在靜平衡位置處與正剛度相互抵消,使能量采集系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)零剛度特性.本文首先通過能量法求出機(jī)電耦合方程,并通過多項(xiàng)式對(duì)系統(tǒng)非線性回復(fù)力進(jìn)行擬合,結(jié)合諧波平衡法,推導(dǎo)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)與電學(xué)輸出的解析幅頻響應(yīng)方程.制備實(shí)驗(yàn)樣機(jī),搭建了實(shí)驗(yàn)測(cè)試平臺(tái),驗(yàn)證了理論分析結(jié)果.本研究有望為低頻小振幅振動(dòng)能量采集提供新思路.

1 模型設(shè)計(jì)及力學(xué)分析

1.1 模型及能量采集單元力學(xué)分析

圖1 展示了準(zhǔn)零剛度驅(qū)動(dòng)式壓電俘能裝置模型圖,整個(gè)裝置由一個(gè)底板、4 根導(dǎo)柱、兩根壓電復(fù)合梁和一個(gè)線性彈簧組成.壓電俘能裝置的結(jié)構(gòu)參數(shù)如圖1 所示,其中基梁長(zhǎng)113 mm,壓電薄膜長(zhǎng)85 mm,基梁和壓電膜的寬度均為10 mm,連桿的長(zhǎng)度b=25 mm.當(dāng)壓電復(fù)合梁處于自由狀態(tài)時(shí),連桿傾斜,所對(duì)應(yīng)的水平距離a=17 mm.當(dāng)將附加質(zhì)量置于準(zhǔn)零剛度俘能系統(tǒng)時(shí),系統(tǒng)處于靜平衡位置(連桿處于水平位置),壓電復(fù)合梁具有最大跨中撓度.此時(shí),壓電復(fù)合梁同連桿共同組成俘能系統(tǒng)的負(fù)剛度機(jī)構(gòu),抵消正剛度彈簧的剛度值.當(dāng)系統(tǒng)受到外部激勵(lì)時(shí),附加質(zhì)量向上或向下移動(dòng),當(dāng)附加質(zhì)量到達(dá)最高或者最低點(diǎn)后再回到平衡位置時(shí),系統(tǒng)完成了半個(gè)運(yùn)動(dòng)周期,此時(shí)壓電復(fù)合梁完成一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期.因此,準(zhǔn)零剛度驅(qū)動(dòng)式能量采集系統(tǒng)的電學(xué)輸出頻率是準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)頻率的兩倍.

圖1 俘能裝置結(jié)構(gòu)模型圖Fig.1 Structure model diagram of energy harvesting device

對(duì)壓電復(fù)合梁進(jìn)行力學(xué)分析,其模型示意圖以及局部坐標(biāo)系如圖2 所示.圖2(a)中L表示基梁的長(zhǎng)度,Lp表示壓電膜的長(zhǎng)度,H(t)表示壓電復(fù)合梁的跨中撓度.其中,黑色虛線表示復(fù)合梁在受集中力作用后,發(fā)生彎曲變形的形狀.圖2(b)展示了壓電復(fù)合梁的橫截面圖,其中db和hb分別代表梁的寬度和厚度,dp和hp分別代表壓電膜的寬度和厚度.

圖2 復(fù)合梁模型及其截面圖Fig.2 Composite beam model and its cross section

研究人員發(fā)現(xiàn),對(duì)于受跨中集中力作用的簡(jiǎn)支梁而言,其撓曲線可以用半正弦波函數(shù)進(jìn)行近似描述[29-30],即復(fù)合梁的撓曲線方程可表示為

式中,H(t)是復(fù)合梁的跨中撓度,其表達(dá)式為

其中X(t)表示準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)的位移響應(yīng).根據(jù)復(fù)合梁的撓曲線方程,梁的應(yīng)變與應(yīng)力方程可由系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)表示為

其中Yb表示梁的楊氏模量.假設(shè)壓電薄膜的應(yīng)變等于其與基體梁結(jié)合處基體梁表面的應(yīng)變,則壓電薄膜的應(yīng)變可以表示為

對(duì)于本文所研究的壓電片,其簡(jiǎn)化本構(gòu)方程可寫為[31]

式中,σp是壓電膜的應(yīng)力,Yp是壓電膜的楊氏模量,e31為壓電片的應(yīng)力常數(shù),E3為電場(chǎng)強(qiáng)度,D3為電位移,η33為恒定應(yīng)變下的介電常數(shù).在均勻電場(chǎng)強(qiáng)度下,電場(chǎng)強(qiáng)度E3和電壓之間的關(guān)系可表達(dá)為

則壓電薄膜輸出的電流為

式中Ap是壓電膜的橫截面積.將式(5)、式(7)和式(8)代入式(9),電流方程可表示為

其中(t)和(t)分別表示壓電薄膜輸出電壓以及能量采集系統(tǒng)位移響應(yīng)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù),若將壓電薄膜的等效電容引入式(10),即

則壓電薄膜的輸出電壓可改寫為

若假設(shè)壓電復(fù)合梁在其跨中有虛位移 δH,基體梁與壓電薄膜的虛應(yīng)變分別為 δεb與 δεp,此時(shí)壓電復(fù)合梁的虛應(yīng)變能可表示為

式中,Ab是基體梁的橫截面積,將式(3)、式(6)和式(8)代入到式(13),復(fù)合梁的整體虛應(yīng)變能可表示為

當(dāng)在壓電復(fù)合梁跨中處作用一定位移后,假設(shè)壓電復(fù)合梁提供的回復(fù)力為Fmid,根據(jù)虛功原理,復(fù)合梁的虛應(yīng)變能也可表示為

將式(14)代入到式(15),則集中力Fmid可以表示為

顯然,式(16)是一個(gè)機(jī)電耦合方程,若引入機(jī)電耦合系數(shù)

以及力學(xué)參數(shù)

壓電復(fù)合梁的電學(xué)回路方程可以表示為

顯然,當(dāng)給定系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)X(t)后,即可由式(19)與式(20)獲得壓電復(fù)合梁的跨中回復(fù)力以及能量轉(zhuǎn)化單元的電學(xué)回路方程.

1.2 系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析

對(duì)準(zhǔn)零剛度驅(qū)動(dòng)式壓電能量采集系統(tǒng)而言,當(dāng)系統(tǒng)在豎直方向上運(yùn)動(dòng)位移為X(t)時(shí),其系統(tǒng)回復(fù)力可以表示為

式中,K表示豎直彈簧的剛度,θ表達(dá)當(dāng)系統(tǒng)偏離靜平衡位置X后連桿與水平線的夾角.將式(21)對(duì)位移X求導(dǎo),則準(zhǔn)零剛度驅(qū)動(dòng)式壓電能量采集系統(tǒng)的非線性剛度可以表示為

為獲得準(zhǔn)零剛度特性,假設(shè)在靜平衡位置處能量采集器的剛度值等于0,此時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)位移為0,進(jìn)而壓電薄膜的輸出電壓也為0,即

由式(23)可以得出,系統(tǒng)的準(zhǔn)零剛度條件為

將式(24)代入式(21),則具有準(zhǔn)零剛度特性的壓電能量采集器回復(fù)力表達(dá)式可以表示為

當(dāng)給定系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)以及電學(xué)響應(yīng)后,由式(25)即可獲得系統(tǒng)的回復(fù)力值.在基礎(chǔ)激勵(lì)U=U0cos(ωt)(式 中U0表示位移幅值,ω表示頻率)作用下,能量采集器的機(jī)電耦合動(dòng)力學(xué)方程為

式中,M表示能量采集器質(zhì)量塊的質(zhì)量,C表示線性黏性阻尼系數(shù).

由于兩根壓電復(fù)合梁始終處于相同的變形狀態(tài),所以兩片壓電薄膜具有相同的電學(xué)輸出.若考慮外接電阻R,則由歐姆定律可知能量采集器的電學(xué)回路方程為

將式(27)代入式(20),則能量采集器的第2 個(gè)機(jī)電耦合方程可以表示為

以及

對(duì)于給定的外激勵(lì)頻率和外激勵(lì)幅值,通過求解式(29)和式(30)即可獲得能量采集器的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)和電學(xué)輸出.

1.3 機(jī)電響應(yīng)的解析表達(dá)

為獲得準(zhǔn)零剛度驅(qū)動(dòng)式壓電能量采集系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)與電學(xué)輸出的解析表達(dá)式,首先給出其在靜平衡位置處的回復(fù)力表達(dá)式

對(duì)回復(fù)力在靜平衡位置處進(jìn)行三階泰勒展開,即

對(duì)于準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)而言,其剛度值在靜平衡位置處等于0,即 κ1=0.

同時(shí)將機(jī)電耦合方程中機(jī)電耦合系數(shù)

在靜平衡位置處用泰勒級(jí)數(shù)展開,其三階展開表達(dá)式為

準(zhǔn)零剛度驅(qū)動(dòng)式壓電能量采集系統(tǒng)的回復(fù)力和機(jī)電耦合系數(shù)的原始表達(dá)式和多項(xiàng)式擬合對(duì)比如圖3 所示,其中黑色和紅色實(shí)線分別代表由精確表達(dá)式獲得的回復(fù)力和機(jī)電耦合系數(shù)曲線,而藍(lán)色米字和黃色星星分別表示由多項(xiàng)式擬合得到的回復(fù)力和機(jī)電耦合系數(shù)曲線.顯然,無論是回復(fù)力還是機(jī)電耦合系數(shù),其由精確表達(dá)式獲得的曲線能夠與由多項(xiàng)式擬合表達(dá)式獲得的曲線在設(shè)計(jì)使用范圍內(nèi)較好吻合,換言之,3 階泰勒展開表達(dá)式能夠表征能量采集系統(tǒng)的回復(fù)力和機(jī)電耦合特性,能夠用于推導(dǎo)機(jī)電響應(yīng)的解析表達(dá)式.

圖3 回復(fù)力和機(jī)電耦合系數(shù)的原函數(shù)和擬合函數(shù)圖(γ=1.562 5,θ=0.21,A=0.17,B=0.25)Fig.3 The original function and polynomial approximation diagram of restoring force and electromechanical coupling coefficient (γ=1.562 5,θ=0.21,A=0.17,B=0.25)

將式(32)與式(35)代入式(29)與式(30),準(zhǔn)零剛度驅(qū)動(dòng)式壓電能量采集系統(tǒng)的機(jī)電耦合動(dòng)力學(xué)方程可以改寫為

從能量俘獲單元的俘能原理分析可知,準(zhǔn)零剛度驅(qū)動(dòng)式壓電能量采集系統(tǒng)的位移響應(yīng)頻率等于激勵(lì)頻率,而電學(xué)響應(yīng)頻率是外激勵(lì)頻率的二倍.因此,假設(shè)系統(tǒng)的位移響應(yīng)和電學(xué)響應(yīng)的表達(dá)式為

其中 ?1和 ?2分別表示力學(xué)響應(yīng)和電學(xué)響應(yīng)的相位.將式(38)代入式(36),并令左右兩邊相同諧波的系數(shù)相等,可以得到

將式(38)代入到式(37)中,使兩邊諧波相等的各項(xiàng)系數(shù)和相等,可以得到

結(jié)合式(41)可以得出 cos(2?1-?2)和 sin(2?1-?2)異號(hào),結(jié)合式(4 2)可以得到 cos(2?1-?2)>0,sin(2?1-?2)<0.同時(shí)將式cos2(2?1-?2)=1-sin2(2?1-?2)代入到式(41),可以解得

將式(43)、式(44)代入到式(42)中,可以得到

將式(43)～式(45)代入到式(39)和式(40)中,可得到準(zhǔn)零剛度驅(qū)動(dòng)式能量采集系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)方程

此外,由式(45)可得出A12和B1的關(guān)系

將式(47)代入式(46),即可獲得準(zhǔn)零剛度驅(qū)動(dòng)式能量采集系統(tǒng)電學(xué)輸出的幅頻響應(yīng)方程.對(duì)于給定的外激勵(lì)頻率與幅值,由力學(xué)與電學(xué)幅頻響應(yīng)方程即可獲得系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)與電學(xué)輸出,并評(píng)估系統(tǒng)在低頻振動(dòng)能量采集方面的優(yōu)勢(shì).

2 結(jié)果比對(duì)與參數(shù)分析

2.1 數(shù)值結(jié)果與解析解結(jié)果比對(duì)

準(zhǔn)零剛度驅(qū)動(dòng)式能量采集系統(tǒng)的位移幅頻響應(yīng)曲線與電學(xué)輸出幅頻響應(yīng)曲線如圖4 所示,其中黑色實(shí)線表示由解析表達(dá)式獲得的結(jié)果,紅色正六邊形表示數(shù)值解正向掃頻結(jié)果,藍(lán)色十字表示數(shù)值解逆向掃頻結(jié)果.如圖4(a)所示,準(zhǔn)零剛度驅(qū)動(dòng)式能量采集系統(tǒng)的解析位移幅頻響應(yīng)曲線與通過直接求解系統(tǒng)機(jī)電耦合動(dòng)力學(xué)方程獲得的數(shù)值位移幅頻響應(yīng)曲線具有較高的一致性: 在下跳頻率之前的低頻范圍以及在下跳頻率之后的高頻范圍內(nèi),由解析表達(dá)式獲得的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)幅頻響應(yīng)曲線與由數(shù)值求解系統(tǒng)機(jī)電耦合方程獲得的數(shù)值解完全一致,曲線相互重疊;數(shù)值幅頻響應(yīng)曲線的下跳頻率高于解析幅頻響應(yīng)曲線的下跳頻率,且數(shù)值幅頻響應(yīng)曲線在下跳頻率處所對(duì)應(yīng)的位移響應(yīng)幅值略高于解析幅頻響應(yīng)曲線下跳頻率所對(duì)應(yīng)的幅值,主要原因?yàn)楫?dāng)使用諧波平衡法推導(dǎo)系統(tǒng)機(jī)電響應(yīng)時(shí)對(duì)系統(tǒng)的回復(fù)力與機(jī)電耦合力進(jìn)行多項(xiàng)式擬合,產(chǎn)生擬合誤差.此外,在推導(dǎo)系統(tǒng)機(jī)電響應(yīng)的解析表達(dá)式時(shí),舍去了機(jī)電響應(yīng)的高階諧波項(xiàng),導(dǎo)致由解析表達(dá)式獲得的系統(tǒng)響應(yīng)幅值略小于由求解原始機(jī)電耦合方程所獲得的數(shù)值結(jié)果.

圖4 數(shù)值結(jié)果與解析解結(jié)果對(duì)比(γ=1.562 5,ζ=0.055,ρ=2,θ=0.21,u0=0.03)Fig.4 Comparison of numerical results and analytical results(γ=1.562 5,ζ=0.055,ρ=2,θ=0.21,u0=0.03)

圖4(b)為準(zhǔn)零剛度驅(qū)動(dòng)式能量采集系統(tǒng)輸出電壓的幅頻響應(yīng)曲線.顯然,輸出電壓的幅頻響應(yīng)曲線與如圖4(a)所示的位移幅頻響應(yīng)曲線具有一致性,即在低于下跳頻率與高于下跳頻率的頻率范圍內(nèi),輸出電壓的數(shù)值結(jié)果與由解析表達(dá)式獲得的理論結(jié)果相互吻合,但是數(shù)值下跳頻率略高于解析下跳頻率,且數(shù)值下跳頻率對(duì)應(yīng)的電壓幅值略高于解析下跳頻率對(duì)應(yīng)的電壓幅值.實(shí)際上,電學(xué)響應(yīng)與位移響應(yīng)的一致性主要是因?yàn)闇?zhǔn)零剛度驅(qū)動(dòng)式能量采集系統(tǒng)的能量轉(zhuǎn)化單元(壓電復(fù)合梁)由準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)進(jìn)行驅(qū)動(dòng),其形變與系統(tǒng)的位移響應(yīng)嚴(yán)格相關(guān).換句話說,當(dāng)準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)幅值較大時(shí),壓電復(fù)合梁產(chǎn)生較大的跨中撓度,進(jìn)而使壓電薄膜產(chǎn)生較大應(yīng)變并輸出較大電壓.綜上所述,由諧波平衡法獲得的解析表達(dá)式能夠用于計(jì)算準(zhǔn)零剛度驅(qū)動(dòng)式能量采集系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)與電學(xué)輸出,以快速評(píng)估系統(tǒng)的機(jī)電性能.

2.2 參數(shù)分析

2.2.1 阻尼比的影響

本文所提出的準(zhǔn)零剛度驅(qū)動(dòng)式能量采集系統(tǒng)不可避免地存在著機(jī)械摩擦與結(jié)構(gòu)阻尼.本節(jié)通過改變系統(tǒng)阻尼比,并結(jié)合動(dòng)力學(xué)響應(yīng)與電學(xué)輸出的解析表達(dá)式,定性分析機(jī)械摩擦與結(jié)構(gòu)阻尼對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)與電學(xué)輸出特性的影響,如圖5 所示.顯然,當(dāng)阻尼比從0.045 增大至0.065 時(shí),準(zhǔn)零剛度驅(qū)動(dòng)式能量采集系統(tǒng)在外激勵(lì)頻率小于下跳頻率的頻率范圍內(nèi)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)幅值逐漸減小,下跳頻率向低頻移動(dòng),具有大位移響應(yīng)幅值的頻帶變窄,如圖5(a)所示.此外,當(dāng)阻尼比增大至0.06 時(shí),準(zhǔn)零剛度驅(qū)動(dòng)式能量采集系統(tǒng)位移幅頻響應(yīng)曲線的下跳現(xiàn)象消失;當(dāng)阻尼比增大至0.065 時(shí),準(zhǔn)零剛度驅(qū)動(dòng)式能量采集系統(tǒng)位移幅頻響應(yīng)曲線無明顯共振現(xiàn)象.需要注意的是,當(dāng)外激勵(lì)頻率大于下跳頻率時(shí),無論阻尼系數(shù)如何變化,準(zhǔn)零剛度驅(qū)動(dòng)式能量采集系統(tǒng)的相對(duì)位移響應(yīng)幅值基本等于外激勵(lì)幅值,即基礎(chǔ)激勵(lì)被準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)隔離,能量采集系統(tǒng)的振動(dòng)幅值明顯減小.

圖5 阻尼對(duì)位移及電壓響應(yīng)的影響(γ=1.562 5,ρ=2,θ=0.21,u0=0.03)Fig.5 Influence of damping on displacement and voltage response(γ=1.562 5,ρ=2,θ=0.21,u0=0.03)

系統(tǒng)阻尼對(duì)準(zhǔn)零剛度驅(qū)動(dòng)式能量采集系統(tǒng)無量綱輸出電壓幅頻響應(yīng)曲線的影響如圖5(b)所示.同位移幅頻響應(yīng)曲線一致,當(dāng)阻尼系數(shù)由0.045 增大至0.065 時(shí),輸出電壓幅值在下跳頻率之前的頻率范圍內(nèi)明顯減小,電壓幅頻響應(yīng)曲線的下跳頻率向低頻范圍內(nèi)移動(dòng),準(zhǔn)零剛度驅(qū)動(dòng)式能量采集系統(tǒng)在低頻范圍內(nèi)的能量采集效率降低,高效能量采集頻帶變窄.當(dāng)阻尼比增大至0.06 時(shí),無量綱輸出電壓幅頻響應(yīng)曲線無明顯共振現(xiàn)象,且隨外激勵(lì)頻率增加,輸出電壓保持不變.綜上所述,對(duì)于準(zhǔn)零剛度驅(qū)動(dòng)式能量采集系統(tǒng)而言,減小阻尼比有利于拓寬高效能量采集頻帶并提高振動(dòng)能量轉(zhuǎn)化效率.

2.2.2 激勵(lì)幅值的影響

圖6 表示當(dāng)阻尼比等于0.055 時(shí)激勵(lì)幅值對(duì)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)和電學(xué)輸出幅頻響應(yīng)曲線的影響,其中紅色空心球,藍(lán)色星星,玫紅色四邊形和綠色實(shí)心球形分別代表無量綱激勵(lì)幅值為0.02,0.025,0.03 和0.035 時(shí)對(duì)應(yīng)的動(dòng)力學(xué)和電學(xué)響應(yīng).從圖6(a)中可以看出,隨著激勵(lì)幅值的減小,準(zhǔn)零剛度驅(qū)動(dòng)式能量采集系統(tǒng)位移幅頻響應(yīng)曲線的下跳頻率向低頻移動(dòng),且下跳頻率對(duì)應(yīng)的位移幅值明顯增大.當(dāng)無量綱外激勵(lì)幅值減小至0.03 時(shí),位移幅頻響應(yīng)曲線的下跳現(xiàn)象消失;當(dāng)外激勵(lì)幅值進(jìn)一步降低時(shí),系統(tǒng)再無明顯共振現(xiàn)象,且在高頻區(qū)域內(nèi)位移響應(yīng)幅值隨外激勵(lì)頻率的增加而保持不變.

圖6 激勵(lì)幅值對(duì)位移和輸出電壓響應(yīng)的影響(γ=1.562 5,ζ=0.055,ρ=2,θ=0.21)Fig.6 Influence of excitation amplitude on displacement and output voltage (γ=1.562 5,ζ=0.055,ρ=2,θ=0.21)

外激勵(lì)幅值對(duì)準(zhǔn)零剛度驅(qū)動(dòng)式能量采集系統(tǒng)無量綱輸出電壓幅頻響應(yīng)曲線的影響如圖6(b)所示.因能量轉(zhuǎn)化單元的運(yùn)動(dòng)幅值與準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)嚴(yán)格相關(guān),即壓電薄膜的應(yīng)變隨系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)位移增大而增大,所以外激勵(lì)幅值對(duì)輸出電壓幅頻響應(yīng)曲線的影響與對(duì)位移幅頻響應(yīng)曲線的影響完全一致.即,當(dāng)外激勵(lì)幅值增大后,輸出電壓的下跳頻率向高頻區(qū)域移動(dòng),能量采集系統(tǒng)具有更寬的高效能量轉(zhuǎn)化頻帶,且在低頻區(qū)域內(nèi)具有更高的輸出電壓.

3 實(shí)驗(yàn)與討論

為驗(yàn)證機(jī)電耦合動(dòng)力學(xué)方程以及動(dòng)力學(xué)與電學(xué)響應(yīng)解析表達(dá)式的正確性,結(jié)合增材制造技術(shù)與數(shù)控加工技術(shù),加工制備了準(zhǔn)零剛度驅(qū)動(dòng)式能量采集系統(tǒng)樣機(jī),并搭建了實(shí)驗(yàn)測(cè)試平臺(tái),實(shí)驗(yàn)樣機(jī)中壓電薄膜的材料與幾何參數(shù)如表1 所示,準(zhǔn)零剛度驅(qū)動(dòng)式能量采集器的幾何參數(shù)見圖1.

表1 模型的相關(guān)物理參數(shù)Table 1 Relevant parameters of the prototype

圖7 展示了實(shí)驗(yàn)設(shè)備和實(shí)驗(yàn)測(cè)試過程.其中,實(shí)驗(yàn)測(cè)試平臺(tái)主要包括靜電計(jì)(吉時(shí)利6514)、激光位移傳感器(LTS-200-100)、激振器(JZK-10)、筆記本電腦、信號(hào)發(fā)生器(VT-9008)和功率放大器(YE5874 A)等.實(shí)驗(yàn)中,準(zhǔn)零剛度驅(qū)動(dòng)式能量采集器(即QZSE-PEH)固定在激振器上,激光位移傳感器置于黑色橫梁上且可左右移動(dòng),以測(cè)試輸入激勵(lì)幅值及能量采集系統(tǒng)的位移響應(yīng).壓電薄膜通過兩根導(dǎo)線與靜電計(jì)相連,以測(cè)試能量采集系統(tǒng)在受到外激勵(lì)時(shí)壓電薄膜的輸出電壓.需要注意的是,因準(zhǔn)零剛度驅(qū)動(dòng)式能量采集系統(tǒng)左右兩側(cè)壓電復(fù)合梁的幾何屬性、材料屬性以及動(dòng)力學(xué)響應(yīng)均完全一致,僅需測(cè)量一片壓電薄膜的輸出電壓即可獲得另外一片壓電薄膜的電學(xué)輸出.本次實(shí)驗(yàn)所使用靜電計(jì)的內(nèi)阻為200 TΩ,其數(shù)值遠(yuǎn)大于一般電阻元件的電阻值,所以由靜電計(jì)測(cè)試得到的輸出電壓可近似認(rèn)為是系統(tǒng)開路電壓.實(shí)驗(yàn)測(cè)試條件為在激勵(lì)頻率0～8 Hz 范圍內(nèi)進(jìn)行定幅值正弦激勵(lì),單個(gè)頻率點(diǎn)駐留時(shí)間為2 min.為消除測(cè)試誤差,每組實(shí)驗(yàn)都重復(fù)3 次.

圖8 展示了在激勵(lì)幅值分別為2 mm,3 mm和3.5 mm 時(shí),準(zhǔn)零剛度驅(qū)動(dòng)式能量采集系統(tǒng)的絕對(duì)位移幅頻響應(yīng)曲線和峰值電壓幅頻響應(yīng)曲線.其中藍(lán)色實(shí)線,綠色實(shí)線和紅色實(shí)線分別代表激勵(lì)幅值為3.5 mm,3 mm 和2 mm 時(shí)系統(tǒng)的輸出.從圖中可以看出,隨著激勵(lì)幅值的增大,系統(tǒng)的絕對(duì)位移響應(yīng)逐漸增大.如圖8(b)所示的輸出電壓幅頻響應(yīng)曲線展示出與系統(tǒng)位移幅頻響應(yīng)曲線完全一致的趨勢(shì),即隨著外激勵(lì)幅值的增加,能量采集系統(tǒng)的輸出電壓逐漸增大,這與通過數(shù)值求解系統(tǒng)機(jī)電耦合方程獲得的數(shù)值幅頻響應(yīng)曲線以及由解析表達(dá)式獲得的解析幅頻響應(yīng)曲線具有一致性.本文所推導(dǎo)的機(jī)電耦合方程以及解析表達(dá)式可用于評(píng)估能量采集系統(tǒng)的能量采集性能.

圖8 不同激勵(lì)幅值下絕對(duì)位移響應(yīng)與峰值電壓的輸出結(jié)果Fig.8 Output results of absolute displacement response and peak voltage under different excitation amplitudes

為進(jìn)一步觀察位移響應(yīng)和輸出電壓響應(yīng)的細(xì)節(jié)情況,圖9 展示了在2.5 Hz 時(shí)絕對(duì)位移響應(yīng)和輸出電壓響應(yīng)的時(shí)域圖.圖9(a)、圖9(b)和圖9(c)分別展示了激勵(lì)幅值為2 mm,3 mm 和3.5 mm 時(shí)輸入幅值(input)與響應(yīng)幅值(output)的情況,其中黑色實(shí)線表示輸入激勵(lì)幅值,紅色、綠色及藍(lán)色短點(diǎn)畫線分別表示激勵(lì)幅值為2/3/3.5 mm 時(shí)位移響應(yīng)的幅值.顯然,準(zhǔn)零剛度驅(qū)動(dòng)式能量采集系統(tǒng)的絕對(duì)位移響應(yīng)具有與輸入激勵(lì)完全一致的頻率.激勵(lì)幅值越大,對(duì)應(yīng)的輸出響應(yīng)也越大.圖9(d)展示了激勵(lì)幅值為2 mm,3 mm 和3.5 mm 時(shí)能量采集系統(tǒng)的開路電壓時(shí)域響應(yīng)曲線,分別用紅色實(shí)線、綠色雙畫線、藍(lán)色點(diǎn)畫線表示.可以看出隨著激勵(lì)幅值的增大,對(duì)應(yīng)的開路電壓響應(yīng)的值也越大.在激勵(lì)幅值等于3.5 mm 時(shí),系統(tǒng)開路電壓峰值達(dá)到最大值25 V.需要注意的是,準(zhǔn)零剛度驅(qū)動(dòng)式能量采集系統(tǒng)輸出電壓的頻率為基礎(chǔ)激勵(lì)頻率以及系統(tǒng)絕對(duì)位移響應(yīng)頻率的兩倍,這與準(zhǔn)零剛度驅(qū)動(dòng)式能量采集系統(tǒng)工作原理分析結(jié)果一致.此外,當(dāng)壓電薄膜只受到單邊彎矩且無電荷泄露時(shí),其輸出電壓表現(xiàn)為單方向.文獻(xiàn)[32-33]中給出了解釋,即只有當(dāng)電壓表的內(nèi)阻大于臨界有效值時(shí),測(cè)得的電壓才能與理論分析中的一致.

圖9 在2.5 Hz 時(shí),不同激勵(lì)幅值的位移時(shí)域響應(yīng)曲線Fig.9 The displacement time-domain response curve with different excitation amplitude at 2.5 Hz

4 結(jié)論

本文針對(duì)傳統(tǒng)線性共振型振動(dòng)能量采集方法以及非線性多穩(wěn)態(tài)振動(dòng)能量俘獲方法難以實(shí)現(xiàn)低頻小幅值工況下振動(dòng)能量的高效俘獲難題,創(chuàng)新設(shè)計(jì)了一種由準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)能量轉(zhuǎn)化單元實(shí)現(xiàn)大幅值運(yùn)動(dòng)響應(yīng)的準(zhǔn)零剛度驅(qū)動(dòng)式壓電能量采集系統(tǒng).因能量轉(zhuǎn)化單元為構(gòu)成準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)的一部分,所以其高效能量采集頻率與頻帶不依賴于能量轉(zhuǎn)化單元的固頻,而是與準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)嚴(yán)格相關(guān),克服了傳統(tǒng)線性共振型能量采集難以實(shí)現(xiàn)低頻俘能的難題.另外,準(zhǔn)零剛度驅(qū)動(dòng)式能量采集系統(tǒng)在靜平衡位置處剛度等于零,在靜平衡位置附近趨近于零,能夠在低頻小幅值工況下實(shí)現(xiàn)較大動(dòng)力學(xué)響應(yīng),進(jìn)而驅(qū)動(dòng)能量轉(zhuǎn)化單元實(shí)現(xiàn)振動(dòng)能量高效采集.本文首先用能量法獲得機(jī)電耦合動(dòng)力學(xué)方程,再結(jié)合諧波平衡法推導(dǎo)出動(dòng)力學(xué)響應(yīng)與電學(xué)輸出的解析解.對(duì)比數(shù)值幅頻響應(yīng)曲線與解析幅頻響應(yīng)曲線發(fā)現(xiàn),數(shù)值解與解析解結(jié)果相互吻合.進(jìn)一步分析了系統(tǒng)阻尼系數(shù)與外激勵(lì)幅值對(duì)準(zhǔn)零剛度驅(qū)動(dòng)式能量采集系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)與電學(xué)輸出的影響,并加工制備了能量采集系統(tǒng)樣機(jī),搭建了實(shí)驗(yàn)測(cè)試平臺(tái)進(jìn)行驗(yàn)證.研究結(jié)果顯示,當(dāng)外激勵(lì)頻率等于2.5 Hz、激勵(lì)幅值等于3.5 mm 時(shí),所提出的準(zhǔn)零剛度驅(qū)動(dòng)式能量采集系統(tǒng)能夠產(chǎn)生25 V 的輸出電壓.本文研究成果有望進(jìn)一步夯實(shí)低頻振動(dòng)能量采集理論,為低頻小幅值振動(dòng)能量采集提供新思路.