韓勤鍇 高 帥 邵卿洋 褚福磊

* (清華大學高端裝備界面科學與技術全國重點實驗室,北京 100084)

? (米蘭理工大學機械學院,意大利米蘭 20156)

引言

憑借結構多樣、輸出穩(wěn)定、能量轉(zhuǎn)換效率高、成本低、環(huán)境適應能力強等優(yōu)點,摩擦納米發(fā)電機(triboelectric nanogenerators,TENG)在環(huán)境振動能量收集中受到廣泛關注[1-2].自然環(huán)境中大量存在的是低頻振動能量.例如,人走路的頻率大致在2～3 Hz 之間,海浪波動以及高層或大型建筑的振動頻率大都集中在10 Hz 以下甚至更低[3-4].通過合理設計擺長,可有效降低單擺固有頻率,使其在低頻(甚至超低頻)振動激勵下即可實現(xiàn)共振,進而大幅提升能量采集器的表現(xiàn)[5-7].因此,結合單擺結構的摩擦發(fā)電機(pendulum-type TENG,P-TENG),自然成為學界關注的焦點[8-9].開展輸出特性建模與參數(shù)敏感性分析,將有助于P-TENG 的結構優(yōu)化設計,進而推動P-TENG 向工程實用化方向發(fā)展[10-11].

開展TENG 輸出特性分析的核心是明確輸出電壓、摩擦電荷和電極距離之間的關系,即V-Q-x關系.采用等效電路方法,Niu 等[12]首次開展這方面的研究.分別針對具有不同結構形式的TENG (包括滑動結構[13]、單電極結構[14]、光柵結構[15]等),建立了相應的輸出特性分析模型.為了提升模型的預測表現(xiàn),不少學者從電荷轉(zhuǎn)移機制[16-17]、接觸界面微觀形狀[18-19]、拓撲結構優(yōu)化[20-23]和初始殘余電荷[24]等多個角度,對TENG 輸出特性分析模型進行了持續(xù)的改進.但是,現(xiàn)有研究仍然采用線性諧波函數(shù)近似電極分離距離的變化.當振動頻率接近或等于固有頻率時,單擺大幅擺動,引起顯著的非線性效應.已有研究證實線性函數(shù)近似將使模型產(chǎn)生較大的預測誤差[25-27].但這些研究所考慮的非線性效應是由電極之間或介電層與電極之間的非連續(xù)碰撞引起的,尚無研究涉及P-TENG 中單擺大幅擺動引起的非線性效應.

因此,本研究開展用于P-TENG 輸出特性分析的非線性機電耦合建模.在摩擦發(fā)電機理分析的基礎上,提出了等效電容模型;結合能量原理和等效電路方法,建立了考慮擺角非線性變化的機電耦合模型.利用諧波平衡法,解析求解P-TENG 的周期穩(wěn)態(tài)輸出,并判斷結果的穩(wěn)定性.采用數(shù)值積分和動態(tài)測試兩種手段,驗證諧波平衡結果的準確性.通過對比P-TENG 工作帶寬和最大輸出電流的變化,說明考慮非線性效應的必要性.在此基礎上,討論設計參數(shù)(包括激勵幅值、阻尼比、間隙長度和電極夾角)對系統(tǒng)動態(tài)輸出特性的影響.通過構建多種擬合模型,為P-TENG 輸出性能設計提供依據(jù).最后,總結論文的結論.

1 非線性機電耦合模型

1.1 摩擦發(fā)電機理

所研究的P-TENG 結構如圖1 所示,包括扇形單擺、中心軸和圓形基板等.扇形單擺的材質(zhì)為聚四氟乙烯(PTFE),通過滾動軸承支承在中心軸上,可繞軸心往復擺動.建立軸心O為坐標原點的坐標系O-x-y,單擺質(zhì)心半徑為rp.當P-TENG 受到環(huán)境振動激勵力Fx(t)時,質(zhì)心相對平衡位置的擺角為θ,且規(guī)定向右為正,如圖1 所示.圓形基板上設置左右銅電極,夾角為α.極性不同的單擺和銅電極經(jīng)過若干次接觸滑動后,在其表面將分別帶上等量異號的摩擦電荷,并隨著滑動次數(shù)的增加逐漸達到電荷飽和.因單擺的材質(zhì)為PTFE,其表面摩擦電荷可以駐留較長時間而不衰減.

圖1 P-TENG 結構圖Fig.1 Structure of the P-TENG

左、右電極與扇形PTFE 單擺,共同構成自由層模式TENG.為了便于分析摩擦發(fā)電機理,可沿基板圓形環(huán)面剖切,截面如圖2 所示.假定圖2 中(i)為初始位置.根據(jù)電荷守恒定律,PTFE 單擺的摩擦電荷量與左電極的摩擦電荷量相等.兩電極電勢差為零,外電路沒有電流產(chǎn)生.當PTFE 單擺相對于基板擺動至位置(ii)時,在靜電感應作用下,電荷會通過外電路,從左電極運動到右電極;當PTFE 單擺擺動至位置(iii)時,左電極上的電荷完全移動至右電極,使其與PTFE 單擺表面的電荷量相等.此時,外電路中電流為零.當PTFE 單擺回擺至位置(iv)時,電荷會通過外電路,從右電極移動到左電極.如此循環(huán)往復,在外電路中形成交變電流,實現(xiàn)了外部機械能到電能的轉(zhuǎn)換.基于COMSOL 靜電場仿真模塊,計算了上述4 個位置時,PTFE 單擺與左右電極截面之間的電勢差分布,如圖3 所示.仿真結果與上述結果具有較好的一致性,從而驗證了原理分析的準確性.

圖3 基于COMSOL 的靜電場仿真結果Fig.3 Simulation results based on the COMSOL

1.2 等效電容分析與擬合

PTFE 單擺與左右電極組成了一種獨立層式可變電容器,可將其簡化為如圖4 所示帶負載Re的等效電路系統(tǒng).圖中Cp-l和Cp-r表示PTFE 單擺與左右電極的電容,二者是串聯(lián)關系;而與平板式獨立可變電容器不同的是,單擺無法完全隔開兩個電極,因此還存在Cl-r,表示兩個電極之間的電容,與前兩者是并聯(lián)關系.3 個電容值均為擺角θ的函數(shù).鑒于結構的復雜性,基于COMSOL 建立了三維電容仿真模型,如圖5 所示.仿真時結構參數(shù)如表1 所示.單擺與電極表面的間距為δ=0.2 mm.PTFE 材料的相對介電常數(shù)設置為2.引入真空介電常數(shù)ε0和長度L=1 m,將計算得到的電容值進行無量綱處理.

表1 電容仿真時P-TENG 結構參數(shù)Table 1 Structural parameters of the simulated P-TENG

圖4 帶負載的等效電路系統(tǒng)Fig.4 Equivalent circuit system with external resistance

圖5 等效電容仿真模型 (單位: mm)Fig.5 The three-dimensional capacitance simulation model based on COMSOL (unit: mm)

通過靜電場計算得到無量綱電容值隨擺角的變化曲線,如圖6(a)所示.當擺角θ由-90°增加至90°時,Cp-l先緩慢降低;在θ=0°附近,快速降低;進而緩慢降低.與之相反,Cp-r先緩慢增加,在θ=0°附近,快速增加;進而緩慢增加.Cl-r幾乎保持不變,因此在后續(xù)分析中將著重考慮Cp-l和Cp-r.考慮到后續(xù)將用到電容倒數(shù)值,可采用如下函數(shù)進行擬合

圖6 等效電容仿真結果Fig.6 Capacitance simulation results

式中,a1=11.331 1,a2=10.099 7,a3=0.040 9,a4=1.419 0分別為相應的擬合系數(shù).擬合曲線如圖6(b)所示.結構尺寸不同,對應的擬合系數(shù)值也有所不同.

1.3 解析建模

根據(jù)圖1 中的幾何關系,當滾動角為θ時,可得單擺質(zhì)心水平和垂向位移為xp=rpsinθ和yp=rp(1-cosθ).假定單擺表面摩擦電荷均勻分布,電荷量為σS,其中σ為摩擦電荷密度,S為單擺表面積.電容Cp-l的極板電荷為Q,電容Cp-r的極板電荷為Q-σS.系統(tǒng)的動能、勢能以及耗散能(實為耗散功率)可分別表示如下

式中,mp和Jp表示單擺質(zhì)量和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動慣量,g為重力加速度,cp表示系統(tǒng)阻尼系數(shù).考慮外力作用引起的廣義力可表示為:Fx(t)=mpax(t),其中ax(t)表示加速度.將式(1)和式(2)代入式(3)～式(5)中,基于拉格朗日方程,并取sinθ≈θ-θ3/6 和cosθ≈ 1-θ2/2,可得P-TENG 的機電耦合方程如下

從式(6)和式(7)可以看出,由于機電耦合效應,使得單擺擺動方程中出現(xiàn)與電荷Q相關項,而電路方程中出現(xiàn)與擺角θ相關的系數(shù).此外,式(6)中還出現(xiàn)了擺角的二次項和三次項(即θ2和θ3),其為非線性效應的具體表現(xiàn).后續(xù)研究中,也將重點討論非線性效應對系統(tǒng)輸出特性的影響.若忽略耦合項對摩擦電荷的影響,在小幅擺角下,系統(tǒng)的固有頻率可表示為

采用SolidWorks 求算單擺對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量及質(zhì)心的半徑,得mp=0.019 7 kg,Jp=6.533 kg·mm2,rp=30.612 mm,代入式(8),計算得ω0≈ 2.45 Hz.

將時變加速度激勵設定為諧波形式,即ax(t)=ax0cos(ωxt),其中ax0和ωx分別表示激勵幅值和頻率.引入無量綱時間為τ=ω0t,角位移尺度θ0=π/2,無量綱擺動位移為θn=θ/θ0.無量綱電荷可表示為Qn=Q/(σS).阻尼比ζ=cp/[2(mprp2+Jp)ω0],無量綱激勵幅值an=ax0/(Lω02)和頻率ωn=ωx/ω0.將上述變量代入式(6)和式(7),可得無量綱化后的機電耦合模型為

2 分析方法

作為數(shù)值積分方法的替代方法,諧波平衡法(HBM)可用于求解非線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)周期解[28].與經(jīng)典的攝動法、多尺度法等相比,諧波平衡法的優(yōu)點是普適性強,對于強非線性系統(tǒng)也可獲得滿意的結果.將上一節(jié)得到的機電耦合方程表示為矩陣形式

其中y=[θn,Qn]T表示自由度向量,A,B,C分別表示系數(shù)矩陣,具體表達式如下

Fxq由無量綱化的外部激勵力、非線性激勵力和機電耦合力組成,可表示為

單擺運動的穩(wěn)定解可表示為如下Fourier 級數(shù)形式

式中,N表示Fourier 級數(shù)的階數(shù),Yk表示系數(shù)向量.穩(wěn)定解對τ的一階和二階導數(shù)項為

由于不同參數(shù)和初始條件下,系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應解所對應的諧波組合都不同,考慮對系統(tǒng)響應具有顯著影響的低階諧波.不失一般性,可將Fxq分為線性部分G(τ)和非線性部分Fu(τ)的疊加,二者可分別表示為傅里葉級數(shù)形式

式中,Gk和Fuk分別為線性和非線性激勵力的傅里葉系數(shù)向量.將式(14)～式(18)代入式(11),通過運算平衡掉同次諧波項,可得到一組代數(shù)方程組.如果取到N次諧波,則可得2(2N+1)個方程,由此可求出包含有N次諧波的近似解.對于第k階諧波系數(shù),有如下關系

由于非線性力Fu(τ)是自由度y的函數(shù),因此其傅里葉系數(shù)Fuk也是Yk的函數(shù).因非線性因素的影響,上式需要數(shù)值方法求解.借助Carmeron 等[29]提出的時頻變換方法,可以將系統(tǒng)數(shù)值響應信號由時域變換到頻域,進而可以確定系統(tǒng)響應中所包含的主要頻率成分,求解具有高階截斷的Y與Fu級數(shù)解形式,即

基于此,非線性代數(shù)方程組(見式(19))可通過Newton-Raphson 迭代方法求解.因分叉導致的系統(tǒng)多解區(qū),需借助弧長延拓技術進行有效跟蹤[30].盡管諧波平衡法能夠求解系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應,但并不意味著該響應是穩(wěn)定的.因此,有必要研究周期解的穩(wěn)定性問題.為了保持頻域方法的計算效率,需要開展頻域穩(wěn)定性分析.具體流程可參考文獻[25-26].

3 模型驗證與對比

3.1 數(shù)值積分

采用數(shù)值積分和動態(tài)測試兩種手段,驗證所提出的基于HBM 的P-TENG 輸出特性分析結果的準確性.仿真和試驗測試的P-TENG 參數(shù)已在第1 節(jié)中給出.表面摩擦電荷密度σ=1 nC/cm2,無量綱激勵幅值an=0.005 且頻率ωn的變化范圍為[0.5,1.5].考慮短路條件(Re≈0 Ω),采用HBM 和數(shù)值積分方法(numerical integration,NI)求解單擺角位移和表面電荷,如圖7 和圖8 所示.其中HBM 解的穩(wěn)定性判別結果也在圖中給出.當ωn由0.5 增加至1 (即為線性系統(tǒng)固有頻率)時,擺角和電荷響應曲線均出現(xiàn)向左傾斜的現(xiàn)象.這是由于單擺擺動幅度的增加,系統(tǒng)非線性“軟特性”效應增強導致的.HBM 結果與NI 結果吻合較好,初步驗證了所提出的輸出特性分析方法是可靠的.當諧波次數(shù)N由4 增加至6 時,響應峰值有所下降;繼續(xù)增加N至8 時,響應峰值幾乎保持不變,表明低階諧波對P-TENG 輸出特性的影響占主導.后續(xù)的分析將取N=6.

圖7 單擺最大擺角隨激勵頻率變化曲線Fig.7 Pendulum angle vs.excitation frequency solved by HBM and NI

圖8 P-TENG 表面摩擦電荷隨激勵頻率變化曲線Fig.8 Surface charge vs.excitation frequency solved by HBM and NI

3.2 動態(tài)測試

圖9 給出了基于直線電機的動態(tài)測試平臺,其中P-TENG 樣機如圖特寫所示.直線電機產(chǎn)生周期性的振動激勵,其頻率和幅值分別由內(nèi)置的信號發(fā)生器和功率放大器控制.P-TENG 的左右電極外接負載電阻,通過靜電計和NI 數(shù)據(jù)采集模塊實時采集并記錄動態(tài)電流,進而通過PC 進行后處理分析,得到P-TENG 的輸出特性.動態(tài)測試中記錄的是流經(jīng)負載電阻的電流信號,而機電耦合模型中只能得到表面電荷信號,需要計算電荷對時間的微分,以獲得實時電流,即

圖9 基于直線電機的P-TENG 動態(tài)測試平臺Fig.9 Dynamic test platform based on a linear motor

同時,需將試驗結果進行無量綱化,根據(jù)第2 節(jié)中定義的電荷和時間尺度,可知需將試驗結果得到的電流值除以σSω0.外接負載電阻Re=1 MΩ 時,實測和HBM 計算的輸出電流均方根值隨激勵頻率的變化結果如圖10(a)所示.當ωn接近或者等于系統(tǒng)固有頻率時(即ωn≥ 1),由于“軟特性”非線性的影響,輸出電流響應曲線有明顯向左傾斜的現(xiàn)象,這樣對P-TENG 工作頻帶的拓寬是有利的.試驗結果很好印證了HBM 結果,進一步驗證了理論模型和所采用的分析方法是合理的.當ωn=0.87 時,實測和HBM 得到的輸出電流和功率密度隨負載電阻的變化情況如圖10(b)所示.隨著負載電阻的增加,輸出電流先緩慢下降,而后迅速降低;而功率密度則先增加后降低,在Re=200 MΩ 附近取得最大值,約為1500 μW/m2.試驗與HBM 結果較為一致,進一步驗證了理論模型的準確性.

圖10 HBM 結果與試驗結果的對比Fig.10 Comparison of HBM results with test results

3.3 與線性模型的對比

圖11 對比了考慮非線性效應與否對單擺擺動角的影響.當ωn遠離系統(tǒng)固有頻率時(ωn? 1 或ωn? 1),考慮非線性效應與否對結果影響不大.從式(6)來看,相當于θ3的影響可忽略不計.當ωn處于1 附近時,由于振幅較大,此時θ3的影響不可忽略.根據(jù)式(6),非線性的作用使得系統(tǒng)剛度被削弱,表現(xiàn)為“軟特性”.因此,曲線峰值向左偏移,因非線性軟特性效應也使得最大擺角顯著增加.未考慮非線性效應時,擺角曲線的峰值以ωn=1 對稱.選取ωn=0.92 (case 1)和ωn=1.04 (case 2)兩種情況,對比了擺角穩(wěn)態(tài)響應及其頻譜,如圖12(a)和圖12(b)所示.對于情況1,考慮非線性效應,使得穩(wěn)態(tài)擺角幅值大于未考慮非線性效應的情況,且頻譜中激勵頻率的3 倍頻(3ωn)較為明顯;對于情況2,則剛好與情況1 相反,且頻譜中的3ωn幅值相對較低.圖13(a)中給出了非線性效應對P-TENG 輸出電流的影響.與擺動角的結果類似,在ωn處于1 附近時,非線性效應對P-TENG 的輸出有顯著影響.引入兩個指標:工作帶寬Bw和最大輸出電流Imax,如圖13(a)所示,用于衡量P-TENG 輸出特性.圖13(b)分別考察了非線性效應對兩個指標的影響.考慮非線性效應,對最大輸出電流的結果影響不大,但是模型預估的工作帶寬顯著增加,相對增量83%.結果表明,本文提出的模型能夠有效避免現(xiàn)有模型對工作帶寬的低估問題,顯著提升模型對P-TENG 輸出性能估計的準確性.

圖11 考慮非線性效應與否對擺動角位移的影響Fig.11 Comparison of the influence of the consideration of the nonlinear effect for pendulum angle response curves

圖13 非線性效應對P-TENG 輸出特性的影響Fig.13 Comparison of the influence of the consideration of the nonlinear effect

4 分析與討論

基于本文提出的考慮非線性效應的機電耦合模型,研究不同設計參數(shù)對P-TENG 輸出特性的影響.這些參數(shù)包括: 激勵幅值an、阻尼比ζ、間隙長度δ和電極夾角α.當激勵幅值an由0.003 增加至0.005 時,如圖14 所示,P-TENG 輸出電流曲線的峰值所對應的頻率范圍顯著擴大,且最大值也有所增加.增加激勵幅值,有助于提升P-TENG 的輸出表現(xiàn).從圖15 的定量變化曲線可知,工作帶寬Bw隨激勵幅值以指數(shù)形式增加.采用冪函數(shù)進行擬合,冪指數(shù)為3.16,系數(shù)約為5.58×106.最大輸出電流Imax則與激勵幅值呈現(xiàn)線性正比關系,比例系數(shù)約為25.01.

如圖16 所示,當阻尼比ζ由0.04 增加至0.07 時,P-TENG 輸出電流曲線的峰值所對應的頻率范圍變窄,且最大值也有所降低.為了維持P-TENG的輸出表現(xiàn),應盡可能減小系統(tǒng)阻尼.從圖17 的定量變化曲線可知,工作帶寬Bw和最大輸出電流Imax均隨阻尼比以冪指數(shù)形式降低.擬合的結果為:對于工作帶寬,冪指數(shù)為-3.1,系數(shù)約為9.63×10-6;對于最大輸出電流,冪指數(shù)為-0.93,系數(shù)約為6.3×10-3.

圖16 阻尼比對輸出電流均方根值影響的瀑布圖Fig.16 Waterfall map for the effect of damping ratio an on the output performance of the P-TENG

圖17 工作帶寬和最大電流隨阻尼比變化曲線及擬合結果Fig.17 Variation curves of operation bandwidth and maximum output current with damping ratio and fitting results

當結構參數(shù)(間隙長度δ和電極夾角α)變化時,P-TENG 等效電容隨擺角的曲線發(fā)生變化,由此帶來式(1)和式(2)中的擬合系數(shù)值也隨之變化.需要分別確定不同結構參數(shù)時相應的擬合系數(shù)值(即a1,a2,a3和a4),以用于機電耦合模型的數(shù)值分析.如圖18所示,當間隙長度δ由0.2 mm 增加至1.5 mm 時,PTENG 輸出電流曲線的最大值和工作帶寬均有所降低.分別采用冪指數(shù)函數(shù)擬合工作帶寬、最大輸出電流與間隙長度δ的關系,如圖19 所示,可得冪指數(shù)分別為-0.07 和-0.09,系數(shù)分別為0.21 和0.12.為了保持P-TENG 的輸出表現(xiàn),應盡量降低間隙長度.但是,間隙過小,易使單擺與電極表面的摩擦力增加,導致加速磨損問題.在實際設計時,需綜合考慮間隙長度和摩擦力幅值,以使P-TENG 輸出表現(xiàn)處于較優(yōu)狀態(tài).

圖18 間隙長度對輸出電流均方根值影響的瀑布圖Fig.18 Waterfall map for the effect of gap length an on the output performance of the P-TENG

圖19 工作帶寬和最大電流隨間隙長度變化曲線及擬合結果Fig.19 Variation curves of operation bandwidth and maximum output current with gap length and fitting results

當電極夾角α由10°增加至70°時,如圖20 所示,P-TENG 最大輸出電流值持續(xù)下降,工作頻帶也有所收窄.從圖21 的擬合結果可以看出,工作帶寬、最大輸出電流與電極夾角均呈現(xiàn)為采用線性反比關系.比例系數(shù)分別為-0.01 和-2.6×10-3.應盡量減小電極夾角,以提升P-TENG 的輸出表現(xiàn).

圖20 電極夾角對輸出電流均方根值影響的瀑布圖Fig.20 Waterfall map for the effect of electrode angle an on the output performance of the P-TENG

上述分析基于本文提出的考慮非線性效應的機電耦合模型,定量研究了不同設計參數(shù)對P-TENG輸出特性的影響.通過參數(shù)影響分析得到的擬合系數(shù),可作為P-TENG 輸出性能設計的依據(jù).

5 結論

本文提出了考慮單擺擺角非線性變化的機電耦合模型,并利用諧波平衡法解析求解P-TENG 的動態(tài)輸出特性.采用數(shù)值積分和動態(tài)測試兩種手段,驗證了諧波平衡結果的準確性.本文得出結論如下.

(1)考慮非線性效應,模型預估的工作帶寬顯著增加,相對增量83%.結果表明: 本文提出的模型能夠有效避免現(xiàn)有模型對工作帶寬的低估問題,顯著提升模型對P-TENG 輸出性能估計的準確性.

(2)增加激勵幅值、降低系統(tǒng)阻尼或減小電極夾角,均有助于提升P-TENG 的輸出表現(xiàn).在實際設計時,需綜合考慮間隙長度和摩擦力幅值,以使PTENG 輸出表現(xiàn)處于較優(yōu)狀態(tài).

(3)提出了多種擬合模型用于表征設計參數(shù)與輸出性能的關系,并給出相關系數(shù)值,可作為PTENG 輸出性能設計的依據(jù).