羅春林, 武淑霞, 趙江林

(四川民族學(xué)院 理工學(xué)院, 四川 康定 626001)

0 引 言

全局隱函數(shù)定理在非線性分析、積分方程、物理、化學(xué)、控制論等領(lǐng)域都有非常重要的應(yīng)用.經(jīng)典的全局隱函數(shù)存在性定理如下[1]:

引理1如果函數(shù)F∶D=[a,b]×→滿足條件:(i) 在D中處處連續(xù);(ii) 處處有關(guān)于第二變量于y的偏導(dǎo)數(shù)存在常數(shù)m,M滿足則方程F(x,y)=0在區(qū)間[a,b]上必有唯一的連續(xù)函數(shù)y=f(x)作為解:F(x,f(x))≡0,?x∈[a,b].

在文獻(xiàn)[2]中的定理1,將引理1的條件(i)減弱為“函數(shù)F(x,y)在D中關(guān)于第一變量x處處連續(xù)”而其它條件不變的情況下,證明了結(jié)論也成立.

在引理1和文獻(xiàn)[2]的定理1中,都要求已知二元函數(shù)F(x,y)關(guān)于第二變量y偏導(dǎo)數(shù)存在.在定理學(xué)習(xí)和教學(xué)過程中,很自然提出將可微條件減弱為非可微條件時(shí),結(jié)論是否成立.為此,通過引入強(qiáng)單調(diào)和Lipschitz連續(xù)兩個(gè)概念,在非可微假設(shè)條件下,即,不要求F(x,y)關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)存在,證明了一個(gè)全局隱函數(shù)存在性定理,從而將文獻(xiàn)[1-2]的相關(guān)結(jié)論推廣到非可微情形.

1 主要結(jié)論

為了得到新的定理,設(shè)E?,f∶E→,引入強(qiáng)單調(diào)和Lipschitz連續(xù)兩個(gè)概念[3].

定義1函數(shù)f稱為是α-強(qiáng)單調(diào)的,如果存在一個(gè)常數(shù)α>0,滿足下面條件:

(f(x)-f(y))(x-y)≥α|x-y|2,x,y∈E.

定義2函數(shù)f稱為是β-Lipschitz連續(xù)的,如果存在一個(gè)常數(shù)β>0,滿足下面條件:

|f(x)-f(y)|≤β|x-y|,x,y∈E.

注1 容易驗(yàn)證,引理1中的函數(shù)F滿足條件(ii)和(iii)時(shí), 函數(shù)F關(guān)于第二變量y是m-強(qiáng)單調(diào)和M-Lipschitz連續(xù)的.事實(shí)上,由微分中值定理,對(duì)任意的(x,y1),(x,y2)∈D,存在θ∈(0,1)使得

由條件(ii)和(iii)可得

(F(x,y1)-F(x-y2))(y1-y2)≥m|y1-y2|2, |F(x,y1)-F(x-y2)|≤M|y1-y2|.

利用強(qiáng)單調(diào)和Lipschitz連續(xù)兩概念得到如下新的全局隱函數(shù)存在定理.

定理1設(shè)函數(shù)F:[a,b]×→滿足條件:(i) 在[a,b]關(guān)于第一變量x處處連續(xù);(ii) 關(guān)于第二變量y是m-強(qiáng)單調(diào)的;(iii)關(guān)于第二變量是M-Lipschitz連續(xù)的,且m

注2 在定理1中的函數(shù)F關(guān)于第二變量滿足m-強(qiáng)單調(diào)和M-Lipschitz連續(xù)時(shí),不能保證F關(guān)于第二變量的可微性,即不能保證引理1中和條件(ii)和(iii)成立.例如:定義函數(shù)G(x,y)如下:

顯然,G(x,y)在(x,0)處關(guān)于第二變量y的偏導(dǎo)數(shù)不存在,但是,容易驗(yàn)證關(guān)于第二變量是1-強(qiáng)單調(diào)和4-Lipschitz連續(xù)的.事實(shí)上,對(duì)任意的(x,y1),(x,y2)∈[1,2]×有

由上式可知

(G(x,y1)-G(x,y2))(y1-y2)≥|y1-y2|2, |G(x,y1)-G(x,y2)|≤4|y1-y2|.

在證明定理1的過程中,同樣需要用到壓縮映射和Banach壓縮映射原理:從度量空間X到自身的映射T稱為是壓縮映射,如果d(Tx,Ty)≤αd(x,y),?x,y∈X,其中常數(shù)α滿足0<α<1;如果度量空間X是完備的,那么壓縮映射T有且只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

定理1證明對(duì)任意固定的x0∈[a,b],在完備度量空間上定義映射T∶→:

(1)

對(duì)任意的y1,y2∈,由F關(guān)于第二變量y的m-強(qiáng)單調(diào)性和M-Lipschitz連續(xù)性有

|T(x0,y1)-T(x0,y2)|≤θ|y1-y2|,

(2)

因此,映射T:→是壓縮映射,由Banach壓縮映射原理,存在唯一的y0∈,使得

所以F(x0,y0)=0,定義f(x0)=y0,由x0∈[a,b]的任意性,就得到從[a,b]到的唯一函數(shù)y=f(x),滿足F(x,f(x))=0,?x∈[a,b].

下證函數(shù)y=f(x),x∈[a,b]是連續(xù)的.對(duì)任意的x1,x2∈[a,b],由上面的證明可知,存在y1=f(x1),y2=f(x2),滿足

F(x1,f(x1))=0,F(x2,f(x2))=0,

(3)

并由(2)式可得

|T(x1,f(x1))-T(x1,f(x2))|≤θ|f(x1)-f(x2)|,

(4)

由(3),(4)式和T的定義可得

所以

上式中,固定x2,讓x1→x2,由F(x,y)關(guān)于第一變量x的連續(xù)性和F(x2,f(x2))=0可知

|f(x1)-f(x2)|→0,x1→x2.

所以y=f(x)在x2處連續(xù),再由x2∈[a,b]的任意性,y=f(x)在[a,b]上連續(xù).

2 結(jié) 論

本文通過引入強(qiáng)單調(diào)和Lipschitz連續(xù)兩個(gè)概念,利用Banach壓縮映射原理證明了在非可微條件下的一個(gè)全局隱函數(shù)存在性定理,由注1和注2可知,得到的定理1是引理1和文獻(xiàn)[2]中定理1的真推廣.更進(jìn)一步,引導(dǎo)同學(xué)們思考,本文的全局隱函數(shù)定理?xiàng)l件是否還可以減弱?培養(yǎng)學(xué)生有一定的創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新思維和創(chuàng)新能力,是本科數(shù)學(xué)教學(xué)的教學(xué)目標(biāo)之一.針對(duì)定理的教學(xué),經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生思考:當(dāng)定理?xiàng)l件減弱一些的情況下,探討定理的結(jié)論是否成立.本文針對(duì)全局隱函數(shù)推廣過程,對(duì)本科數(shù)學(xué)的這一教學(xué)目的有一定作用.

致謝作者非常感謝審稿專家對(duì)本文提出的寶貴建議和意見.