云朝明,胡敏,阮永井,薛文

1.中山大學(xué),深圳 518107 2.航天工程大學(xué),北京 101416

1 引言

隨著航天技術(shù)和互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的發(fā)展,世界航天大國先后提出了低軌互聯(lián)網(wǎng)星座的概念,星座開始向低軌化、大規(guī)?；l(fā)展[1]。目前典型的低軌大規(guī)模星座計劃有Starlink、OneWeb和Kuiper等,其中截至2022年8月21日,Starlink星座已累計發(fā)射3108顆衛(wèi)星。

低軌大規(guī)模星座衛(wèi)星數(shù)量巨大,發(fā)生一次解體碰撞會產(chǎn)生成百上千的空間碎片,這些碎片不僅會增加星座的碰撞概率,而且由于碎片面質(zhì)比較小,在空間停留時間長,會對空間環(huán)境造成長期危害[2-6]。因此,無論從低軌大規(guī)模星座自身安全還是空間環(huán)境可持續(xù)性的角度出發(fā),對低軌大規(guī)模星座軌道安全尤其是碰撞安全的研究是必要且亟需進(jìn)行的[7-11]。

Virgili等引入大型星座來分析低軌道巨型星座部署對空間碎片碰撞概率的影響[12]。Le May等使用MASTER-2009碎片演化模型模擬了OneWeb和Starlink星座,并進(jìn)一步分析了對星座參數(shù)的影響以及未能執(zhí)行離軌操作的衛(wèi)星的長期影響[13]。Foreman等研究表明,如果低軌大規(guī)模星座離軌處置執(zhí)行不當(dāng)或根本不執(zhí)行,使得航天器不能完全離軌或置于安全的墓地軌道,損壞的航天器會增加低地球軌道上其他航天器的碰撞風(fēng)險[14]。Pardini等提出了“體積碰撞率指數(shù)”作為指標(biāo),用于評估意外碰撞導(dǎo)致低軌空間內(nèi)完整物體完全破壞的可能性,并應(yīng)用于低軌大規(guī)模星座部署后的環(huán)境評估[15]。這些研究主要圍繞任務(wù)后處置對空間環(huán)境的影響,以及空間碎片與衛(wèi)星星座的相互影響,但沒有涉及星座內(nèi)部的安全性。

低軌大規(guī)模星座內(nèi)部衛(wèi)星數(shù)量龐大,采用一箭多星的發(fā)射方式進(jìn)行組網(wǎng)。在星座組網(wǎng)運行時,不僅需要考慮星座與外部空間環(huán)境的相互影響,還需注意星座的內(nèi)部安全。劉廣軍等提出了一種判斷星座中衛(wèi)星發(fā)生碰撞的預(yù)測方法[16]。該方法通過碰撞預(yù)測,可以評估為了避免碰撞而進(jìn)行的軌道機動,并確定在給定的星座中不能放置衛(wèi)星的位置。文獻(xiàn)[17]研究了星座衛(wèi)星之間的“自誘導(dǎo)”會合以及碰撞預(yù)測方法的可靠性。針對Walker星座的碰撞問題,國內(nèi)學(xué)者進(jìn)行了深入研究,吳啟星等設(shè)計了一種Walker星座碰撞檢測模型[18];王春明等分析了Walker星座衛(wèi)星的幾個常量參數(shù),推導(dǎo)了軌道交點的衛(wèi)星角距計算公式和碰撞判決公式,得到了快速計算星座最小衛(wèi)星間距的方法[19]。

星座內(nèi)部的安全性需要關(guān)注入軌分離時的碰撞風(fēng)險、正常工作時的異軌衛(wèi)星間的碰撞風(fēng)險。大規(guī)模星座在初始設(shè)計狀態(tài)下,其星座構(gòu)型具有一定的安全性,但是星座衛(wèi)星在初始化或進(jìn)行軌道控制時存在控制偏差,造成衛(wèi)星的實際位置與標(biāo)稱位置出現(xiàn)偏差。由于各個衛(wèi)星的偏差存在差異,在攝動力的作用下,星座衛(wèi)星間會發(fā)生相對漂移,導(dǎo)致衛(wèi)星偏離理論相位。當(dāng)漂移量達(dá)到一定程度時,就可能在交會處與其他軌道平面衛(wèi)星發(fā)生碰撞。為了避免星座衛(wèi)星間的碰撞,必須保證星座空間幾何構(gòu)型維持在一定關(guān)系范圍內(nèi),需要約束衛(wèi)星沿升交點赤經(jīng)(right ascension of ascending node,RAAN)和相位的漂移量,這個約束的閾值被稱為星座構(gòu)型最大容許漂移量。

本文通過對星座構(gòu)型最大漂移量進(jìn)行研究來分析星座衛(wèi)星間的安全性。在計算得到衛(wèi)星軌道平面最小相位差的基礎(chǔ)上,分析構(gòu)型參數(shù)和升交點赤經(jīng)漂移量對最小相位差的影響,并提出基于最小相位差的星座構(gòu)型參數(shù)協(xié)同設(shè)計方法,最后以Starlink第一期星座為參考進(jìn)行仿真,驗證了該方法的合理性。

2 低軌大規(guī)模星座最小相位差計算

星座最小相位差是星座衛(wèi)星在穿越其他軌道面時與該軌道平面內(nèi)最接近衛(wèi)星的相位差。星座衛(wèi)星之間的碰撞是由于星座衛(wèi)星初始偏差不同,在攝動力的作用下,衛(wèi)星之間產(chǎn)生相對漂移,并在長期的積累下,衛(wèi)星之間不斷接近導(dǎo)致的。衛(wèi)星在接近速度相同的情況下,具有最小相位差的兩衛(wèi)星之間發(fā)生碰撞的時間短。為保證星座構(gòu)型安全,要求星座內(nèi)相對相位最小的兩衛(wèi)星不發(fā)生碰撞,則可求解星座衛(wèi)星的最小相位差,以最小相位差作為漂移約束,求解星座構(gòu)型最大漂移量。

(1)

式中:u0為第一軌道面第一顆衛(wèi)星的相位;um,n為t0時刻衛(wèi)星(m,n)的相位;Ωm,n為t0時刻衛(wèi)星(m,n)的升交點赤經(jīng)。如圖1所示,星座任意的兩軌道平面,當(dāng)某一軌道平面衛(wèi)星跨越另一軌道平面時,由于星座內(nèi)各衛(wèi)星相對位置確定,跨越另一軌道平面的衛(wèi)星與該軌道面最接近的衛(wèi)星的相位為最小相位。因此,對任意兩軌道平面,衛(wèi)星間的最小相位是確定的,可以通過某衛(wèi)星跨越不同軌道平面時與該軌道平面的最小相位差求解整個星座的最小相位差。

圖1 衛(wèi)星交會示意Fig.1 Schematic diagram of satellite rendezvous

為了求解衛(wèi)星在跨越另一軌道平面時衛(wèi)星之間的相對相位,需先求解兩軌道平面交點在各自軌道平面內(nèi)的相位。在軌道傾角和兩軌道面升交點赤經(jīng)差已知的情況下,可以通過球面三角形角的余弦定理求解出楔角C,再利用球面三角形邊的余弦定理求解出兩軌道面交點在兩軌道平面內(nèi)的相位。軌道平面交會幾何圖如圖1所示,根據(jù)兩軌道平面之間升交點赤經(jīng)差值分兩種情況討論,當(dāng)軌道平面j與軌道平面k的升交點赤經(jīng)差ΔΩj,k<180°時,根據(jù)球面三角形余弦定理可得軌道平面j和軌道平面k之間的楔角C為:

C=arccos(-cosicos(180°-i)+

sinisin(180°-i)cosΔΩj,k)

(2)

式中:i為軌道傾角。得到軌道平面j與軌道平面k的交點在軌道平面j內(nèi)的相位λj為:

(3)

當(dāng)ΔΩj,k≥180°時,得軌道平面j和軌道平面k之間的楔角C為:

C=arccos(-cosicos(180°-i))+

sinisin(180°-i)cosΔΩj,k

(4)

得到軌道平面j與軌道平面k的交點在軌道平面j內(nèi)的相位λj為:

(5)

令軌道平面j中第一顆衛(wèi)星j1為基準(zhǔn)衛(wèi)星,當(dāng)衛(wèi)星j1穿越軌道平面k時,根據(jù)公式(1)可得軌道平面k中第一顆衛(wèi)星k1的相位:

(6)

由于軌道平面內(nèi)衛(wèi)星間間距相等,在同一軌道平面內(nèi)的衛(wèi)星相位差與衛(wèi)星間距成整數(shù)倍,當(dāng)知道兩衛(wèi)星間的相位差時,對相位差與衛(wèi)星間距求商即可求得跨越衛(wèi)星處于相鄰衛(wèi)星間的位置情況。

(7)

式中:G為穿越衛(wèi)星在相鄰平面中的位置;ΔΦ為j1與k1相位差;ΔS為衛(wèi)星間間距?？梢缘玫叫l(wèi)星j1與軌道平面k的最小相位差為:

dφj1,k=min(ceil(G)-G,G-fix(G))

(8)

式中:dφj1,k表示第j軌道面第一顆衛(wèi)星與第k軌道面間的最小相位差。由于兩軌道平面衛(wèi)星分布相同,軌道面內(nèi)衛(wèi)星間相位相等,對j平面內(nèi)任意衛(wèi)星都存在當(dāng)衛(wèi)星穿越軌道面k時,與軌道平面k內(nèi)衛(wèi)星間相位差相等。因此,軌道面j和軌道面k之間的最小相位差φj,k為:

φj,k=dφj1,k

(9)

兩軌道面間最小相位差為φj,k,則低軌大規(guī)模星座衛(wèi)星間的最小相位差φc為:

φc=min(φj,k)

(10)

式中:j=1,2,…,P-1;k=j+1,…,P。

3 星座構(gòu)型參數(shù)對軌道平面最小相位差的影響

低軌大規(guī)模星座軌道平面最小相位差與星座結(jié)構(gòu)參數(shù)、軌道傾角和軌道平面升交點赤經(jīng)差相關(guān),而星座最小相位差決定了低軌大規(guī)模星座相位漂移量的大小。軌道平面間最小相位差越大,相位能夠漂移的角度越大。由于軌道平面間的夾角不連續(xù),造成不同軌道平面之間衛(wèi)星最小相位差值不連續(xù),不能建立星座構(gòu)型漂移量與星座構(gòu)型參數(shù)的函數(shù)關(guān)系。因此,本文通過研究星座構(gòu)型參數(shù)與軌道平面最小相位差的關(guān)系,使衛(wèi)星間最小相位差值盡可能大,從而研究星座構(gòu)型參數(shù)對星座最大漂移量的影響。

3.1 星座構(gòu)型參數(shù)對相鄰軌道平面最小相位差的影響

星座結(jié)構(gòu)參數(shù)N/P/F、軌道傾角i、軌道高度h是描述Walker星座構(gòu)型的參數(shù),其中N/P/F相互制約,N的取值影響P的取值范圍,F是0～(P-1)之間的一個整數(shù)。不同的構(gòu)型參數(shù)可以組成許多種不同形狀的星座,相鄰軌道平面最小相位差也不相同,因此,本文采用控制變量法研究衛(wèi)星數(shù)量、軌道面數(shù)量、相位因子和軌道傾角對相鄰軌道平面最小相位差的影響。

根據(jù)衛(wèi)星最小相位差定義可得,衛(wèi)星最小相位差為穿越異面軌道時與其他軌道面最接近衛(wèi)星的相位差,由于軌道面內(nèi)相鄰衛(wèi)星之間的相位差為360°P/N,得到衛(wèi)星最小相位差取值范圍為[0°,180°P/N]。

3.1.1 衛(wèi)星數(shù)量對最小相位差的影響

根據(jù)衛(wèi)星最小相位差取值范圍可知,隨著衛(wèi)星數(shù)量不斷增大,在軌道平面數(shù)量、相位因子和軌道傾角不變的情況下,星座相鄰衛(wèi)星間的相位差值范圍會不斷減小,導(dǎo)致參考平面與各軌道平面最小相位差的取值范圍變小。令星座軌道傾角為60°,初始衛(wèi)星數(shù)量N為300顆,軌道面數(shù)P為30,相位因子F=1,每次增加與軌道平面數(shù)量相同的衛(wèi)星數(shù)進(jìn)行仿真,得到星座在不同衛(wèi)星總數(shù)下與相鄰軌道平面最小相位差的關(guān)系如圖2所示。

圖2 星座衛(wèi)星總數(shù)與相鄰軌道平面最小相位差關(guān)系Fig.2 The relationship between minimum phase of constellation and the number of satellites

從圖2可以看出,當(dāng)軌道平面數(shù)量一定時,穿越衛(wèi)星在穿越平面內(nèi)與相鄰兩顆衛(wèi)星的相對位置會隨著星座衛(wèi)星數(shù)量的變化而變化,當(dāng)衛(wèi)星數(shù)量小于900顆時,星座相鄰軌道平面衛(wèi)星最小相位差變化緩慢。而當(dāng)衛(wèi)星數(shù)量大于900顆時,可以看出星座相鄰衛(wèi)星的最小相位差,隨衛(wèi)星數(shù)量的變化呈現(xiàn)出振幅不斷下降和周期變大的周期震蕩。因此,本文以900顆衛(wèi)星為分界線,研究900顆以上衛(wèi)星組成的低軌大規(guī)模星座。

3.1.2 軌道面數(shù)量對最小相位差的影響

當(dāng)衛(wèi)星數(shù)量、相位因子和軌道傾角固定,僅軌道平面數(shù)量增加時,令星座軌道傾角為60°,衛(wèi)星數(shù)量N為1200,相位因子F=1,仿真衛(wèi)星軌道平面數(shù)量從3個逐漸到100個情況下星座的最小相位差,得到如圖3所示的關(guān)系圖。

圖3 軌道平面數(shù)與星座最小相位差關(guān)系Fig.3 The relationship between minimum phase of constellation and the number of orbital planes

從圖3可以看出,隨著軌道平面數(shù)量的增加,星座最小相位差由波動變大到逐漸趨于穩(wěn)定下降。這是由于軌道平面較少時,星座最小相位差較小,升交點赤經(jīng)差的變小導(dǎo)致相鄰衛(wèi)星間的相位變大,穿越衛(wèi)星與穿越平面內(nèi)相鄰兩顆衛(wèi)星的最小相位差取值范圍更大,因此會出現(xiàn)波動的情況。隨著軌道平面數(shù)量增多,衛(wèi)星之間升交點赤經(jīng)越來越小,雖然星座最小相位差取值范圍逐漸變大,但隨著軌道面逐漸接近,穿越衛(wèi)星位置會逐漸接近穿越平面內(nèi)具有相同編號的衛(wèi)星,即星座最小相位差的值會不斷趨于Δu。

3.1.3 相位因子對最小相位差的影響

當(dāng)衛(wèi)星數(shù)量、軌道面?zhèn)€數(shù)及軌道傾角固定,僅相位因子變化時,令星座軌道傾角為60°,衛(wèi)星數(shù)量N為1200,軌道面?zhèn)€數(shù)為60,仿真相位因子從1到59星座的最小相位差,得到如圖4所示的關(guān)系圖。

圖4 相位因子與相鄰軌道平面衛(wèi)星最小相位差關(guān)系Fig.4 The relationship between phase factor and the minimum phase difference of adjacent orbit plane satellites

由于衛(wèi)星數(shù)量和軌道面?zhèn)€數(shù)固定,可以得到星座最小相位差取值范圍為[0°,9°],由圖4可以看出,衛(wèi)星最小相位差與相位因子在取值范圍內(nèi)呈線性周期變化,可以通過調(diào)節(jié)相位因子得到合適的最小相位差值。

3.1.4 軌道傾角

當(dāng)?shù)蛙壌笠?guī)模星座結(jié)構(gòu)參數(shù)固定,僅軌道傾角變化時,令衛(wèi)星數(shù)量N為1200,軌道面?zhèn)€數(shù)為60,相位因子F=1,仿真軌道傾角從30°到89°星座的最小相位差,得到如圖5所示的關(guān)系圖。

圖5 軌道傾角與相鄰軌道平面衛(wèi)星最小相位差關(guān)系Fig.5 Relationship between inclination and minimum phase difference of satellite in adjacent orbital plane

由圖5可知,相鄰軌道平面衛(wèi)星最小相位差隨軌道傾角的增加單調(diào)遞減。可以得到當(dāng)?shù)蛙壌笠?guī)模星座結(jié)構(gòu)參數(shù)固定時,星座最小相位差可以通過軌道傾角進(jìn)行調(diào)節(jié)。

綜上所述,低軌大規(guī)模星座結(jié)構(gòu)參數(shù)中,衛(wèi)星數(shù)量和衛(wèi)星軌道平面數(shù)量既可以影響穿越衛(wèi)星穿越平面內(nèi)的位置,影響最小相位差的實際取值,還能影響最小相位差的最大取值范圍;而相位因子和軌道傾角則只能調(diào)節(jié)穿越衛(wèi)星穿越平面內(nèi)的位置,影響最小相位差的實際取值。因此,星座最小相位差受到多重因素的影響,由于在通常情況下星座衛(wèi)星數(shù)量和軌道平面數(shù)量都和星座性能參數(shù)相關(guān),當(dāng)星座衛(wèi)星數(shù)量和軌道平面數(shù)量確定時,提出了基于最小相位差的星座構(gòu)型參數(shù)協(xié)同設(shè)計方法,通過對相位因子和軌道傾角進(jìn)行協(xié)同調(diào)節(jié)設(shè)計,調(diào)整星座的最小相位差,設(shè)計出較優(yōu)的星座相位漂移量。

3.2 升交點赤經(jīng)漂移量對軌道平面最小相位差的影響

星座構(gòu)型參數(shù)一定的條件下,當(dāng)星座兩軌道平面確定時,軌道平面間最小相位差僅與星座軌道平面間的夾角有關(guān)。對于星座的標(biāo)稱軌道,由于軌道平面間的夾角不會發(fā)生變化,此時升交點赤經(jīng)漂移量為0,星座相位角漂移量為星座所有軌道平面最小相位差的1/2。然而,在實際情況下,由于星座衛(wèi)星存在控制偏差以及受到攝動力的影響,升交點赤經(jīng)會發(fā)生漂移,造成兩軌道平面升交點赤經(jīng)差發(fā)生變化,導(dǎo)致軌道平面最小相位差改變,最終影響衛(wèi)星相位漂移量。

假設(shè)星座標(biāo)稱構(gòu)型參數(shù)為N/P/F,軌道傾角為i。根據(jù)星座結(jié)構(gòu)參數(shù)得到星座在標(biāo)稱構(gòu)型條件下相鄰軌道平面間的升交點赤經(jīng)差為360/P,因此,對標(biāo)稱軌道下任意兩軌道平面j,k(j

(11)

令星座衛(wèi)星升交點赤經(jīng)漂移量為ΔΩ,假設(shè)星座相鄰軌道平面衛(wèi)星的漂移約束條件為軌道平面不會重合,因此,可以推導(dǎo)出星座衛(wèi)星升交點赤經(jīng)漂移量約束為0≤ΔΩ<180/P,根據(jù)星座衛(wèi)星升交點赤經(jīng)漂移約束,得到任意兩軌道平面j,k的實際升交點赤經(jīng)差范圍為:

(12)

令衛(wèi)星數(shù)量N為1200,軌道面?zhèn)€數(shù)為60,相位因子F=1,軌道傾角為60°,仿真在不同升交點赤經(jīng)漂移量下,相鄰軌道平面衛(wèi)星最小相位差,得到如圖6所示的關(guān)系圖。

圖6 升交點赤經(jīng)漂移量與相鄰軌道平面衛(wèi)星最小相位差關(guān)系Fig.6 The drift of RAAN and the minimum phase difference of satellites in adjacent orbital planes

從圖6可以看出,升交點赤經(jīng)漂移量與相鄰軌道平面衛(wèi)星間最小相位差呈線性關(guān)系,在與其他衛(wèi)星發(fā)生交會前,升交點漂移量越大,軌道平面衛(wèi)星相位差越小。將升交點赤經(jīng)漂移量與相鄰軌道的最小相位差拓展到所有軌道平面時,可以得到星座最小相位差隨升交點赤經(jīng)漂移量的變化曲線如圖7所示。

從圖中可以得到,星座衛(wèi)星保持在左邊直線下方范圍內(nèi)漂移時,衛(wèi)星不會與其他衛(wèi)星發(fā)生碰撞,能夠保證星座衛(wèi)星運行安全,而當(dāng)最小相位差達(dá)到0時,表示兩衛(wèi)星之間發(fā)生了碰撞,因此需要將最小相位差維持在第一次達(dá)到0之前的范圍。而在這個區(qū)間內(nèi),升交點赤經(jīng)漂移量與星座衛(wèi)星間最小相位角之間滿足線性約束關(guān)系,即:

φc=aΔΩ+b

(13)

式中:φc為星座最小相位差;a,b為線性約束的系數(shù);ΔΩ為升交點赤經(jīng)漂移量。

4 星座最大漂移量分析

低軌大規(guī)模星座在實際運行過程中,由于誤差的存在,星座衛(wèi)星間的軌道位置存在偏差,在攝動力的作用下,衛(wèi)星間會產(chǎn)生相對漂移,在星座構(gòu)型約束下,衛(wèi)星相對位置漂移達(dá)到一定程度就可能導(dǎo)致與其他軌道平面衛(wèi)星間發(fā)生碰撞,因此,需要將低軌大規(guī)模星座衛(wèi)星的漂移約束在一定范圍內(nèi)。圖8為衛(wèi)星位置偏差引起的碰撞示意。

圖8 衛(wèi)星位置偏差引起的碰撞示意Fig.8 Schematic diagram of collision caused by satellite position deviation

低軌衛(wèi)星主要受到地球非球形攝動、大氣阻力攝動的作用,其中地球非球形攝動會引起相位漂移和升交點赤經(jīng)漂移,大氣阻力攝動不會引起升交點赤經(jīng)漂移,但可以通過影響軌道半長軸間接引起相位漂移。攝動力引起的平均軌道根數(shù)長期變化率為:

(14)

對于低軌大規(guī)模星座,其偏心率可以近似為0,因此,升交點赤經(jīng)漂移速率和相位漂移速率主要和軌道半長軸以及軌道傾角相關(guān)。由于大氣阻力比較復(fù)雜,大氣引起的軌道衰減造成的半長軸變化也比較復(fù)雜,根據(jù)文獻(xiàn)可知,兩衛(wèi)星相位漂移量Δu主要和兩衛(wèi)星之間的平半長軸偏差相關(guān),其公式為:

(15)

式中:μ為地球引力常數(shù);t為時間;Δa為兩衛(wèi)星相對半長軸偏差。升交點赤經(jīng)漂移量ΔΩ為:

(16)

為了保證低軌大規(guī)模星座軌道安全,需要對衛(wèi)星進(jìn)行機動控制,以維持星座構(gòu)型的穩(wěn)定。常用的星座構(gòu)型保持策略有絕對構(gòu)型保持策略和相對構(gòu)型保持策略。絕對構(gòu)型保持策略要求衛(wèi)星的實際位置與設(shè)計軌道保持在一定范圍內(nèi),保證星座構(gòu)型與設(shè)計構(gòu)型一致;相對構(gòu)型保持策略要求衛(wèi)星的實際位置相對于基準(zhǔn)衛(wèi)星的位置保持在一定范圍內(nèi),保證星座的相對構(gòu)型保持一致。

由文獻(xiàn)[21]可知,絕對控制策略下的最大漂移量可根據(jù)“死區(qū)”的概念求解。由于星座各衛(wèi)星相對標(biāo)稱軌道的漂移是相互獨立的,保證每顆衛(wèi)星的相位角漂移量為最小相位差的1/2以內(nèi),就可以避免在軌道平面交點處的相遇,因此,可以得到星座最大相位角漂移量θu為:

(17)

相對控制策略下的最大漂移量根據(jù)衛(wèi)星的相對運動求解,衛(wèi)星的最小相位差為衛(wèi)星相對運動能夠達(dá)到的最大值,因此,星座的最小相位差為衛(wèi)星相對相位最大漂移量θu,rel的約束,即:

θu,rel=φc

(18)

根據(jù)升交點赤經(jīng)漂移量和最小相位差的約束關(guān)系以及升交點赤經(jīng)和相位隨時間漂移關(guān)系式,可以得到,當(dāng)?shù)仁溅(t)=aΔΩ(t)+b成立時,升交點赤經(jīng)和相位角達(dá)到最大漂移量,同時也可以得到星座構(gòu)型維持控制一次的間隔時間。

5 仿真分析

一般情況下,星座衛(wèi)星數(shù)量和軌道平面數(shù)量的設(shè)計主要與星座想要達(dá)到的性能相關(guān),因此,星座構(gòu)型安全主要與構(gòu)型參數(shù)中的軌道傾角和相位因子相關(guān)。本章以Starlink一期星座為研究對象,研究星座衛(wèi)星數(shù)量和軌道平面數(shù)量不變的情況下,基于最小相位差的星座構(gòu)型參數(shù)協(xié)同設(shè)計方法以及Starlink星座構(gòu)型參數(shù)條件下的最大容許漂移量和不同控制策略下的維持控制時間周期。

5.1 基于最小相位差的星座構(gòu)型參數(shù)協(xié)同設(shè)計

通過查閱文獻(xiàn)資料可以得到Starlink一期星座衛(wèi)星數(shù)量為1584顆,軌道面數(shù)量為72,軌道傾角為53°。下面僅根據(jù)星座衛(wèi)星數(shù)量和軌道面數(shù)量討論相位因子和軌道傾角對星座最小相位差的影響,考慮到美國本土最大緯度為49°,因此,軌道傾角仿真范圍為[49°,89°],得到不同相位因子和軌道傾角下與星座衛(wèi)星最小相位差的關(guān)系如圖9所示。

圖9 不同相位因子和軌道傾角下星座衛(wèi)星最小相位差Fig.9 Minimum phase difference of constellation under different phase factors and orbital inclination angles

圖9中,自變量為相位因子和軌道傾角,因變量為星座衛(wèi)星間最小相位差,通過計算固定相位因子下不同軌道傾角的最小相位差,可以得到每個相位因子下不同軌道傾角的星座最小相位差分布曲線。

由圖9的數(shù)據(jù)可知,不同相位因子和軌道傾角下星座最小相位差相差較大,為保證星座的魯棒性,防止因為誤差或攝動力對軌道傾角的影響使星座最小相位差發(fā)生較大波動,對數(shù)據(jù)進(jìn)行了以下處理:將同一相位因子下,以連續(xù)三個軌道傾角采樣點的值都大于0.37°作為約束條件(根據(jù)數(shù)據(jù)情況取值為0.37°)。對不滿足的數(shù)據(jù)進(jìn)行剔除,然后只保留三個數(shù)中處于中間的數(shù),經(jīng)過處理后,得到的滿足最小相位差條件的相位因子和軌道傾角數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 滿足最小相位差條件的相位因子和軌道傾角Table 1 Phase factor and inclination satisfying the minimum phase difference condition

其中0.37°是根據(jù)圖9中的計算數(shù)據(jù)來估計取值的,但是只是一個估計值,并不是唯一確定值。取值0.37°的原因如下:一方面,根據(jù)已有數(shù)據(jù)結(jié)果情況進(jìn)行判斷,由于小于0.37°的數(shù)據(jù)量較大,若取值小于0.37°,會有很多組數(shù)據(jù)滿足條件,因此為了剔除無效的數(shù)據(jù),取值需大于或等于0.37°;另一方面,根據(jù)Starlink一期計算的結(jié)果為0.3972°,為保留Starlink的這組數(shù)據(jù),取值需小于0.3972°。約束條件的取值是一個范圍,在0.37°到0.3972°之間,在本文中作者取了較小值0.37°。

由于Starlink星座相位因子的公開資料較少,本文將通過對Starlink星座已部署構(gòu)型進(jìn)行反演求其相位因子。通過SpaceTrack網(wǎng)站下載了Starlink星座衛(wèi)星2022年3月17日的TLE數(shù)據(jù),將數(shù)據(jù)導(dǎo)入STK,并演化數(shù)據(jù)到同一時間輸出,得到星座構(gòu)型情況如圖10所示。

圖10 Starlink星座構(gòu)型部署Fig.10 Starlink constellation configuration deployment diagram

從表1可得,若僅從星座構(gòu)型安全的角度出發(fā),選擇相位因子63,軌道傾角為77°的參數(shù)更能保證星座的安全,但星座設(shè)計還需要綜合考慮星座服務(wù)性能、鏈路性能、穩(wěn)定性能、可拓展性等各方面因素,Starlink星座經(jīng)過綜合考慮過后選擇相位因子33,軌道傾角53°的構(gòu)型參數(shù),也是星座構(gòu)型安全較優(yōu)的解之一,證明了協(xié)同設(shè)計方法的合理性。

5.2 最大漂移量仿真分析

接下來求解Starlink星座構(gòu)型參數(shù)條件下不同控制策略下的最大容許漂移量和維持控制時間周期。根據(jù)Starlink星座結(jié)構(gòu)參數(shù)仿真分析,可以得到Starlink星座升交點赤經(jīng)漂移量與最小相位角的約束關(guān)系如圖11所示。

圖11 Starlink星座升交點赤經(jīng)漂移量與星座最小相位差關(guān)系Fig.11 Relationship between drift of RAAN and minimum phase difference of constellation(Starlink)

根據(jù)圖11可知,升交點赤經(jīng)漂移量會引起最小相位差的波動變化,但在實際情況下,當(dāng)最小相位差為0時,代表衛(wèi)星之間已經(jīng)發(fā)生碰撞,為了保證星座構(gòu)型安全,需要控制升交點赤經(jīng)漂移量維持在最小相位差第一次達(dá)到0之前。因此,圖11中左邊的第一條直線為最小相位差與相位漂移量的有效約束曲線,根據(jù)曲線上的兩點,可以得到Starlink星座升交點赤經(jīng)漂移量與相位漂移量的關(guān)系為:

Δu=-1.357ΔΩ+0.409

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然后,根據(jù)Starlink星座升交點赤經(jīng)漂移量與相位漂移量之間的約束關(guān)系,求解絕對控制策略和相對控制策略下Starlink星座最大漂移量和星座實施維持控制的時間頻率。

將工作軌道上Starlink星座衛(wèi)星TLE數(shù)據(jù)中的軌道傾角減去設(shè)計軌道傾角,可以得到星座衛(wèi)星相對標(biāo)稱軌道的傾角差。傾角差如圖12所示,從圖中可以看出,衛(wèi)星實際軌道傾角與設(shè)計軌道傾角平均偏差約為0.054°,兩衛(wèi)星軌道傾角相對平均偏差約為0.004°。假設(shè)兩衛(wèi)星初始半長軸相對偏差為10m,相對控制策略下兩衛(wèi)星在軌道衰減過程中的相對半長軸偏差近似保持不變,可得到相對控制策略下升交點赤經(jīng)和相位角隨時間的漂移情況。圖13給出了漂移量隨時間變化的曲線圖。

圖12 Starlink衛(wèi)星軌道傾角偏差Fig.12 Starlink satellite orbit inclination deviation

圖13 相對控制策略下升交點和相位漂移量隨時間變化Fig.13 Ascending intersection and phase drift change with time(relative control strategy)

衛(wèi)星實際軌道傾角與設(shè)計軌道傾角平均偏差約為0.054°,假設(shè)衛(wèi)星初始半長軸相對標(biāo)稱軌道為10m,由于Starlink星座衛(wèi)星所在軌道高度的每天軌道衰減量約為10m,因此近似考慮衛(wèi)星每天軌道高度衰減量為10m,可得到絕對控制策略下升交點赤經(jīng)和相位角隨時間的變化情況。圖14給出了漂移量隨時間變化的曲線圖。

圖14 絕對控制策略下升交點和相位漂移量隨時間變化Fig.14 Ascending intersection and phase drift change with time(absolute control strategy)

根據(jù)圖13和圖14可知,相對控制策略下,升交點赤經(jīng)漂移曲線呈線性,相位漂移曲線也為線性。Starlink星座衛(wèi)星升交點赤經(jīng)和相位最大漂移量分別為0.01°和0.38°,實施一次維持控制的時間間隔約為33d。絕對控制策略下,升交點赤經(jīng)漂移曲線呈線性,相位漂移曲線呈拋物線,Starlink星座衛(wèi)星升交點赤經(jīng)和相位最大漂移量分別為0.03°和0.15°,實施一次維持控制的時間間隔約為4d,若對相位進(jìn)行偏置控制,控制時間可以延長到約8d維持控制一次。對比兩種控制策略,可以得到,在相同星座構(gòu)型參數(shù)約束條件下,相對控制策略能夠有效延長星座構(gòu)型控制時間。

絕對控制策略下,本章計算得到Starlink星座衛(wèi)星升交點赤經(jīng)和相位最大漂移量分別為0.03°和0.15°。文獻(xiàn)[15]給出了Starlink衛(wèi)星相鄰衛(wèi)星相位差基本維持在±0.2°,可以得到計算出的結(jié)果能夠保證星座內(nèi)部安全,結(jié)果具有合理性。

6 結(jié)論

本文通過對低軌大規(guī)模星座構(gòu)型參數(shù)進(jìn)行分析,得到軌道傾角和相位因子能夠協(xié)同調(diào)節(jié)星座最小相位差的大小,提出了基于星座構(gòu)型安全的構(gòu)型參數(shù)協(xié)同設(shè)計方法。仿真試驗表明,通過協(xié)同設(shè)計能夠得到不同軌道傾角和相位因子下星座最小相位差較優(yōu)的結(jié)果,給出滿足星座構(gòu)型安全的構(gòu)型參數(shù),為星座構(gòu)型參數(shù)設(shè)計提供參考。

當(dāng)確定星座構(gòu)型參數(shù)以后,根據(jù)星座最小相位差與升交點赤經(jīng)漂移量之間的約束以及升交點赤經(jīng)和相位差隨時間的漂移關(guān)系,可以得到星座構(gòu)型升交點赤經(jīng)和相位最大漂移量,以及不同維持控制策略下的維持控制時間頻次。

通過對Starlink第一期星座進(jìn)行仿真得到,絕對控制策略下升交點赤經(jīng)和相位最大漂移量分別為0.03°和0.15°,構(gòu)型維持頻次約為4d一次,若對相位進(jìn)行偏置控制,控制時間為約8d維持控制一次。相對控制策略下升交點赤經(jīng)和相位最大漂移量分別為0.01°和0.38°,構(gòu)型維持頻次約為33d一次,與絕對控制策略相比,相對控制策略能夠有效延長星座構(gòu)型維持控制時間。

根據(jù)星座構(gòu)型最大漂移量及維持控制時間,可以得到低軌大規(guī)模星座構(gòu)型安全評價指標(biāo),為低軌大規(guī)模星座衛(wèi)星間碰撞安全評估提供參考。