王艷鳳 北京市第二中學(xué)通州校區(qū)

蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)教育家斯托利爾在《數(shù)學(xué)教育學(xué)》一書中指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)?！彼诹信e數(shù)學(xué)教育目的時(shí)將發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維放在第一位。而要在學(xué)校中開展數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練活動(dòng)，首先要了解思維和思維品質(zhì)的特點(diǎn)以及數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的特點(diǎn)。對(duì)此，思維科學(xué)研究表明：思維的本質(zhì)是人的意識(shí)對(duì)客觀事物的本質(zhì)屬性和內(nèi)部規(guī)律的概括和間接反映。思維品質(zhì)主要表現(xiàn)為思維的廣闊性、批判性、深刻性、靈活性、敏捷性等方面，它是衡量主體的思維發(fā)展水平的重要標(biāo)志。數(shù)學(xué)思維是人腦和數(shù)學(xué)對(duì)象交互作用并按照一般思維規(guī)律認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)內(nèi)容的過程與活動(dòng)，而數(shù)學(xué)思維品質(zhì)則是主體的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)對(duì)客觀事物數(shù)學(xué)關(guān)系的理解和掌握的程度或水平。數(shù)學(xué)思維特點(diǎn)和結(jié)構(gòu)之間的相互關(guān)系使數(shù)學(xué)思維成為一個(gè)有機(jī)的整體。因此，在具體的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練和素材選擇時(shí)，要充分考慮不同方面、不同層次、不同角度思維訓(xùn)練的需要，克服思維障礙，從而達(dá)到改善高中學(xué)生思維品質(zhì)、提高思維能力、促進(jìn)和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維品性的目的。

思維品質(zhì)提升的教學(xué)原則

思維品質(zhì)提升的教學(xué)創(chuàng)新策略的實(shí)施離不開課堂教學(xué)，除了要遵循一般的教學(xué)原則外，根據(jù)實(shí)踐證實(shí)還應(yīng)該貫徹特殊的原則，才能有效引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思維訓(xùn)練活動(dòng)，實(shí)施創(chuàng)新策略，從而培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)。

遵循系統(tǒng)訓(xùn)練原則 系統(tǒng)訓(xùn)練原則即進(jìn)行全面系統(tǒng)的思維訓(xùn)練。訓(xùn)練要講究系統(tǒng)性，如果單方面訓(xùn)練思維結(jié)構(gòu)中的某一方面則很難應(yīng)付復(fù)雜的問題，必須有系統(tǒng)地進(jìn)行。在具體的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練中，當(dāng)然要一個(gè)方面一個(gè)方面的訓(xùn)練，只是在不同的問題上應(yīng)有所側(cè)重。例如，像數(shù)列的求和問題、不等式的證明等問題比較適合訓(xùn)練學(xué)生思維的靈活性；像求函數(shù)的最值問題、不等式的解法等問題比較適合訓(xùn)練思維的批判性等。但這并不等于，解決這類問題不涉及其他的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)、思維能力和思維方法。一般來說，具有一定綜合性質(zhì)的數(shù)學(xué)問題都可能涉及中學(xué)數(shù)學(xué)思維的各個(gè)方面，都適合進(jìn)行系統(tǒng)的思維訓(xùn)練。實(shí)踐證明，系統(tǒng)地進(jìn)行數(shù)學(xué)思維品質(zhì)訓(xùn)練思維的廣闊性、批判性、深刻性、靈活性、敏捷性訓(xùn)練等，能夠達(dá)到單獨(dú)進(jìn)行某一方面思維訓(xùn)練所達(dá)不到的高度。

遵循過程訓(xùn)練原則 數(shù)學(xué)是思維活動(dòng)的過程。因此，數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練尤其應(yīng)重視充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)的思維過程，即揭示數(shù)學(xué)知識(shí)的形成和發(fā)展過程，這樣有利于學(xué)生思維品質(zhì)的形成。在教學(xué)實(shí)踐中，首先應(yīng)該注重對(duì)解決問題的思維加工過程的分析，并盡可能地揭示出加工的流程及階段。在數(shù)學(xué)思維的批判性訓(xùn)練中，通過“錯(cuò)解”與“正解”思維加工過程的對(duì)比分析，總結(jié)出各階段成功的一般思維策略、思維方法和規(guī)律。其次，思維訓(xùn)練過程中應(yīng)有目的地、反復(fù)地讓學(xué)生體驗(yàn)自己的思維過程。只有加強(qiáng)對(duì)“過程”的自我意識(shí)，才能真正改進(jìn)自己的思維過程，才能有效地調(diào)節(jié)自己的思維過程，從而提高思維能力和水平。

遵循有效遷移原則 教育心理學(xué)認(rèn)為：學(xué)生已學(xué)過的知識(shí)、技能、方法，對(duì)于學(xué)習(xí)新的知識(shí)、技能、方法會(huì)產(chǎn)生一種影響和作用，這種影響和作用就是“學(xué)習(xí)的遷移”。學(xué)習(xí)遷移是個(gè)復(fù)雜的心理過程，在學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)，由感知誘發(fā)產(chǎn)生聯(lián)想，而回憶起舊知識(shí)；通過思維活動(dòng)，再將與新知識(shí)相類似的舊知識(shí)轉(zhuǎn)移到新知識(shí)中。遷移可分為正遷移和負(fù)遷移。正遷移可產(chǎn)生積極的、有利的、促進(jìn)的作用。負(fù)遷移產(chǎn)生的作用是消極的、不利的和干擾的。因此，在思維訓(xùn)練教學(xué)中，教師應(yīng)運(yùn)用遷移規(guī)律，幫助學(xué)生解決新舊知識(shí)技能之間的矛盾。例如，在思維的批判性訓(xùn)練中安排一些由于知識(shí)的負(fù)遷移而產(chǎn)生錯(cuò)誤的問題，從而使學(xué)生克服負(fù)遷移或?qū)崿F(xiàn)負(fù)遷移向正遷移轉(zhuǎn)化。而在思維的靈活性和廣闊性的訓(xùn)練中則側(cè)重于正遷移在解題中的作用的訓(xùn)練。只有防止負(fù)遷移，促進(jìn)正遷移實(shí)現(xiàn)知識(shí)的有效遷移，才能獲得思維訓(xùn)練的良好效果。

遵循自我反饋調(diào)控原則 數(shù)學(xué)教學(xué)過程是一個(gè)特殊的系統(tǒng)，這個(gè)系統(tǒng)由教師、學(xué)生、知識(shí)信息的教學(xué)方法等基本要素構(gòu)成。一個(gè)系統(tǒng)只有當(dāng)它有反饋存在，使信息通道構(gòu)成閉合回路時(shí)，這個(gè)系統(tǒng)才是可控的。在思維訓(xùn)練教學(xué)中，要依據(jù)訓(xùn)練的教學(xué)目標(biāo)，使“反饋—調(diào)控”貫穿于教學(xué)始終，這樣才能使教學(xué)中的各個(gè)環(huán)節(jié)相互密切配合，協(xié)調(diào)一致，使教學(xué)系統(tǒng)處于最佳的平衡狀態(tài)。在思維訓(xùn)練教學(xué)過程中，主要應(yīng)進(jìn)行如下兩方面的調(diào)控：其一，教師對(duì)“教”的調(diào)控，即在教學(xué)過程中，教師注意及時(shí)回收教學(xué)活動(dòng)過程中的反饋信息，調(diào)整教學(xué)方法和采取必要的補(bǔ)救措施；其二，學(xué)生對(duì)“學(xué)”的調(diào)控，學(xué)生通過各種反饋信息，對(duì)照教學(xué)目標(biāo)，自我糾正偏差，彌補(bǔ)知識(shí)缺陷，自我改進(jìn)學(xué)習(xí)方法。

高中數(shù)學(xué)教學(xué)的目的之一就在于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。實(shí)踐證明，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維品質(zhì)是形成數(shù)學(xué)能力的基本條件，培養(yǎng)良好思維品質(zhì)的途徑是進(jìn)行相應(yīng)訓(xùn)練。因此，結(jié)合高中教學(xué)的實(shí)際，并依據(jù)上述中學(xué)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的教學(xué)原則，數(shù)學(xué)教師應(yīng)積極采取拓展問題情境、訓(xùn)練質(zhì)疑辨誤、重視變式教學(xué)、注重靈活轉(zhuǎn)化、善用合情推理等思維訓(xùn)練的教學(xué)創(chuàng)新策略來培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的廣闊性、批判性、深刻性、靈活性、敏捷性，發(fā)展學(xué)生良好的思維品性，培養(yǎng)具有科學(xué)思維品性的人。

拓展問題情境，提升思維的廣闊性

思維的廣闊性，是指能夠全面而細(xì)致地考慮問題。數(shù)學(xué)思維的廣闊性則指對(duì)一個(gè)問題能從多方面考慮，對(duì)一個(gè)對(duì)象能從多種角度觀察，對(duì)一個(gè)題目能想出多種不同的解法，即一題多解，既可以開拓解題思路，鞏固所學(xué)知識(shí)，又可激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣和積極性。在不等式教學(xué)中，教師通過拓展問題情境，給學(xué)生創(chuàng)造多方面思考問題的機(jī)會(huì)，引導(dǎo)他們?cè)诙喾N方法中選擇最優(yōu)方法。例如，教學(xué)中兩個(gè)數(shù)大小關(guān)系的比較，通法是讓學(xué)生運(yùn)用作差法或作商法計(jì)算，但大部分學(xué)生掌握了方法卻懶于計(jì)算。對(duì)此，教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已知條件進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，通過糖水濃度、購物優(yōu)惠等問題激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，再采用題組訓(xùn)練、一題多變、一題多解的方式反思解題思路，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，激發(fā)他們的求新欲望，從而促進(jìn)思維廣闊性的提升。同時(shí)，使學(xué)生思維的敏捷性和靈活多變性得到了訓(xùn)練和發(fā)展，邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)也得到了促進(jìn)和發(fā)展。

訓(xùn)練質(zhì)疑辨誤，提升思維的批判性

思維的批判性，是指能使自己的思維受到已知客觀事物的充分檢驗(yàn)。數(shù)學(xué)思維的批判性表現(xiàn)為善于獨(dú)立思考、提出問題，能夠及時(shí)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤、糾正錯(cuò)誤，并在解決數(shù)學(xué)問題的過程中不斷反思回顧、總結(jié)經(jīng)驗(yàn)。對(duì)此，教師在教學(xué)中應(yīng)善于舉反例，引導(dǎo)對(duì)一些容易致誤的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分析和思考，從而提高思維的批判性。例如，利用均值不等式求最值是一種常用方法，但學(xué)生在解題時(shí)往往會(huì)忽視正數(shù)、定值和相等的條件，出現(xiàn)各種似是而非的錯(cuò)誤。對(duì)此，教師要向?qū)W生展示錯(cuò)解，讓他們討論出錯(cuò)原因，以此培養(yǎng)批判辨誤意識(shí)，確保學(xué)得透、印象深、記得牢。此外，培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑辨誤意識(shí)的教學(xué)策略還有很多，如在概念教學(xué)中的辨析訓(xùn)練、解題教學(xué)中的錯(cuò)題分析、課堂檢測后的分組互批、分享交流等，都可以促使學(xué)生再遇到同類問題便采用批判的眼光去看待，從而不斷提升邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和思維的批判性。

重視變式教學(xué)，提升思維的深刻性

思維的深刻性，是指能深入事物的本質(zhì)里面去考慮問題。數(shù)學(xué)思維的深刻性，就是在思考數(shù)學(xué)問題時(shí)能夠抓住問題的本質(zhì)和規(guī)律，深入細(xì)致地分析和解決問題，而不被表面現(xiàn)象所迷惑。例如，在完成不等式的性質(zhì)與均值定理的教學(xué)后，對(duì)于不等式恒成立問題采用變式教學(xué)，對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行不同角度、不同層次、不同情形的變式，從而暴露問題的本質(zhì)特征，揭示不同知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)在聯(lián)系。通過變式教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生不為一膚淺問題的解決而知足，而進(jìn)行深入細(xì)致的再考慮，這種層層深入式的解題思想，有助于培養(yǎng)思維的深刻性，也使學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展具有連續(xù)性。

又如，針對(duì)含參不等式恒成立、求參數(shù)范圍的問題中，教師以含參的二次函數(shù)為載體進(jìn)行變式教學(xué)，參數(shù)的位置可在常數(shù)項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)、二次項(xiàng)系數(shù)或變量取值范圍等位置進(jìn)行變化。無論是采取分離參數(shù)法還是分類討論的方法，在變式問題逐一解決的過程中，學(xué)生輕松掌握了不等式恒成立問題需轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域（最值）問題的方法，并總結(jié)函數(shù)值域（最值）的基本求解方法：除了轉(zhuǎn)化為函數(shù)運(yùn)用其圖像和性質(zhì)求最值，另一重要方法就是運(yùn)用均值定理求解。逐一解決問題后，學(xué)生可以充分感受到通過變式教學(xué)可以使一個(gè)問題與有關(guān)問題聯(lián)系起來，或使問題層層深入，思維不斷深化，從而深入理解知識(shí)并掌握其延伸變化，這樣不僅可培養(yǎng)思維的深刻性，也可培養(yǎng)思維的敏捷性。實(shí)踐證明，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行例題與習(xí)題的變式探究，對(duì)促使其自覺進(jìn)行知識(shí)體系整理與思路方法歸納極有好處，學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等學(xué)科素養(yǎng)都將得到進(jìn)一步的發(fā)展與提升。

注重靈活轉(zhuǎn)化，提升思維的靈活性

思維的靈活性，是指一個(gè)人的思維活動(dòng)能夠根據(jù)客觀情況的變化而變化。數(shù)學(xué)思維的靈活性通常表現(xiàn)為：不固執(zhí)己見，不拘泥于陳舊的解題方法，善于根據(jù)題設(shè)中的已知條件和問題的具體特征及時(shí)提出新的設(shè)想和解題方案，能自由而輕易地從一個(gè)角度轉(zhuǎn)向另一個(gè)角度，從一種途徑轉(zhuǎn)向另一種途徑，不受一種固定的思維束縛，善于觀察、善于聯(lián)想、善于轉(zhuǎn)化。首先，觀察是認(rèn)識(shí)事物的最基本的途徑，是了解、發(fā)展和解決問題的前提，是聯(lián)想和轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)。善于觀察能夠更快地找到解題的最佳方法。其次，聯(lián)想就是由觀察到的問題的具體特征，聯(lián)想到相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，并獲得迅速的解題方法，包括逆向聯(lián)想、類比聯(lián)想、相似聯(lián)想等。例如，類比矩形的長和寬與其對(duì)角線長之間的勾股關(guān)系，寫出長方體的長、寬、高與體對(duì)角線長之間的關(guān)系式；由平面圖形三者之間的度量關(guān)系對(duì)應(yīng)得出立體圖形四者之間的度量關(guān)系，這種從平面幾何到立體幾何，不同階段知識(shí)之間的類比聯(lián)想是有效遷移原則的重要表現(xiàn)，更能開闊學(xué)生的思路，提高思維的靈活性。最后，轉(zhuǎn)化是解數(shù)學(xué)題的一種十分重要的思維方法。怎么轉(zhuǎn)化呢？概括講，就是把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化成簡單問題，把抽象問題轉(zhuǎn)化成具體問題，把未知問題轉(zhuǎn)化成已知問題。因此，在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，需要先觀察具體特征，再聯(lián)想有關(guān)問題，最后尋求轉(zhuǎn)化關(guān)系。靈活轉(zhuǎn)化體現(xiàn)在能從不同角度、不同方向，運(yùn)用多種方法分析問題；思維過程靈活，能從分析到綜合，從綜合到分析，全面靈活地運(yùn)用思維方法；善于組合分析，隨著知識(shí)的掌握和經(jīng)驗(yàn)的積累，有較強(qiáng)重新組合已學(xué)知識(shí)的能力，從而使自己的數(shù)學(xué)思維的靈活性得到發(fā)展。

善用合情推理，提升思維的敏捷性

思維的敏捷性，是指在短時(shí)間內(nèi)提出解決問題的正確意見，是其他思維品質(zhì)發(fā)展的結(jié)果，也是所有優(yōu)良思維品質(zhì)的集中體現(xiàn)。所謂數(shù)學(xué)思維的敏捷性，就是學(xué)習(xí)者善于在較短時(shí)間內(nèi)果斷而迅速地對(duì)思維對(duì)象進(jìn)行識(shí)別、判斷、推理、猜想，即合情推理，以至于問題解決。數(shù)學(xué)思維敏捷性主要表現(xiàn)在數(shù)學(xué)解題過程中善于走捷徑，超越常規(guī)步驟，從而使解題的步驟大大縮減。

扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和熟練的基本技能的掌握是思維敏捷性的前提，在數(shù)學(xué)思維品性的廣闊性、批判性、深刻性與靈活性得到提升的基礎(chǔ)上，善用合情推理，思維的敏捷性自然能夠得到提升。思維敏捷性具有直覺的成分，通過直覺思維得到簡潔的解題思路，如有些學(xué)生函數(shù)理解得透徹對(duì)數(shù)據(jù)比較敏感、有些學(xué)生空間想象能力強(qiáng)對(duì)圖像比較敏感等。對(duì)此，教師應(yīng)在教學(xué)中重視開展限時(shí)限量的題群訓(xùn)練、“一題多解”與“一題多變”的交流分享，引導(dǎo)學(xué)生注重自我反思，總結(jié)問題的具體特征、運(yùn)用到的相關(guān)知識(shí)要素及解題方法，理論與方法的有效結(jié)合，自然能夠善于運(yùn)用合情推理，快速打開解決問題的思路，從而提高思維的敏捷性。

總之，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)是一個(gè)統(tǒng)一整體，各個(gè)組成部分相輔相成、彼此滲透、互相促進(jìn)、互為補(bǔ)充、不可偏廢。在教學(xué)過程中，教師應(yīng)將它們有機(jī)地結(jié)合起來，通過拓展問題情境、訓(xùn)練質(zhì)疑辨誤、重視變式教學(xué)等有目的、有計(jì)劃地強(qiáng)化學(xué)生的思維訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。同時(shí)，要積極鼓勵(lì)學(xué)生注重靈活轉(zhuǎn)化、善用合情推理不斷積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，使知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)不斷豐富起來，體會(huì)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)對(duì)思維能力的重要影響。這樣，我們才能從真正意義上適應(yīng)素質(zhì)教育對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的要求，使學(xué)生的思維品質(zhì)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中得到充分培養(yǎng)，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得到不斷發(fā)展，培養(yǎng)出具有科學(xué)思維品質(zhì)的人。