安秉文 吳先梅 張金英

(1 中國科學(xué)院聲學(xué)研究所 聲場聲信息國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 北京 100190)

(2 中國科學(xué)院大學(xué) 北京 100049)

(3 北京理工大學(xué)光電學(xué)院 北京 100081)

0 引言

聲波在醫(yī)療成像、無損檢測及地球物理勘探等領(lǐng)域中有著重要應(yīng)用[1]。在聲傳感領(lǐng)域中，光纖光柵因其尺寸小、靈敏度高、抗電磁干擾、傳輸損耗小及易復(fù)用等優(yōu)點(diǎn)[2-4]，得到了廣泛應(yīng)用[5-7]。在光纖光柵聲傳感系統(tǒng)的幾種不同解調(diào)方法中，基于3× 3 耦合器的干涉解調(diào)方法[8]從實(shí)現(xiàn)難易度、成本及解調(diào)精度上都表現(xiàn)優(yōu)異，其常結(jié)合微分-交叉相乘(Differential cross-multiplying,DCM)算法[9-10]和反正切解調(diào)算法[11-13]進(jìn)行解調(diào)。

當(dāng)前聲傳感領(lǐng)域關(guān)于反正切解調(diào)算法的研究多在于改進(jìn)算法[14-18]來改善3×3 耦合器的對稱性和光電探測器的一致性問題，而關(guān)于幅度的研究較少。陳家熠等[19]研究了反正切解調(diào)所需的幅度下限，表明聲信號引起的相位變化幅值需大于π。在實(shí)際應(yīng)用反正切算法解調(diào)光纖光柵傳感的聲波信號時，若聲場幅度較大，為得到不明顯失真的解調(diào)結(jié)果，需要設(shè)置遠(yuǎn)超奈奎斯特采樣定理對聲波采樣要求的采樣率，且采樣率隨聲場幅度增加也要相應(yīng)增加，這表明聲場幅度與采樣率之間存在著某種約束關(guān)系。雖然也存在使用雙波長激光源合成波長從而降低采樣率的解決方法[20]，但大幅提升了裝置數(shù)量及解調(diào)復(fù)雜度，在實(shí)際中難以應(yīng)用。張楠[21]研究了一種反正切解調(diào)算法在外差系統(tǒng)下的幅度動態(tài)范圍，但由于外差法帶來了額外的調(diào)制頻率，不適用于醫(yī)學(xué)超聲等高頻情況，且缺乏對不同相位展開方式的分析。

本文首先介紹了光纖光柵反正切解調(diào)原理及相位展開的數(shù)學(xué)模型，接著用正弦信號和高斯脈沖信號揭示了3 種不同相位展開方式的反正切算法所需采樣率與信號幅度的線性關(guān)系及內(nèi)在原因，并通過計(jì)算和實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了分析和驗(yàn)證。

1 光纖光柵反正切解調(diào)數(shù)學(xué)模型

以基于3×3 耦合器的光纖光柵聲傳感系統(tǒng)為例，介紹反正切算法的數(shù)學(xué)模型。

圖1 為光纖光柵聲傳感系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，光纖光柵傳感器在聲信號作用下中心波長發(fā)生偏移，借助基于3×3耦合器的馬赫-曾德干涉儀(Mach–Zehnder interferometer,MZI)轉(zhuǎn)化為相位變化，進(jìn)一步經(jīng)過三路光電探測器后被采集，輸出的三路信號為

圖1 光纖光柵聲傳感系統(tǒng)Fig.1 Fiber Bragg grating acoustical sensing system

式(1)中，Vi(i=1,2,3)為輸出的第i路信號，B、C分別為三路輸出電信號的直流分量和交流信號的幅度；s0為初始相位；s=Δλ為包含聲傳感信息的相位，其中λ為光柵的中心波長，d為馬赫-曾德干涉儀的臂長差，Δλ為聲信號引起的波長偏移，與聲信號呈線性關(guān)系[22]：

其中，P11、P12為光纖的光彈系數(shù)，n為有效折射率，E為楊氏模量，ν為泊松比，P為聲壓；βi=2π(i-1)/3為3×3耦合器帶來的相位差。

由于聲信號幅度P、光柵中心波長偏移Δλ和相位s之間是線性關(guān)系，s的變化代表了聲信號的變化，因此解調(diào)出s即可得到光纖光柵傳感的聲信號。

對式(1)進(jìn)行三角函數(shù)和差化積運(yùn)算，即可得到反正切解調(diào)出的信號上標(biāo)表示是計(jì)算結(jié)果：

實(shí)際中采集到的信號是光電探測器的三路輸出信號，為探究解調(diào)結(jié)果與原信號的差別，假定s已知。先給定信號s作為輸入信號，再通過公式(1)計(jì)算出三路輸出信號Vi，最后使用公式(3) 計(jì)算直接進(jìn)行反正切解調(diào)的結(jié)果?s。圖2以正弦信號s=20 sin(2πt)為例展示了上述過程，并以此說明在反正切算法中相位展開的必要性。

圖2 相位展開前正弦信號的反正切解調(diào)Fig.2 Arctangent demodulation before phase unwrapping

圖2(c)～(e)展示的三路輸出信號與圖2(a)的輸入信號之間除波形的周期性、對稱性外較難直觀找到聯(lián)系，這也是使用反正切或DCM 算法進(jìn)一步解調(diào)的原因。圖2(b)為直接使用公式(2)的反正切解調(diào)結(jié)果，其幅度被限定在反正切函數(shù)的值域(-π/2,π/2)，因此出現(xiàn)相位纏繞現(xiàn)象，輸入s=α+nπ (n為整數(shù))時會解調(diào)出?s=α，α ∈(-π/2,π/2)。需進(jìn)行相位展開還原真實(shí)的輸入信號。

下面介紹3 種典型的相位展開方式。方式1為反正切算法最初被提出時使用的相位展開方式[11]，即根據(jù)反正切值是否位于[-π/4,π/4]，及前一反正切值的正負(fù)判斷是否需在反正切值上加減π/2。方式2[12]不再根據(jù)反正切值本身是否屬于不同區(qū)間，而是根據(jù)前后反正切值的差值是否屬于[-π/2,π/2]而加減π。方式3[13]則是借助復(fù)平面的概念拓展至4 個象限，再根據(jù)兩次返回值的差值絕對值是否屬于[-π,π]而加減2π。本文將以上3 種相位解調(diào)方式稱為3種反正切解調(diào)算法。

在信號幅度較小的情況下，這3 種解調(diào)算法均能夠得到正確的解調(diào)結(jié)果。但是當(dāng)信號幅度較大時，3種算法都可能出現(xiàn)解調(diào)結(jié)果失真。隨著采樣率增加，有的解調(diào)算法能夠得到正確的解調(diào)結(jié)果，而有的算法仍然需要繼續(xù)增加采樣率才能得到正確的解調(diào)結(jié)果，這表明信號幅度和采樣率之間的關(guān)系與相位展開方式有關(guān)，因此下文將進(jìn)行不同相位展開方式下的采樣率與信號幅度關(guān)系分析。

2 采樣率與信號幅度關(guān)系分析

在聲傳感信號中，窄帶的正弦信號和寬帶的脈沖信號具有一定代表性，本節(jié)將對這兩種信號的反正切解調(diào)算法進(jìn)行分析，對比3 種不同相位展開方式下的解調(diào)結(jié)果，并與DCM 算法[10]進(jìn)行比較，最后用脈沖信號實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。

2.1 正弦信號

給定正弦信號s=Asin(ωt)，其中A為輸入信號的幅度，ω=2πf為輸入信號的角頻率，f為信號頻率。

由于公式(1)中的直流分量B可通過減去均值消除，交流信號的幅度C可進(jìn)行幅度歸一化，因此都取1，不再單獨(dú)研究二者的影響；引入采樣率fs與信號頻率f的比值Kj=fs/f表示一周期內(nèi)采樣的點(diǎn)數(shù)，并記為相對采樣率，下標(biāo)j=1,2,3 表示第j種反正切解調(diào)方式。在接下來的分析中不失一般性地取f=1。輸入信號仍用圖2(a)所示的信號。

為誤差判據(jù)，用于分析解調(diào)結(jié)果的失真度。計(jì)算了在采樣率剛剛滿足誤差判據(jù)時3 種反正切解調(diào)方式及DCM 算法的解調(diào)結(jié)果與輸入信號間的誤差，如圖3 所示，其中圖3(a)、圖3(c)、圖3(e)和圖3(g)依次為方式1～方式3 和DCM 算法解調(diào)出的信號，圖3(b)、圖3(d)、圖3(f)和圖3(h)依次為解調(diào)結(jié)果與原信號的誤差|s-?s|。圖3 中3 種反正切解調(diào)方式的相對采樣率為K1=147、K2=80、K3=40，DCM 算法使用的相對采樣率KDCM=160 與K1接近。計(jì)算時發(fā)現(xiàn)3 種反正切解調(diào)方式的誤差均在3.55×10-15，而即使KDCM=2000時，其最大誤差為0.003＞0.01%×A=0.002。這是因?yàn)镈CM 算法的求導(dǎo)、積分等步驟建立在微元假設(shè)上，因此誤差較大，而反正切算法則不是。在計(jì)算時間上3種反正切解調(diào)方式均在10-4s量級，DCM算法為0.11 s，表明DCM在實(shí)時性上的不足。

圖3 正弦信號的解調(diào)結(jié)果及誤差Fig.3 Demodulation results and error of sine signal

為進(jìn)一步探究采樣率與信號幅度之間的關(guān)系，計(jì)算了信號幅度A ∈[1,1000]時3 種反正切解調(diào)方式在滿足判據(jù)時所需的最小相對采樣率，DCM 算法由于無法滿足誤差判據(jù)，不進(jìn)行計(jì)算。得到相對采樣率與輸入信號幅度的關(guān)系如圖4(a)所示，此時的最大誤差如圖4(b)所示，圖中點(diǎn)線、劃線和實(shí)線分別對應(yīng)方式1、方式2和方式3。

圖4 正弦信號不同反正切解調(diào)算法所需相對采樣率及誤差Fig.4 Relative sample rates and error of sine signal under different arctangent algorithms

由圖4(a)看出3種方式的相對采樣率與輸入信號幅度存在著明顯的線性關(guān)系，線性擬合后得到方式1～方式3 所需的相對采樣率分別約為K1=8A、K2=4A、K3=2A。圖4(c)表明在滿足誤差判據(jù)時，3 種方式解調(diào)出的信號與原信號之間的誤差遠(yuǎn)小于誤差判據(jù)，這體現(xiàn)了反正切解調(diào)算法具有較高的精度。

采樣率與信號幅度相關(guān)的原因在于相位展開方式的判據(jù)是固定的數(shù)值，而輸入信號是變化的。具體來說，3 種相位展開方式是根據(jù)相鄰兩次返回值的差值或是所屬區(qū)間的關(guān)系來移動坐標(biāo)基準(zhǔn)、展開相位的，因此輸入信號斜率最大處前后的導(dǎo)數(shù)(方式1、方式2 和方式3)或函數(shù)值(方式1)決定了相對采樣率的要求。

以方式1 為例說明。正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是余弦函數(shù)，其在t=0 時導(dǎo)數(shù)最大，此時st=0=0。下一時刻：

當(dāng)K1=8A時，若A較大，則：

正好處于方式1 的[-π/4,π/4]邊緣，對應(yīng)著相對采樣率需要為輸入信號幅度的8 倍。方式2 和方式3的判據(jù)分別為±π/2和±π，因此所需的相對采樣率分別為信號幅度的4倍和2倍。

需要注意的是，如圖4(a)局部放大后的圖4(b)，在輸入信號幅度較小時，應(yīng)設(shè)置一個采樣率的下限以滿足奈奎斯特定理。奈奎斯特定理要求采樣率至少為信號頻率的2 倍，即KN=2，實(shí)際中要采用更大的采樣率，因此這里設(shè)置了相對采樣率的下限KL=24。也出于這一考慮，在進(jìn)行單個信號的分析時選擇的信號幅度為A=20，此時3 種反正切方式需要的最低采樣率高于設(shè)置的采樣率下限，即K3=2A ＞KL。

圖5 計(jì)算了圖2(a)作為輸入信號時兩種不同采樣率下各種算法的解調(diào)結(jié)果。圖5(a)、圖5(c)、圖5(e)和圖5(g)為K=2A時的解調(diào)結(jié)果，圖5(b)、圖5(d)、圖5(f)和圖5(h)為采樣率增加一倍后即K=4A時的解調(diào)結(jié)果。從圖5 可見，圖5(a)～(c)的解調(diào)結(jié)果嚴(yán)重失真，波形各異，比較圖5(b)與圖5(a)可知，采樣率更高的解調(diào)結(jié)果并未更接近輸入信號，這表明存在一個采樣率的閾值，使得低于該值時解調(diào)結(jié)果不可信。但比較圖5(g)、圖5(h)和圖3(g)，可發(fā)現(xiàn)DCM 算法的解調(diào)結(jié)果則隨著相對采樣率的增加逐漸接近輸入信號，這是因?yàn)槠湓絹碓綕M足微元假設(shè)，DCM 在采樣率較低時的解調(diào)結(jié)果可信度更好。由圖5 中兩種采樣率的解調(diào)結(jié)果可知，3 種反正切解調(diào)方式中，方式1 對采樣率的要求最高，方式2次之，方式3最低。

圖5 不同采樣率時的正弦信號解調(diào)結(jié)果Fig.5 Demodulation results of sine signal under different sample rates

2.2 高斯脈沖信號

為模擬在超聲檢測中常用的脈沖信號，進(jìn)行了高斯脈沖信號的計(jì)算分析，其中心頻率與實(shí)驗(yàn)用換能器中心頻率一致，為f=2.5 MHz。為與前文統(tǒng)一引入相對采樣率Kj=fs/f，其中f為高斯脈沖的中心頻率。計(jì)算分析了不同帶寬下的高斯脈沖信號解調(diào)結(jié)果，均與正弦信號基本一致，即相對采樣率和輸入信號幅度之間存在明顯線性關(guān)系，且3 種反正切算法在計(jì)算時間和解調(diào)精度上都較DCM 算法表現(xiàn)更佳，這里出于篇幅不再贅述。

與正弦窄帶信號不同的是，帶寬對解調(diào)結(jié)果有一定影響。圖6 展示了不同帶寬下的輸入高斯脈沖信號波形，圖6(a)～(e)分別表示帶寬為中心頻率20%、40%、60%、80%和100%的情況。

圖6 不同帶寬的高斯脈沖信號Fig.6 Gaussian pulse signal of different bandwidths

圖7 給出了不同帶寬高斯脈沖信號所需的相對采樣率與信號幅度的倍數(shù)與帶寬之間的關(guān)系，圖7 中菱形實(shí)線、圓圈劃線和三角點(diǎn)線分別表示反正切解調(diào)方式1、方式2 和方式3，標(biāo)注了每種方式在不同帶寬下的相對采樣率與幅度之間的擬合系數(shù)。

圖7 高斯脈沖信號不同帶寬下的相對采樣率與幅度關(guān)系Fig.7 Relationship between relative sample rate and signal amplitude of Gaussian pulse signal under different bandwidths

由圖7 中曲線變化趨勢可以看到，隨著帶寬的增加，3 種解調(diào)方式所需的相對采樣率均降低，且在高斯脈沖信號的帶寬較窄時所需的相對采樣率與正弦信號要求一致。

計(jì)算了不同帶寬下高斯脈沖信號的導(dǎo)數(shù)，將導(dǎo)數(shù)最大值s′(t0)和函數(shù)值s(t0) 繪制在圖8，t0為對應(yīng)的時刻，時間步長為Δt=8.33×10-9s。三角劃線和左側(cè)縱坐標(biāo)軸用來描述導(dǎo)數(shù)最大值，圓圈實(shí)線和右側(cè)縱坐標(biāo)軸描述最大導(dǎo)數(shù)對應(yīng)時刻的函數(shù)值。

圖8 高斯脈沖信號不同帶寬下的導(dǎo)數(shù)最大值及其函數(shù)值Fig.8 Maximum derivatives of Gaussian pulse signal and their function values under different bandwidths

由圖8 可解釋高斯脈沖的相對采樣率要求。不同帶寬的導(dǎo)數(shù)最大值s′(t0)均在約3× 108，s(t0+Δt)-s(t0)=s′(t0)Δt ≈2.4，無論函數(shù)值s(t0)為多少，前后兩次反正切值不同時屬于[-π/4,π/4]，方式1 需對當(dāng)前及之后數(shù)據(jù)進(jìn)行修正，加減。而=6與2π相近，約是3 種方式的判據(jù)π/4、π/2 和π 的8 倍、4 倍和2倍。此外，圖8 中導(dǎo)數(shù)最大值隨帶寬的增加而減小的規(guī)律解釋了所需相對采樣率隨帶寬增加而減小的現(xiàn)象。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

使用脈沖信號發(fā)生器和2.5 MHz的壓電換能器在水中發(fā)射聲波，光纖光柵在距離聲源60 mm 處接收聲波。分別用625 MS/s，1250 MS/S和2500 MS/s的采樣率采樣，則3 種采樣率將依次僅滿足方式3、方式2～方式3，及滿足方式1～方式2和方式3 的采樣率要求。以625 MS/S的采樣結(jié)果為例，將三路采集到的輸出信號展示在圖9。

圖9 實(shí)驗(yàn)采集的三路輸出信號Fig.9 Three outputs in experiment

下面依次分析不同采樣率時不同解調(diào)方式下的解調(diào)結(jié)果。圖10 展示了采樣率為625 MS/s時3 種反正切解調(diào)方式及DCM 算法的解調(diào)結(jié)果，圖10(a)～(d)分別對應(yīng)反正切解調(diào)方式1、方式2、方式3 和DCM 算法，圖中標(biāo)注了解調(diào)結(jié)果的峰峰值A(chǔ)vv(峰峰值是信號幅度的2倍)。

圖10 625 MS/s 采樣率時的解調(diào)結(jié)果Fig.10 Demodulation results of four methods under 625 MS/s

圖10(a)～(b)均出現(xiàn)了信號前后直流分量解調(diào)結(jié)果不一致的“相位跳變”現(xiàn)象，且與圖10(c)的幅度相比可以看出信號未解調(diào)完全。DCM 算法雖未出現(xiàn)這一現(xiàn)象，但其幅度低于3種反正切解調(diào)方式。

從計(jì)算時間上看，3 種反正切解調(diào)方式的計(jì)算時間均在數(shù)十毫秒，而DCM算法則超過20 min，無法滿足高頻大數(shù)據(jù)量輸入信號的實(shí)時解調(diào)，這與前文仿真的結(jié)論一致。因此在后文1250 MS/s 和2500 MS/s的解調(diào)中不再與DCM算法比較。

圖11 計(jì)算了采樣率1250 MS/s 和2500 MS/s時3種反正切解調(diào)方式的解調(diào)結(jié)果。

圖11 1250 MS/s 和2500 MS/s 采樣率時的解調(diào)結(jié)果Fig.11 Demodulation results of three arctangent algorithms under 1250 MS/s and 2500 MS/s

圖11(a)出現(xiàn)了“相位跳變”現(xiàn)象，圖11(b)～(f)解調(diào)結(jié)果的峰峰值均為146.2，可以相信信號的相位幅度約為73，而相對采樣率與幅度的比值為≈3.4，位于2 倍和4 倍之間，故3 次實(shí)驗(yàn)按采樣率由小到大依次滿足了方式3、方式2～方式3和方式1 方式3 的采樣率要求。方式3 對采樣率的要求最低，因此在實(shí)際中應(yīng)用較多。不同采樣率下解調(diào)結(jié)果的結(jié)論與前文計(jì)算分析一致，也驗(yàn)證了前文計(jì)算的正確性。

4 結(jié)論

本文基于光纖光柵3×3 干涉解調(diào)的反正切算法及相位展開的數(shù)學(xué)模型，數(shù)值計(jì)算分析了3 種反正切算法下采樣率與信號幅度之間的關(guān)系，并與DCM算法進(jìn)行了比較，在實(shí)驗(yàn)中進(jìn)行驗(yàn)證。得到結(jié)論如下：

(1) 揭示了采樣率和信號幅度相關(guān)的原因在于相位展開的判據(jù)，且頻率固定時3 種反正切解調(diào)方法均與信號幅度之間呈線性。以是否跨越[-π/4,π/4]及函數(shù)值符號為判據(jù)的反正切解調(diào)方式1 所需的采樣率為fs=8Af以相鄰兩次返回函數(shù)值差值是否屬于[-π/2,π/2]和[-π,π]為判據(jù)的方式2 和方式3 所需的采樣率分別為fs=4Af和fs=2Af。采樣率與信號幅度之間線性函數(shù)的系數(shù)取決于信號斜率最大處的導(dǎo)數(shù)(方式1～方式3)及函數(shù)值(僅方式1)。

(2) 對于高斯脈沖信號，反正切解調(diào)的采樣率要求隨著帶寬增加而略有降低，這是因?yàn)閷?dǎo)數(shù)的最大值隨帶寬增加而下降。從倍數(shù)關(guān)系的數(shù)值來看，實(shí)驗(yàn)時基本上仍需向上取整來按照結(jié)論(1)的采樣率要求保證信號不失真。

(3) 與3 種反正切解調(diào)方式相比，DCM 算法無論從實(shí)時性(采樣率要求、計(jì)算時間)還是計(jì)算精度的角度都表現(xiàn)都更遜色一些，但在采樣率不足以滿足反正切解調(diào)時不失為一個好的選擇。當(dāng)用硬件實(shí)現(xiàn)積分、微分等步驟時或許可以實(shí)現(xiàn)實(shí)時解調(diào)。

(4) 從仿真結(jié)果及實(shí)驗(yàn)結(jié)果來看，借助了復(fù)平面的反正切解調(diào)方式3 對采樣率的要求最低，在應(yīng)用前可預(yù)先根據(jù)先驗(yàn)知識或水聽器測試估算傳感器處聲場的大致幅度，再根據(jù)所用光纖光柵傳感器的靈敏度綜合計(jì)算出所需采樣率。

值得注意的是，借助復(fù)平面相位展開的方式3需要輸入實(shí)數(shù)，否則可能錯誤判斷象限，造成解調(diào)結(jié)果的偏差甚至錯誤。當(dāng)出于干涉儀相位的不穩(wěn)定、輸出信號幅度差異等因素使用橢圓擬合時，由于擬合后的三路信號為復(fù)數(shù)信號，此時應(yīng)選擇其他方式解調(diào)，如在實(shí)驗(yàn)時采樣率加倍或后處理時插值后再使用方式2解調(diào)。