陳 珂, 張麗霞, 孫敏慧

(中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 山東 青島 266100)

有限時間穩(wěn)定是非常經(jīng)典的數(shù)學(xué)概念[1-4],該概念可以追溯到20世紀60年代,在1961年首次被提出[1]。在隨后的研究中,有限時間穩(wěn)定性理論逐漸受到學(xué)者們的廣泛關(guān)注。在一些工程領(lǐng)域,如航空航天控制系統(tǒng)、采樣控制系統(tǒng)和機械控制系統(tǒng),有限時間穩(wěn)定有著非常廣泛的應(yīng)用[5-8]。

目前,有限時間穩(wěn)定性理論大概可以分為兩類:一類是由Bhat和Bernstein提出的有限時間收斂性[9],有限時間收斂理論表明,在系統(tǒng)滿足Lyapunov漸近穩(wěn)定性的前提下,系統(tǒng)狀態(tài)在一個相對有限的周期內(nèi)收斂到平衡點[10-11];另一種類型的有限時間穩(wěn)定性理論是由Amato等[12]提出的,根據(jù)該理論,如果初始狀態(tài)是范數(shù)有界的,則系統(tǒng)的狀態(tài)在給定的有限時間區(qū)間內(nèi)不超過預(yù)定的邊界。本文研究的是第二種類型。

有限時間有界性理論表明,如果初始狀態(tài)和外部輸入是有界的,則系統(tǒng)狀態(tài)在預(yù)先給定的有限周期內(nèi)不會超過預(yù)定的邊界[13-15],因此,有限時間穩(wěn)定是有限時間有界的一種特例。文獻[16-17]研究了異步切換系統(tǒng)的輸入-輸出有限時間穩(wěn)定性問題。Amato 和Ariola將上述方法推廣到線性離散系統(tǒng)中,得出了輸出反饋控制器的設(shè)計條件[18]。Van Mellaer對隨機系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定控制進行了研究[19]。之后,又有大批學(xué)者取得了有關(guān)有限時間穩(wěn)定性的顯著成果,文獻[20]研究了時滯跳變系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定性問題,文獻[21-22]研究了帶有增益控制的有限時間有界性問題。雖然有限時間穩(wěn)定性的相關(guān)研究已取得了豐富的研究成果,然而這些結(jié)果主要集中在線性定常系統(tǒng),而對線性時變系統(tǒng)還較少檢索到相關(guān)的研究工作。

本文在前人研究的基礎(chǔ)上,將有限時間穩(wěn)定性理論推廣到線性常時滯時變系統(tǒng)。首先,通過選取合適的Lyapunov泛函,以時變的矩陣不等式形式給出有限時間穩(wěn)定的充分條件;其次,提出了狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計方法;最后,通過仿真算例驗證了這種控制器的可行性。

1 問題描述與預(yù)備知識

考慮如下線性連續(xù)常時滯時變系統(tǒng):

(1)

定義1給定標量c10,矩陣R>0,矩陣S1>0, 稱系統(tǒng)(1)關(guān)于(c1,c2,T,R,S1)是有限時間有界的,如果系統(tǒng)滿足以下條件:

(2)

有

max{xT(s)Rx(s)}≤c1,s∈[-d,0]?

xT(t)Rx(t)≤c2,?t∈[0,T]。

(3)

定義2對于給定常數(shù)T>0,矩陣S1>0,S2>0,稱系統(tǒng)(1)關(guān)于(T,S1,S2)是輸入-輸出有限時間穩(wěn)定的,如果在零初始條件下,對于擾動輸入w(t),系統(tǒng)滿足

(4)

問題描述:對于系統(tǒng)(1),給定正數(shù)c1,c2,T,其中c10和矩陣S1>0,S2>0,設(shè)計狀態(tài)反饋控制器

u(t)=K(t)x(t),

(5)

使得閉環(huán)系統(tǒng)

(6)

2 主要結(jié)論

2.1 有限時間有界

本小節(jié)主要考慮當(dāng)u(t)=0時系統(tǒng)(1)的有限時間有界性,主要結(jié)果由以下定理給出。

定理1(有限時間有界的充分條件) 給定正數(shù)c1,c2,T,其中c10,S1>0。當(dāng)u(t)=0時系統(tǒng)(1)關(guān)于(c1,c2,T,R,S1)是有限時間有界的,如果存在一個標量α>0和正定對稱矩陣Q1(t),Q2(t)∈Rn×n,滿足?t∈[0,T] 有:

(7)

(8)

(9)

證明 選取Lyapunov泛函為

則V(x(t))沿著系統(tǒng)(1)求導(dǎo),可得:

根據(jù)定理條件(7)則有

即

將不等式的兩邊同時乘以e-αt,可得

將上述不等式從0到t進行積分可得

注意到α>0,我們可得

即

V(x(t))

則由上式可得

λmin(Q1(t))xT(t)Rx(t)<

因此

xT(t)Rx(t)<

c2,?t∈[0,T]。

由定義1可知,當(dāng)u(t)=0時系統(tǒng)(1)關(guān)于(c1,c2,T,R,S1)是有限時間有界的。

2.2 輸入-輸出有限時間穩(wěn)定

本小節(jié)主要研究系統(tǒng)(1)的輸入-輸出有限時間穩(wěn)定性,主要結(jié)果由以下定理給出。

定理2(輸入-輸出有限時間穩(wěn)定的充分條件) 給定標量T>0,矩陣S1>0,S2>0,當(dāng)u(t)=0時系統(tǒng)(1)關(guān)于(T,S1,S2)是輸入-輸出有限時間穩(wěn)定的,如果存在標量α>0,β>0與正定對稱矩陣Q1(t),Q2(t)∈Rn×n,?t∈[0,T]滿足公式(7)、(9)及以下條件:

(10)

βeαT≤1,

(11)

證明 選取Lyapunov泛函為

由定理1的證明可知

注意到零初始條件,可得

則有

yT(t)S2y(t)=xT(t)CT(t)S2C(t)x(t)≤

故

yT(t)S2y(t)<1。

由定義2可知,當(dāng)u(t)=0時線性常時滯系統(tǒng)(1)關(guān)于(T,S1,S2)是輸入-輸出有限時間穩(wěn)定的。

2.3 控制器設(shè)計

本小節(jié)將根據(jù)以上的定理條件,給出閉環(huán)系統(tǒng)控制器(5)的設(shè)計方法。

定理3如果存在標量α>0,β>0,Q1(t)>0,Q2(t)>0和矩陣L(t)∈Rn×n,?t∈[0,T],滿足(8)—(11)式及以下條件:

(12)

則存在狀態(tài)反饋控制器(5),使得閉環(huán)系統(tǒng)(6)關(guān)于(c1,c2,T,R,S1)是有限時間有界且關(guān)于(T,S1,S2)是輸入輸出有限時間穩(wěn)定的,其中,

(13)

由(8),(9),(12)式及定理1可知,閉環(huán)系統(tǒng)(6)是有限時間有界的,由(10)—(12) 式及定理2知閉環(huán)系統(tǒng)(6)是輸入-輸出有限時間穩(wěn)定的。

3 仿真舉例

本節(jié)中,我們將給出一個數(shù)值例子來說明所給結(jié)果的有效性。

考慮線性系統(tǒng)(1),參數(shù)如下:

圖1 開環(huán)系統(tǒng)的x(t)的軌跡

通過定理3,我們設(shè)計了一個使系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定的狀態(tài)反饋控制器,圖2即為狀態(tài)反饋控制器的時間軌跡。由圖3、4、5可知,在狀態(tài)反饋控制器下,系統(tǒng)在0～3 s內(nèi)滿足xT(t)Rx(t)≤3,yT(t)S2y(t)≤1,從而是有限時間有界且輸入-輸出有限時間穩(wěn)定的。

圖2 控制器K(t)的變化軌跡

圖3 閉環(huán)系統(tǒng)的x(t)的軌跡

圖4 閉環(huán)系統(tǒng)的xT(t)Rx(t)的軌跡

圖5 閉環(huán)系統(tǒng)的yT(t)Sy(t)的軌跡

4 結(jié)語

本文通過構(gòu)造Lyapunov泛函,給出了線性常時滯時變系統(tǒng)有限時間有界和輸入-輸出有限時間穩(wěn)定的充分性條件,并設(shè)計了狀態(tài)反饋控制器,最后通過仿真算例驗證了定理條件的有效性。