田宗?！≈蛆i鵬　云國(guó)麗　郭新凱　官毅

摘要：提出了一種自適應(yīng)增量Kriging模型的多目標(biāo)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。依據(jù)結(jié)構(gòu)特征及優(yōu)化目標(biāo)，構(gòu)建了增量Kriging代理模型，并提出混合加點(diǎn)采樣策略，提高增量Kriging代理模型的自適應(yīng)性；提出了柯西變異多目標(biāo)粒子群優(yōu)化（CMMOPSO）算法，通過(guò)改進(jìn)慣性權(quán)重因子、個(gè)體學(xué)習(xí)因子和社會(huì)學(xué)習(xí)因子，同時(shí)引入柯西變異策略，提高優(yōu)化模型求解的效率和精度；構(gòu)建以結(jié)構(gòu)相關(guān)參數(shù)為設(shè)計(jì)變量、性能指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差為目標(biāo)、3σ變量縮減區(qū)間為約束的優(yōu)化模型，綜合CMMOPSO算法和灰色關(guān)聯(lián)分析獲得多目標(biāo)穩(wěn)健優(yōu)化最優(yōu)解。算例分析結(jié)果表明，所提方法不僅能夠以較少的性能函數(shù)調(diào)用次數(shù)獲得高精度結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型，而且優(yōu)化結(jié)果與傳統(tǒng)方法相比，收斂速度更快、穩(wěn)健性更好。

關(guān)鍵詞：增量Kriging代理模型；混合加點(diǎn)策略；多目標(biāo)粒子群算法；多目標(biāo)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)

中圖分類號(hào)：U270

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2023.08.007

Multi-objective Robust Optimization Design Method Based on Adaptive Incremental Kriging Model

TIAN Zongrui1，2 ZHI Pengpeng1，4，5 YUN Guoli GUO Xinkai4 GUAN Yi5

Abstract： A multi-objective robust optimization design method of adaptive incremental Kriging model was proposed. Firstly， according to the structural characteristics and optimization objectives， the incremental Kriging surrogate model was constructed， and a hybrid sampling strategy was proposed to improve the adaptability of the incremental Kriging surrogate model. Secondly， the Cauchy mutation MOPSO（CMMOPSO） algorithm was proposed. By improving the inertia weight factor， individual learning factor and social learning factor， and introducing the Cauchy mutation strategy， the efficiency and precision of the optimization model were improved. Finally， an optimization model was constructed with the structural parameters as the design variables， the standard deviation of the performance indicators as the objective， and the 3σ variable reduction interval as the constraint. The optimal solutions of multi-objective robust optimization were obtained combining CMMOPSO and grey correlation analysis. Analysis results of the example show that the proposed method may obtain a high-precision structural optimization model with fewer performance function calls， and the optimization results have faster convergence rate and better robustness than that of traditional methods.

Key words： incremental Kriging surrogate model; mixed point strategy; multi-objective particle swarm optimization（MOPSO） algorithm; multi-objective robust optimization design

0 引言

傳統(tǒng)的穩(wěn)健優(yōu)化方法包括：田口穩(wěn)健優(yōu)化、基于容差模型的穩(wěn)健優(yōu)化、基于隨機(jī)模型的穩(wěn)健優(yōu)化方法等。由于這些方法屬于數(shù)值方法，不適用于實(shí)際工程中需要大規(guī)模不確定性分析的黑箱函數(shù)問(wèn)題，因此發(fā)展高效且適用范圍廣的穩(wěn)健優(yōu)化方法迫在眉睫。

目前相對(duì)有效的方法是基于代理模型的穩(wěn)健優(yōu)化方法，國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了研究。LUO等［1］將代理輔助梯度方法應(yīng)用于渦輪機(jī)葉片氣動(dòng)穩(wěn)健優(yōu)化中。RAFIEE等［2］使用Box-Behnken響應(yīng)面法的十維代理模型與粒子群優(yōu)化相結(jié)合，完成外轉(zhuǎn)子永磁電機(jī)的穩(wěn)健設(shè)計(jì)。TAO等［3］將PCA-DBN代理模型嵌入改進(jìn)的粒子群優(yōu)化框架中，并將其應(yīng)用于自然層流翼型和跨音速機(jī)翼的穩(wěn)健氣動(dòng)設(shè)計(jì)優(yōu)化。LIU等［4］利用Kriging模型和田口法對(duì)懸掛式單軌車輛參數(shù)進(jìn)行穩(wěn)健優(yōu)化。劉太素等［5］基于稀疏混沌多項(xiàng)式展開模型進(jìn)行了輸彈協(xié)調(diào)機(jī)構(gòu)的穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)。萬(wàn)良琪等［6］針對(duì)復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品提出一種基于多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展的6σ穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。向國(guó)齊等［7］提出一種基于支持向量機(jī)和粒子群算法結(jié)合的穩(wěn)健優(yōu)化方法。上述學(xué)者對(duì)穩(wěn)健優(yōu)化的研究過(guò)程主要采用“代理模型+智能進(jìn)化算法”的邏輯結(jié)構(gòu)，雖然得到了令人滿意的結(jié)果，但均是在大量仿真試驗(yàn)的基礎(chǔ)上展開研究的，未充分利用代理模型的優(yōu)勢(shì)，也忽略了求解精度和求解效率。

利用Kriging模型進(jìn)行穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)是解決上述問(wèn)題的有效途徑。通過(guò)序貫Kriging采樣方法，可有效處理穩(wěn)健優(yōu)化目標(biāo)的不確定性，也能避免傳統(tǒng)靜態(tài)Kriging模型一次采樣產(chǎn)生低精度預(yù)測(cè)的缺點(diǎn)。針對(duì)單點(diǎn)加點(diǎn)準(zhǔn)則，XIAO等［8］提出了加權(quán)期望提高準(zhǔn)則（weighted expected improvement， WEI），并應(yīng)用在電磁設(shè)計(jì)中。AMINE等［9］在期望提高準(zhǔn)則（expected improvement， EI）的基礎(chǔ)上提出了WB2準(zhǔn)則，增強(qiáng)了局部搜索能力。王彥等［10］提出了nEI準(zhǔn)則，與EI準(zhǔn)則相比，可得到更高精度的模型，但犧牲了迭代速度。

上述學(xué)者對(duì)單點(diǎn)加點(diǎn)準(zhǔn)則展開了研究，但是能夠提高采樣效率的多點(diǎn)加點(diǎn)策略能與并行計(jì)算相結(jié)合，在近年來(lái)受到了更廣泛的關(guān)注。針對(duì)多點(diǎn)加點(diǎn)準(zhǔn)則，ZHAN等［11］提出偽期望改進(jìn)準(zhǔn)則，通過(guò)建立影響函數(shù)進(jìn)行多點(diǎn)加點(diǎn)。LI等［12］開發(fā)了一種名為期望提高和交互信息（expected improvement and mutual information， EI&MI）的多點(diǎn)填充準(zhǔn)則。陳鵬等［13］結(jié)合最小響應(yīng)面準(zhǔn)則（minimizing prediction， MP）和EI準(zhǔn)則，提出了一種雙加點(diǎn)動(dòng)態(tài)Kriging模型。樂春宇等［14］利用EI和WB2準(zhǔn)則設(shè)計(jì)了兩階段并行采樣策略。謝延敏等［15］通過(guò)并行使用EI準(zhǔn)則，在迭代過(guò)程中能夠增加兩個(gè)采樣點(diǎn)，有效提高了模型的擬合精度。上述研究均提高了黑箱函數(shù)的局部精度和最優(yōu)點(diǎn)附件的精度，但是在穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)中仍需考慮設(shè)計(jì)域全局精度的擬合效果。

針對(duì)上述問(wèn)題，為獲得高質(zhì)量的黑箱函數(shù)擬合樣本，兼顧多目標(biāo)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)的求解精度和效率，本文提出一種基于自適應(yīng)Kriging模型的多目標(biāo)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。與現(xiàn)有方法相比，通過(guò)融合EI準(zhǔn)則、MP準(zhǔn)則和最大方差準(zhǔn)則（maximizing square error， MSE）的采樣特性，提出了自適應(yīng)增量Kriging代理模型的并行加點(diǎn)方法；在此基礎(chǔ)上，提出了能夠高效解決多目標(biāo)穩(wěn)健優(yōu)化問(wèn)題的柯西變異多目標(biāo)粒子群優(yōu)化

（Cauchy mutation multiple objective particle swarm optimization，CMMOPSO）算法；通過(guò)數(shù)值算例和工程算例進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 自適應(yīng)增量Kriging模型

在實(shí)際工程中，結(jié)構(gòu)性能的評(píng)估指標(biāo)通常利用仿真過(guò)程實(shí)現(xiàn)，但是過(guò)多的仿真計(jì)算不但會(huì)增加計(jì)算成本，也會(huì)降低分析過(guò)程的計(jì)算速度。因此，針對(duì)穩(wěn)健優(yōu)化過(guò)程，在增量Kriging模型的基礎(chǔ)上，通過(guò)引入自適應(yīng)混合加點(diǎn)策略，考慮距離閾值的樣本刪除策略和自適應(yīng)收斂準(zhǔn)則，提出一種能夠高效擬合結(jié)構(gòu)性能指標(biāo)的自適應(yīng)增量Kriging模型。

1.1 增量Kriging模型基本原理

增量Kriging模型［16］可看成是在普通Kriging模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行了理論拓展。與普通Kriging模型相比，增量Kriging模型能夠避免相關(guān)函數(shù)矩陣求逆耗時(shí)的弊端，在模型每次更新時(shí)不需要重新計(jì)算，能夠有效提高Kriging模型的建模效率。

（1）根據(jù)工程要求，確定結(jié)構(gòu)性能的多個(gè)評(píng)估指標(biāo)，以及穩(wěn)健優(yōu)化的設(shè)計(jì)變量x=（x1，x2，…，xM）T和設(shè)計(jì)空間（xL，xU）。

（2）對(duì)設(shè)計(jì)變量x=（x1，x2，…，xM）T進(jìn)行拉丁超立方抽樣，通過(guò)仿真分析輸出性能評(píng)估指標(biāo)真實(shí)響應(yīng)值y=（y1，y2，…，yM）T，建立初始增量Kriging模型。

（3）根據(jù)混合加點(diǎn)策略，更新Kriging模型。通過(guò)迭代加點(diǎn)，基于當(dāng)前樣本庫(kù)建立增量Kriging模型，同時(shí)將更新點(diǎn)加入樣本庫(kù)。每完成一次迭代，迭代次數(shù)增加1，即k←k+1，當(dāng)RMSE值滿足eRMSE≤ε（其中ε為精度閾值）時(shí)停止加點(diǎn)，進(jìn)行步驟（4）；否則返回步驟（3）。

（4）建立性能評(píng)估指標(biāo)的Kriging代理模型。通過(guò)對(duì)設(shè)計(jì)變量x′=（x′1，x′2，…，x′M）T進(jìn)行拉丁超立方抽樣，獲得性能評(píng)估指標(biāo)的預(yù)測(cè)樣本y′=（y′1，y′2，…，y′M）T。

（5）對(duì)每組拉丁超立方抽樣樣本進(jìn)行蒙特卡羅抽樣，獲得性能評(píng)估指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差σMC=（σ1，σ2，…，σM），并建立性能評(píng)估指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差Kriging代理模型。

（6）以性能評(píng)估指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差為優(yōu)化目標(biāo)，以基于3σ準(zhǔn)則的縮減區(qū)間為約束條件，建立多目標(biāo)穩(wěn)健優(yōu)化模型。

（7）利用CMMOPSO算法計(jì)算多目標(biāo)穩(wěn)健優(yōu)化模型，輸出帕累托解集。

（8）根據(jù)灰色關(guān)聯(lián)分析篩選出最優(yōu)帕累托最優(yōu)解。

（9）輸出最優(yōu)穩(wěn)健優(yōu)化結(jié)果。

5 方法驗(yàn)證及工程應(yīng)用

5.1 自適應(yīng)增量Kriging模型有效性驗(yàn)證

為進(jìn)一步確定混合加點(diǎn)準(zhǔn)則的合理性，選擇經(jīng)典的EI、EI+MP、Kriging believer（KB）方法［18］進(jìn)行對(duì)比。其中EI方法進(jìn)行單點(diǎn)加點(diǎn)，EI+MP方法進(jìn)行雙點(diǎn)加點(diǎn)，KB方法和本文方法進(jìn)行四點(diǎn)加點(diǎn)。選擇six-hump camel-back（SC）函數(shù)算例進(jìn)行方法驗(yàn)證，其函數(shù)圖像如圖2所示。

由圖2所示，SC函數(shù)是一個(gè)高度非線性函數(shù)，能夠有效驗(yàn)證混合加點(diǎn)策略的應(yīng)用可行性和廣泛性，具體表達(dá)式為

在本算例中，設(shè)置初始擬合樣本量為20，當(dāng)eRMSE＜0.01時(shí)，停止迭代。

利用拉丁超立方抽樣隨機(jī)生成50個(gè)樣本點(diǎn)作為Kriging模型精度驗(yàn)證的測(cè)試樣本，具體數(shù)據(jù)見表1。

利用表1中的50組測(cè)試樣本計(jì)算Kriging模型的RMSE，其值隨加點(diǎn)迭代過(guò)程的變化如圖3所示。由圖3可知，本文方法在第16次迭代時(shí)達(dá)到收斂條件，而KB和EI+MP方法分別需要20和54次；EI+MP方法迭代次數(shù)最多，當(dāng)?shù)螖?shù)為70時(shí)RMSE仍未收斂到0.01，這是由于該方法只關(guān)注了局部和全局極小值處的精度，忽略了極大值和不確定樣本的影響。由此可知，所提方法在迭代次數(shù)方面表現(xiàn)出了顯著優(yōu)勢(shì)。

加點(diǎn)總樣本數(shù)對(duì)迭代次數(shù)的變化過(guò)程如圖4所示。由圖4可知，在保證初始擬合樣本數(shù)目相同的條件下，本文方法的迭代次數(shù)為16時(shí)總樣本數(shù)為58，與EI方法相比減少了20.55%，與KB方法相比減少了32.56%。EI+MP方法所需樣本數(shù)最多，當(dāng)?shù)螖?shù)為70時(shí)總樣本數(shù)為157。結(jié)果表明本文方法能夠調(diào)用最少的仿真次數(shù)，降低計(jì)算成本。

本文方法擬合函數(shù)在等高線圖中的加點(diǎn)情況如圖5所示。由圖5可知，拉丁超立方抽樣生成的初始擬合樣本分布均勻性和隨機(jī)性較好。所提方法的新增樣本不僅在函數(shù)的取值邊界處和極值處采樣，在函數(shù)等高線圖的山谷、山峰和山脊處也能夠兼顧采樣，表明所提方法能夠考慮非線性函數(shù)全局空間的所有特征，具有良好的可行性和應(yīng)用價(jià)值。

4種方法的對(duì)比結(jié)果見表2。由表2可知，與EI、EI+MP、KB方法相比，本文方法在迭代次數(shù)和調(diào)用仿真獲得的總樣本數(shù)方面均表現(xiàn)出不俗的優(yōu)勢(shì)。由此可知，本文方法可在一次迭代中增加多個(gè)點(diǎn)，提高了代理模型的擬合效率，同時(shí)由總樣本數(shù)可知，本文方法能夠明顯減少仿真次數(shù)，具有良好的經(jīng)濟(jì)效益。

5.2 動(dòng)車組制動(dòng)模塊多目標(biāo)穩(wěn)健優(yōu)化

制動(dòng)模塊作為動(dòng)車組制動(dòng)系統(tǒng)的重要組成部分，會(huì)承擔(dān)各種形式的載荷，從而引起列車的多種失效形式，所以對(duì)制動(dòng)模塊進(jìn)行性能仿真優(yōu)化具有重要意義。首先，利用HyperMesh軟件建立制動(dòng)模塊有限元模型，單元類型主要包括SHELL181、MASS21和BEAM188。其中SHELL181包括四節(jié)點(diǎn)四邊形單元和三角形三節(jié)點(diǎn)單元，網(wǎng)格大小約為10 mm。有限元模型共包含49 868個(gè)節(jié)點(diǎn)和48 057個(gè)單元。模型性能分析屬于靜強(qiáng)度分析范疇，在4個(gè)制動(dòng)吊座處分別施加X/Y/Z方向、X/Y方向、Y/Z方向和Z方向的位移約束，制動(dòng)模塊有限元模型如圖6所示。

根據(jù)BS EN12663—2010《鐵路應(yīng)用車輛車身的結(jié)構(gòu)要求》［19］標(biāo)準(zhǔn)，確定制動(dòng)模塊的超載工況見表3。選擇工況1作為穩(wěn)健優(yōu)化的基礎(chǔ)。利用ANSYS對(duì)工況1進(jìn)行靜強(qiáng)度仿真分析，得到的應(yīng)力云圖見圖7。由圖7可知，動(dòng)車組制動(dòng)模塊的結(jié)構(gòu)應(yīng)力最大值為223.254 MPa，發(fā)生在支撐架外側(cè)橫向梁和內(nèi)側(cè)縱向梁的連接處，該處的許用應(yīng)力最大值為235 MPa，滿足要求。但是，由于制動(dòng)模塊在設(shè)計(jì)和使用過(guò)程中容易受到不確定因素的影響，容易超過(guò)安全余量，因此該模型仍有優(yōu)化空間?？紤]制動(dòng)模塊結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)過(guò)程中板厚的不確定性，借助ANSYS和MATLAB對(duì)其進(jìn)行穩(wěn)健優(yōu)化。

首先，根據(jù)穩(wěn)健優(yōu)化流程，選擇不同結(jié)構(gòu)的板厚作為隨機(jī)變量，各變量的分布特征見表4。

其次，選擇制動(dòng)模塊的應(yīng)力和質(zhì)量作為性能評(píng)估指標(biāo)。利用拉丁超立方抽樣方法建立應(yīng)力和質(zhì)量的增量Kriging模型。確定應(yīng)力和質(zhì)量的初始擬合樣本量分別為20和10，測(cè)試樣本量為10，通過(guò)有限元分析獲得真實(shí)輸出響應(yīng)值。當(dāng)eRMSE＜0.1時(shí)，停止加點(diǎn)。

通過(guò)混合加點(diǎn)準(zhǔn)則，獲得應(yīng)力迭代曲線見圖8，質(zhì)量迭代曲線見圖9。由圖8可知，對(duì)于應(yīng)力Kriging模型，本文方法收斂速度最快，迭代17次即可達(dá)到應(yīng)力精度要求，EI方法最多需要迭代139次達(dá)到精度要求。由圖9可知，對(duì)于質(zhì)量Kriging模型，本文方法收斂速度最快，迭代9次即可達(dá)到應(yīng)力精度要求，EI方法最多需要迭代66次達(dá)到精度要求。

將所有算法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，具體見表5。由表5可知，對(duì)應(yīng)力進(jìn)行Kriging代理模型擬合時(shí)，本文方法的迭代次數(shù)最少為17次，通過(guò)仿真獲得的樣本點(diǎn)數(shù)最少為65個(gè)，所用時(shí)間僅為87.68 s。對(duì)質(zhì)量進(jìn)行Kriging代理模型擬合時(shí)，本文方法的迭代次數(shù)最少為9次，通過(guò)仿真獲得的樣本點(diǎn)數(shù)最少為33個(gè)，所用時(shí)間僅為45.91 s，表明建立的混合加點(diǎn)增量Kriging能夠通過(guò)更少的樣本點(diǎn)獲得所需的模型精度。

根據(jù)圖1所示的穩(wěn)健優(yōu)化流程圖，對(duì)制動(dòng)模塊的應(yīng)力和質(zhì)量進(jìn)行穩(wěn)健優(yōu)化。建立穩(wěn)健優(yōu)化數(shù)學(xué)模型表達(dá)式：

式中，σs為應(yīng)力s的標(biāo)準(zhǔn)差；σm為質(zhì)量m的標(biāo)準(zhǔn)差；XRi為相應(yīng)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，其中XRi=0.03μXi，μXi為各變量的均值。

利用CMMOPSO算法對(duì)確定性和穩(wěn)健性優(yōu)化數(shù)學(xué)模型進(jìn)行計(jì)算，得到確定性優(yōu)化的帕累托解集如圖10所示，穩(wěn)健性優(yōu)化的帕累托解集如圖11所示。由圖10可知，與MOPSO算法得到的帕累托解集相比，CMMOPSO算法得到的帕累托解集的分布具有均勻性和廣泛性，應(yīng)力值在［250，350］區(qū)間時(shí)，CMMOPSO算法得到的解集能夠支配MOPSO算法得到的解集，表明算法收斂性更強(qiáng)。由圖11可知，當(dāng)σs在［2，6］區(qū)間時(shí)，CMMOPSO算法得到的解集在均勻性、收斂性和廣泛性方面均表現(xiàn)出較強(qiáng)的優(yōu)勢(shì)，表明CMMOPSO算法輸出的帕累托解對(duì)制動(dòng)模塊的穩(wěn)健優(yōu)化具有工程價(jià)值和參考意義。

通過(guò)計(jì)算帕累托解集的灰色關(guān)聯(lián)度，評(píng)估帕累托解的優(yōu)劣。選擇灰色關(guān)聯(lián)度最大的帕累托解作為最佳多目標(biāo)優(yōu)化解。確定性優(yōu)化和穩(wěn)健性優(yōu)化帕累托解集的灰色關(guān)聯(lián)度結(jié)果如圖12所示。根據(jù)圖12中輸出的確定性優(yōu)化和穩(wěn)健性優(yōu)化的最優(yōu)解，將其代入Kriging模型中計(jì)算，最終優(yōu)化結(jié)果對(duì)比見表6。由表6可知，與原始方案相比，確定性和穩(wěn)健性優(yōu)化后的應(yīng)力和質(zhì)量均有所減小，表明確定性和穩(wěn)健性優(yōu)化效果良好。與確定性優(yōu)化相比，穩(wěn)健性優(yōu)化得到的應(yīng)力均值減小了3.16%，質(zhì)量均值增大了6.54%，應(yīng)力標(biāo)準(zhǔn)差減小了27.84%，質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)差減小了15.12%。綜上所述，穩(wěn)健性優(yōu)化明顯減小了應(yīng)力和質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)差，減小了制動(dòng)模塊產(chǎn)品的性能波動(dòng)，提高了產(chǎn)品質(zhì)量特性，證明了所提混合加點(diǎn)增量Kriging模型的多目標(biāo)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的有效性。

6 結(jié)論

（1）本文提出自適應(yīng)增量Kriging模型的建立方法，克服了傳統(tǒng)一次建模精度低的缺點(diǎn)。結(jié)果表明：所提方法能夠有效提高模型精度，同時(shí)減少模型所需樣本點(diǎn)數(shù)量，降低了模型創(chuàng)建成本。

（2）提出CMMOPSO算法，解決了原始MOPSO算法收斂效率低和易陷入局部最優(yōu)解的缺點(diǎn)。結(jié)果表明：改進(jìn)算法所得帕累托解集的收斂性、均勻性和廣泛性均有所改善，提高了算法的綜合計(jì)算性能。

（3）數(shù)值和工程結(jié)果表明：利用自適應(yīng)增量Kriging模型能夠高效建立復(fù)雜非線性黑箱函數(shù)的代理模型；采用CMMOPSO算法進(jìn)行穩(wěn)健優(yōu)化能夠得到均勻性和廣泛性更佳的帕累托解集。穩(wěn)健優(yōu)化后制動(dòng)模塊的質(zhì)量波動(dòng)減小，結(jié)構(gòu)穩(wěn)健性提高，進(jìn)一步證明了方法的高效性，對(duì)機(jī)械結(jié)構(gòu)的改進(jìn)及優(yōu)化具有重要的工程意義和研究?jī)r(jià)值。

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（編輯 王旻玥）

作者簡(jiǎn)介：

田宗睿，男，1997年生，碩士研究生。研究方向?yàn)榛诖砟Ｐ偷膬?yōu)化設(shè)計(jì)與可靠性分析方法。E-mail：tianzongrui9731@163.com。

智鵬鵬（通信作者），男，1989年生，博士、助理研究員。E-mail：zhipeng17@yeah.net。

收稿日期：2022-08-08

基金項(xiàng)目：廣東省基礎(chǔ)與應(yīng)用基礎(chǔ)研究基金（2021A1515110308）；四川省自然科學(xué)基金（2022NSFSC1941）