陳霖

縱觀近年來各地中考數(shù)學(xué)試題，一類以二次函數(shù)為載體，探討圖形面積的最值問題頻頻出現(xiàn).這類試題整合了代數(shù)和幾何的部分重要知識，并融合了許多數(shù)學(xué)方法，難度頗高.如何根據(jù)題目提供的信息，依據(jù)圖形的變化特征，抓住解答問題的關(guān)鍵，從而化難為易，正確解題呢？對此，筆者介紹四種常用方法，希望能給同學(xué)們攻破難題帶來幫助.

一、割補(bǔ)法

在平面直痛坐標(biāo)系中，當(dāng)三角形任意一邊均不在坐標(biāo)軸上，或者不與坐標(biāo)軸平行時，一般采用割補(bǔ)法求解.割補(bǔ)法分為兩部分，割是指將圖形分解成幾部分分別求解;補(bǔ)是指將所求圖形填上一部分，然后用補(bǔ)后的圖形面積減去所補(bǔ)部分的面積.兩種方法的實(shí)質(zhì)都是將二次函數(shù)中圖形面積的最值問題通過 “轉(zhuǎn)化”思想，化為“線段（和）”最值問題，間接地求出圖形面積的最值.

例1? 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y = x2+2x-3交x軸于點(diǎn)A，B，在y軸上有一點(diǎn)E（0，1），連接AE.

（1）求直線AE的解析式；

（2）若點(diǎn)D為拋物線在x軸負(fù)半軸下方的一個動點(diǎn)，求△ADE面積的最大值.

解：（1）∵y=x²+ 2x- 3 =（x + 3）（x-1），∴當(dāng) y = 0 時，x1=-3，x2=1，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0），

設(shè)直線AE的解析式為y = kx + b，

二、鉛垂法

如圖2，過△ABC的三個頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”（a），中間的這條直線在△ABC內(nèi)部線段的長度叫△ABC 的“鉛垂高”（h）.我們可以得出一種計算三角形面積的新方法：即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.這種方法我們稱之為鉛垂法.求二次函數(shù)中三角形面積的最值，往往可以轉(zhuǎn)化為求鉛垂高的最值，當(dāng)鉛垂高取得最大值時，三角形的面積最大.

例2已知：如圖3，拋物線：y = ax2+bx+c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A（0，6），B（6，0），C（-2，0），點(diǎn)P是線段AB上方拋物線上的一個動點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動到什么位置時，△PAB的面積有最大值？

解：

三、切線法

切線法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中最為常見的數(shù)形結(jié)合思想，將三角形的一邊作為三角形的底，只要求出高的最大值就可以求出面積的最值. 將底邊所在的直線平移，與拋物線只有一個交點(diǎn)，即相切時，兩直線的距離即高的長度最大，然后將直線與拋物線的解析式聯(lián)立方程組，求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，此時不用求出三角形面積的解析式就可直接運(yùn)用三角形的面積公式求川最值.

例3? 如圖4，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=-x-4與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B. 拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，且對稱軸為直線x=-1，拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)C.

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）設(shè)點(diǎn)E是拋物線上一動點(diǎn)，且點(diǎn)E在直線AB下方.當(dāng)△ABE的面積最大時，求點(diǎn)E 的坐標(biāo)，及△ABE面積的最大值S.

解：⑴在y =-x-4中分別令x = 0，y = 0，可得點(diǎn) A（-4，0），B（0，-4），

根據(jù)A，B坐標(biāo)及對稱軸為直線x=-1，

可得方程組

解方程組可得：

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為;

（2）設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，+ m - 4），

當(dāng)△ABE的面積最大時，點(diǎn)E在拋物線

上且距AB最遠(yuǎn)，

此時E點(diǎn)所在直線與AB平行，且與拋物線相切，只有一個交點(diǎn)，

設(shè)點(diǎn)E所在直線為l：y = -x + b，

聯(lián)立得方程組：

消去 y，得：

據(jù)題意得，

解得b = -6，

∴直線l的解析式為y=-x-6，

聯(lián)立方程，得

解得：

∴點(diǎn) E（-2，-4），

過點(diǎn)E作y軸的平行線交直線AB于H，此時點(diǎn) N（ -2，-2），EN=-2- （-4） =2，

∴S△ABE=

△ABE面積的最大值為4.

四、三角函數(shù)法

對于三角形問題，三角函數(shù)的引入可以為求線段長度提供新的解題思路.在直角三角形中，只需要知道一邊的長度和除直角外任意一個角的度數(shù)，就可以用三角函數(shù)式表不出其余的邊長或高.然后將三角函數(shù)式帶入三角形面積公式，求出三角形面積的解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得面積最值.

例4? 如圖5，已知拋物線y=-x2 + bx + c 經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C.（l）求拋物線的表達(dá)式；（2）設(shè)拋物線交 y軸于點(diǎn)C，在拋物線上的第一象限上是否存在一點(diǎn)P，使△PAC的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PAC面積的最大值;若不存在，請說明理由.

解：（1）把A（-1，0），B（3，0）代入y=x2+ bx+c，

可得，解得，

∴拋物線的解析式為： y = -x² - 2x + 3 .

（2）如圖5，作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，作PM⊥AC于點(diǎn)M.

設(shè)直線AC的解析式為y = mx + n ，

把B（-3，0）、C（0，3），

代入得，解得

故直線BC的解析式為y = x+ 3.

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-x2-2x+3）（-3＜x＜0），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x，x+3）.

由A、C坐標(biāo)可知，AC = 3，

當(dāng)

即

所以存在一點(diǎn)P，使△PAC的面積最大，最大值為，P點(diǎn)坐標(biāo)為（）.

通過對以上四種方法的分析介紹，相信同學(xué)們對二次函數(shù)背景下三角形面積的最值問題的解法有了一定的了解.同學(xué)們只要掌握好了這四種方法，在二次函數(shù)的綜合題中再出現(xiàn)求圖形面積的最值問題，就能輕松應(yīng)對了.