朱紹文

平均數、眾數、中位數都是描述一組數據集中趨勢的量，但它們的定義、求法以及描述的角度和適用的范圍又不盡相同，同學們常常將它們弄混淆.那么在具體問題中，應采用哪個量來描述一組數據的集中趨勢呢？下面對它們的特征及正確的適用范圍進行分析說明.

一、定義不同

平均數：平均數的大小與一組數據里每個數據都有關系，其中任何數據的變動都會引起平均數的變動.因此，平均數能較充分地反映一組數據的“平均水平”，但它容易受極端值的影響.

中位數：中位數的大小僅與數據的排列位置有關，將一組數據按從小到大的順序排列后，最中間的數據或最中間兩個數據的平均數為中位數.因此，部分數據變動對中位數沒有影響，當一組數據中的個別數據變動較大時，一般用中位數來描述“平均水平”.

眾數：眾數著眼于各數據出現的次數，其大小與該組的部分數據有關，求一組數據的眾數既不需要計算，也不需要排列，只要找出該數據中出現次數最多的數據即為眾數.因此，當一組數據中有不少數據重復出現時，一般用眾數來描述“平均水平”.

例1? 現有7名同學測得某大廈的高度如下：（單位：m ）

29.8 ?30.0 ?30.0 ?30.0 ?30.2 ?44.0 ?30.0

（1）在這組數據中，中位數是____眾數是____，平均數是____;

（2）憑經驗，你覺得此大廈大概有多高？ 請簡要說明理由.

解析：（1）將這組數據按從小到大的順序排列，即 29.8，30.0，30.0，30.0，30.0，30.2，44.0，由于排在中間的數據有一個，即30.0，所以中位數是30.0；出現次數最多的數有一個，即 30.0出現了 4次，所以眾數是30.0.

這組數據的平均數（29.8 + 30.0 +

30.0 + 30.0 + 30.0 + 30.2 + 44.0）=32.0 ；

（2）憑經驗，大廈高約32.0 m.

原因是數據44.0誤差太大或測量錯誤，從而導致平均數的數值偏大，因此按照中位數和眾數來確定.

二、求法不同

1.求平均數

計算平均數，由于數據的情況各不相同，可以分三種方法：

（1）當數據較少或較小，且沒有重復出現時，用公式計算較為簡便.

例2? 數據10，9，8，7，4，2，3，1的平均數是（??? ）.

A.4.5??? B.5??? C.5.5??? D.6

解：（10 + 9 + 8 + 7 + 4 + 2 + 3 + 1） = 5.5.

故應選C項.

（2）當一組數據中出現重復數時，用加權平均數公式計算簡便，即 n

其中分別叫做的權，且

例3? 在一次體檢中，測得八年級（1）班第一小組10名同學的身高情況是：有2人是 145cm，3 人是 148cm，4 人是 156cm，1 人是 160cm，則這10位同學的平均身高是（??? ）.

A.150.8cm??? B.151cm

C.151.8cm??? D.152cm

解：（145×2 +148×3 +156×4+160） =151.8 cm，

故應選C項.

（3）當數據較大、較多且在某一個常數a，附近擺動時，用公式 a求解比較容易.其中是原數據與a的差組成的新數據的平均數.

例4? 求下列數據的平均數;71，69，72，74，66，65，70，73.

解：取常數a=70，原數據的每一個數減

去 70，得到一組新數據：1，-1，2，4，-4，-5，0，3.

2.求中位數

求一組數據的中位數，應先將這組數據按由小到大（或由大到?。┑捻樞蚺帕?，然后再分數據的個數是奇數還是偶數求出中位數：當數據的個數是奇數時，則處于正中間位置的數就是這組數據的中位數；當數據的個數是偶數時，則正中間兩個數據的平均數就是這組數據的中位數.

例5? 10名工人某天生產同一零件的件數是 15，17，14，10，15，19，17，16，14，12，求這一天10名工人生產零件的中位數.

解：將所給的10個數按從小到大的順序排列得：10，12，14，14，15，15，16，17，17，19，最中間的兩個數據都為15，它們的平均數也是15，則這組數據的中位數是15 （件）.

3.求眾數

確定一組數據的眾數，首先找出這組數據中的各數據出現的次數，其中山現次數最多的數據就是眾數.

例6? 在一次數學考試中，10名學生的得分如下;70，90，100，90，80，100，90，50，80，80，求這次數學考試得分中的眾數.

解：在這一組數據中，100分出現2次，90分出現3次，80分出現3次，70分出現1次，50分出現1次，故80分和90分是這組數據的眾數.

三、適用范圍不同

平均數是最常用的一個代表值.它充分利用了全部數據的信息，計算方便，但易受極端值的影響.當數據中有極端值時，平均數的代表性較差.這時，選擇中位數作為“平均水平”的代表要更好，在一組數據中不大于或不小于中位數的數據各占50% .中位數常用來描述“中間位置”或“中等水平”等.它受極端值影響較小，但沒有充分利用所有數據的信息，而且當數據較多時不便于計算.當描述同類產品中哪個品牌錯量最大、同學中哪個年齡的人最多、進行民意調查或選舉時，人們最

關心的是出現次數最多的數據，即眾數.但眾數可能不惟一，而且當各數據出現的次數大致相同時，眾數的意義不太明顯.

1.當用樣本估計總體時，一般采用平均數

例7? 小新家今年6月份頭6天用米量如下表：

請你運用統計知識，估計小新家6月份 （按30天算）用米量為______千克.

解：這6天的平均每天用米量為

≈0.833.

則6月份用米量為

25.0 （千克）.

2.當一組數據中有“異常數”（一組數據中值過大或過小的數據通常被稱為“異常數或異常值”）時，一般采用中位數或眾數描述這組數據的一般水平.因為有異常數據，其平均數可能相差較大.

例8? 據報道，某公司的33名職工的月工資（以元為單位）如下：

（1）求該公司職工月工資的平均數、中位數、眾數;（精確到個位數）

（2）假設副董事長的工資從5000元提升到20000元，董事長的工資從5500元提升到 30000元，那么新的平均數、中位數、眾數又是什么？（精確到個位數）

（3）你認為哪個統計量能反映這個公司員工的工資水平？結合此問題談一談你的看法.

解：（1）平均數為

≈1500+591=2091（元）.

中位數是1500元，眾數是1500元.

（2）平均數為

≈1500+1788=3288（元）.

中位數是1500元，眾數是1500元.

（3）在這個問題中中，位數或眾數均能反映公司員工的工資水平.因為公司中少數人的工資額與大多數人的工資額差別較大，這樣導致平均數與中位數偏差較大，所以中位數或眾數能更準確地反映這個公司員工的工資水平.

例9? 一次科技知識競賽，甲、乙兩組學生成績如下：

已經算得兩組都有50人，平均分都是80

分，請根據你所學過的統計知識，進一步判定這兩個組的學生在這次競賽中的成績誰優(yōu)誰次，請說明理由.

解：我們從多角度來綜合考慮這個問題：

（1）甲組成績的眾數是90分，乙組成績的眾藪是70分，從成績的眾數比較看，甲組成績好些.

（2）甲、乙兩組成績的中位數都是80分，甲組成績在中位數以上（包括中位數）的有33 人，乙組成績在中位數以上的有26人，從這一角度看甲組成績總體較好.

另外，我們還可以從高分段人數進行考慮，從成績統計看：甲組成績高于80分的人數為14+6=20（人），乙組成績高于80分的人數為12+12=24（人），所以，乙組成績集中在高分段的人數多，同時乙組得滿分的人也要多些，從這一角度看，乙組成績較好.