潘 瑜 李海軍 王 麟 寧新禹 李睿昊

(東北大學(xué)軋制技術(shù)及連軋自動(dòng)化國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室)

隨著鋼鐵制造市場(chǎng)的激烈競(jìng)爭(zhēng)，薄帶產(chǎn)品以其生產(chǎn)周期短、性?xún)r(jià)比高的優(yōu)勢(shì)，越來(lái)越受到鋼鐵制造商們的重視[1]。熱軋帶鋼生產(chǎn)過(guò)程中層流冷卻對(duì)產(chǎn)品的組織性能有很大的影響，然而薄規(guī)格帶鋼運(yùn)行速度高、溫降快，為了滿(mǎn)足冷卻過(guò)程實(shí)時(shí)性的要求，在線(xiàn)溫度模型需要有較高的計(jì)算效率[2-5]。帶鋼軋后冷卻過(guò)程的在線(xiàn)控制，通常是按一定長(zhǎng)度將帶鋼劃分為多個(gè)樣本段，對(duì)每個(gè)樣本段進(jìn)行單獨(dú)地跟蹤控制。對(duì)于薄規(guī)格帶鋼，為了滿(mǎn)足系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間的要求，樣本段的長(zhǎng)度一般為一組層流冷卻集管的兩倍到三倍，因此通過(guò)提高溫度模型計(jì)算效率來(lái)縮短樣本段的長(zhǎng)度，有利于薄規(guī)格帶鋼卷取溫度控制精度的進(jìn)一步提升。

溫度計(jì)算模型作為層流冷卻過(guò)程控制系統(tǒng)的基礎(chǔ)和核心，直接決定著整個(gè)冷卻過(guò)程的控制精度[6]。文章以某鋼廠(chǎng)熱連軋帶鋼層流冷卻過(guò)程為研究對(duì)象，建立了顯式格式和隱式格式兩種有限差分溫度模型，探討了不同差分格式以及網(wǎng)格劃分方法對(duì)模型計(jì)算效率的影響，提出了一種具有快速響應(yīng)特性的在線(xiàn)溫度控制模型。

1 控制冷卻溫度模型

1.1 傳熱理論模型

薄規(guī)格帶鋼冷卻過(guò)程沿長(zhǎng)度方向和寬度方向的散熱量相對(duì)于厚度方向來(lái)說(shuō)較小，可以忽略，同時(shí)相變產(chǎn)生的熱量可以計(jì)入相應(yīng)冷卻過(guò)程鋼板的比熱內(nèi)，所以可把帶鋼的冷卻過(guò)程看作是無(wú)內(nèi)熱源的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程[7-8]：

(1)

式中：T為帶鋼溫度，℃；τ為時(shí)間，s；λ為帶鋼導(dǎo)熱系數(shù)，W/(m·℃)；ρ為材料密度，kg/m3；c為材料比熱容，J/(kg·℃)；x為帶鋼厚度方向的坐標(biāo)。

初始條件為帶鋼精軋出口的溫度分布：

τ=0,T=T0

(2)

邊界條件的處理則可以根據(jù)帶鋼在實(shí)際冷卻過(guò)程中的狀態(tài)確定，采用空冷輻射和水冷對(duì)流已知的第三類(lèi)邊界條件：

(3)

式中：α為帶鋼表面換熱系數(shù)，W/(m2·℃)；Tf為帶鋼表面冷卻介質(zhì)溫度，℃。

層流冷卻條件下的水冷換熱系數(shù)模型為[9]：

(4)

式中：Z12，Z2為換熱系數(shù)自學(xué)習(xí)項(xiàng)；a1，a2，a3，V0為模型參數(shù)；V為帶鋼分段實(shí)時(shí)速度，m/s；Vbase為精軋穿帶速度，m/s；h為帶鋼厚度，m；Tw為水溫，℃。

空冷條件下的換熱系數(shù)模型為：

α=kair·ε·σ·[(T+273)2+(Ta+273)2]·[(T+273)+(Ta+273)]

(5)

式中：kair為修正系數(shù)；ε為鋼板黑度系數(shù)；σ為斯蒂芬—波爾茨曼常數(shù)；Ta為空氣介質(zhì)的溫度，℃。

1.2 導(dǎo)熱方程離散化

有限差分法求解帶鋼在冷卻過(guò)程中的溫度場(chǎng)時(shí)，將微分方程表示為定義在離散節(jié)點(diǎn)上的差分方程，由微分方程體現(xiàn)的節(jié)點(diǎn)間的數(shù)值關(guān)系，通過(guò)給定的邊界條件和相鄰節(jié)點(diǎn)間的差分關(guān)系計(jì)算出未知邊界上的數(shù)值。顯式格式和隱式格式差分法的主要區(qū)別在于替代計(jì)算微分方程的差分方程中對(duì)微分項(xiàng)的離散化近似表示不同[10-12]。

顯式差分格式直接利用當(dāng)前時(shí)刻節(jié)點(diǎn)的溫度計(jì)算，導(dǎo)熱微分方程用向前差分方程表示：

(6)

顯式格式差分方程進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí)，只要知道初始時(shí)刻不同位置的值，就可以直接利用迭代法快速求解[13]，即可獲得不同時(shí)刻的帶鋼溫度場(chǎng)，但為了確保數(shù)值解的收斂性和穩(wěn)定性，時(shí)間步長(zhǎng)必須滿(mǎn)足條件Δτ≤(Δx)2/(2α)。

采用隱式差分格式時(shí)，溫度用向前差分方程表示，空間二次微商使用τk+1時(shí)刻的二次中心差商置換：

(7)

隱式差分具有無(wú)條件穩(wěn)定性，時(shí)間殘項(xiàng)為一階，空間上為二階殘項(xiàng)[14]。不能由一個(gè)格點(diǎn)數(shù)值直接得出下一時(shí)刻3個(gè)未知的格點(diǎn)數(shù)值，需要列出各個(gè)節(jié)點(diǎn)間的所有關(guān)系，然后采用追趕法求解方程組，即可得到帶鋼不同時(shí)刻的溫度場(chǎng)。

1.3 網(wǎng)格劃分的方法

國(guó)內(nèi)某2 150 mm熱軋線(xiàn)層流冷卻溫度模型采用等厚度方法劃分網(wǎng)格，然而在實(shí)際冷卻過(guò)程中，表面網(wǎng)格間溫差較大，芯部網(wǎng)格間溫差較小。因此采用變厚度的網(wǎng)格劃分方法，有望在保證計(jì)算精度的前提下，提升溫度模型的計(jì)算效率。

高斯網(wǎng)格劃分各節(jié)點(diǎn)厚度，從帶鋼表層到中心逐漸增加，沿厚度中心線(xiàn)兩側(cè)對(duì)稱(chēng)分布。節(jié)點(diǎn)實(shí)際位置的厚度可以通過(guò)軋件的總厚度乘以各節(jié)點(diǎn)的相對(duì)坐標(biāo)獲得，各節(jié)點(diǎn)的相對(duì)坐標(biāo)計(jì)算公式：

(8)

假設(shè)上下表面是對(duì)稱(chēng)冷卻的過(guò)程，以帶鋼厚度的一半為研究對(duì)象，各節(jié)點(diǎn)厚度從帶鋼中心至表層逐漸減小，且相鄰兩節(jié)點(diǎn)間距離與d的取值有關(guān)。自然對(duì)數(shù)劃分網(wǎng)格計(jì)算公式為：

xi=elnh-i·d,(0≤i≤n-1)

(9)

不同網(wǎng)格劃分方法節(jié)點(diǎn)的相對(duì)厚度如圖1所示，相對(duì)厚度是指兩相鄰節(jié)點(diǎn)相對(duì)坐標(biāo)的差值，可以看出，自然對(duì)數(shù)劃分方式與高斯網(wǎng)格劃分和等厚度劃分相比，在帶鋼邊部(節(jié)點(diǎn)1處)的網(wǎng)格劃分更加密集，而接近中心位置(節(jié)點(diǎn)4處)的網(wǎng)格劃分更加稀疏。

圖1 網(wǎng)格劃分節(jié)點(diǎn)的相對(duì)厚度

2 冷卻設(shè)備及工藝條件

以某鋼廠(chǎng)2 150 mm熱軋生產(chǎn)線(xiàn)為研究對(duì)象，其軋后冷卻設(shè)備布置見(jiàn)圖2。冷卻區(qū)全長(zhǎng)106 m，共19個(gè)集管組依次為前部超快冷段、主冷段、后部超快冷段，精冷段。其中主冷段每組6根集水梁，精冷段每組12根集水梁，超快速冷卻段噴嘴數(shù)量每組為12根。帶鋼從精軋機(jī)出口經(jīng)過(guò)層流冷卻區(qū)達(dá)到目標(biāo)卷取溫度，最后進(jìn)行卷取。

采集現(xiàn)場(chǎng)頭部樣本的冷卻工藝參數(shù)，軋制鋼種為Q235B，厚度規(guī)格為2.5 mm，穿帶速度為11 m/s，環(huán)境溫度為25 ℃，水溫為29.3 ℃，實(shí)測(cè)精軋出口溫度為880 ℃，實(shí)測(cè)卷取溫度為620 ℃，集管組總流量為2 154 m3/h。Q235B的熱物性參數(shù)如表1所示[15]，密度、比熱和導(dǎo)熱系數(shù)隨溫度變化，非節(jié)點(diǎn)溫度對(duì)應(yīng)的熱物性參數(shù)可通過(guò)線(xiàn)性差值計(jì)算得到。

表1 Q235B的熱物性參數(shù)

3 計(jì)算結(jié)果與分析

3.1 差分格式對(duì)模型效率的影響

根據(jù)已知的工藝條件，對(duì)導(dǎo)熱微分方程進(jìn)行差分處理并求解。顯式格式和隱式格式差分溫度模型均采用自然對(duì)數(shù)的網(wǎng)格劃分方法，厚度方向取9個(gè)節(jié)點(diǎn)，計(jì)算得到帶鋼冷卻過(guò)程溫度分布情況見(jiàn)圖3。帶鋼從精軋機(jī)出口經(jīng)過(guò)層流冷卻區(qū)到達(dá)卷取機(jī)入口，由空冷區(qū)進(jìn)入水冷區(qū)，中心與表面的溫差逐漸增大，由水冷區(qū)進(jìn)入空冷區(qū)，中心與表面的溫差逐漸減小，驟冷后表面與中心的溫差導(dǎo)致帶鋼內(nèi)部的熱量傳向表面，出現(xiàn)表面返紅現(xiàn)象。隱式格式計(jì)算得到的上表面卷取溫度為621.45 ℃，顯式格式計(jì)算得到的上表面卷取溫度為618.31 ℃，兩種差分格式求得溫度曲線(xiàn)十分接近，均能較好的預(yù)測(cè)卷取溫度。隱式格式具有無(wú)條件穩(wěn)定性的優(yōu)點(diǎn)，時(shí)間步長(zhǎng)的選取更加寬泛，而顯式格式的時(shí)間步長(zhǎng)必須滿(mǎn)足穩(wěn)定性條件，通常要求時(shí)間步長(zhǎng)足夠的小。溫度模型中隱式格式時(shí)間步長(zhǎng)選取為0.5 s，顯式格式時(shí)間步長(zhǎng)為0.1 s，圖4為不同節(jié)點(diǎn)數(shù)下兩種差分模型計(jì)算時(shí)間?？梢钥闯?，隱式格式計(jì)算用時(shí)遠(yuǎn)小于顯式格式，且隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)劃分增加，隱式格式計(jì)算效率優(yōu)勢(shì)更加明顯。因此，針對(duì)薄規(guī)格帶鋼的層流冷卻過(guò)程，可以采用隱式差分格式，在保證計(jì)算精度的前提下，采用較大的時(shí)間步長(zhǎng)劃分，來(lái)提高溫度模型的計(jì)算效率。

圖3 有限差分法計(jì)算帶鋼溫度分布

圖4 不同節(jié)點(diǎn)數(shù)差分格式計(jì)算時(shí)間

3.2 網(wǎng)格劃分對(duì)模型效率的影響

選取隱式差分模型，時(shí)間步長(zhǎng)取0.5 s，分別采用等厚度劃分、高斯網(wǎng)格劃分和自然對(duì)數(shù)劃分網(wǎng)格，對(duì)帶鋼冷卻過(guò)程卷取溫度進(jìn)行計(jì)算，得到不同節(jié)點(diǎn)數(shù)下網(wǎng)格劃分方式的相對(duì)誤差見(jiàn)圖5。由圖可知，在相同節(jié)點(diǎn)數(shù)下，自然對(duì)數(shù)劃分網(wǎng)格的溫度模型計(jì)算精度高于高斯網(wǎng)格劃分和等厚度劃分。在確保相對(duì)誤差小于0.25%的條件下，等厚度劃分需要13個(gè)節(jié)點(diǎn)，高斯網(wǎng)格劃分需要9個(gè)節(jié)點(diǎn)，自然對(duì)數(shù)劃分需要7個(gè)節(jié)點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的運(yùn)行用時(shí)分別為0.076、0.056和0.051 ms，說(shuō)明在相似計(jì)算精度的條件下自然對(duì)數(shù)劃分網(wǎng)格計(jì)算效率最高。

圖5 不同網(wǎng)格劃分計(jì)算相對(duì)誤差對(duì)比

4 結(jié)論

(1)采用有限差分法建立顯式格式和隱式格式兩種差分模型對(duì)溫度場(chǎng)進(jìn)行求解，均能準(zhǔn)確反映冷卻過(guò)程溫度分布情況。顯式格式的震蕩性對(duì)解有影響，要求時(shí)間步長(zhǎng)的選取較短，使得溫度模型計(jì)算耗時(shí)多；隱式格式具有無(wú)條件穩(wěn)定性，在確保計(jì)算精度的同時(shí)，可以通過(guò)增大時(shí)間步長(zhǎng)，提高模型計(jì)算效率。

(2)采用不同的網(wǎng)格劃分方式對(duì)帶鋼冷卻過(guò)程卷取溫度進(jìn)行計(jì)算，得到不同節(jié)點(diǎn)數(shù)下網(wǎng)格劃分方法的相對(duì)誤差，自然對(duì)數(shù)劃分網(wǎng)格的溫度模型計(jì)算精度高于高斯網(wǎng)格劃分和等厚度劃分。

(3)在確保相似計(jì)算精度的條件下，自然對(duì)數(shù)劃分網(wǎng)格計(jì)算效率最高。因此，可以采用自然對(duì)數(shù)劃分網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)，使得換熱條件復(fù)雜的上、下表網(wǎng)格細(xì)，內(nèi)部網(wǎng)格粗，有利于滿(mǎn)足薄規(guī)格帶鋼層流冷卻在線(xiàn)溫度模型的高計(jì)算效率要求。