吳躍 陶來舟

怎樣妙用數(shù)列的單調(diào)性解題

吳躍??? 陶來舟

若一個數(shù)列，從第2項起，每一項都大于它的前一項，即an+1>an對任意n∈N*恒成立，則數(shù)列為遞增數(shù)列；若從第2項起，每一項都小于它的前一項，即an+1

數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，其自變量為正整數(shù)N*，其圖象由無數(shù)個間斷的點構(gòu)成.如同函數(shù)一樣，數(shù)列具有單調(diào)性，可將數(shù)列視為特殊函數(shù)，將數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性、最值問題，靈活運用數(shù)列的單調(diào)性，來證明數(shù)列不等式、求數(shù)列的最大（?。╉?

例1.（2023年江蘇省鹽城市三模）已知數(shù)列{an}、{bn}滿足4an+1=3an-bn+t，4bn+1=3bn-an-t，t∈R，n∈N*，且a1=1，b1=0.

（1）求證：{an+bn}是等比數(shù)列；

（2）若{an}是遞增數(shù)列，求實數(shù)t的取值范圍.

解：（1）由題可知4bn+1=3bn-an-t，4an+1=3an- bn+t，

（2）因為{an}是遞增數(shù)列，所以an+1-an>0對任意n∈N*恒成立，

因為4an+1=3an-bn+t，

所以4（an+1-an）=-（an+bn）+t，

則-（an+bn）+t>0對任意n∈N*恒成立，

即t>an+bn對任意n∈N*恒成立，

所以數(shù)列{cn}為遞增數(shù)列，

例3，（2022年新高考全國卷（II））已知函數(shù)f（x）=xeax-ex．

（1）當(dāng)a=1時，討論f（x）的單調(diào)性；

（2）當(dāng)x>0時，f（x）<-1，求a的取值范圍；

故h（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，

所以h（t）>h（1）=0，故an-an-1>0，

則數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，

例4.若將一個池塘里的魚的數(shù)目記為N，從池塘里撈出200尾魚，并給魚作上標(biāo)識，然后把魚放回池塘里，過一小段時間后再從池塘里撈出500尾魚，X表示撈出的500尾魚中有標(biāo)識的魚的數(shù)目．

（1）若N=5000，求X的數(shù)學(xué)期望；

（2）已知撈出的500尾魚中15尾有標(biāo)識，試求出N的估計值（以使P（X=15）最大的N的值作為N的估計值）.

解：（1）略.

⑵當(dāng)N<685時，P（X=15）=0，

則當(dāng)685≤N≤6665時，a（N+1）>a（N）；

當(dāng)N≥6666時，a（N+1）

故N=6666時，a（N）最大，所以N的估計值為6666．

在解答數(shù)列問題、與自然數(shù)有關(guān)的最值問題時，要去偽存真，揭示問題的本質(zhì)，學(xué)會把問題變成簡單的數(shù)列單調(diào)性、函數(shù)單調(diào)性問題，運用數(shù)列或函數(shù)的單調(diào)性來輕松解題.