王衛(wèi)瓊

排列組合問(wèn)題與實(shí)際生活之間的聯(lián)系較為緊密，命題者常以實(shí)際生活為問(wèn)題情境，要求同學(xué)們靈活運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理、分步計(jì)數(shù)原理來(lái)對(duì)一些元素的位置、順序進(jìn)行排列.下面主要談一談，四種求解排列組合問(wèn)題的措施.

一、運(yùn)用捆綁法

若題目要求某些元素相鄰，則運(yùn)用捆綁法求解.運(yùn)用捆綁法解題的步驟為：①明確要捆綁在一起的元素，并將其看作一個(gè)整體，進(jìn)行捆綁；②將這個(gè)捆綁起來(lái)的“大元素”與剩余的元素一起排列；③排列“大元素”內(nèi)部元素的順序；④運(yùn)用分步計(jì)數(shù)原理求得結(jié)果.

例1.某中學(xué)對(duì)學(xué)校的課表進(jìn)行重新編排，高二（1）班周二有語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)、生物六節(jié)課，要求數(shù)學(xué)和物理不能相連，語(yǔ)文和生物相鄰，則這六門課程有種不同的排法.

解：由于語(yǔ)文和生物要相鄰，所以首先將二者捆綁起來(lái)，看作一個(gè)整體與英語(yǔ)、化學(xué)進(jìn)行排列，有A33種排法；然后這4個(gè)元素之間形成4個(gè)空位，將物理和數(shù)學(xué)插入，有A24種排法；再排列語(yǔ)文和生物的順序，有A22種排法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得，共有A22A33A24=144種排法.

運(yùn)用捆綁法解題，要先將相鄰的元素捆綁，并將其與其他元素一起排列；然后還需將捆綁起來(lái)的內(nèi)部元素進(jìn)行排列，這是很多同學(xué)容易疏忽的地方，也是容易丟分的地方.

例2.某停車場(chǎng)有7個(gè)連成一排的空余車位，現(xiàn)停放3輛不同型號(hào)的車，恰有2輛車停放在相鄰車位的方法有??? 種.

解：第一步，在3輛車中任意選擇2輛停放在一起，有A23種方法；

第二步，將相鄰的2輛車?yán)壠饋?lái)，當(dāng)作一個(gè)大元素與另外1輛車停放在剩余的4個(gè)空停車位之間的5個(gè)空隙中，有A25種方法；

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得，共有A23A25=120種停放方法.

解答本題，要將2輛相鄰?fù)７诺能嚴(yán)壠饋?lái)，看作一個(gè)整體與另外1輛車進(jìn)行排列，為了確保這2輛車與第3輛車不相鄰，需將其插入在剩余的4個(gè)空停車位之間的5個(gè)空隙中.

二、利用隔板法

隔板法主要用于解答相同元素的分組問(wèn)題.運(yùn)用隔板法解題的步驟為：①將m個(gè)相同的元素排成一列，則這m個(gè)元素之間有個(gè)m-1個(gè)空隙；②將n個(gè)隔板插入這m-1個(gè)空隙中，即可將m個(gè)元素分成n+1組，共有Cnm-1分法.

例3.現(xiàn)將12個(gè)參賽名額分配給10個(gè)班，要求每個(gè)班至少分配到1個(gè)名額，則有種不同的分配方法.

解：將12個(gè)參賽名額看作12個(gè)相同的元素，這12 個(gè)元素之間有11個(gè)空隙，隨機(jī)插入9塊隔板，就可以將12個(gè)元素分成10組，有C911=55種不同的分配方法.

由于12個(gè)參賽名額之間沒(méi)有區(qū)別，于是將其看作12個(gè)相同的元素，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為將12個(gè)相同元素分10組的問(wèn)題，運(yùn)用隔板法，將9個(gè)隔板隨機(jī)插入12個(gè)元素之間的11個(gè)空隙中即可.

三、采用優(yōu)先法

若題目中要求某些元素要做特殊處理，則需采用優(yōu)先法，即優(yōu)先安排特殊元素的順序和位置，再對(duì)剩下的元素進(jìn)行排列.

例4.用0，4，5，6，7組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則偶數(shù)有多少個(gè)？

解：要使所組成的三位數(shù)是偶數(shù)，則需使末位數(shù)字為偶數(shù).

（1）當(dāng)0排在末位時(shí)，有A24個(gè)偶數(shù)；

（2）當(dāng)0不排在末位時(shí)，有A12A13A13個(gè)偶數(shù)；

所以一共有A24+A12A13A13=30個(gè)偶數(shù).

由于0為偶數(shù)，但0不能在首位，所以0為特殊元素，需優(yōu)先排列，采用優(yōu)先法解題，分0在末位和0不排在末位兩種情況進(jìn)行討論.排好0的位置，那么剩下的元素就可以隨意排列.

例5.現(xiàn)要從4名男生和3名女生中選擇4名學(xué)生參加比賽，男生甲、乙不能同時(shí)參加，女生丙、丁至少有1個(gè)人參加，則有??? 種不同的方案.

解：①若男生甲、乙其中有1人參加比賽，女生丙、丁去1人或2人，

則有C12（C35-C33）=18種方案；

②若男生甲、乙2人都不去參加比賽，女生丙、丁去1人或2人，

則有C45=5種方案；

所以一共有18+5=23種方案.

本題中的男生甲、乙和女生丙、丁都是特殊元素，需對(duì)其作特殊處理，于是采用優(yōu)先法求解，先考慮甲、乙、丙、丁的參賽情況，然后安排其他學(xué)生.

四、運(yùn)用插空法

對(duì)于一些要求某些元素不相鄰的問(wèn)題，往往需采用插空法求解，即先排列沒(méi)有要求的元素，然后將要求不相鄰的元素插入排列好的元素之間的空隙中.插空法與隔板法看起來(lái)相似，其適用情形并不相同，插空法適用于解答不同元素的排列問(wèn)題，隔板法適用于解答相同元素的排列問(wèn)題.

例6.將6張椅子排成一排，現(xiàn)有3人入座，則3個(gè)空位都不相鄰的入座方法有多少種？

解：①安排3人就座，有A33種入座方式，

②將3把空椅子插入4個(gè)空位中，有A34種方式，

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得，一共有A33A34=144種不同的入座方法.

要求3個(gè)空位完全不相鄰，則需運(yùn)用插空法，先安排3人就座；再將3個(gè)空位插入已坐好的3人之間的空隙中.

例7.有紅、黃、藍(lán)三種顏色的球各7個(gè)，每種顏色的球都標(biāo)有1，2，3，4，5，6，7，從中任取3個(gè)標(biāo)號(hào)不同的球，則這3個(gè)球顏色不同且標(biāo)號(hào)互不相鄰的情況有??? 種.

解：①若按照標(biāo)號(hào)從小到大順序排列未選中的4個(gè)球，這4個(gè)球之間有5個(gè)空隙，把選中的3個(gè)球插入5個(gè)空隙中，則有C35種可能的情況；

②給選中的3個(gè)球涂色，有A33種方法，

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，一共有C35A33=60種可能的情況.

我們將7個(gè)球分為選中的和未被選中兩組，把選中的3個(gè)球插入5個(gè)空隙中，即可使3個(gè)球不相鄰，再賦予3個(gè)球不同的顏色即可.

上述四種解題方法都具有各自的特點(diǎn)，其適用條件均不相同，同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)要仔細(xì)審題，選用合適的方法進(jìn)行求解.無(wú)論運(yùn)用哪種方法求解，都需進(jìn)行合理的分類、分步，然后根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理、分步計(jì)數(shù)原理進(jìn)行求解.