李德高　程濤　許聰　王應(yīng)山

摘 要：?jiǎn)蜗袼叵鄼C(jī)的測(cè)量數(shù)據(jù)可采用正交匹配追蹤（orthogonal matching pursuit，OMP）算法重構(gòu)，但是重構(gòu)得到的圖像質(zhì)量不好。本文提出一種提高圖像重構(gòu)效果的方法，該方法利用先驗(yàn)信息（列模平均值）判斷重構(gòu)效果優(yōu)劣；通過(guò)測(cè)量數(shù)據(jù)相鄰列相減的操作，以增強(qiáng)稀疏度。首先，基于OMP對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)逐列重構(gòu)；然后，對(duì)重構(gòu)效果差的列，作相鄰列相減的操作后逐列重構(gòu)；最后，通過(guò)逐列累加操作得到重構(gòu)效果更好的圖像。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法在僅使用OMP的情況下可以使重構(gòu)圖像的信噪比（signal to noise ratio，SNR）得到很大提高，雖然重構(gòu)圖像上有很明顯的條紋，但是重構(gòu)結(jié)果依然獲得很大改善。

關(guān)鍵詞：壓縮感知；后驗(yàn)信息；正交匹配追蹤；單像素相機(jī)；近似矩陣

中圖分類號(hào)：TP391.41 DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2023.04.002

0 引言

根據(jù)奈奎斯特采樣定理，當(dāng)采樣頻率達(dá)到信號(hào)最高頻率的2倍及以上時(shí)才能精確地重構(gòu)出原始信號(hào)。壓縮感知理論的出現(xiàn)打破了這一局面，它的核心是減少測(cè)量點(diǎn)數(shù)，實(shí)現(xiàn)對(duì)原始信號(hào)的精確重構(gòu)，并且在采集信號(hào)的同時(shí)對(duì)信號(hào)進(jìn)行高壓縮[1]。因此，壓縮感知一經(jīng)出現(xiàn)就在超分辨率顯微鏡[2-3]、遙感[4-5]、磁共振成像[6]、電子計(jì)算機(jī)斷層掃描[7]和圖像處理[8-9]等領(lǐng)域嶄露頭角。

Duarte等[10-12]基于壓縮感知理論提出的單像素相機(jī)中，其核心部件是數(shù)字微鏡器件（digital micromirror decive，DMD）。DMD上微鏡的翻轉(zhuǎn)可以表示為0或1，0表示微鏡不能將光反射到單像素?cái)z像頭，1表示微鏡可以將光反射到單像素?cái)z像頭。單像素?cái)z像頭通過(guò)DMD采集和壓縮數(shù)據(jù)。單像素相機(jī)的測(cè)量矩陣通過(guò)編程控制DMD上微鏡的翻轉(zhuǎn)來(lái)表示0-1隨機(jī)矩陣或0-1循環(huán)矩陣。相較于0-1循環(huán)矩陣，0-1隨機(jī)矩陣具有更好的隨機(jī)性，但不利于編程實(shí)現(xiàn)。0-1循環(huán)矩陣的隨機(jī)性不足，但勝在更易于編程實(shí)現(xiàn)。這2種矩陣所需存儲(chǔ)空間小而且運(yùn)算速度快。

2 基于相鄰列相減壓縮感知模型的重構(gòu)結(jié)果

對(duì)原始圖像的壓縮感知測(cè)量數(shù)據(jù)作相鄰列相減處理，然后基于式（7）采用OMP算法求解重構(gòu)，最后再對(duì)重構(gòu)結(jié)果作相鄰列相加得到最終重構(gòu)圖像。

圖1、圖2和表1是基于相鄰列相減壓縮感知模型對(duì)遙感影像Mulargia lake、心臟冠狀動(dòng)脈CT影像、火星以及汽車的重構(gòu)結(jié)果。Mulargia lake是意大利撒丁島Mulargia湖的2個(gè)遙感影像的差值圖，由Landsat-5衛(wèi)星在波段4分別拍攝于1995年9月和1996年7月。該圖反映了Mulargia湖水位上升而造成的陸地淹沒(méi)情況。為滿足稀疏條件，對(duì)2個(gè)時(shí)相的原始遙感影像作簡(jiǎn)單處理，差值圖中未變化區(qū)域的灰度值都為0。

圖1和圖2中從左往右，第一列是近似矩陣的重構(gòu)結(jié)果，第二列是近似矩陣采用相鄰列相減壓縮感知模型的重構(gòu)結(jié)果，第三列為原始圖像。對(duì)比第一列和第二列的圖像可以清楚地看到，近似矩陣采用相鄰列相減壓縮感知模型的重構(gòu)效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于近似矩陣的重構(gòu)效果。第一列圖像有模糊不清的條帶，第二列圖像雖沒(méi)有第一列圖像的模糊不清，但是多了許多條紋，而且條紋范圍大。這些條紋極大地影響了圖像的重構(gòu)效果，若能降低條紋的影響，會(huì)得到更好的重構(gòu)效果。

為了更加直觀地比較重構(gòu)圖像效果，本文用信噪比（signal to noise ratio，SNR）來(lái)表示圖像的重構(gòu)效果。SNR計(jì)算公式如式（8）所示，

（8）

式中：SNR表示SNR的值；[x]是真實(shí)信號(hào)，[x∈RN]；[xR]表示[x]的重構(gòu)結(jié)果；[||?||2]表示向量的模。

從表1中可以看出，相鄰列相減壓縮感知模型對(duì)這4幅圖像均有提升。其中對(duì)Mulargia lake圖像的提升最大，0-1隨機(jī)矩陣的SNR能提高約9.6 dB，0-1循環(huán)矩陣的SNR能提高約12.6 dB。對(duì)火星圖像的提升最小，0-1隨機(jī)矩陣的SNR僅能提高約4.0 dB，0-1循環(huán)矩陣的SNR僅能提高約4.2 dB。

盡管該模型能提高重構(gòu)效果，但是該模型也有缺陷，使用該模型重構(gòu)圖像會(huì)有很顯著的條紋影響，這些條紋無(wú)法避免，只能采取某些方法降低它的影響。該模型的本質(zhì)是利用圖像相鄰列像素值一般不發(fā)生突變甚至有少許值是一樣的這一特點(diǎn)，將相鄰列像素值相減，讓列變得更為稀疏。即使有些列變得更為稀疏了，但對(duì)于OMP算法，仍然會(huì)有重構(gòu)誤差，不能非常精確地重構(gòu)出來(lái)。該模型重構(gòu)圖像的最后一步是通過(guò)相鄰列相加來(lái)還原圖像，因此，對(duì)于有重構(gòu)誤差的列，在相鄰列相加之后，重構(gòu)誤差會(huì)逐漸累積，導(dǎo)致越靠后，偏差累積的越多，條紋越明顯。圖1和圖2中第2列圖像的條紋正是由于這個(gè)原因引起的，而且這些條紋越靠右越清晰可見(jiàn)。

3 基于后驗(yàn)信息的壓縮感知重構(gòu)

當(dāng)原始圖像灰度矩陣的某些列足夠稀疏的時(shí)候，OMP算法可以獲得更好的重構(gòu)結(jié)果?；诤篁?yàn)信息的壓縮感知重構(gòu)詳細(xì)算法：1）基于式（2）逐列采集得到測(cè)量數(shù)據(jù)y；2）通過(guò)OMP算法重構(gòu)得到Δx，并計(jì)算前文后驗(yàn)信息中的判斷值m，將Δx分為重構(gòu)好的列與重構(gòu)不好的列；3）根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)y采用相鄰列相減壓縮感知模型，并用OMP算法重構(gòu)得到x；4）將Δx中重構(gòu)不好的列替換成x中的對(duì)應(yīng)列，從而得到基于后驗(yàn)信息的壓縮感知重構(gòu)結(jié)果X。

基于后驗(yàn)信息的壓縮感知重構(gòu)結(jié)果如圖3所示。從左至右第一列圖像是0-1隨機(jī)矩陣的近似矩陣重構(gòu)結(jié)果，第二列圖像是0-1循環(huán)矩陣的近似矩陣重構(gòu)結(jié)果，第三列圖像是原始圖像。對(duì)比圖3與圖1、圖2可知，基于后驗(yàn)信息的壓縮感知重構(gòu)結(jié)果的條紋影響更小，重構(gòu)效果更好。

基于后驗(yàn)信息重構(gòu)圖像的2種矩陣的SNR結(jié)果如表2所示。對(duì)比表2和表1可知，相較于近似矩陣，基于后驗(yàn)信息重構(gòu)的0-1隨機(jī)矩陣和0-1循環(huán)矩陣，對(duì)于Mulargia lake圖像，其SNR分別提高了約16.4、19.0 dB；對(duì)于心臟冠脈CT圖像，其SNR分別提高了約7.8、9.8 dB；對(duì)于火星圖像，其SNR分別提高了約8.5、8.8 dB；對(duì)于汽車圖像，其SNR分別提高了約10.4、9.5 dB。由此可知，基于后驗(yàn)信息的壓縮感知重構(gòu)對(duì)這4幅圖像的SNR均有較大提升。

基于后驗(yàn)信息的壓縮感知重構(gòu)在一定程度上降低了相鄰列相減壓縮感知模型帶來(lái)的條紋影響，但是只適用于類似于這4幅圖的稀疏圖像。對(duì)于不稀疏的圖像，因?yàn)槭芟抻贠MP算法只對(duì)足夠稀疏的信號(hào)有很好的重構(gòu)結(jié)果，所以該方法的重構(gòu)圖像會(huì)受到更為顯著的條紋影響，而且重構(gòu)效果不好。

4 結(jié)論

本文提出了在重構(gòu)稀疏圖像時(shí)判斷OMP算法重構(gòu)好壞的后驗(yàn)信息、相鄰列相減壓縮感知模型以及基于后驗(yàn)信息的壓縮感知重構(gòu)方法，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)給出判斷經(jīng)驗(yàn)式作為后驗(yàn)信息。雖然該模型在OMP算法重構(gòu)上會(huì)有明顯的條紋，但是重構(gòu)結(jié)果依然有很大的改善?；诤篁?yàn)信息的壓縮感知重構(gòu)方法充分利用了發(fā)現(xiàn)的后驗(yàn)信息，進(jìn)一步提高重構(gòu)效果。該方法只使用了OMP算法，具有OMP算法計(jì)算速度快的優(yōu)點(diǎn)，且SNR得到較大提高，但是該方法對(duì)不稀疏的圖像不適用。

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Compressed sensing image reconstruction method

based on posterior information

LI Degao， CHENG Tao*， XU Cong， WANG Yingshan

（School of Mechanical and Automotive Engineering， Guangxi University of Science and Technology， Liuzhou 545616， China）

Abstract： The measurement data of a single pixel camera can be reconstructed with the orthogonal matching pursuit （OMP） algorithm， which， however， generates reconstructed images of non-desirable quality. We propose a method to improve the image reconstruction. We can judge the quality of the reconstruction using prior information （column modulus mean value） in this method. The sparsity is enhanced by subtraction of adjacent columns of measurement data. Firstly， measurement data are reconstructed column by column based on OMP. Secondly， for columns with poor reconstruction results， subtraction of adjacent columns is conducted and then they are reconstructed one by one. Finally， better-reconstructed images are obtained through accumulating column by column. The experimental results show that this method can significantly improve the signal to noise ratio （SNR） of reconstructed images when only OMP is used. Although there are obvious stripes on the reconstructed images， significant improvement is still achieved in the reconstruction.

Key words： compressed sensing; posterior information; orthogonal matching pursuit; single-pixel camera; approximate matrix

（責(zé)任編輯：黎 婭）

收稿日期：2022-12-17

基金項(xiàng)目：廣西自然科學(xué)基金項(xiàng)目（2022GXNSFAA035593）；國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（41461082，81660296）資助

第一作者：李德高，在讀碩士研究生

*通信作者：程濤，博士，研究員，研究方向：壓縮感知和遙感，E-mail：ctnp@163.com