王圓圓
直觀想象是數(shù)學(xué)學(xué)科中的一個(gè)基本素養(yǎng),主要是借助幾何(平面幾何或空間幾何等)直觀、空間想象等來(lái)感知事物或圖形的形態(tài)與變化等,進(jìn)而結(jié)合圖形直觀來(lái)數(shù)形結(jié)合,利用邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算來(lái)分析與解決問(wèn)題.而在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中,依托直觀想象,通過(guò)數(shù)形結(jié)合,可以直接用來(lái)解決一些相應(yīng)的直觀數(shù)學(xué)問(wèn)題,“以形助形”;也可以用來(lái)解決一些特殊的抽象數(shù)學(xué)問(wèn)題,“以數(shù)成形”.結(jié)合函數(shù)圖象或幾何圖形的直觀,達(dá)到“以形助數(shù)”.本文通過(guò)數(shù)例予以說(shuō)明.
點(diǎn)評(píng):借助中國(guó)古代數(shù)學(xué)中的天文計(jì)算設(shè)置復(fù)雜的立體幾何情景,并借助立體幾何圖形的直觀來(lái)設(shè)置創(chuàng)新信息問(wèn)題.借助復(fù)雜的立體幾何圖形直觀,通過(guò)直觀想象,合理挖掘立體幾何圖形的內(nèi)涵與本質(zhì),為進(jìn)一步的邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算提供更加廣泛的空間,也是相關(guān)圖形直觀的應(yīng)用本質(zhì)所在.
分析:破解此類大小比較問(wèn)題,技巧方法比較法.而借助函數(shù)圖象的本源,數(shù)形結(jié)合來(lái)直觀想象處理,更加直接有效.通過(guò)觀察各代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征與形式,合理構(gòu)建函數(shù),結(jié)合函數(shù)圖象的構(gòu)建,并通過(guò)同一變量所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的比較,數(shù)形結(jié)合直觀判斷,也是解決問(wèn)題的基本方法.
點(diǎn)評(píng):通過(guò)合理挖掘三個(gè)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征,引入?yún)?shù)并合理構(gòu)建函數(shù),利用函數(shù)的圖象來(lái)直觀判斷,直觀巧妙.這里函數(shù)的圖象涉及指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及一次函數(shù),只要大體的草圖即可得以確定.?dāng)?shù)形結(jié)合法可以更加直觀形象地處理函數(shù)的圖象與性質(zhì)問(wèn)題,關(guān)鍵就是函數(shù)圖象的大體確定與應(yīng)用.
分析:依據(jù)題意條件,隨著動(dòng)點(diǎn)A在x軸正半軸上的運(yùn)動(dòng),合理“串聯(lián)”起點(diǎn)P的位置與點(diǎn)Q的位置,由此帶動(dòng)相關(guān)的圖形特征.抓住動(dòng)點(diǎn)A在變化過(guò)程中的“瞬間”場(chǎng)景,“動(dòng)”中取“靜”,以點(diǎn)A與B重合的“靜”態(tài)場(chǎng)景來(lái)特殊化分析與處理問(wèn)題,是解決該問(wèn)題時(shí)直觀想象的一種“巧技妙法”.
點(diǎn)評(píng):借助圓錐曲線中綜合應(yīng)用問(wèn)題的創(chuàng)新場(chǎng)景,利用動(dòng)點(diǎn)的變化情況加以動(dòng)靜結(jié)合來(lái)分析與處理問(wèn)題.解決此類圖形直觀問(wèn)題的運(yùn)動(dòng)情況問(wèn)題時(shí),經(jīng)常借助極端思維與特殊位置(或特殊值等方法),通過(guò)問(wèn)題本質(zhì)的理解與掌握,合理直觀想象,數(shù)形直觀,水到渠成.特殊與一般思維,動(dòng)靜結(jié)合思維等,都是直觀想象核心素養(yǎng)的深刻理解與提升,取決于學(xué)生對(duì)此類問(wèn)題的內(nèi)涵與本質(zhì)的深入挖掘與應(yīng)用.
分析:利用題設(shè)條件中的關(guān)系式恒等變形,結(jié)合對(duì)應(yīng)關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征,合理聯(lián)想到余弦定理中關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征,從三角形的性質(zhì)與基本不等式的應(yīng)用等視角來(lái)分析與處理,合理數(shù)形結(jié)合,結(jié)合邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算來(lái)綜合應(yīng)用.
點(diǎn)評(píng):在處理一些相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題中,其實(shí)質(zhì)不具有圖象或圖形的形式,而借助公式的結(jié)論特征、定義的幾何內(nèi)涵等,合理直觀想象,數(shù)形結(jié)合,有效進(jìn)行巧妙的數(shù)學(xué)建模,利用構(gòu)建與之對(duì)應(yīng)的圖象或幾何圖形,從幾何層面數(shù)形結(jié)合,從代數(shù)場(chǎng)面數(shù)學(xué)運(yùn)算,無(wú)中生有,綜合應(yīng)用,充分體現(xiàn)“數(shù)”“形”的和諧統(tǒng)一與完美配合.