李彥蒼，李晶霞+，杜尊峰，朱海濤，韓沐軒

(1.河北工程大學(xué) 土木工程學(xué)院，河北 邯鄲 056038；2.天津大學(xué) 建筑工程學(xué)院，天津 300350)

0 引 言

斑點鬣狗優(yōu)化算法(spotted hyena optimizer，SHO)是Dhiman等受斑點鬣狗捕獵啟發(fā)下提出的一種新智能優(yōu)化算法。針對基本的斑點鬣狗算法易陷入局部最優(yōu)、搜索能力和收斂速度慢等問題，相關(guān)學(xué)者們提出了眾多改進(jìn)策略[1-10]。例如，文獻(xiàn)[11]針對斑點鬣狗優(yōu)化算法易受隨機因子影響的問題，提出了一種結(jié)合模擬退火和斑點鬣狗算法結(jié)合的混合式算法，有效改善局部最優(yōu)解和收斂速度慢的缺點。文獻(xiàn)[12]因斑點鬣狗算法具有魯棒性強和參數(shù)少的優(yōu)點，所以將SHO應(yīng)用于抽水蓄能電站優(yōu)化調(diào)度研究，對抽水蓄能電站帶來更大的收益。文獻(xiàn)[13]提出用萊維飛行和單純形搜索法提高算法的平衡性和搜索能力，將改進(jìn)后的算法應(yīng)用于電力系統(tǒng)的圖像分割中，驗證了改進(jìn)斑點鬣狗優(yōu)化算法分割效果對比其它算法的優(yōu)越性。

以上眾多學(xué)者對SHO算法的改進(jìn)與應(yīng)用為我們提供了一定的借鑒意義，但基本SHO在初始位置不均勻、局部易陷入最優(yōu)等方面還有待提高。針對SHO算法存在的不足，本文提出了基于拉普拉斯交叉的改進(jìn)斑點鬣狗優(yōu)化算法(Laplace crossover spotted hyena optimizer，LPSHO)。在前期采用Fuch混沌策略對斑點鬣狗個體位置初始化，對鬣狗種群的多樣性進(jìn)行改善；通過一種動態(tài)自適應(yīng)的慣性權(quán)重，平衡了SHO的全局探索與局部開發(fā)能力；再引入拉普拉斯算子進(jìn)行動態(tài)交叉操作，使得種群更符合迭代規(guī)律，前期種群精細(xì)搜索范圍，后期更好跳出局部極值；最后將逐維反向?qū)W習(xí)機制融入到小孔成像反向?qū)W習(xí)策略中，提高SHO收斂速度和尋優(yōu)能力。通過LPSHO的仿真實驗及3個工程實例問題，驗證了LPSHO具有更優(yōu)越的優(yōu)化性能。

1 基本斑點鬣狗算法

1.1 包圍機制

斑點鬣狗依靠視覺能迅速熟悉和確定獵物的位置并包圍它們。斑點鬣狗個體間依據(jù)社會地位和互相信任的協(xié)作能力，擁有更加敏捷高效的圍捕能力。此時最靠近目標(biāo)獵物的鬣狗個體作為當(dāng)前最優(yōu)解，剩余的斑點鬣狗根據(jù)最優(yōu)解更新調(diào)整自己的位置，然后得到全局最優(yōu)解。數(shù)學(xué)模型如下

Dh=|B·Pp(X)-P(X)|

(1)

P(x+1)=Pp(x)-E·Dh

(2)

式中：Dh為獵物與斑點鬣狗之間的距離；x是迭代次數(shù)；P是當(dāng)前斑點鬣狗的位置；Pp是當(dāng)前獵物位置；B是搖擺因子；E是收斂因子，具體公式如下

B=2·rd1

(3)

E=2h·rd2-h

(4)

h=5-(iter*5/Xmax)

(5)

式中：rd1與rd2為[0，1]區(qū)間內(nèi)的隨機數(shù)；h是控制因子；h從5到0線性遞減，取值范圍為[0，5]；iter=1，2，…，Xmax，Xmax為最大迭代次數(shù)。

1.2 狩獵機制

斑點鬣狗個體間根據(jù)可信賴的等級制度和精準(zhǔn)判別獵物的能力進(jìn)行分組狩獵，在此過程中種群定義當(dāng)前最優(yōu)搜索個體，剩余的斑點鬣狗搜索個體劃分為一個集群，集體向最優(yōu)搜索個體集合，來更新位置。該行為具體定義如下

Dh=|B·Ph-PK|

(6)

PK=Ph-E·Dh

(7)

Ch=PK+PK+1+…+PK+N

(8)

式中：Ph定義了斑點鬣狗的第一個最佳位置；其它斑點鬣狗的位置為Pk；Ch是N個最優(yōu)解的集群；N為斑點鬣狗數(shù)量，其中N的計算如下

N=countnos(Ph，Ph+1，Ph+2，…，(Ph+M))

(9)

式中：M為一個[0.5，1]的隨機向量，nos定義可行解的數(shù)量并計算所有候選解，該過程與搜索空間的最優(yōu)解相似。

1.3 攻擊獵物

在狩獵的最后時期斑點鬣狗仍不斷更新位置并攻擊獵物，其中控制因子h在迭代過程中從5線性遞減到0，收斂因子E隨著h的變化也逐漸減小。當(dāng)|E|<1時，斑點鬣狗攻擊獵物。該行為定義如下

P(x+1)=Ch/N

(10)

式中：P(x+1) 保持最優(yōu)解，Ch保持最優(yōu)解集群。

1.4 搜索獵物(全局探索)

在全局探索過程中斑點鬣狗允許更新最佳搜索集群Ch中的個體位置并繼續(xù)攻擊獵物，當(dāng)|E|>1時，鬣狗個體之間會互相分散，從遠(yuǎn)離獵物的地方搜索、繼續(xù)尋找和攻擊更合適的獵物，斑點鬣狗的這種捕獵行為確保了算法的全局搜索能力。

2 改進(jìn)斑點鬣狗優(yōu)化算法

2.1 無限折疊Fuch混沌映射

SHO算法通常采用隨機生成的方式來初始化種群，使得種群初始分布不均勻、種群多樣性不穩(wěn)定。而混沌優(yōu)化作為一種隨機的、非收斂的、確定性的非線性系統(tǒng)常用于解決全局最優(yōu)問題，而且混沌優(yōu)化整體搜索速度高于遺傳算法[14]和模擬退火算法[15]，因此已經(jīng)廣泛應(yīng)用于不同領(lǐng)域[16]。故本文選擇混沌映射來初始化種群。

Lyapunov指數(shù)(λ)是判斷混沌運動特性的一個重要指標(biāo)。由表1中Lyapunov指數(shù)比較得出，F(xiàn)uch混沌映射具有更強的混沌特性，能更好實現(xiàn)混沌尋優(yōu)。無限折疊Fuch混沌映射與Logistic映射、Tent映射、Chebyshev映射相比在解空間內(nèi)有更優(yōu)良的初值敏感性和更均衡的遍歷性[17]。

表1 4種混沌映射的Lyapunov指數(shù)比較

斑點鬣狗種群的初始值對該算法的影響很大，初始值的大小決定算法的尋優(yōu)速度和陷入局部最優(yōu)的能力。采用無限折疊Fuch混沌映射使得優(yōu)化結(jié)果不依賴于初始值，提高SHO全局尋優(yōu)的效率。Fuch混沌映射數(shù)學(xué)模型為

(11)

其中，Px為Fuch映射的混沌變量，Px≠0；P∈Z+；x=1，2，…xmax；x為迭代次數(shù)；xmax為最大迭代次數(shù)。

2.2 自適應(yīng)的慣性權(quán)重

斑點鬣狗個體在位置更新時只有當(dāng)前最優(yōu)個體和最佳搜索集群，導(dǎo)致基本SHO在全局搜索階段可能會產(chǎn)生鬣狗個體停滯在理論位置附近的情況，降低搜索精度。利用權(quán)重調(diào)整算法，對全局探索和局部開發(fā)能力有一定的平衡作用[18]。本文受文獻(xiàn)[19]中一種動態(tài)調(diào)整慣性權(quán)重的啟發(fā)，提出了一種動態(tài)自適應(yīng)的慣性權(quán)重，式子如下

(12)

式中：x為當(dāng)前迭代次數(shù)；Xmax為最大迭代次數(shù)；ωs代表迭代開始時的初始權(quán)值，當(dāng)x=0時，ωs=0.9；ωe代表迭代終止時的權(quán)值；當(dāng)x=Xmax時，ωe=0.4，l為控制因子。本文中l(wèi)=0.6。改進(jìn)的SHO如下

(13)

權(quán)重隨迭代次數(shù)增加的同時非線性遞減，所以SHO在迭代初期時權(quán)值較大，全局搜索能力較強；隨著迭代次數(shù)的增加，權(quán)值減小，算法的局部開發(fā)能力加強。此時SHO以最小權(quán)重采用螺旋式方式搜索最優(yōu)解，具有更強的搜索能力。

2.3 動態(tài)拉普拉斯交叉策略

由Kusum Deep和Manoj Thakur提出拉普拉斯交叉算子在尋找最優(yōu)性和可靠性方面有極大的幫助[20]。標(biāo)準(zhǔn)的SHO算法由于缺乏一定的變異機制，導(dǎo)致鬣狗種群易陷入局部極值。然而鬣狗種群在包圍和狩獵前期一直在當(dāng)前最優(yōu)個體附近搜索，此時步長較小。當(dāng)鬣狗種群以小步長模式搜索時，此時最優(yōu)個體接近局部最優(yōu)個體，易使SHO陷入局部最優(yōu)值。為改善此類情況，采用一種動態(tài)拉普拉斯交叉策略對鬣狗種群位置進(jìn)行更新，這種交叉變異操作更符合算法迭代規(guī)律。其分布密度函數(shù)如下

(14)

式中：a∈R是位置參數(shù)，b>0是尺度參數(shù)，其拉普拉斯分布函數(shù)如下

(15)

式中：x為當(dāng)前迭代次數(shù)，Xmax為最大迭代次數(shù)，r為[0，1]區(qū)間內(nèi)的隨機數(shù)，在包圍和狩獵后期令b=0.5進(jìn)行拉普拉斯交叉，有更大可能性在鬣狗父代個體旁邊產(chǎn)生子代，斑點鬣狗個體在最優(yōu)解附近準(zhǔn)確搜索游走，會更快尋找到全局最優(yōu)解。其數(shù)學(xué)模型描述如下

(16)

在包圍和狩獵階段引入拉普拉斯交叉算子，斑點鬣狗種群按照迭代規(guī)律進(jìn)行自適應(yīng)動態(tài)交叉操作，提高基本SHO算法的求解能力。

2.4 逐維小孔成像反向?qū)W習(xí)策略

SHO算法僅在每次種群迭代時目標(biāo)位置進(jìn)行更新，選擇當(dāng)前最優(yōu)個體代替之前個體，而不考慮種群搜索范圍和收斂速度的情況。故SHO在求解高維復(fù)雜函數(shù)時，常受維度之間互相干擾，導(dǎo)致求解速度和尋優(yōu)精度降低。針對這類問題，逐維反向機制融合小孔成像學(xué)習(xí)策略，對鬣狗個體的目標(biāo)位置進(jìn)行更新，在每個維度迭代時能同時搜索兩個值，進(jìn)而提高SHO算法的全局尋優(yōu)能力和收斂速度。根據(jù)文獻(xiàn)[21]可知，反向?qū)W習(xí)與群智能算法相結(jié)合可以避免算法過早收斂，可以增強算法的尋優(yōu)能力。受小孔成像反向原理的啟發(fā)用于學(xué)習(xí)策略，其基本原理如圖1所示。

圖1 小孔成像反向?qū)W習(xí)的原理圖

由小孔成像原理可以得出

(17)

令調(diào)節(jié)因子n=h/h′，得到X′best的表達(dá)式

(18)

由式(19)可以得出，與一般的反向?qū)W習(xí)策略(n=1時)不同，逐維小孔成像反向?qū)W習(xí)策略可以通過調(diào)整小孔屏和接受屏之間的距離來改變n值的大小，從而跳出局部極值得到最優(yōu)解。

當(dāng)n=1時，可得

X′best=(aj+bj)-Xbest

(19)

斑點鬣狗優(yōu)化算法每迭代一次，式(18)對鬣狗個體進(jìn)行位置篩選，某一維度的值經(jīng)過反向?qū)W習(xí)以后與其它維度的值組成新的解，對各個適應(yīng)度值進(jìn)行比較和篩選，從而確定最優(yōu)解。

2.5 LPSHO算法流程

輸入：斑點鬣狗種群Pi(i=1，2，…，n)

輸出：Ph

(1)初始化參數(shù)。采用Fuch混沌映射生成鬣狗位置信息Px，更新h、B、E和N

(2)計算個體適應(yīng)度值

(3)Ph記錄當(dāng)前最好個體位置，Ch定義為最佳搜索集群

(4)Whilex

(5)FOR i=1 TO N do

(6)根據(jù)式(12)計算慣性權(quán)重ω的值

(7)根據(jù)式(13)更新調(diào)整鬣狗種群的位置

(9)采用拉普拉斯交叉策略更新Pi

(10)利用式(18)執(zhí)行逐維小孔成像反向?qū)W習(xí)策略

(11)end if

(12)計算個體適應(yīng)度值，選擇適應(yīng)度最好的斑點鬣狗個體作為最優(yōu)解，更新Ph

(13)x=x+1

(14)end while

(15)返回Ph

(16)結(jié)束程序

3 實驗仿真與分析

3.1 基本測試函數(shù)

為了全面驗證LPSHO的尋優(yōu)性能效果，我們選取了9個不同特點的標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)進(jìn)行對比測試，主要分為3類：其中，f1～f4為單峰基準(zhǔn)測試函數(shù)，主要用于測試算法的局部開發(fā)能力；f5～f7為多峰測試函數(shù)、f8和f9為固定維度多峰測試函數(shù)，該類測試函數(shù)有較多局部極值點，群智能算法尋優(yōu)過程中易于陷入局部最優(yōu)，主要用于測試算法的跳出局部極值能力和全局探索能力。其具體信息見表2。

表2 測試函數(shù)

3.2 仿真實驗環(huán)境和參數(shù)設(shè)置

為了驗證改進(jìn)斑點鬣狗算法的優(yōu)化效果，選擇改進(jìn)斑點鬣狗優(yōu)化算法(LPSHO)與基本斑點鬣狗算法(SHO)、灰狼算法(GWO)[22]、海鷗算法(SOA)[23]對9個典型的基準(zhǔn)測試函數(shù)進(jìn)行30次對比實驗，可以客觀地反映算法改進(jìn)的有效性。為保證公平、降低結(jié)果的偶然性，各算法基本參數(shù)與原文獻(xiàn)保持一致。

3.3 實驗結(jié)果及分析

由于算法維度也會影響算法的尋優(yōu)性能，為更加全面的驗證算法的有效性以及低維高維的求解能力，設(shè)置7個單峰和多峰測試函數(shù) (n=30，50，100維) 和2個固定維度測試函數(shù)(n=2維)進(jìn)行對比仿真。記錄50次實驗中各測試函數(shù)的最優(yōu)值、平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，算法的運行結(jié)果見表3、表4、表5，對其最好的結(jié)果加粗顯示。

表3 不同算法對3個多峰測試函數(shù)的尋優(yōu)性能比較

表4 不同算法對4個單峰測試函數(shù)的尋優(yōu)性能比較

表5 不同算法對2個固定維度測試函數(shù)的尋優(yōu)性能比較

從表4可看出，對于單峰測試函數(shù)f1～f4，LPSHO的尋優(yōu)性能不僅比標(biāo)準(zhǔn)的SHO更好，在對比其它智能優(yōu)化算法也能體現(xiàn)出很好的尋優(yōu)性能。雖然其它4種算法均能收斂到最優(yōu)值0，但LPSHO對比中顯示出它更強的尋優(yōu)能力和穩(wěn)定性。在高峰函數(shù)的優(yōu)化問題上，除了GWO外其它3種算法都能收斂到理論最優(yōu)值0，但LPSHO對目標(biāo)函數(shù)的求解精度和成功率比其它算法的測試結(jié)果好。從表3看出，對于測試函數(shù)f5和f7，LPSHO、SHO、SOA在n=30，50，100維時的收斂情況都較好，但對比測試函數(shù)f6時，LPSHO標(biāo)準(zhǔn)差更小，也看出比其它算法更強的尋優(yōu)能力與穩(wěn)定性，這說明LPSHO在求解高維復(fù)雜函數(shù)的有效性。

從表5數(shù)據(jù)得出，LPSHO對于固定維度測試函數(shù)的結(jié)果相對穩(wěn)定。盡管這4種算法在迭代過程中都收斂到理論最優(yōu)值，但只有LPSHO的平均值更小，其求解結(jié)果明顯優(yōu)于其它3種算法，具有更強的穩(wěn)定性。綜上所述，LPSHO是一種穩(wěn)定性更好、尋優(yōu)能力更強、收斂精度更好的算法。

為了更直觀體現(xiàn)LPSHO的優(yōu)越性，確保4種算法的迭代次數(shù)相同、維度為30(固定維度測值函數(shù)維度為2)的情況下得到如圖2所示不同基準(zhǔn)函數(shù)的平均收斂曲線。通過與其它算法的結(jié)果對比，驗證LPSHO不論是在求解單峰還是多峰函數(shù)上，LPSHO表現(xiàn)出更優(yōu)越的求解性能，具有更好的全局收斂性。由函數(shù)f1、f2、f3、f8和f9收斂曲線可以看出，算法迭代初期的適應(yīng)度值更優(yōu)于其它算法，說明用混沌映射對種群初始化，提高了斑點鬣狗種群的質(zhì)量?；維HO算法收斂曲線存在著局部停滯的情況，而LPSHO算法采用慣性權(quán)重調(diào)節(jié)全局搜索和局部開發(fā)能力，相比其它算法有足夠的全局搜索能力。最后采用拉普拉斯交叉和反向?qū)W習(xí)策略，避免算法早熟收斂，使LPSHO算法具有更快的收斂速度和更好的求解精度。

圖2 標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)的尋優(yōu)收斂曲線

4 工程算例與結(jié)果分析

為進(jìn)一步驗證LPSHO算法在實際工程應(yīng)用優(yōu)化問題中的有效性和可行性，選用焊接梁設(shè)計問題和15桿桁架、52桿桁架對工程算例進(jìn)行分析，并與其它3種算法的結(jié)果對比分析。

4.1 焊接梁設(shè)計

該問題的主要目標(biāo)是使焊接梁的制造成本最小化，如圖3所示。優(yōu)化約束包括梁中的剪切應(yīng)力(τ)和彎曲應(yīng)力(σ)、桿上的屈曲荷載(Pc)、梁的端部撓度(δ)。該問題有4個優(yōu)化變量為焊縫厚度(h)、鋼筋連接長度(l)、鋼筋高度(t)、鋼筋的厚度(b)，如下所示。

圖3 焊接梁模型

其數(shù)學(xué)模型表示如下：

Subjectto

(20)

(21)

將基本SHO、GWO、SOA和LPSHO算法應(yīng)用于焊接梁設(shè)計求解模型中，表6中給出了通過這些算法獲得的最優(yōu)結(jié)果，對比情況如下。

表6 焊接梁設(shè)計的比較結(jié)果

結(jié)果表明，LPSHO收斂到了最佳設(shè)計值，從表7中統(tǒng)計的結(jié)果進(jìn)行比較，可以看出LPSHO在最優(yōu)值和中位數(shù)方面表現(xiàn)得更好，LPSHO對焊接梁設(shè)計問題的優(yōu)化效果更好并且需要更少的分析來找到最佳設(shè)計。由此可證，本文LPSHO在實際工程應(yīng)用中是有效且可行的，與其它求解優(yōu)化問題的方法相比，LPSHO算法的成功率較高。

表7 焊接梁設(shè)計問題統(tǒng)計比較

4.2 桁架優(yōu)化

4.2.1 算例1

15桿平面桁架的結(jié)構(gòu)模型如圖4所示，各桿件的應(yīng)力允許值為±120 MPa；位移約束為16個；壓力約束共15個；應(yīng)力約束值范圍[115.37，120]；材料密度為7800 kg/m3；彈性模量為200 GPa；桁架截面面積的設(shè)計變量取值為：[113.2，143.2，145.9，174.9，185.9，235.9，265.9，297.1，308.6，334.3，338.2，497.8，507.6，736.7，791.2，1063.7](mm2)，該桁架結(jié)構(gòu)的荷載工況見表8。

圖4 15桿桁架結(jié)構(gòu)

表8 荷載工況/kN

LPSHO、標(biāo)準(zhǔn)SHO、GWO和SOA對15桿經(jīng)典桁架模型優(yōu)化對比的收斂曲線如圖5所示。由表9的優(yōu)化結(jié)果可得出改進(jìn)后的算法LPSHO在求解精度和優(yōu)化程度上表現(xiàn)更好，同時達(dá)到了減輕桁架質(zhì)量的目的。

圖5 15桿桁架收斂曲線

表9 15桿桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果對比

4.2.2 算例2

52桿空間桁架有21個節(jié)點和52根桿，其中8個節(jié)點固定，節(jié)點1-13處各有集中質(zhì)量50 kg，如圖6所示。全結(jié)構(gòu)材料密度為7800 kg/m2；彈性模量為210 GPa。節(jié)點1-13處有50 kg質(zhì)量荷載。

圖6 52桿空間桁架結(jié)構(gòu)

該桁架結(jié)構(gòu)的桿件分類見表10，設(shè)計變量共13個，其中有5個形狀變量和8個面積變量。每組各桿件橫截面積均相等，范圍為1～10 cm2，此外，該算例的頻率范圍為：f1≤15.916 Hz、f2≥28.648 Hz。

表10 52桿空間桁架桿件分類

由表11、表12、表13的優(yōu)化結(jié)果可得出改進(jìn)后的算法LPSHO在求解精度和優(yōu)化程度上比基本SHO算法表現(xiàn)更好，同時達(dá)到了減輕桁架質(zhì)量的目的。由圖7的4種算法迭代曲線對比看出，改進(jìn)后的算法LPSHO的收斂速度和尋優(yōu)能力更強。再次驗證了LPSHO具有更好的性能，并達(dá)到了優(yōu)化模型過程中節(jié)省時間和材料的雙重目的。

圖7 52桿桁架收斂曲線

表11 52桿桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果對比

表12 形狀優(yōu)化結(jié)果對比

表13 優(yōu)化結(jié)果的各階頻率

5 結(jié)束語

針對基本斑點鬣狗優(yōu)化算法求解精度低、復(fù)雜優(yōu)化效果不良、易陷入局部最優(yōu)的缺點，提出了一種改進(jìn)的斑點鬣狗優(yōu)化算法，通過仿真實驗得到以下結(jié)論。

(1)在前期引入Fuch混沌映射來初始化種群，避免了算法初始狀態(tài)時的取值范圍趨于平衡態(tài)；在全局搜索階段，利用一種基于混沌自適應(yīng)的慣性權(quán)重，平衡了LPSHO尋優(yōu)過程中的全局探索和局部開發(fā)能力；再引入基于拉普拉斯交叉策略的改進(jìn)斑點鬣狗算法，一定程度上改進(jìn)了基本斑點鬣狗算法易陷入局部最優(yōu)的缺點，使得種群更符合迭代規(guī)律；最后利用逐維小孔成像反向?qū)W習(xí)機制，進(jìn)一步提高了算法的收斂速度和求解能力。LPSHO在迭代前期種群精細(xì)搜索范圍，后期更好跳出局部極值，從而達(dá)到了改進(jìn)的目的。

(2)通過對9個基準(zhǔn)測試函數(shù)仿真實驗，驗證了改進(jìn)的斑點鬣狗優(yōu)化算法在求解精度和求解速度方面有更大的優(yōu)勢，也驗證了改進(jìn)斑點鬣狗優(yōu)化算法是可行且有效的。通過對機械設(shè)計優(yōu)化和桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題的驗證，從而證實該算法在求解組合優(yōu)化上的有效性和正確性，為解決復(fù)雜的工程約束問題提供思路。