王俊嶺，劉 娟，劉 波，鐘 蕾，常鑫鑫，王振東

(江西理工大學(xué) 信息工程學(xué)院，江西 贛州 341000)

0 引 言

由于節(jié)點(diǎn)通常被部署在開放的環(huán)境中，存在的網(wǎng)絡(luò)空間安全問(wèn)題也不容忽視[1，2]，如DDos攻擊、節(jié)點(diǎn)捕獲、惡意軟件感染等[3]。而病毒作為一種惡意計(jì)算機(jī)代碼[4]，可以在沒(méi)有人為干預(yù)的情況下，通過(guò)通信快速地從一個(gè)節(jié)點(diǎn)感染另一個(gè)節(jié)點(diǎn)，最終感染整個(gè)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，造成網(wǎng)絡(luò)癱瘓。因此，為了更好地預(yù)防和控制無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)病毒的傳播，諸多學(xué)者[5-7]針對(duì)網(wǎng)絡(luò)病毒的數(shù)學(xué)模型展開了深入研究，但結(jié)合現(xiàn)有研究發(fā)現(xiàn)，無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)仍然面臨著病毒發(fā)生“變異”所帶來(lái)的新問(wèn)題：①新型無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)病毒“變異”特性引起了病毒傳播機(jī)理和流程的改變，需要借鑒既有模型與研究方法，在SEIQRV等傳統(tǒng)模型基礎(chǔ)上增加新的“變異”狀態(tài)和相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)移關(guān)系，建立與“變異”相一致的傳感器網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型；②網(wǎng)絡(luò)病毒一旦發(fā)生變異，傳統(tǒng)的異常節(jié)點(diǎn)檢測(cè)和清除機(jī)制將不能夠完成病毒的檢測(cè)以及查殺工作，并造成大量的節(jié)點(diǎn)在通信過(guò)程中感染病毒；③由于無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)能量受限，通信半徑因素會(huì)直接影響病毒傳播的效果和網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)狀態(tài)的穩(wěn)定性。

鑒于此，本文提出了一類更符合現(xiàn)實(shí)的新型SEIQRV-Type模型，以更為深入地研究網(wǎng)絡(luò)病毒的傳播規(guī)律，為無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)中病毒的擴(kuò)散機(jī)理及防御研究提供理論參考。

1 相關(guān)工作

為了研究惡意軟件在移動(dòng)無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)上的傳播行為，Kumari等[8]建立了一種新的具有非線性發(fā)生率和S型移除率的惡意軟件傳播模型；文獻(xiàn)[9]在Stackelberg博弈的基礎(chǔ)上，提出了一種新的惡意軟件與無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)之間的攻防博弈，并利用平衡解分析了無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)的可靠性；文獻(xiàn)[10]通過(guò)結(jié)合無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)媒體訪問(wèn)控制層的休眠/監(jiān)聽機(jī)制，提出了一種基于通信范圍受限的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)錁?gòu)建方法來(lái)模擬無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)，證實(shí)了MAC機(jī)制能夠有效抑制無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)中病毒的傳播；Liu等[11]針對(duì)無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)能量耗盡的問(wèn)題，提出了一種更適合WSN對(duì)抗惡意程序的全新傳播模型，通過(guò)將節(jié)點(diǎn)劃分為高能和低能狀態(tài)，發(fā)現(xiàn)引入充電作為一種補(bǔ)充能量的方法，可以抑制惡意程序的傳播，降低總體成本；文獻(xiàn)[12]建立了一個(gè)三食餌和一捕食者的數(shù)學(xué)模型，研究WNSN中惡意目標(biāo)的攻擊行為及其影響；文獻(xiàn)[13]根據(jù)傳染病學(xué)理論建立了改進(jìn)的病毒傳播模型，考慮移動(dòng)和停留兩個(gè)狀態(tài)對(duì)移動(dòng)無(wú)線傳感器病毒傳播的影響；文獻(xiàn)[14]考慮了種群動(dòng)態(tài)、疫苗接種和再感染過(guò)程，提出了一種新的SICRS模型模擬惡意軟件在無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)傳播；文獻(xiàn)[15]將隔離和節(jié)點(diǎn)免疫結(jié)合起來(lái)，提出了一種SEIQRV模型來(lái)控制病毒在無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)中的傳播，并通過(guò)大量仿真結(jié)果驗(yàn)證了該模型在減少感染節(jié)點(diǎn)數(shù)量和降低惡意軟件傳播率方面的有效性。然而，在上述無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)的病毒傳播研究中，都沒(méi)有考慮網(wǎng)絡(luò)病毒發(fā)生變異對(duì)病毒傳播動(dòng)力學(xué)行為的影響。眾所周知，網(wǎng)絡(luò)病毒一旦發(fā)生突變，傳統(tǒng)的異常節(jié)點(diǎn)檢測(cè)和清除機(jī)制將不能夠完成病毒的檢測(cè)以及查殺工作，還會(huì)造成大量的節(jié)點(diǎn)在通信過(guò)程中感染病毒。為了更好地研究無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)病毒的傳播規(guī)律，本文提出了一類SEIQRV-Type模型，通過(guò)對(duì)其進(jìn)行深入分析，發(fā)現(xiàn)通過(guò)動(dòng)態(tài)調(diào)控參數(shù)可以控制病毒的傳播，這對(duì)無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)病毒的預(yù)防和控制具有一定的指導(dǎo)意義。

2 SEIQRV-Type模型

為了更好研究無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)病毒的動(dòng)力學(xué)行為，在Ojha等[15]的研究基礎(chǔ)上提出了一種新的SEIQRV-Type傳播模型，并進(jìn)行了如下改進(jìn)：①考慮病毒變異對(duì)病毒傳播的影響；②恢復(fù)狀態(tài)節(jié)點(diǎn)由于病毒不斷更新?lián)Q代又重新轉(zhuǎn)化易感狀態(tài)節(jié)點(diǎn)；③由于系統(tǒng)的反病毒措施，免疫節(jié)點(diǎn)具有病毒免疫力。根據(jù)倉(cāng)室理論[16]，將所有傳感器節(jié)點(diǎn)分為了S(t)、E(t)、I1(t)、I2(t)、Q(t)、R(t)、V(t) 7種狀態(tài)。其中，易感狀態(tài)節(jié)點(diǎn)S不具有免疫能力且易受病毒感染；潛伏狀態(tài)節(jié)點(diǎn)E感染了病毒但不具備病毒傳染性；感染節(jié)點(diǎn)I1感染變異病毒，節(jié)點(diǎn)具有較強(qiáng)的病毒傳染力；感染節(jié)點(diǎn)I2感染未發(fā)生病毒變異的病毒，節(jié)點(diǎn)具有較小的病毒傳染性；隔離節(jié)點(diǎn)Q與其它狀態(tài)節(jié)點(diǎn)嚴(yán)格隔離，不與其它狀態(tài)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行通信而處于隔離狀態(tài)；恢復(fù)節(jié)點(diǎn)R從感染中恢復(fù)或移除感染的狀態(tài)節(jié)點(diǎn)；免疫節(jié)點(diǎn)V由于無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)安裝了免疫機(jī)制具有病毒免疫力；r為單個(gè)節(jié)點(diǎn)的通信半徑，L×L為節(jié)點(diǎn)分布區(qū)域。假設(shè)新加入的節(jié)點(diǎn)都是健康的易感狀態(tài)節(jié)點(diǎn)，并且各狀態(tài)間的參數(shù)轉(zhuǎn)移都是正數(shù)。圖1為病毒在無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)中傳播的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖，表1為SEIQRV-Type模型的相關(guān)參數(shù)說(shuō)明。

表1 參數(shù)說(shuō)明

圖1 SEIQRV-Type模型狀態(tài)轉(zhuǎn)移

模型描述如系統(tǒng)(1)所示

(1)

節(jié)點(diǎn)狀態(tài)轉(zhuǎn)移遵循的規(guī)則如下：

(1)易感節(jié)點(diǎn)S由于安裝了補(bǔ)丁程序以參數(shù)ρ轉(zhuǎn)化為具有病毒免疫力的免疫節(jié)點(diǎn)V，部分健康節(jié)點(diǎn)由于沒(méi)有病毒免疫力以標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率(β1SI1+β2SI2)/N轉(zhuǎn)化為處于待激活狀態(tài)的潛伏節(jié)點(diǎn)E。

(2)潛伏節(jié)點(diǎn)E由于病毒的傳染性特性，以參數(shù)α1感染變異病毒并轉(zhuǎn)化為感染節(jié)點(diǎn)I1，以參數(shù)α2感染未發(fā)生病毒變異的病毒并轉(zhuǎn)化為感染節(jié)點(diǎn)I2。

(3)感染節(jié)點(diǎn)I1由于感染變異病毒，以參數(shù)ε1轉(zhuǎn)化為隔離狀態(tài)節(jié)點(diǎn)Q。

(4)感染節(jié)點(diǎn)I2由于檢測(cè)到未發(fā)生病毒變異的病毒已入侵節(jié)點(diǎn)，便不再與其它節(jié)點(diǎn)進(jìn)行通信，以參數(shù)ε2轉(zhuǎn)化為隔離狀態(tài)節(jié)點(diǎn)Q，同時(shí)，感染節(jié)點(diǎn)I2由于病毒清除機(jī)制以參數(shù)γ轉(zhuǎn)化為具有病毒免疫力的免疫節(jié)點(diǎn)V。

(5)隔離節(jié)點(diǎn)Q由于病毒被移除或恢復(fù)，節(jié)點(diǎn)以參數(shù)η轉(zhuǎn)化為恢復(fù)狀態(tài)節(jié)點(diǎn)R。

(6)恢復(fù)節(jié)點(diǎn)R由于病毒不斷更新?lián)Q代，以參數(shù)φ重新轉(zhuǎn)化為易感狀態(tài)節(jié)點(diǎn)S。

(7)免疫節(jié)點(diǎn)V由于節(jié)點(diǎn)安裝免疫機(jī)制而具有一定的病毒免疫力。

為了方便起見(jiàn)，令ω1=πr2β1/L2，ω2=πr2β2/L2，則系統(tǒng)(1)變?yōu)?/p>

(2)

隨著時(shí)間的推移，傳感器節(jié)點(diǎn)總數(shù)N(t) 滿足：N(t)=S(t)+E(t)+I1(t)+I2(t)+Q(t)+R(t)+V(t)。

假設(shè)系統(tǒng)(1)需要滿足的初始條件為：

D={(S，E，I1，I2，Q，R，V)|S≥0，E≥0，I1≥0，I2≥0，Q≥0，R≥0，V≥0}。

令：

Ω={(S，E，I1，I2，Q，R，V)|0

根據(jù)系統(tǒng)(2)可得到相應(yīng)新感染矩陣F和轉(zhuǎn)移矩陣V如下：

3 穩(wěn)定性分析

定理1 當(dāng)R0<1時(shí)，系統(tǒng)(2)的無(wú)病平衡點(diǎn)P0是局部漸近穩(wěn)定的。

(3)

則系統(tǒng)(3)在無(wú)病平衡點(diǎn)P0的Jocabian矩陣為

(4)

則矩陣(4)的特征方程為

(λ-a11)(λ-a22)(λ-a33)(λ-a44)(λ-a55)(λ-a66)·

(λ-a77)=0

(5)

計(jì)算可知方程(5)有特征根：λ1=a11<0，λ2=a22<0，λ3=a33<0，λ4=a44<0，λ5=a55<0，λ6=a66<0，λ7=a77<0，方程(5)所有特征根的實(shí)部均為負(fù)，即當(dāng)R0<1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)P0局部漸近穩(wěn)定。

定理2 當(dāng)R0>1時(shí)，若下列假設(shè)條件(H)成立，則系統(tǒng)(2)的正平衡點(diǎn)P*是局部漸近穩(wěn)定的

(6)

則系統(tǒng)(6)在正平衡點(diǎn)P*的Jocabian矩陣為

(7)

則矩陣(7)的特征方程為

λ7+B6λ6+B5λ5+B4λ4+B3λ3+B2λ2+B1λ+B0=0

(8)

其中，B0=-d6，B1={[(m1a44+d2)a55+d3]a66+d4}a77+d5，B2=-{[(m2a55+m1a44+d2)a66+(m1a44+d2)a55+d3]a77+[(m1a44+d2)a55+d3]a66+d4}，B3=(m3a66+m2a55+m1a44+d2)a77+(m2a55+m1a44+d2)a66+(m1a44+d2)a55+d3，B4=-(m4a77+m3a66+m2a55+m1a44+d2)，B5=m5，B6=-m6，m1=c1a33+d1，m2=c2a44+c1a33+d1，m3=c3a55+c2a44+c1a33+d1，m4=c4a66+c3a55+c2a44+c1a33+d1，m5=c5a77+c4a66+c3a55+c2a44+c1a33+d1，m6=c6，c1=b11+b22，c2=b11+b22+a33，c3=b11+b22+a33+a44，c4=b11+b22+a33+a44+a55，c5=b11+b22+a33+a44+a55+a66，c6=b11+b22+a33+a44+a55+a66+a77，d1=b11b22，d2=b11b22a33，d3=b11b22a33a44，d4=b11b22a33a44a55，d5=b11b22a33a44a55a66，d6=b11b22a33a44a55a66a77。

由Routh-Hurwitz判據(jù)[18]可知，若方程(8)的多項(xiàng)式系數(shù)主行列式及順序主子式全部為正，則系統(tǒng)(2)是穩(wěn)定的。顯然，B0>0，B1>0，B2>0，B3>0，B4>0，B5>0，B6>0。根據(jù)Routh-Hurwitz穩(wěn)定性判據(jù)計(jì)算可得

(9)

由此可知，當(dāng)R0>1時(shí)，如果假設(shè)條件(H)成立，正平衡點(diǎn)P*是局部漸近穩(wěn)定的。

4 數(shù)值仿真

在本小節(jié)中，假設(shè)傳感器節(jié)點(diǎn)總數(shù)N=1500，通過(guò)對(duì)SEIQRV-Type模型進(jìn)行數(shù)值仿真，驗(yàn)證了定理1和定理2的正確性。同時(shí)，將SEIQRV-Type模型與SEIQRV模型[15]進(jìn)行比較，以驗(yàn)證SEIQRV-Type模型的有效性，并基于基本再生數(shù)R0，分析各參數(shù)對(duì)病毒在無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)中傳播的影響，進(jìn)而為無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)病毒的遏制提供防控策略。

4.1 病毒在網(wǎng)絡(luò)中的傳播動(dòng)力學(xué)行為

4.1.1 無(wú)病平衡點(diǎn)P0的局部穩(wěn)定性

假設(shè)處于各狀態(tài)的節(jié)點(diǎn)初始值隨機(jī)分布，圖2描繪了病毒感染傳感器節(jié)點(diǎn)的7種不同狀態(tài)節(jié)點(diǎn)(易感節(jié)點(diǎn)S(t)、潛伏節(jié)點(diǎn)E(t)、感染節(jié)點(diǎn)I1(t) 和I2(t)、隔離節(jié)點(diǎn)Q(t)、恢復(fù)節(jié)點(diǎn)R(t)、免疫節(jié)點(diǎn)V(t)) 的變化趨勢(shì)。選取參數(shù)：r=1.0，L=1.8，β1=0.8044，β2=0.6704，α1=0.52，α2=0.15，ρ=0.32，γ=0.12，φ=0.06，μ=0.18，ε1=0.08，ε2=0.35，η=0.15。通過(guò)計(jì)算可得R0=0.7242<1，系統(tǒng)(2)存在無(wú)病平衡點(diǎn)P0(540，0，0，0，0，0，960)，無(wú)病平衡點(diǎn)P0局部漸近穩(wěn)定。由圖2可知，隨著時(shí)間的推移，易感節(jié)點(diǎn)S(t) 和免疫節(jié)點(diǎn)V(t) 最終都會(huì)趨于穩(wěn)定，而潛伏狀態(tài)節(jié)點(diǎn)E(t)、感染節(jié)點(diǎn)I1(t) 和I2(t)、隔離節(jié)點(diǎn)Q(t) 以及恢復(fù)節(jié)點(diǎn)R(t) 由于采取了相關(guān)的反病毒措施，病毒逐漸減少，最后都會(huì)趨于0，仿真結(jié)果與定理1一致，當(dāng)R0<1時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定在無(wú)病平衡點(diǎn)P0處，病毒最后被消滅。

圖2 當(dāng)R0<1時(shí)，SEIQRV-Type模型節(jié)點(diǎn)動(dòng)態(tài)

為了更好地驗(yàn)證模型(2)的有效性，保持文獻(xiàn)[15]模型中節(jié)點(diǎn)狀態(tài)轉(zhuǎn)移間的參數(shù)值與本文所提出的SEIQRV-Type模型參數(shù)值一致，并令SEIQRV模型[15]的參數(shù)α=0.50，β=5.363×10-4，ε=0.48，d=0.0001，δ=0.08，θ=0.12，其仿真效果圖如圖3所示。其中，圖3(a)中SEIQRV模型[15]的各狀態(tài)節(jié)點(diǎn)初始值為：S(0)=1110，E(0)=225，I(0)=165，Q(0)=0，R(0)=0，V(0)=0；圖3(b)中SEIQRV-Type模型的各狀態(tài)節(jié)點(diǎn)初始值為：S(0)=1110，E(0)=225，I1(0)=100，I2(0)=65，Q(0)=0，R(0)=0，V(0)=0。實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果表明，SEIQRV-Type模型相比較于SEIQRV模型[15]，大大降低了感染節(jié)點(diǎn)的感染密度，從而驗(yàn)證了SEIQRV-Type模型的有效性。

圖3 各模型的狀態(tài)節(jié)點(diǎn)數(shù)

4.1.2 正平衡點(diǎn)P*的局部穩(wěn)定性

圖4繪制了系統(tǒng)(2)各狀態(tài)節(jié)點(diǎn)(易感節(jié)點(diǎn)S(t)、潛伏節(jié)點(diǎn)E(t)、感染節(jié)點(diǎn)I1(t) 和I2(t)、隔離節(jié)點(diǎn)Q(t)、恢復(fù)節(jié)點(diǎn)R(t)、免疫節(jié)點(diǎn)V(t)) 的相平面圖。各狀態(tài)節(jié)點(diǎn)的初始值為：S(0)=1110，E(0)=225，I1(0)=100，I2(0)=65，Q(0)=0，R(0)=0，V(0)=0，并選取參數(shù)：r=1.0，L=1.8，β1=0.8044，β2=0.6704，α1=0.42，α2=0.36，ρ=0.06，γ=0.12，φ=0.06，μ=0.18，ε1=0.08，ε2=0.35，η=0.15。通過(guò)計(jì)算可得R0=1.2656>1，系統(tǒng)(2)存在唯一的正平衡點(diǎn)P*(888.9054，61.3706，99.1372，33.9899，60.0831，37.5520，318.9618)，正平衡點(diǎn)P*局部漸近穩(wěn)定。由圖4可知，隨著時(shí)間的推移，各狀態(tài)節(jié)點(diǎn)趨于穩(wěn)定。仿真結(jié)果與定理2一致，當(dāng)R0>1時(shí)，系統(tǒng)(2)是局部漸近穩(wěn)定的，模型的運(yùn)動(dòng)軌跡趨向正平衡點(diǎn)P*處，此時(shí)病毒不能完全被消滅。

圖4 當(dāng)R0>1時(shí)，SEIQRV-Type模型節(jié)點(diǎn)動(dòng)態(tài)

4.2 節(jié)點(diǎn)間轉(zhuǎn)移系數(shù)對(duì)病毒傳播的影響

4.2.1 節(jié)點(diǎn)感染率β1、β2對(duì)病毒傳播的影響

在先前關(guān)于無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)病毒傳播的動(dòng)力學(xué)研究中發(fā)現(xiàn)，改變節(jié)點(diǎn)感染率β1、β2會(huì)影響病毒的動(dòng)態(tài)行為。為了驗(yàn)證節(jié)點(diǎn)感染率β1、β2對(duì)病毒傳播的影響，運(yùn)用控制變量的思想，保持4.1.2節(jié)中給定的參數(shù)值不變，只改變單一變量β1、β2觀察病毒的傳播動(dòng)力學(xué)行為，仿真結(jié)果如圖5所示。由圖5(a)、圖5(b)可以看出，隨著β1、β2值的不斷增大，基本再生數(shù)也隨之不斷增大。為了能更好地進(jìn)行數(shù)據(jù)對(duì)比實(shí)驗(yàn)，β1的取值范圍為[0.18，0.93]，步長(zhǎng)為0.25，β2的取值范圍為[0.27，0.87]，步長(zhǎng)為0.20，通過(guò)計(jì)算得到相應(yīng)的R0見(jiàn)表2。結(jié)合圖5(c)、圖5(d)中感染節(jié)點(diǎn)隨時(shí)間變化的節(jié)點(diǎn)數(shù)量圖可知，當(dāng)β1=0.18，β2=0.27或β1=0.43，β2=0.47時(shí)，由于采取了相應(yīng)的反病毒措施，病毒得到很好的控制，無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)中不存在受感染的節(jié)點(diǎn)，感染節(jié)點(diǎn)最終趨于0；當(dāng)β1=0.68，β2=0.67或β1=0.93，β2=0.87時(shí)，由于節(jié)點(diǎn)感染率的快速增加，病毒持續(xù)在無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)中傳播，感染節(jié)點(diǎn)密度最終趨于恒定值?？梢钥闯觯S著節(jié)點(diǎn)感染率β1、β2的增大，感染節(jié)點(diǎn)I1、I2的峰值也在不斷增大。

表2 不同節(jié)點(diǎn)感染率β1、β2對(duì)應(yīng)的R0值

圖5 不同節(jié)點(diǎn)傳染率下的網(wǎng)絡(luò)病毒傳播動(dòng)力學(xué)行為

4.2.2E-I狀態(tài)節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)移系數(shù)α1、α2對(duì)病毒傳播的影響

為了驗(yàn)證E-I狀態(tài)轉(zhuǎn)移系數(shù)α1、α2對(duì)病毒傳播的影響，保持4.1.2節(jié)中給定的參數(shù)值不變，只改變單一變量α1、α2觀察病毒的傳播動(dòng)力學(xué)行為，仿真結(jié)果如圖6所示。由圖6(a)、圖6(b)可以看出，隨著α1值的不斷增大，基本再生數(shù)也隨之不斷增大，而隨著α2值的不斷增大，基本再生數(shù)卻不斷減小。為了能更好地進(jìn)行數(shù)據(jù)對(duì)比實(shí)驗(yàn)，α1的取值范圍為[0.01，0.34]，步長(zhǎng)為0.11，α2的取值范圍為[0.15，0.84]，步長(zhǎng)為0.23，相應(yīng)取值計(jì)算所得R0見(jiàn)表3。結(jié)合圖6(c)、圖6(d)中感染節(jié)點(diǎn)隨時(shí)間變化的節(jié)點(diǎn)數(shù)量圖可知，當(dāng)α1=0.34，α2=0.15或α1=0.23，α2=0.38時(shí)，病毒持續(xù)在無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)中傳播，網(wǎng)絡(luò)中持續(xù)存在感染節(jié)點(diǎn)，并最終趨于穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)α1=0.12，α2=0.61或α1=0.01，α2=0.84時(shí)，病毒在無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)中全部被消滅，感染節(jié)點(diǎn)最終趨于0。可以看出，隨著E-I狀態(tài)轉(zhuǎn)移系數(shù)α1的減小以及系數(shù)α2的增大，感染節(jié)點(diǎn)I1的峰值隨之減小，感染節(jié)點(diǎn)I2的峰值不斷增大。

表3 不同E-I狀態(tài)節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)移系數(shù)α1、α2對(duì)應(yīng)的R0值

圖6 不同E-I狀態(tài)轉(zhuǎn)移系數(shù)下的網(wǎng)絡(luò)病毒傳播動(dòng)力學(xué)行為

4.2.3 節(jié)點(diǎn)隔離率ε1、ε2對(duì)病毒傳播的影響

為了研究節(jié)點(diǎn)隔離率ε1、ε2對(duì)病毒傳播的影響，保持4.1.2節(jié)中給定的參數(shù)值不變，只改變單一變量ε1、ε2觀察病毒的傳播動(dòng)力學(xué)行為，仿真結(jié)果如圖7所示。由圖7(a)、圖7(b)可以看出，隨著ε1、ε2值的不斷增大，基本再生數(shù)隨之不斷減小。為了能更好地進(jìn)行數(shù)據(jù)對(duì)比實(shí)驗(yàn)，ε1的取值范圍為[0.01，0.49]，步長(zhǎng)為0.16，ε2的取值范圍為[0.03，0.78]，步長(zhǎng)為0.25，相應(yīng)取值計(jì)算所得R0見(jiàn)表4。結(jié)合圖7(c)、圖7(d)中感染節(jié)點(diǎn)隨時(shí)間變化的節(jié)點(diǎn)數(shù)量圖可知，當(dāng)ε1=0.01，ε2=0.03或ε1=0.17，ε2=0.28時(shí)，由于沒(méi)有及時(shí)杜絕感染節(jié)點(diǎn)與其它狀態(tài)節(jié)點(diǎn)通信，網(wǎng)絡(luò)中持續(xù)存在病毒傳播，感染節(jié)點(diǎn)最終趨于恒定值；當(dāng)ε1=0.33，ε2=0.53或ε1=0.49，ε2=0.78時(shí)，由于感染節(jié)點(diǎn)被隔離，不與其它節(jié)點(diǎn)進(jìn)行通信，病毒可以得到很好的控制，網(wǎng)絡(luò)中不存在受感染的節(jié)點(diǎn)?？梢钥闯?，隨著節(jié)點(diǎn)隔離率ε1、ε2的增大，感染節(jié)點(diǎn)I1、I2的峰值隨之不斷減小。

表4 不同節(jié)點(diǎn)隔離率ε1、ε2對(duì)應(yīng)的R0值

圖7 不同隔離系數(shù)下的網(wǎng)絡(luò)病毒傳播動(dòng)力學(xué)行為

4.2.4 節(jié)點(diǎn)免疫率ρ、病毒查殺率γ對(duì)病毒傳播的影響

為了驗(yàn)證節(jié)點(diǎn)免疫率ρ以及病毒查殺率γ對(duì)病毒傳播的影響，保持4.1.2節(jié)中給定的參數(shù)值不變，只改變單一變量ρ、γ觀察病毒的傳播動(dòng)力學(xué)行為，仿真結(jié)果如圖8所示。由圖8(a)、圖8(b)可以看出，隨著ρ、γ值的不斷增大，基本再生數(shù)隨之不斷減小。為了能更好地進(jìn)行數(shù)據(jù)對(duì)比實(shí)驗(yàn)，ρ的取值范圍為[0.01，0.28]，步長(zhǎng)為0.09，γ的取值范圍為[0.08，0.62]，步長(zhǎng)為0.18，相應(yīng)取值計(jì)算所得R0見(jiàn)表5。結(jié)合圖8(c)、圖8(d)中感染節(jié)點(diǎn)隨時(shí)間變化的節(jié)點(diǎn)數(shù)量圖可知，當(dāng)ρ=0.01，γ=0.08或ρ=0.10，γ=0.26時(shí)，由于未及時(shí)對(duì)病毒采取防御措施，病毒持續(xù)在網(wǎng)絡(luò)中傳播，感染節(jié)點(diǎn)最終趨于穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)ρ=0.19，γ=0.44或ρ=0.28，γ=0.62時(shí)，由于安裝反病毒軟件并對(duì)病毒進(jìn)行清除，病毒得到很好的控制，病毒完全被消滅，感染節(jié)點(diǎn)最終趨于0，可以看出，隨著節(jié)點(diǎn)免疫率ρ以及病毒查殺率γ的增大，感染節(jié)點(diǎn)I1、I2的峰值隨之不斷減小。

表5 不同節(jié)點(diǎn)免疫率ρ、病毒查殺率γ對(duì)應(yīng)的R0值

圖8 不同防控策略下的網(wǎng)絡(luò)病毒傳播動(dòng)力學(xué)行為

4.2.5 通信半徑r和節(jié)點(diǎn)上(下)線率μ對(duì)病毒傳播的影響

為了驗(yàn)證通信半徑r和上(下)線率μ對(duì)病毒傳播的影響，保持4.1.2節(jié)中給定的參數(shù)值不變，只改變單一變量r、μ觀察病毒的傳播動(dòng)力學(xué)行為，仿真結(jié)果如圖9所示。由圖9(a)、圖9(b)可以看出，隨著r值的不斷增大，基本再生數(shù)隨之不斷增大；當(dāng)μ的取值范圍為[0，0.07]時(shí)，基本再生數(shù)R0隨著μ值的增大而增大，當(dāng)μ的取值范圍為[0.07，1]時(shí)，基本再生數(shù)R0隨著μ值的增大而減小。為了能更好地進(jìn)行數(shù)據(jù)對(duì)比實(shí)驗(yàn)，r的取值范圍為[0.90，1.50]，步長(zhǎng)為0.20，μ的取值范圍為[0.18，0.48]，步長(zhǎng)為0.10，相應(yīng)取值計(jì)算所得R0見(jiàn)表6。結(jié)合圖9(c)、圖9(d)中感染節(jié)點(diǎn)隨時(shí)間變化的節(jié)點(diǎn)數(shù)量圖可知，當(dāng)r=0.90，μ=0.48或r=1.10，μ=0.38時(shí)，由于通信半徑較小、節(jié)點(diǎn)上(下)線率較高，病毒可以得到很好的控制，網(wǎng)絡(luò)中不存在受感染的節(jié)點(diǎn)；當(dāng)r=1.30，μ=0.28或r=1.50，μ=0.18時(shí)，由于節(jié)點(diǎn)通信半徑占比(節(jié)點(diǎn)通信面積/節(jié)點(diǎn)分布區(qū)域)較高、節(jié)點(diǎn)的上(下)線率較低，病毒持續(xù)在網(wǎng)絡(luò)中傳播，網(wǎng)絡(luò)中持續(xù)存在感染節(jié)點(diǎn)。可以看出，在一定的取值范圍內(nèi)，隨著通信半徑r的增大以及節(jié)點(diǎn)上(下)線率μ的減小，感染節(jié)點(diǎn)I1、I2的峰值隨之不斷增大。

表6 不同通信半徑r和節(jié)點(diǎn)上(下)線率μ對(duì)應(yīng)的R0值

圖9 不同通信半徑、上(下)線率下的網(wǎng)絡(luò)病毒傳播動(dòng)力學(xué)行為

5 結(jié)束語(yǔ)

基于病毒變異對(duì)無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)病毒傳播的影響，提出了一種SEIQRV-Type病毒傳播模型。通過(guò)對(duì)模型進(jìn)行深入分析，驗(yàn)證了無(wú)病平衡點(diǎn)P0的局部穩(wěn)定性；利用Routh-Hurwitz判據(jù)得到了正平衡點(diǎn)P*局部穩(wěn)定的充分條件；最后通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了SEIQRV-Type模型的可行性，并且發(fā)現(xiàn)動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)節(jié)點(diǎn)感染率、E-I狀態(tài)節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)移率、感染節(jié)點(diǎn)隔離率、節(jié)點(diǎn)免疫率、病毒查殺率、通信半徑和節(jié)點(diǎn)上(下)線率等參數(shù)可以有效遏制病毒在無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)中的傳播，這為后續(xù)研究無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)病毒的傳播機(jī)制及防控策略提供了一定的理論參考。