范永青,張占磊

(西安郵電大學 自動化學院,陜西 西安 710121)

機械臂是一種通過程序移動并操控機械手進行抓/放操作的裝置。隨著計算機的發(fā)展,機械臂被應用在生態(tài)系統(tǒng)監(jiān)測[1]、航空航天[2]和醫(yī)學工程[3]等工程領域。機械臂作為機器人系統(tǒng)中的重要組成部分,可以執(zhí)行工業(yè)裝配、安全防爆和醫(yī)療協(xié)助等工作。目前,對機械臂的研究主要集中在作用任務物體時實現(xiàn)精準的控制。文獻[4]通過采用人機接口,提出了一種精確搬運物體的控制方法。文獻[5-6]指出在不受外界因素影響的條件下,雖然精確校準過的機械臂也能夠確保控制過程中系統(tǒng)的穩(wěn)定性,但當外部環(huán)境和設備磨損、電流波動及信號延遲等內部參數(shù)變化時,系統(tǒng)的控制性能通常是不穩(wěn)定的,這使得校準過的系統(tǒng)運動適應性較差。同時,機械臂系統(tǒng)的工作場景往往是高度非線性的,如在工程應用中,當機械臂抓取多個不同尺寸的物體時,機械臂的動力學參數(shù)會發(fā)生較大的變化,因此這類系統(tǒng)被稱為動力學方程未知的機械臂系統(tǒng)。為了使機械臂廣泛應用于非線性的工作場景,研究動力學方程未知的機械臂系統(tǒng)成為實現(xiàn)精準控制的一個重要內容。

在動力學方程未知的機械臂系統(tǒng)中,為解決非線性問題,常用的方法有模糊邏輯系統(tǒng)(Fuzzy Logic System,FLS)和徑向基函數(shù),其中FLS中的推理機制能夠將某些知識轉化成人類能力,如學習、適應、容錯和并行[7-8]。根據(jù)這一特性促使許多研究者提出了用于處理不確定性的有效自適應控制器[9-10]。但是,FLS的萬能逼近原理[11]只適用于一些特定的域內,如果系統(tǒng)狀態(tài)超出該域,自適應控制的能力將會減弱,只能保證系統(tǒng)狀態(tài)半全局一致最終有界(Semi-Globally Uniformly Ultimately Bounded,SGUUB)。對于局限于特定域內的機械臂而言,設計不受定義域所約束的通用控制器更能符合實際工業(yè)中的需要。例如,當未知函數(shù)的狀態(tài)擴展到FLS域外時, Hwang[12]設計了一種模糊自適應方法實現(xiàn)全局漸近跟蹤穩(wěn)定,但該方法通過FLS逼近未知非線性項時需要大量的模糊規(guī)則。為了減少模糊規(guī)則產生龐大的在線計算量,文獻[13]提出了一種具有少量規(guī)則的全局自適應模糊一致性控制器,這種控制方法能保證系統(tǒng)中的所有信號一致最終有界(Uniformly Ultimately Bounded,UUB),并可以減輕具有不確定性的一階和二階多智能體系統(tǒng)的計算負擔。在文獻[12-14]中,指出全局自適應控制方法通常適用于某些類型的結構系統(tǒng),如移動機械臂和單輸入單輸出非線性系統(tǒng),在針對較復雜的被控系統(tǒng)時,設計一種不僅具有少量模糊規(guī)則,還能有較高逼近精度的全局模糊自適應控制器更具廣泛性。

機械臂的研究可分為關于單機械臂與多機械臂的研究,在處理分揀、搬運小型物體等過程中,單機械臂的系統(tǒng)就能夠實現(xiàn),還可以降低硬件成本。但是,在處理需要協(xié)調操作及搬運大型物體的任務時,達不到多機械臂系統(tǒng)的控制效果,因此多機械臂的協(xié)調控制研究受到廣泛關注[15-16]。文獻[17]提出了一種半分散模糊自適應控制方法,用于多機械臂在運動和內力跟蹤下的協(xié)作問題。Yang等[18]使用近似雅可比矩陣估計雙臂機器人的模糊控制,其中一些模糊邏輯系統(tǒng)補償了非線性項的不確定性。對于多機械臂抓取一個共同物體的跟蹤問題,設計了一種基于阻抗法的新型分散自適應模糊控制系統(tǒng)[19]。Li等[20]對于多機械臂協(xié)作搬運具有阻抗作用的物體時,提出了一種基于合并干擾觀測器的分散自適應模糊控制。近年來,對多機械臂攜帶物體運動問題的研究發(fā)現(xiàn),物體的位置往往會受到空間因素的約束,超出這些約束會導致系統(tǒng)的性能下降,甚至可能導致系統(tǒng)損壞?？紤]到被控對象的安全性能,需要對系統(tǒng)的輸出進行約束,選擇合適的積分障礙李雅普諾夫函數(shù)(Integral Barrier Lyapunov Function,IBLF)既能避免違反輸出限制,又能使系統(tǒng)不遭到破壞。文獻[21]提出了一種具有約束的多機械臂基于模糊神經網(wǎng)絡的控制方法,通過 IBLF的穩(wěn)定條件設計相應的自適應律,保證了系統(tǒng)跟蹤誤差一致最終有界。在文獻[22]中,針對具有輸出約束的多機械臂系統(tǒng),提出了一種自適應神經網(wǎng)絡的方法,通過IBLF解決環(huán)境限制所產生的約束。因此,在設計具有輸出約束的機械臂控制方法時,采用IBLF的穩(wěn)定性條件能夠很好地改善約束問題。但是,這些研究所設計的自適應律數(shù)量多,為了減少自適應律的數(shù)量,則需要考慮在多機械臂系統(tǒng)研究中加入一個非零時變參數(shù)。

針對具有輸出約束的多機械臂協(xié)調搬運同一物體時軌跡跟蹤問題,擬設計一種基于IBLF的模糊自適應控制器。該控制器采用具有非零參數(shù)的FLS萬能逼近原理估計系統(tǒng)中的非線性項,并通過IBLF的穩(wěn)定性條件構造能夠在線更新的自適應律。當系統(tǒng)狀態(tài)超出FLS逼近域時,利用滑模控制將域外的狀態(tài)量拉回到域內,保證閉環(huán)系統(tǒng)中的所有信號一致最終有界。為了驗證模糊自適應控制器的有效性,在常數(shù)約束條件下,將其與自適應控制器和模糊比例微分(Proportional Derivative,PD)控制器進行位置跟蹤軌跡對比。

1 系統(tǒng)描述

1.1 機械臂介紹

系統(tǒng)動力學方程需要聯(lián)立機械臂動力學方程與物體動力學方程,其中第i個n自由度機械臂的動力學方程[23]為

(1)

式中:ri=[ri1,ri2,…,rin]T∈n表示關節(jié)位置;n是關節(jié)速度;n定義為關節(jié)加速度;Ni(ri)∈n×n表示對稱正定慣性矩陣;n×n表示科里奧利離心扭矩矩陣;Hi(ri)∈n是關節(jié)重力向量;ζi∈n表示控制輸入轉矩矢量;Γi(ri)∈n×n表示雅可比矩陣;Pi∈n是作用在第i個機械臂末端執(zhí)行器上的力矢量。

根據(jù)式(1),m個機械臂的動力學方程為

(2)

其中,

Γ(r)=blockdiag[Γ1(r1),Γ2(r2),…,Γm(rm)]∈(mn)×(mn)N(r)=blockdiag[N1(r1),N2(r2),…,Nm(rm)]∈(mn)×(mn)

為了將機械臂系統(tǒng)與物體系統(tǒng)聯(lián)立,需引入物體動力學,其中被搬運的物體動力學[23]方程為

(3)

式中:xo∈n是物體的位置向量;和分別表示物體的速度與加速度;ξ∈n表示m個機械臂的組合力矢量;E∈n是來自未知環(huán)境的力矢量,作用于物體的中心;D(xo)∈n×n表示對稱正定慣性矩陣;n×n表示科里奧利離心矩陣;W(xo)∈n是重力矢量。

ξ和P之間的關系[23]為

ξ=JT(xo)P

(4)

其中,

式中:Ji(xo)是第i個機械臂末端執(zhí)行器和物體之間的雅可比矩陣;P可以分解為兩個正交分量,其表達式為

P=(JT(xo))+ξ+fI

(5)

式中:(JT(xo))+表示JT(xo)的偽逆矩陣,(JT(xo))+ξ是有助于物體運動的動力矢量;fI指內力矢量,其內力誤差是有界的[23],fI在JT(xo)的零空間中滿足

JT(xo)fI=0

(6)

考慮被控物體和末端執(zhí)行器間可能會存在相對運動的情況,但在多機械臂搬運物體過程中暫不考慮柔性的情況,因此得出以下假設。

假設1物體和末端執(zhí)行器之間不存在相對運動,意味著末端執(zhí)行器在其工作場中剛性地接觸物體。

考慮到xi和ri之間的函數(shù)關系,其中xi表示第i個機械臂末端執(zhí)行器的位置,可得到第i個機械臂關節(jié)速度與末端執(zhí)行器速度之間的關系

(7)

類似地,第i個機械臂末端執(zhí)行器的速度和物體速度的表達式為

(8)

由式(7)和式(8)可以進一步得到機械臂速度與物體速度之間的關系,表達式為

(9)

為了確保多機械臂工作在非奇異區(qū)域,需要假設Γi(ri)的逆矩陣存在,考慮到多個機械臂作用于一個物體,可以得到機械臂關節(jié)速度與加速度的表達式分別為

(10)

(11)

將式(10)和式(11)代入式(2),并與式(3)相結合,則機械臂與物體的總動力學方程表達式為

(12)

其中,

由于不考慮外界環(huán)境力的影響,即式(12)中的Fe=0,物體的位置xo=[xo1,xo2,…,xoi]T受常數(shù)向量kb=[kb1,kb2,…,kbi]T約束,其中kbi>0,則滿足|xoi|

根據(jù)式(12),當兩個機械臂協(xié)作搬運同一物體時,能夠按照給出的期望軌跡完成指定的動作,被控物體在笛卡爾空間中跟蹤期望軌跡的示意圖如圖1所示。

圖1 兩個機械臂作用于一個物體的示意圖

性質1式(12)中正定慣性矩陣M與C滿足[23]

(13)

性質2正定慣性矩陣M滿足

λmin(M)‖y‖2≤yTMy≤λmax(M)‖y‖2

(14)

時,條件一致有界[23]。

式中:λmin(M)和λmax(M)分別對應假定的兩個已知正常數(shù)的最小和最大特征值;‖*‖表示二范數(shù)。

1.2 FLS系統(tǒng)

在控制工程中,模糊邏輯系統(tǒng)通常用于逼近系統(tǒng)中的未知非線性函數(shù)。應用模糊邏輯系統(tǒng)f的萬能逼近原理估計未知的連續(xù)函數(shù)f：s→,Z(t)=[Z1,Z2,…,Zs]T∈s,其中FLS是由IF-THEN規(guī)則構造。如果Z1是是是則Y是El,其中:l=1,2,…,Q,Q表示模糊規(guī)則的條數(shù);Zi(1≤i≤s)是FLS的輸入;表示專家的語言變量。

在應用單值模糊化器、乘積推理和中心平均解模糊器后,FLS估計未知非線性函數(shù)的值可以表示為

(15)

(16)

為了提高逼近精度與逼近效率,設計了一種具有非零時變參數(shù)的FLS萬能逼近性質,由此得出引理1。

引理1在緊集U∈n中,對于任何給定具有李普希茲系數(shù)κi的連續(xù)未知函數(shù)Ψi(Z),存在一個FLSFi(Z)滿足表示近似誤差。然后在緊集中,β是由用戶提供的已知正常數(shù),則具有非零參數(shù)的萬能逼近不等式為

(17)

(18)

從引理1的結果可知,通過應用式(15)推導出式(16)的近似精度,表明FLS的輸出值可以通過未知非線性函數(shù)的非零時變參數(shù)ρ和李普希茲系數(shù)κi在線更新近似精度。

2 具有輸出約束的控制器

(19)

式中,x2=[x21,x22,…,x2n]T。

物體的期望軌跡表示為xd=[xd1,xd2,…,xdn]T,于是跟蹤誤差變量定義為

(20)

式中:z1=[z11,z12,…,z1n]T;z2=[z21,z22,…,z2n]T;c=[c1,c2,…,cn]T表示虛擬控制矢量,以確保跟蹤位置誤差z1可以收斂到一個以零為原點的鄰域內。

考慮到物體位置x1的約束,并為了確保系統(tǒng)的穩(wěn)定性,選擇IBLF,其表達式為

(21)

引理2在{|x1i|

(22)

對式(21)求導,可以得到

(23)

其中,

式中,ci為虛擬控制器,其表達式為

(24)

式中,pi表示正控制增益。

(25)

由于|xdi|

將式(24)代入式(23),得到

(26)

為確保系統(tǒng)穩(wěn)定性,構造新的IBLF,其表達式為

(27)

對式(27)求導,可以得到

(28)

(29)

將式(24)和式(29)代入式(28),并結合性質1和性質2,式(28)進一步可以表示為

(30)

其中,

根據(jù)引理1的萬能逼近性,Ψ中的未知連續(xù)函數(shù)向量可以用模糊邏輯系統(tǒng)近似,則Ψ可以表示為

(31)

其中,

κ=[κ1,κ2,…,κn]T

ε=[ε1,ε2,…,εn]T

Fo=O1×n

(32)

(33)

(34)

(35)

證明若滑模面選擇為

(36)

(37)

通過式(37)可以實現(xiàn)定理1,證畢。

當系統(tǒng)狀態(tài)到達滑模面s=0時,意味著‖Z‖≤β|ρ|滿足。在這種情況下,可以得到‖z2‖≤β|ρ|,于是將模糊自適應控制器和3個自適應律分別設計為

(38)

(39)

(40)

(41)

其中,

式中,參數(shù)γ,μ2,τi,η2i,λi和δ2i是由用戶給出的正常數(shù)。將式(31)和式(38)代入式(28),則可得

(42)

選擇如下IBLF,其表達式為

(43)

對V3微分,可得

(44)

考慮到不等式

(45)

(46)

將式(45)和式(46)代入式(44)中,得到

(47)

(48)

為確保跟蹤誤差收斂到一個以零為原點的零域內,則對式(48)積分,表達式為

(49)

由此可以得出定理2。

定理2如果同時滿足假設1和假設2,并在‖Z‖≤β|ρ|緊域上時,所設計的自適應律式(39)至式(41)和自適應控制器式(38),可以確保多機械臂攜帶同一物體時的跟蹤誤差收斂到一個以零為原點的鄰域內。同時,保證閉環(huán)系統(tǒng)中的所有信號一致最終有界。

為了總結控制設計技術,控制方案的穩(wěn)定性過程由定理3描述。

3 仿真結果及分析

多機械臂系統(tǒng)包括兩個機械臂、一個物體和兩個機械臂末端執(zhí)行器上的力傳感器。

物體的期望軌跡選擇為

式中,t為期望軌跡的時間。

物體動力學系統(tǒng)式(3)的參數(shù)為

式中:參數(shù)mo表示物體的重量;g表示重力加速度;mo=5 kg,g=9.8 m·s-2。

第i個機械臂的參數(shù)設置為

式中:Ni11=bi1+2bi2cos(ri2)+2bi3cos(ri3)+2bi4cos(ri2+ri3);Ni12=bi5+bi2cos(ri2)+2bi3cos(ri3)+bi4cos(ri2+ri3);Ni13=bi6+bi3cos(ri3)+bi4cos(ri2+ri3)Ni21=Ni12;Ni22=bi5+2bi3cos(ri3);Ni23=bi6+bi3cos(ri3);Ni31=Ni13;

bi7cos(ri1)+bi8cos(ri1+ri2)+bi9cos(ri1+ri2+ri3);Hi2=bi8cos(ri1+ri2)+bi9cos(ri1+ri2+ri3);Hi3=bi9cos(ri1+ri2+ri3)。定義Ii=[bi1bi2bi3bi4bi5bi6bi7bi8bi9]T表示第i個機械臂的物理參數(shù),參數(shù)設置為I1=I2=[4.81 1.29 0.05 0.05 1.30 0.12 3.62 1.29 0.05]T。

第i個機械臂末端執(zhí)行器和關節(jié)的雅可比矩陣Γi(ri)的參數(shù)選擇為

式中:Γi11(ri)=-li1sin(ri1)-li2sin(ri1+ri2)-li3sin(ri1+ri2+ri3);Γi12(ri)=-li2sin(ri1+ri2)-li3sin(ri1+ri2+ri3);Γi13(ri)=-li3sin(ri1+ri2+ri3);Γi21(ri)=li1cos(ri1)+li2cos(ri1+ri2)+li3cos(ri1+ri2+ri3);Γi22(ri)=li2cos(ri1+ri2)+li3cos(ri1+ri2+ri3);Γi23(ri)=li3cos(ri1+ri2+ri3);Γi31(ri)=Γi32(ri)=Γi33(ri)=1。參數(shù)li1、li2和li3分別表示第i個機械臂的連桿1、連桿2和連桿3的長度(i=1,2),其中l(wèi)11=l21=2 m,l12=l22=1.5 m,l13=l23=0.5 m。

第i個機械臂末端執(zhí)行器和被抓取物體的雅可比矩陣Ji(xo)選擇為

式中,lio是第i個機械臂末端執(zhí)行器到物體質量中心的長度,lio的實際值為l1o=l2o=0.5 m。

為補償未知非線性函數(shù)Ψi,選擇語言變量的域為

式中,r=1,2,…,18是第r個狀態(tài)變量,標記負大(Negative Big,NB)、負中(Negative Middle,NM)、負小(Negative Small,NS)、負零(Negative Zero,NZ)、正零(Positive Zero,PZ)、正小(Positive Small,PS)、正中(Positive Middle,PM)和正大(Positive Big,PB)表示語言變量。

圖2 位置跟蹤軌跡的3種方法

圖3 3種方法的跟蹤誤差

由圖2和圖3可以看出,模糊自適應控制的位置跟蹤速度最快,逼近誤差更小,并且位置跟蹤誤差可以收斂到以零為原點的鄰域內。在未違反輸出約束條件下物體沿著期望信號運動過程中,可以看出模糊自適應控制的跟蹤軌跡與跟蹤誤差效果優(yōu)于自適應控制與模糊PD控制。

為了說明模糊自適應控制中的自適應律較少,將模糊自適應控制中的自適應律與模糊PD控制中的自適應律進行比較,具體分別如圖4和圖5所示。

圖4 模糊PD控制中的自適應律

圖5 模糊自適應控制中的自適應律

由圖4和圖5中可以看出,模糊自適應控制相較于模糊PD控制而言,具有較少的自適應律,且能夠提高計算效率。

為了更清楚地體現(xiàn)出模糊自適應控制具有精準的跟蹤效果,對物體在笛卡爾空間中跟蹤期望軌跡進行分析,具體如圖6所示。由圖6可以看出,在笛卡爾空間中,物體在跟蹤理想軌跡xd運動時具有較好的跟蹤效果。

圖6 在笛卡爾空間中物體的運動軌跡

關于模糊自適應控制中的速度跟蹤響應及跟蹤誤差的情況具體如圖7和圖8所示。由圖7和圖8可以看出,模糊自適應控制具有穩(wěn)定的速度跟蹤性能,并且跟蹤誤差能夠收斂到以零為原點的鄰域內。在多機械臂攜帶物體運動的過程中,通過系統(tǒng)施加在物體上控制扭矩的大小確保模糊自適應控制器Fo的有效性,具體如圖9所示。由圖9可以看出,系統(tǒng)施加于物體的控制扭矩是平滑且有界的,并能夠在短時間內穩(wěn)定到一個相對較小的范圍中,因此所提的模糊自適應控制器Fo是有效的。

圖7 模糊自適應控制中的速度跟蹤響應

圖8 跟蹤誤差

圖9 系統(tǒng)施加于物體的控制扭矩

4 結語

針對具有未知動力學和輸出約束的多機械臂系統(tǒng),設計了一種基于逼近精度和李普希茲系數(shù)的自適應模糊邏輯系統(tǒng)控制器。首先,通過對FLS系統(tǒng)的萬能逼近原理引入了一個非零參數(shù)來逼近非線性函數(shù)。其次,利用IBLF的穩(wěn)定性原理設計的控制器與自適應律保證了系統(tǒng)在FLS逼近域內時的穩(wěn)定性,針對系統(tǒng)狀態(tài)在FLS域外時的情況,通過滑模控制的方法將狀態(tài)拉回到FLS域內。最后,將所設計的模糊自適應控制器與自適應控制器和模糊PD控制器進行仿真對比。仿真結果表明,與這兩種控制器相比,所提出的控制器可以確保在不違反輸出約束的情況下,具有良好的跟蹤性能,同時能在線更新自適應律,并且閉環(huán)系統(tǒng)中的所有信號均滿足一致最終有界。