夏晨　利學(xué)　周卓群　戚承志

摘要： 由于地震波的信噪比，傳播路徑效應(yīng)，震源機(jī)制差異和震源過(guò)程等因素的影響，傳統(tǒng)的譜比法反演的拐角頻率結(jié)果不精確，離散性大。以譜比法為基礎(chǔ)，引入Bootstrap重采樣法，Kolmogorov－Smirnov檢驗(yàn)以及譜比趨勢(shì)檢驗(yàn)的篩選方法，對(duì)譜比法的反演結(jié)果進(jìn)行精度評(píng)定和篩選，提高譜比法反演的拐角頻率精度。將此方法應(yīng)用于汶川地震余震的拐角頻率、地震輻射能量、輻射效率以及能矩比等震源參數(shù)反演，建立拐角頻率與地震矩之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，驗(yàn)證譜比法以及三種篩選方法的可靠性。汶川地震余震震源參數(shù)反演結(jié)果表明，汶川地震余震的拐角頻率與地震矩對(duì)應(yīng)關(guān)系M0∝f-3.295±0.25c存在與自相似關(guān)系M0∝f-3c偏離現(xiàn)象。在地震釋放能量方面，存在能矩比隨地震矩增大而增大，以及大地震的輻射效率大于小地震的現(xiàn)象。

關(guān)鍵詞： 譜比法; Bootstrap方法; 拐角頻率; 地震矩; 地震輻射能量; 能矩比

中圖分類號(hào)： P319文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)： 1000－0844（2023）04-0954-09

DOI：10.20000/j.1000－0844.20210903002

Improvement in the inversion of corner frequency of the source spectrum using the spectral ratio method

XIA Chen LI Xue ZHOU Zhuoqun QI Chengzhi1，2，3

Abstract：? Corner frequency is an important dynamic parameter in seismic source physics. Accurate calculation of the corner frequencies is important for obtaining other seismic source parameters and improving the source spectrum model. However， corner frequency inversion results by the traditional spectral ratio method are inaccurate and discrete due to the signal－to－noise ratio of seismic waves， propagation path effects， differences in source mechanisms， and source processes of earthquakes. In this work， we utilized the spectral ratio method to estimate the corner frequency and implemented three tests （Bootstrap resampling method， Kolmogorov－Smirnov test， and spectral ratio trend test） to evaluate the calculated corner frequencies. These three tests can improve the accuracy of the corner frequencies estimated by the spectral ratio method. The spectral ratio method and these three tests were validated by calculating the seismic source parameters of the aftershocks of the Wenchuan earthquake from May 12 to September 12， 2008. We obtained the corner frequency fc， radiation energy ER， radiation efficiency ηR， and energy－moment ratio e of aftershocks with magnitude 3.7-6.5. According to the calculated results， the relationship between the corner frequency and the seismic moment can be expressed as M0∝f-3.295±0.25c， which is not in agreement with the self－similarity law M0∝f-3c. The seismic radiation energy increases with the earthquake magnitude. When the magnitude increases from 3.7 to 6.5， the energy－moment ratio e also increases from 8 × 10-6 to 5 × 10-5， and the radiation efficiency ηR increases from 0.32 to 0.9. If the self－similarity law holds， then the energy－moment ratio e and the radiation efficiency ηR should be constant. The inversion results of source parameters of Wenchuan earthquake aftershocks show that in terms of the energy released by earthquakes， the energy－moment ratio increases with the seismic moment， and the radiation efficiency of large earthquakes is greater than that of small earthquakes.

Keywords： spectral ratio method; Bootstrap method; corner frequency， seismic moment; seismic radiation energy; energy－moment ratio

0 引言

地震震源理論是地震學(xué)的重要研究?jī)?nèi)容。近年來(lái)，地震震源研究取得較大進(jìn)展，根據(jù)對(duì)臺(tái)站記錄的反演求解地震震源參數(shù)，也就是所謂的量化地震已經(jīng)成為地震學(xué)研究的重要工作。震源參數(shù)對(duì)理解震源物理和震源過(guò)程具有重要的意義。作為震源物理中重要的參數(shù)，拐角頻率直接影響著震源譜模型，因而拐角頻率與其他震源參數(shù)之間的關(guān)系被眾多學(xué)者討論。

在Brune的震源譜模型中，地震遠(yuǎn)場(chǎng)位移幅值譜的高頻與低頻漸近線交點(diǎn)處的頻率被定義為拐角頻率［1］。拐角頻率的精確反演，對(duì)求解震源參數(shù)與完善震源譜模型有著重要的意義。朱新運(yùn)等［2］使用地震位移譜反演拐角頻率，發(fā)現(xiàn)地震的拐角頻率隨地震序列的變化特征可能與區(qū)域的應(yīng)力場(chǎng)有關(guān)。Izutani［3］使用譜比法反演拐角頻率，并得到拐角頻率與地震矩之間的關(guān)系為M0∝f-3.3±0.2c。楊志高和張曉東［4］通過(guò)對(duì)首都圈地區(qū)117個(gè)2.5

譜比法最先由Bath［5］提出，用于計(jì)算地層介質(zhì)的品質(zhì)因子。其基本思想是：選取兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的地震記錄，將時(shí)間域上的地震記錄進(jìn)行傅里葉轉(zhuǎn)換到頻率域計(jì)算地震的振幅比，通過(guò)幅值譜的比值計(jì)算震源參數(shù)。Ide等［6］指出與頻率無(wú)關(guān)的品質(zhì)因子會(huì)出現(xiàn)人為的尺寸依賴性，從而導(dǎo)致譜比法計(jì)算的地震參數(shù)結(jié)果不精確。Imanishi等［7］提出并驗(yàn)證了一種穩(wěn)定的譜比法，并使用修正經(jīng)驗(yàn)格林函數(shù)法（MEGF）計(jì)算拐角頻率與地震矩。譜比法的優(yōu)點(diǎn)是應(yīng)用廣，計(jì)算穩(wěn)定性好，可以避免數(shù)值方法難以消除的場(chǎng)地效應(yīng)和傳播路徑效應(yīng)的影響。但其缺點(diǎn)也較為明顯，需要依賴的因素較多，地震波形截取長(zhǎng)短，地震震級(jí)大小以及臺(tái)站所記錄到的地震數(shù)據(jù)都會(huì)對(duì)譜比法的計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生影響 ［8］。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中Bootstrap重采樣法（自助法）用于偏差分析與方差的統(tǒng)計(jì)推斷。Bootstrap重采樣法由Efron ［9］提出之后，已經(jīng)有部分學(xué)者將其運(yùn)用到地球物理學(xué)的研究。Weber［10］利用自助抽樣法對(duì)震源參數(shù)進(jìn)行誤差分析。Cesca等［11］通過(guò)Bootstrap重采樣對(duì)發(fā)震斷層位置進(jìn)行了評(píng)估。王樂(lè)洋等［12］以Amatrice與Visso地震試驗(yàn)驗(yàn)證了Bootstrap重采樣法用于震源參數(shù)精度評(píng)定的有效性和可靠性。

為了提高拐角頻率的反演精度，本文以譜比法為基礎(chǔ)，引入統(tǒng)計(jì)學(xué)中的Bootstrap重采樣法（自助法）、Kolmogorov－Smirnov檢驗(yàn)以及譜比趨勢(shì)檢驗(yàn)對(duì)譜比法反演的結(jié)果進(jìn)行篩選。以2008－05－12—2008－09－12期間汶川地震余震記錄為例，反演拐角頻率。最后構(gòu)建汶川地震余震的拐角頻率與地震矩之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并計(jì)算地震輻射能量、能矩比以及輻射效率等震源參數(shù)。

1 數(shù)據(jù)選取

本文原始數(shù)據(jù)來(lái)自2008－05－12—2008－09－12期間的由國(guó)家數(shù)字強(qiáng)震動(dòng)臺(tái)網(wǎng)的76個(gè)臺(tái)站獲得385次震相完整的汶川大地震余震加速度記錄。上述地震記錄為原始數(shù)據(jù)，從中挑選需要的余震加速度記錄。地震記錄的選取遵循每次地震至少有3個(gè)臺(tái)站記錄，每個(gè)臺(tái)站至少能記錄三次地震的原則 ［13］。選取的余震位于龍門山斷裂帶各個(gè)方位。基于此原則選取該時(shí)間段內(nèi)共26個(gè)余震的相關(guān)記錄。

在選取的地震事件中震級(jí)MS6以上地震共8個(gè)，MS5～MS6共5個(gè)，MS4～MS5地震共9個(gè)，MS4以下地震共4個(gè)。選取的臺(tái)站共有42個(gè)，每個(gè)臺(tái)站均包含NS（南北方向），EW（東西方向）和UD（上下方向）三個(gè)方向的強(qiáng)震動(dòng)加速度時(shí)程。選取的地震震源位置和臺(tái)站位置如圖1所示。

2 方法

以譜比法為基礎(chǔ)，反演地震的拐角頻率。震源譜模型采用Brune［1］的ω-2震源譜模型，即S波幅值譜U（ f ）可以表示為：

根據(jù)選取的汶川地震余震事件，從中選取震源位置相近的大、小地震形成一組地震事件，并基于上述譜比法計(jì)算兩個(gè)地震事件的拐角頻率。大、小地震的選取原則為：大地震與小地震的震級(jí)相差1～2級(jí)，并且震源距離小于50 km。對(duì)于不同地震組，優(yōu)先選取重復(fù)臺(tái)站較多的地震組，最多重復(fù)臺(tái)站可達(dá)12座臺(tái)站。表1中展示了5組6級(jí)以上地震及其配對(duì)的小震。在計(jì)算過(guò)程中，將式（4）中的地震矩之比M01/M02以及大、小地震的拐角頻率fc1和fc2設(shè)置為未知數(shù)，并對(duì)這三個(gè)未知數(shù)進(jìn)行網(wǎng)格搜索計(jì)算。

由Hanks和McGuire［15］提出的圓盤型破裂假定下的解，拐角頻率可定義為：

式中：β為剪切波速，取3 300 m/s，Δσ為應(yīng)力降。對(duì)于fc1與fc2的網(wǎng)格搜索范圍，將式（5）的計(jì)算結(jié)果fcb設(shè)置為理論值，搜索范圍為0.5fcb≤fc≤1.5fcb。對(duì)于地震矩之比M01/M02，設(shè)置的搜索范圍為1～103。將觀測(cè)結(jié)果的譜比與理論預(yù)測(cè)的譜比結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，在上述搜索范圍里確定最優(yōu)參數(shù)。

由于地震波的信噪比，傳播路徑效應(yīng)，震源機(jī)制差異和震源過(guò)程等因素都會(huì)影響譜比法的計(jì)算結(jié)果，造成反演的拐角頻率具有一定的離散性。為降低這些因素的影響，提高譜比法計(jì)算結(jié)果的可靠性，對(duì)譜比法反演的結(jié)果引入三種篩選方法——參數(shù)的Bootstrap重采樣評(píng)定，Kolmogorov－Smirnov正態(tài)分布檢驗(yàn)以及譜比趨勢(shì)篩選。保留同時(shí)滿足這三個(gè)篩選過(guò)程的反演結(jié)果，剔除不符合任一篩選過(guò)程的結(jié)果。

2.1 Bootstrap重采樣評(píng)定

在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，Bootstrap重采樣法或者叫自助抽樣法是一種從給定訓(xùn)練集中有放回的均勻抽樣方法，也就是說(shuō)，每當(dāng)選中一個(gè)樣本，它有可能地被再次選中并被再次添加到訓(xùn)練集中。自助法由Efron提出，通過(guò)重采樣的樣本來(lái)描述真實(shí)數(shù)據(jù)的分布情況。當(dāng)樣本來(lái)自總體，能以正態(tài)分布來(lái)描述，其抽樣分布為正態(tài)分布;但當(dāng)樣本來(lái)自的總體無(wú)法以正態(tài)分布來(lái)描述，則以漸進(jìn)分析法、自助法等來(lái)分析。自助法對(duì)小數(shù)據(jù)集的檢測(cè)效果好，且自助法可以通過(guò)方差的估計(jì)構(gòu)造置信區(qū)間，使其運(yùn)用范圍得到進(jìn)一步延伸。Bootstrap重采樣法不需要任何的計(jì)算模型假設(shè)以及精確的計(jì)算公式，只需要對(duì)樣本的統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)就可以描述真實(shí)數(shù)據(jù)的分布情況以及方差。因此使用Bootstrap重采樣方法可以避免復(fù)雜的運(yùn)算，合理地檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果。

在對(duì)汶川地震余震拐角頻率的反演中，將理論值fcb代入式（4）得到譜比曲線的理論結(jié)果，由網(wǎng)格搜索得到的最佳拐角頻率和地震矩之比代入式（4）得到譜比曲線的反演結(jié)果，利用兩者的差值創(chuàng)建一個(gè)Bootstrap樣本。利用該樣本對(duì)式（4）的理論譜比曲線進(jìn)行調(diào)整，并計(jì)算調(diào)整后的譜比曲線拐角頻率。為保證反演的精度及計(jì)算效率，對(duì)每組反演的譜比曲線結(jié)果采用1 000次Bootstrap重采樣分析。

為檢驗(yàn)反演結(jié)果是否通過(guò)Bootstrap重采樣檢測(cè)，對(duì)拐角頻率值的Bootstrap取樣設(shè)置為95%的置信區(qū)間。若取樣結(jié)果集中在95%的置信區(qū)間之內(nèi)，則認(rèn)定此計(jì)算結(jié)果為合理的，若取樣結(jié)果較為分散或者在置信區(qū)間之外，將舍棄此計(jì)算結(jié)果。

圖2（a）與（b）中展示了6.5級(jí)與4.7級(jí)地震組成的地震組中拐角頻率1 000次Bootstrap取樣情況。（a）為6.5級(jí)地震的拐角頻率重新取樣情況，拐角頻率網(wǎng)格搜索區(qū)間為0.05～0.15 Hz，由圖中黑色重采樣點(diǎn)可以看出，重采樣情況超出95%的置信區(qū)間。而（b）為同一組地震事件中震級(jí)為4.7級(jí)的地震，搜索區(qū)間為0.5～1 Hz，從圖中可以看出重采樣之后反演的拐角頻率值符合95%的置信區(qū)間閾值。由于一組地震中大地震的重采樣結(jié)果不符合95%的置信區(qū)間要求，因此對(duì)于此計(jì)算結(jié)果進(jìn)行舍棄。圖2（c）與（d）為另一組地震組兩次地震的拐角頻率采樣值，大小地震的重采樣計(jì)算均符合95%置信區(qū)間的要求，因此該地震組計(jì)算結(jié)果可取。

2.2 Kolmogorov－Smirnov分布檢驗(yàn)

理想情況下，理論值及其與實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)的差值的離散度將遵循正態(tài)分布［16］。Kolmogorov－Smirnov檢驗(yàn)是基于累積分布函數(shù)，用以檢驗(yàn)一個(gè)經(jīng)驗(yàn)分布是否符合某種理論分布或比較兩種經(jīng)驗(yàn)分布是否有顯著差異的方法。本文利用K－S實(shí)驗(yàn)的前一種作用，檢驗(yàn)log（原始數(shù)據(jù)）-log（理論計(jì)算值）差值的離散度是否符合正態(tài)分布。

圖3（a）中展示了符合差值正態(tài)分布的結(jié)果，其原始數(shù)據(jù)為6.5/4.7級(jí)的地震組事件中LXM臺(tái)站所記錄。LXM臺(tái)站三個(gè)方向的計(jì)算結(jié)果均符合正態(tài)分布，因此該計(jì)算結(jié)果符合K－S檢測(cè)的要求。而圖3（b）中的計(jì)算結(jié)果不符合K－S實(shí)驗(yàn)中的正態(tài)分布，因此剔除該臺(tái)站的數(shù)據(jù)計(jì)算得出的拐角頻率結(jié)果。

2.3 譜比趨勢(shì)的篩選

經(jīng)過(guò)上述兩個(gè)步驟的篩選之后，得到同時(shí)滿足Bootstrap重采樣和差值正態(tài)分布的計(jì)算結(jié)果。最后一步，將譜比法反演的震源參數(shù)帶入式（4），從而得出反演的最佳譜比結(jié)果。對(duì)比觀測(cè)記錄的譜比與反演的最佳譜比結(jié)果的曲線重合程度，做最后的篩選。

圖4為經(jīng)過(guò)最終篩選之后得出的兩張圖，圖中紅色曲線為反演的理論值所繪出的曲線，而黑色的曲線為汶川地震余震記錄由傅里葉變換之后得出的結(jié)果。圖4（a）中紅色曲線與黑色曲線的趨勢(shì)基本相同，因此該臺(tái)站的計(jì)算結(jié)果同時(shí)符合上述三個(gè)篩選要求。而圖4（b）中紅色曲線與黑色曲線的趨勢(shì)相差甚遠(yuǎn)，不符合譜比趨勢(shì)的要求，此計(jì)算結(jié)果應(yīng)剔除。

3 計(jì)算與結(jié)果分析

運(yùn)用上述譜比法對(duì)所選取的汶川地震余震拐角頻率進(jìn)行反演，進(jìn)一步通過(guò)三個(gè)篩選法則保留符合要求的拐角頻率，計(jì)算的震源參數(shù)如表2所列。

3.1 拐角頻率與地震矩的對(duì)應(yīng)關(guān)系

拐角頻率作為地震譜中高頻與低頻階段漸近線的交點(diǎn) ，反映了地震震源尺度的大小 ［17］。地震矩是繼地震能量之后的第二個(gè)關(guān)于震源定量的特征量，也是描述地震大小的絕對(duì)力學(xué)量。建立拐角頻率與地震矩之間的關(guān)系具有重要意義。Kanamori和Anderson以及Hanks在其研究中指出，拐角頻率與地震矩之間的關(guān)系遵守地震的自相似法則，即大小地震震源參數(shù)之間存在著一定的比例關(guān)系，拐角頻率與地震矩的關(guān)系式可以表示為［18－19］：

M0∝f_c^-3（6）

由于地震震源的復(fù)雜特征，式（6）不完全成立。Aki［20］提出地震存在自相似性偏離現(xiàn)象。使用反演和篩選之后的汶川地震余震拐角頻率值fc，在對(duì)數(shù)坐標(biāo)系下對(duì)拐角頻率及相應(yīng)的地震矩進(jìn)行擬合，得到二者的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

由式（5）的計(jì)算結(jié)果可以得到不同震級(jí)地震對(duì)應(yīng)的拐角頻率理論值。選取汶川地震余震記錄，其中最小震級(jí)為3.7級(jí)，由譜比法反演得出對(duì)應(yīng)的拐角頻率為2.52 Hz，最大震級(jí)為6.5級(jí)，對(duì)應(yīng)的拐角頻率為0.107 Hz。將譜比法反演的拐角頻率結(jié)果與Hanks和McGuire［15］的理論值進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖5所示。圖5中黑色的點(diǎn)為經(jīng)過(guò)譜比法反演所得到的結(jié)果，紅色的點(diǎn)為拐角頻率的理論值。結(jié)果顯示，使用譜比法反演的拐角頻率結(jié)果在小震級(jí)時(shí)比理論值小，而在大震級(jí)時(shí)比理論值大。在圖（5）中，對(duì)數(shù)坐標(biāo)系下理論值的分布成直線型，直線斜率為-3，對(duì)應(yīng)地震自相似條件下的M0∝f-3c。將譜比法反演得到的拐角頻率在對(duì)數(shù)坐標(biāo)系下進(jìn)行擬合得到黑色實(shí)線，黑色實(shí)線的斜率為-3.295，擬合區(qū)間為（-3.523，-3.06），對(duì)應(yīng)本文所得到的地震矩與拐角頻率的關(guān)系式，如式（7）所示。由譜比法反演結(jié)果擬合的曲線斜率比理論值的曲線斜率小。

M0∝f_c^-3.295±0.25（7）

圖6對(duì)比了反演的汶川地震余震拐角頻率值與Izutani和Kanamori及Izutani的拐角頻率反演結(jié)果。圖6中黑色方形的點(diǎn)為本文的計(jì)算結(jié)果，綠色圓形以及紅色三角形的點(diǎn)為Izutani和Kanamori與Izutani的拐角頻率反演結(jié)果。 Izutani和Kanamori［21］得到拐角頻率與地震矩的關(guān)系式為：

式中：μ為剪切模量;ΔσS為應(yīng)力降。表2中的計(jì)算結(jié)果表明，地震事件中隨著震級(jí)從3.7增大到6.5時(shí)，輻射效率ηR由0.32增大到0.9。而產(chǎn)生的摩擦能EH大部分會(huì)以熱能的形式消散。能矩比e以及輻射效率ηR隨著震級(jí)逐漸增大，這兩個(gè)現(xiàn)象說(shuō)明在震級(jí)增大過(guò)程中地震輻射能量ER在地震釋放能量的占比逐漸變大，因此汶川地震余震在地震釋放能量方面，存在能矩比隨地震矩增大而增大，以及大地震輻射效率大于小地震輻射效率的現(xiàn)象。表明大地震相對(duì)于小地震而言是更有效率的地震能量輻射體，地震自相似性偏離現(xiàn)象仍然存在。

4 結(jié)論

本文以譜比法為基礎(chǔ)，引入三種篩選方法—Bootstrap重采樣方法，Kolmogorov－Smirnov檢測(cè)以及譜比趨勢(shì)篩選試驗(yàn)。避免地震波的信噪比，傳播路徑效應(yīng)，震源機(jī)制差異和震源過(guò)程等因素對(duì)拐角頻率的反演結(jié)果造成影響，提高拐角頻率的反演精度。將此方法運(yùn)用到對(duì)2008－05－12—2008－09－12期間汶川地震余震觀測(cè)記錄的震源參數(shù)反演，得出3.7～6.5級(jí)地震的拐角頻率fc，地震波輻射能ER，輻射效率ηR以及能矩比e等震源參數(shù)，并討論參數(shù)之間的關(guān)系。

根據(jù)上述方法反演得出拐角頻率與地震矩的關(guān)系可以表示為M0∝f-3.295±0.25c。地震輻射的能量隨著地震震級(jí)的增大而增大。當(dāng)震級(jí)從3.7增大到6.5時(shí)，能矩比e由8×10-6增大到5×10-5;輻射效率ηR由0.32增大到0.9。反演結(jié)果表明，汶川地震余震的拐角頻率與地震矩對(duì)應(yīng)關(guān)系存在自相似偏離的現(xiàn)象。地震釋放能量方面，能矩比隨地震矩增大而增大，大地震的輻射效率大于小地震輻射效率的現(xiàn)象。

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收稿日期：2021-09-03

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金（51708018）;北京市教委科研項(xiàng)目－科技計(jì)劃一般項(xiàng)目（KM202010016016）;北京建筑大學(xué)市屬高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助（X18268，X19025）

第一作者簡(jiǎn)介：夏 晨（1989-），男，博士，副教授，主要研究方向?yàn)閺?qiáng)地震動(dòng)模擬，震源物理以及地下結(jié)構(gòu)抗震。

E－mail：xiachen@bucea.edu.cn。