褚軼景, 趙越喆, 牛 鋒, 陳明陽

(1.華南理工大學(xué) 亞熱帶建筑科學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣東 廣州 510641；2.中國計(jì)量科學(xué)研究院，北京 100029)

1 引 言

生活噪聲、工業(yè)噪聲、交通噪聲是干擾人們生產(chǎn)生活、數(shù)據(jù)測(cè)量,乃至語言溝通的重要因素[1～4]。主動(dòng)噪聲控制(active noise control, ANC)是一種噪聲控制的重要手段,廣泛應(yīng)用于低頻噪聲及振動(dòng)消除[5～7]。一類廣泛使用的自適應(yīng)控制算法是濾波最小均方算法[7](filtered-x least mean squares, FxLMS)及其變體[8,9]。Fx算法存在次級(jí)通道(secondary path)建模問題,如跟蹤路徑變化、測(cè)量傳聲器[10,11]引起的建模誤差等。在這種情況下,基于Fx算法的ANC系統(tǒng)由于濾波信號(hào)自相關(guān)矩陣不對(duì)稱,將使消噪能力下降,甚至導(dǎo)致算法發(fā)散。

為了解決這個(gè)問題,通常采用正則化技術(shù)。其中一個(gè)較為成熟的應(yīng)用是Leaky FxLMS算法[12]。該算法在自適應(yīng)更新過程中,加入自相關(guān)矩陣對(duì)角加載(diagonal loading),從而增加算法魯棒性。然而此類算法的收斂性分析表明正則化技術(shù)不能保證算法一定收斂。

另外,對(duì)于時(shí)變系統(tǒng)來說,固定的正則化因子往往不能取得最佳效果。文獻(xiàn)[13]對(duì)FxLMS算法的魯棒性進(jìn)行了討論,得到均值收斂充要條件,并提出一類利用正則化濾波器增加穩(wěn)定性的FxLMS算法。但是該正則化濾波器的設(shè)計(jì)較復(fù)雜,在實(shí)際應(yīng)用中不易實(shí)現(xiàn)。FxLMS算法的另一個(gè)問題是收斂緩慢,對(duì)于有色噪聲等特征值分布不均勻的信號(hào)具有很高的靈敏度。雖然遞歸最小二乘算法(recursive least squares, RLS)[14]可以加快收斂,但跟蹤速度及穩(wěn)定性明顯不如LMS類算法。文獻(xiàn)[15]中提出的卡爾曼濾波(Kalman filter)克服了以上算法的不足,但復(fù)雜度較高。

綜上所述,FxLMS算法對(duì)次級(jí)通道建模誤差的魯棒性較差,而基于卡爾曼濾波的ANC算法很難在計(jì)算量與跟蹤速度上取得平衡。為了減小次級(jí)通道誤差引起的降噪量下降,同時(shí)不大量增加算法復(fù)雜度,本文提出一種基于狀態(tài)方程(state equation)的FxRLS(S-FxRLS)主動(dòng)噪聲控制算法。不同于傳統(tǒng)RLS算法,改進(jìn)方法創(chuàng)新點(diǎn)及特點(diǎn)如下:

改進(jìn)方法將狀態(tài)方程引入ANC系統(tǒng)用以描述控制器的先驗(yàn)統(tǒng)計(jì)特性,通過對(duì)控制器建模誤差的估計(jì)確定先驗(yàn)統(tǒng)計(jì)特性,從而達(dá)到減小建模誤差影響的作用。建模誤差的估計(jì)對(duì)改進(jìn)算法性能影響較大,本文提出一種近似估計(jì)方法,可以對(duì)建模誤差進(jìn)行有效估計(jì)。

另一方面,為了減小算法計(jì)算量,通過簡(jiǎn)化狀態(tài)方程,使得控制器自適應(yīng)估計(jì)在最小二乘意義上實(shí)現(xiàn)最佳遞歸估計(jì)。

由于基于RLS的ANC算法數(shù)學(xué)模型較復(fù)雜,目前對(duì)于這類算法理論分析方面的工作較少。為了定性研究提出算法性能,利用Price’s積分等數(shù)學(xué)工具,對(duì)算法在高斯輸入加性噪聲環(huán)境中的均值性能進(jìn)行理論分析,得到均值意義上的收斂條件。

本文提出S-FxRLS算法后,對(duì)算法性能進(jìn)行分析,最后通過計(jì)算機(jī)模擬,與傳統(tǒng)Fx算法及其采用正則化技術(shù)的變體等算法進(jìn)行比較。模擬結(jié)果表明:1) S-FxRLS算法較之傳統(tǒng)FxLMS算法收斂速度加快了約60%;2) 次級(jí)通道建模誤差導(dǎo)致傳統(tǒng)FxLMS及正則化FxLMS算法出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象時(shí),本文提出的算法仍然保持較好的收斂特性。

2 ANC系統(tǒng)模型及S-FxRLS算法

基于Fx算法的ANC系統(tǒng)如圖1所示。噪聲源信號(hào){x(n)}通過初級(jí)通道{p(n)}在某一區(qū)域產(chǎn)生噪聲信號(hào){d(n)}。另一方面,控制器{w(n)}通過自適應(yīng)濾波生成揚(yáng)聲器(次級(jí)源)驅(qū)動(dòng)信號(hào),再經(jīng)由揚(yáng)聲器到誤差麥克風(fēng)的次級(jí)通道{s(n)},產(chǎn)生噪聲抵消信號(hào){y(n)}。誤差麥克風(fēng)用于拾取n時(shí)刻信號(hào)殘差{e(n)}。為了抵消誤差麥克風(fēng)接收到的噪聲{d(n)},控制器{w(n)}旨在與次級(jí)通道{s(n)}級(jí)聯(lián)后近似等于初級(jí)通道{-p(n)}。

圖1 基于Fx自適應(yīng)算法的ANC系統(tǒng)簡(jiǎn)圖。Fig.1 Block diagram of an ANC system.

根據(jù)圖1,待消除的噪聲信號(hào)及控制器輸出可分別表示為d(n)=p(n)*x(n)+η(n),y(n)=x(n)*w(n)*s(n),“*”表示卷積計(jì)算。誤差信號(hào)則可表示為:

e(n)=d(n)+y(n)

(1)

假設(shè)聲學(xué)路徑和控制器變化緩慢,根據(jù)卷積交換定律可知,濾波信號(hào)xs(n)=x(n)*s(n)可以作為控制器的輸入信號(hào),從而濾波器輸出信號(hào)可表示為y(n)=xs(n)*w(n)。下標(biāo)s表示參考信號(hào)x(n)通過次級(jí)通道s(n)濾波。

則抵消聲信號(hào)可表示為:

(2)

為了增強(qiáng)控制算法的穩(wěn)定性,采用如下狀態(tài)方程描述控制器先驗(yàn)概率:

w(n+1)=w(n)+v(n)

(3)

式中:v(n)是L×1的高斯白噪聲向量,自相關(guān)矩陣為Q(n)。由式(3)可知,控制器的先驗(yàn)概率分布滿足均值為{w(n)}、方差為{P(n-1)+Q(n)}的正態(tài)分布

w(n+1)～N(w(n),P(n-1)+Q(n)),

式中:P(n-1)為先驗(yàn)估計(jì)方差,與控制器估計(jì)的準(zhǔn)確度直接相關(guān)。

(4)

由控制器最大后驗(yàn)(MAP)估計(jì):

w(n)=argmax[p(d(n)|w(n))p(w(n))]

(5)

可得S-FxRLS更新公式:

w(n+1)=w(n)-k(n)e(n)

(6)

(7)

后驗(yàn)方差更新由式(1)、式(6)及簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)推導(dǎo)可得后驗(yàn)估計(jì)方差的更新公式:

(8)

(9)

由算法的更新式(6)-式(9)可知,S-FxRLS算法復(fù)雜度在傳統(tǒng)FxRLS算法的基礎(chǔ)上增加了狀態(tài)方程估計(jì),增加的乘法數(shù)量為L,總計(jì)算量仍然與傳統(tǒng)FxRLS算法相當(dāng),即o(L2)。

3 均值性能分析及收斂條件

算法的均值收斂特性研究是算法設(shè)計(jì)的重要方面,揭示參數(shù)估計(jì)與最優(yōu)值之間的偏離,在保證算法收斂的同時(shí)為算法設(shè)計(jì)提供理論指導(dǎo)。為了使性能分析可行,本文做出以下假設(shè):

假設(shè)3P(n)與輸入信號(hào)相互獨(dú)立。

3.1 均值分析

基于以上假設(shè),同時(shí)假設(shè)算法收斂,則穩(wěn)態(tài)更新公式表示為:

E[w(∞)]=E[w(∞)]-E[k(∞)e(∞)]

(10)

由此可知,E[k(∞)e(∞)]=0。將式(7)代入式(10)。由于P(∞)≠0,可得S-FxRLS算法的穩(wěn)態(tài)解:

(11)

為了進(jìn)一步分析算法均值特性,定義誤差向量v=w∞-w(n)。由式(6)及假設(shè)3知:

E[v(n+1)]=E[v(n)]+P(n)L1

(12)

L1=-UΛDΛUTE[v(n)]

(13)

(2αβλi+1)-1dβ

將上述結(jié)果代入式(12),可得算法的均值插分方程:

E[v(n+1)]?(I-P(n)UΛDΛUT)E[v(n)]

(14)

該方程代表算法的均值收斂速度。由式(14)可知,代表輸入信號(hào)特征值的對(duì)角矩陣DΛ以及后驗(yàn)估計(jì)方差P(n)共同決定算法的收斂速度。與傳統(tǒng)RLS算法類似,P(n)起到白噪化輸入信號(hào)以及調(diào)整算法步長的作用,因此可令RLS類算法具有較快的收斂速度[17]。

3.2 均值收斂條件

將式(14)左右兩邊同時(shí)乘以UT可以得到:

E[V(n+1)]?(I-Γw(n)ΛDΛ)E[V(n)]

(15)

式中:V(n)=UTv(n),Γw(n)=UTP(n)U。

為了使算法均值意義上收斂,式(15)右邊小括號(hào)內(nèi)矩陣的特征值必須小于1,即滿足條件:

0<[Γw(n)]i,i<2/(λiIi(Λ))

(16)

另一方面,由式(8)以及廣義Abelian積分同樣可以得到Γw(n)的更新方程:

[Γw(n+1)]i,i≈[Γw(n)]i,i-λiIi(Λ)

(17)

式中:qi(n)是Q(n)的第i個(gè)元素。

(18)

式(18)可為算法設(shè)計(jì)提供理論依據(jù),從而避免計(jì)算量巨大的試錯(cuò)法(try-and-error)選擇用戶參數(shù)。

4 仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果

4.1 仿真結(jié)果

假設(shè)ANC系統(tǒng)置于較小的封閉空間(如車內(nèi)),因此,初級(jí)通道階數(shù)較短,設(shè)通道長度為12,次級(jí)通道長度為4,且具有估計(jì)偏差,估計(jì)偏差與次級(jí)通道內(nèi)積的比值分別設(shè)為-6 dB和-3 dB。ANC控制器長度為10,噪聲源為粉紅噪聲。FxLMS類算法步長設(shè)置為0.002。L2-FxLMS算法的正則化系數(shù)經(jīng)過大量試錯(cuò)法調(diào)整,使得收斂曲線最優(yōu)。FxRLS類算法的遺忘因子設(shè)置為0.99,以增加算法穩(wěn)定性。S-FxRLS算法中,用來估計(jì)自相關(guān)矩陣方差的遺忘因子λe設(shè)為0.9。

各種算法收斂曲線見圖2。從剩余均方誤差(excess mean squares error, EMSE)曲線可以得到如下結(jié)論:

圖2 EMSE對(duì)應(yīng)迭代次數(shù)的收斂曲線Fig.2 The convergence curves of EMSE vs. iteration number

1) 傳統(tǒng)FxLMS及FxRLS算法對(duì)次級(jí)通路估計(jì)非常敏感。當(dāng)次級(jí)通路估計(jì)誤差由-6 dB增加到-3 dB,FxLMS算法方差增加,而FxRLS算法出現(xiàn)發(fā)散的情況。

2) 如果正確選擇正則化系數(shù),L2-FxLMS算法可以通過增加diagonal loading有效降低控制器估計(jì)方差。

3) 在比較的算法中,S-FxRLS算法無論在低建模誤差還是高建模誤差,均具有最快的跟蹤速度和最佳的魯棒性,這得益于狀態(tài)方程對(duì)控制器先驗(yàn)概率預(yù)測(cè)的有效性。

4.2 測(cè)量結(jié)果

ANC系統(tǒng)降噪量測(cè)量實(shí)驗(yàn)設(shè)置如圖3所示。右側(cè)白色揚(yáng)聲器發(fā)出頻率為500 Hz的單頻噪聲,噪聲信號(hào)由白色揚(yáng)聲器前方的參考傳聲器接收,作為參考信號(hào)傳給控制器(由筆記本電腦發(fā)出指令,控制器實(shí)現(xiàn))。控制器驅(qū)動(dòng)左側(cè)黑色揚(yáng)聲器發(fā)出抵消聲,抵消聲與誤差傳聲器處接收到的噪聲源信號(hào)相互抵消;同時(shí),誤差傳聲器接收到的殘差信號(hào)也反饋給控制器。

圖3 ANC系統(tǒng)降噪量測(cè)量實(shí)驗(yàn)設(shè)置圖Fig.3 The settings of the measuring experiment of an ANC system.

ANC開啟前與開啟后誤差信號(hào)功率譜密度(power spectral density, PSD)如圖4所示。噪聲源信號(hào)(藍(lán)色虛線)經(jīng)ANC控制后,500 Hz的噪聲信號(hào)由-10 dB降低到-40 dB(紅色實(shí)線),降噪量達(dá)到30 dB。這一過程中,次級(jí)通道由系統(tǒng)識(shí)別算法得到。得益于提出算法無偏估計(jì)的特性(具體見均值分析及式(11))以及對(duì)次級(jí)通道誤差的魯棒性,算法的降噪性能較穩(wěn)定。

圖4 ANC控制器開啟前后,誤差信號(hào)功率譜密度Fig.4 Power spectral density of the error signal collected by the error microphone when ANC is on and off

5 結(jié) 論

本文提出一種魯棒ANC算法。通過算法性能理論分析證明該算法對(duì)于次級(jí)通道建模誤差引起的算法發(fā)散問題有較好的抑制作用。同時(shí),性能分析結(jié)果對(duì)于提出算法用戶參數(shù)的選擇具有指導(dǎo)作用。仿真及測(cè)量實(shí)驗(yàn)證明,基于狀態(tài)方程的FxRLS(S-FxRLS)算法收斂速度比傳統(tǒng)濾波最小均方(FxLMS)算法提高了約60%;穩(wěn)定性方面,當(dāng)采用正則化技術(shù)的魯棒方法開始發(fā)散時(shí),改進(jìn)算法仍可收斂。最后實(shí)驗(yàn)測(cè)量證明,提出算法的單頻降噪量可達(dá)30 dB。