吳忠強(qiáng), 陳海佳

(燕山大學(xué) 工業(yè)計(jì)算機(jī)控制工程河北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 秦皇島 066004)

1 引 言

電動(dòng)汽車具有節(jié)約能源、環(huán)境污染小等顯著技術(shù)優(yōu)勢(shì)而被廣泛關(guān)注。隨著電動(dòng)汽車的快速發(fā)展,對(duì)動(dòng)力電池的需求大幅增加[1]。鋰電池作為儲(chǔ)能元件具有高能量密度、高工作溫度范圍、無(wú)記憶效應(yīng)和長(zhǎng)循環(huán)壽命等特點(diǎn)。鋰電池的荷電狀態(tài)(state of charge,SOC)是電動(dòng)汽車電池管理系統(tǒng)中的一個(gè)關(guān)鍵參數(shù),它指示電池中的剩余電量,準(zhǔn)確的SOC估計(jì)對(duì)于確保鋰電池的壽命和安全性至關(guān)重要[2]。目前,SOC的估計(jì)方法主要分為4大類:安時(shí)積分法[3]、開路電壓(open circuit voltage,OCV)法[4]、基于模型的方法和基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法。

安時(shí)積分法是將電池的充電或放電電流隨時(shí)間積分得到SOC,該方法工作效率高,但是需要已知初始的SOC。OCV法指電池在充分靜置后,其端電壓與SOC之間存在一個(gè)比較固定的函數(shù)關(guān)系,不同電池的SOC與OCV的關(guān)系不同,通過(guò)該函數(shù)關(guān)系可以測(cè)量電池的SOC[5]。該方法雖然精度高,但是在實(shí)際測(cè)試中需要較長(zhǎng)的靜息時(shí)間才能達(dá)到平衡狀態(tài),且靜息時(shí)間受到環(huán)境條件、監(jiān)控設(shè)備的影響[6],因此該方法通常用于實(shí)驗(yàn)室或校準(zhǔn)輔助技術(shù)。

基于模型的SOC估計(jì)方法具有估計(jì)精度高和實(shí)時(shí)性好的優(yōu)點(diǎn)。該方法依賴于鋰電池的常用數(shù)學(xué)模型,然后使用一些高級(jí)算法,如擴(kuò)展卡爾曼濾波(extended kalman filter,EKF)[7]、無(wú)跡卡爾曼濾波[8]、粒子濾波[9]等來(lái)估計(jì)SOC。這些方法需要選擇適當(dāng)?shù)脑肼晠f(xié)方差矩陣,并且還存在估計(jì)誤差的收斂性和傳感器噪聲的魯棒性等問(wèn)題。為解決上述問(wèn)題,研究者開辟了各種基于觀測(cè)器的方法,如Luenberger觀測(cè)器[10]、滑模觀測(cè)器[11]和H∞觀測(cè)器[12]等。當(dāng)存在外部干擾時(shí),H∞觀測(cè)器能確保在最壞的情況下仍然可以保持SOC的估計(jì)精度。文獻(xiàn)[13]提出了一種H∞擴(kuò)展卡爾曼濾波器,用于在線估計(jì)模型參數(shù)和SOC。文獻(xiàn)[14]提出了一種多尺度雙H∞濾波器,分別估計(jì)SOC和容量。文獻(xiàn)[15]提出了一種基于自適應(yīng)H∞濾波器的鋰離子電池綜合荷電狀態(tài)估計(jì)方法,即使在SOC初始值誤差較大的情況下也能獲得較好的估計(jì)結(jié)果。

隨著大數(shù)據(jù)的興起和數(shù)據(jù)挖掘技術(shù)的發(fā)展,基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法日漸成熟,如人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[16]、支持向量機(jī)[17]、融合算法[18]等被用于SOC估計(jì)。然而,這些研究方法對(duì)其所采用的數(shù)據(jù)質(zhì)量非常敏感。此外,當(dāng)使用的訓(xùn)練模式不適當(dāng),還會(huì)出現(xiàn)過(guò)擬合等問(wèn)題[19]。

當(dāng)電池單元老化時(shí),容量和內(nèi)阻將偏離標(biāo)稱值,這將導(dǎo)致較大的SOC估計(jì)誤差。因此,在估計(jì)SOC時(shí),必須考慮電池老化,即電池的健康狀態(tài)(state of health,SOH)[20]。文獻(xiàn)[21]利用立方卡爾曼濾波器估計(jì)電池的SOC,并用多尺度混合卡爾曼濾波器估計(jì)電池的SOH,實(shí)現(xiàn)了SOC和SOH的聯(lián)合估計(jì)。文獻(xiàn)[22]中構(gòu)建了SOC-SOH與電池模型參數(shù)間多維度空間插值曲面,并基于無(wú)跡粒子濾波算法實(shí)現(xiàn)鋰電池SOC和SOH的聯(lián)合估計(jì)。

綜合上述問(wèn)題,提出了一種自適應(yīng)H2/H∞濾波器(adaptive H2/H∞filter,AH2/H∞F)對(duì)鋰電池的SOC和SOH進(jìn)行聯(lián)合估計(jì)。首先,基于鋰電池的二階RC等效電路模型,采用帶自適應(yīng)遺忘因子的遞推最小二乘(adaptive forgetting factor recursive least squares,AFFRLS)法在線辨識(shí)鋰電池的模型參數(shù)。然后,采用H2/H∞濾波器估計(jì)鋰電池的SOC,AFFRLS辨識(shí)與H2/H∞濾波交替進(jìn)行,得到一種AH2/H∞F。SOH依據(jù)AFFRLS辨識(shí)的電池內(nèi)阻進(jìn)行估計(jì)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該設(shè)計(jì)方案的有效性,且優(yōu)于EKF和H∞濾波法。

2 鋰電池的模型建立及參數(shù)辨識(shí)

2.1 電池建模

電池的等效電路模型由歐姆電阻和多個(gè)并聯(lián)電阻-電容(RC)回路組成,能夠準(zhǔn)確地表征電池的外部特性,模型精度會(huì)隨RC回路的增加而提高,但計(jì)算復(fù)雜度也隨之增加。出于兼顧精度、參數(shù)辨識(shí)簡(jiǎn)便和可操作性等方面因素的考慮,這里使用二階RC模型對(duì)電池進(jìn)行建模,如圖1所示。

圖1 二階RC等效電路模型Fig.1 Second-order RC equivalent circuit model

圖1中,UOC表示電池的開路電壓;R0為歐姆電阻,包含各元件間的接觸電阻,及電池內(nèi)部固體電解質(zhì)界面膜電阻;U0代表其2端的電壓;R1為極化電阻,與極化電容C1并聯(lián)組成一個(gè)RC回路,代表電荷轉(zhuǎn)移現(xiàn)象,U1代表并聯(lián)回路的電壓;R2是濃差電阻,與濃差電容C2并聯(lián)組成另外一個(gè)RC回路,代表電荷擴(kuò)散現(xiàn)象,U2代表并聯(lián)回路的電壓;U是電池的終端電壓;I為電池的工作電流,放電時(shí)為正。

根據(jù)圖1,基于基爾霍夫電流和電壓定律,可得電壓方程如式(1):

(1)

對(duì)電壓方程式(1)進(jìn)行拉普拉斯變換,整理得到傳遞函數(shù),如式(2):

(2)

式中:τ1=R1C1;τ2=R2C2。

(3)

式中:

將式(3)轉(zhuǎn)化為差分方程,得到式(4):

y(k)=UOC(k)-U(k)

=a1y(k-1)+a2y(k-2)+a3I(k)+

a4I(k-1)+a5I(k-2)

(4)

將I(k)作為系統(tǒng)輸入,y(k)作為系統(tǒng)輸出,令:

則系統(tǒng)(4)可以表示為式(5):

(5)

2.2 基于AFFRLS的電池參數(shù)在線辨識(shí)

使用的AFFRLS可以實(shí)時(shí)在線更新新舊數(shù)據(jù)的權(quán)重占比,對(duì)模型參數(shù)實(shí)現(xiàn)在線辨識(shí)。AFFRLS算法將基于遺忘因子遞推最小二乘算法(recursive least squares algorithm based on forgetting factor,FFRLS)中k時(shí)刻的固定遺忘因子λ變?yōu)樽兓淖赃m應(yīng)遺忘因子λ(k),λ(k)的計(jì)算方法如下式:

λ(k)=λmin+(1-λmin)2G(k)

(6)

式中:G(k)=-round(μe2(k)),round是四舍五入的取整函數(shù),μ為常數(shù),e(k)為y(k)的預(yù)計(jì)誤差;λmin是最小的遺忘因子。

AFFRLS的遞推公式如式(7):

(7)

(8)

將式(8)代入式(3)中,得到式(9):

(9)

式(9)與式(2)系數(shù)對(duì)應(yīng)相等可以得到式(10):

(10)

整理計(jì)算可得式(11):

(11)

式中:b1=τ1τ2;b2=τ1+τ2;b3=R0+R1+R2;b4=R0(τ1+τ2)+R1τ2+R2τ2。

這樣,電池等效模型中的重要參數(shù)就可以被解析出來(lái),便于后續(xù)的SOC與SOH的估計(jì)。文獻(xiàn)[21]指出,電池的SOH與電池的歐姆內(nèi)阻R0之間存在著式(12)的關(guān)系,即可以通過(guò)歐姆內(nèi)阻R0來(lái)計(jì)算電池的SOH。

(12)

式中:SOH(k)表示電池的當(dāng)前健康狀態(tài);R0(k)表示電池當(dāng)前的歐姆內(nèi)阻;R0(0)表示電池的初始?xì)W姆內(nèi)阻;R0(end)表示電池失效時(shí)對(duì)應(yīng)的歐姆內(nèi)阻,通常情況下,R0(end)=2R0(0)。

3 基于AH2/H∞F的鋰電池SOC估計(jì)

3.1 鋰電池荷電狀態(tài)模型及離散化

電池的SOC表達(dá)式如式(13)所示:

(13)

式中:t0為初始時(shí)刻;t為當(dāng)前時(shí)刻;η為庫(kù)倫效率;QC為電池額定容量。

對(duì)式(1)和(13)進(jìn)行離散化。選擇SOC和U1、U2作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量,并考慮2種噪聲信號(hào),一是統(tǒng)計(jì)特性可知的白噪聲信號(hào),另一個(gè)是任意的有限能量信號(hào),可得到離散的電池系統(tǒng)狀態(tài)方程如式(14)所示。

(14)

3.2 H2/H∞濾波器的設(shè)計(jì)

對(duì)于電池模型(14),如果該模型是漸近穩(wěn)定的,對(duì)于給定的常數(shù)γ>0,可設(shè)計(jì)一個(gè)漸近穩(wěn)定的全階線性濾波器如式(15)。

(15)

(16)

應(yīng)用離散時(shí)間系統(tǒng)的有界實(shí)引理,可得如下定理1。

(17)

式中:*是由矩陣的對(duì)稱性得到的矩陣塊。進(jìn)而,如果P∞是矩陣不等式(17)的一個(gè)可行解,則P2≤P∞,其中P2是Lyapunov方程的對(duì)稱正定解。

證明：若P∞是矩陣不等式(17)的一個(gè)可行解,則由矩陣的Schur補(bǔ)性質(zhì)可得式(18):

(18)

對(duì)矩陣不等式(17)左邊的矩陣分別左乘矩陣diag{JΤ,I,JΤ,I}以及右乘它的逆矩陣diag{J,I,J,I},可得矩陣不等式(17)等價(jià)于式(19)。

(19)

進(jìn)一步化簡(jiǎn)得到式(20):

(20)

(21)

則矩陣不等式(21)變成矩陣不等式(22):

(22)

(23)

仍對(duì)矩陣不等式(23)進(jìn)行變量替換,導(dǎo)出第二個(gè)線性矩陣不等式約束(24),并得到定理2。

(24)

定理2:對(duì)給定的常數(shù)γ>0,系統(tǒng)存在一個(gè) H2/H∞濾波器,當(dāng)且僅當(dāng)以下的優(yōu)化問(wèn)題成立:

3.3 AH2/H∞F的設(shè)計(jì)及其SOC估計(jì)

鋰電池基于AH2/H∞F估計(jì)SOC的流程如下:首先,用AFFRLS實(shí)時(shí)辨識(shí)鋰電池的模型參數(shù),然后,采用H2/H∞濾波器估計(jì)鋰電池的SOC,兩者交替進(jìn)行。當(dāng)電池的參數(shù)發(fā)生變化時(shí),AFFRLS會(huì)得到新的辨識(shí)參數(shù),H2/H∞濾波器將根據(jù)新的辨識(shí)參數(shù)估計(jì)鋰電池的SOC,即實(shí)現(xiàn)了鋰電池基于AH2/H∞F的SOC估計(jì)。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與結(jié)果分析

4.1 實(shí)驗(yàn)過(guò)程

首先對(duì)UOC(SOC(k))進(jìn)行標(biāo)定。采用額定容量為2Ah的鋰離子電池在25 ℃的標(biāo)準(zhǔn)環(huán)境溫度中進(jìn)行電池試驗(yàn)。通過(guò)式(25)的7次多項(xiàng)式擬合。

UOC=p1x7+p2x6+p3x5+p4x4+p5x3+p6x2+p7x+p8

(25)

得到的多項(xiàng)式系數(shù)為:p1=9.275 748;p2=-41.126 89;p3=79.505 93;p4=-84.056 22;p5=49.911 83;p6=-15.525 66;p7=2.817 365 ;p8=3.326 034。

UOC-SOC擬合曲線如圖2所示。

圖2 UOC-SOC擬合曲線Fig.2 UOC-SOC fitting curve

實(shí)驗(yàn)中采集的輸入電流和輸出電壓的數(shù)據(jù)如圖3(a)和圖3(b)所示。

圖3 輸入電流和輸出電壓圖Fig.3 Input current and output voltage diagram

采用Matlab求解,獲得的干擾抑制比為:γ=1.903 9×10-7,H2/H∞濾波器的系數(shù)矩陣分別為:

4.2 自適應(yīng)性驗(yàn)證

通過(guò)混合脈沖實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)提取出的鋰電池模型參數(shù)作為真實(shí)值,來(lái)檢驗(yàn)AFFRLS方法的辨識(shí)效果。AFFRLS的辨識(shí)結(jié)果見圖4(a)～圖4(e)。

圖4 鋰電池模型的參數(shù)辨識(shí)結(jié)果Fig.4 Results of battery model parameter identification

由圖4(a)～圖4(e)可看到,辨識(shí)曲線與真實(shí)值曲線趨近一致,可見AFFRLS法辨識(shí)電池模型參數(shù)的效果較好。

鋰電池SOC的自適應(yīng)H2/H∞濾波器估計(jì)結(jié)果,如圖5(a)和圖5(b)所示,給出了采用參數(shù)R0、R1、R2、C1、C2的固定值(即保持500 s時(shí)的值不變),而得到的H2/H∞濾波器估計(jì)結(jié)果(fixed parameter H2/H∞filtering, FPH2/H∞F),用以比較。

圖5 鋰電池SOC的估計(jì)結(jié)果與誤差Fig.5 Lithium battery SOC estimation results and error

從圖5(a)和圖5(b)可以看出,在R0、R1、R2、C1、C2取固定參數(shù)下,在500 s之后,SOC的估計(jì)值會(huì)越來(lái)越偏離真實(shí)值,而AH2/H∞F則能夠根據(jù)模型參數(shù)變化自動(dòng)調(diào)整,準(zhǔn)確地估計(jì)電池的SOC,驗(yàn)證了濾波器的自適應(yīng)性。

4.2 不同算法的SOC估計(jì)比較

采用AH2/H∞F進(jìn)行鋰電池的SOC估計(jì),并與H∞濾波(H∞filter, H∞F)算法和EKF算法所得到的SOC估計(jì)結(jié)果作比較。SOC的估計(jì)結(jié)果及誤差如圖6(a)～(b)所示,顯示了AH2/H∞F、H∞F和EKF法估算的SOC變化曲線?？梢钥吹?EKF法估計(jì)SOC的過(guò)程中出現(xiàn)劇烈的波動(dòng),得到的估算結(jié)果偏離真實(shí)值持續(xù)增大并愈發(fā)明顯;H∞F法估計(jì)SOC的過(guò)程中也出現(xiàn)了比較明顯的波動(dòng),尤其是在后半段,估算結(jié)果與實(shí)際值產(chǎn)生較大偏差;而AH2/H∞F法估計(jì)SOC的過(guò)程則比較平穩(wěn),估算的結(jié)果與實(shí)際值的偏差一直保持在較小的范圍內(nèi),說(shuō)明其魯棒性較強(qiáng)。

表1給出了不同算法下SOC的誤差統(tǒng)計(jì)特征值。

表1 誤差統(tǒng)計(jì)特征值Tab.1 Error statistical eigenvalues

從表1可以看出,采用AH2/H∞F算法的SOC估計(jì)值最大誤差為0.005 0,在3種算法中最低;平均絕對(duì)誤差為0.001 9,相比于H∞F算法的估計(jì)結(jié)果,估計(jì)精度提升了約78%,相比于EKF算法的估計(jì)結(jié)果,精度提升約83%;AH2/H∞F的標(biāo)準(zhǔn)差為0.002 3,在3種算法中最小,說(shuō)明AH2/H∞F算法的魯棒性最強(qiáng),估計(jì)值與測(cè)量值間的誤差最小。

4.3 SOH的估計(jì)

鋰電池的歐姆內(nèi)阻R0是評(píng)價(jià)其SOH的主要指標(biāo)之一,對(duì)R0的在線估計(jì)可以得到鋰電池的SOH。R0的估計(jì)曲線如圖4(a)所示,SOH的估計(jì)曲線如圖7所示。

圖7 SOH估計(jì)結(jié)果Fig.7 SOH estimation results

從圖7中可以看到,仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)束時(shí)相對(duì)應(yīng)的SOH值為81.85%。由此,可以通過(guò)辨識(shí)歐姆內(nèi)阻R0來(lái)監(jiān)測(cè)電池的健康狀態(tài)。

5 結(jié) 論

通過(guò)提出一種自適應(yīng)H2/H∞濾波器對(duì)鋰電池的SOC和SOH進(jìn)行聯(lián)合估計(jì),采用AFFRLS法在線辨識(shí)鋰電池的模型參數(shù),H2/H∞濾波估計(jì)鋰電池的SOC;AFFRLS辨識(shí)與H2/H∞濾波交替進(jìn)行,得到一種AH2/H∞F。AFFRLS辨識(shí)出電池參數(shù)用于調(diào)整H2/H∞F實(shí)現(xiàn)SOC的自適應(yīng)估計(jì),同時(shí)使用AFFRLS辨識(shí)出的歐姆內(nèi)阻值與失效的歐姆內(nèi)阻值計(jì)算出電池的SOH,實(shí)現(xiàn)了鋰電池SOC與SOH的聯(lián)合估計(jì)。AH2/H∞F的設(shè)計(jì)考慮了外部?jī)深愒肼曅盘?hào),更加全面。仿真實(shí)驗(yàn)表明,與FPH2/H∞F比較,AH2/H∞F具有自適應(yīng)性,能夠在模型參數(shù)變化的情況下準(zhǔn)確的估計(jì)電池的SOC和SOH;相比于EKF和H∞濾波算法具有更高的估計(jì)精度與穩(wěn)定性。