胡付佳,周逸倫,2,劉小民

(1. 西安交通大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院,710049,西安;2. 西安陜鼓動(dòng)力股份有限公司,710075,西安)

深度學(xué)習(xí)(DL)在圖像處理、語音識(shí)別和疾病診斷等許多領(lǐng)域有巨大突破[1-3]。近年來,由于DL在處理強(qiáng)非線性和高維度方面的出色能力,其在求解流體動(dòng)力學(xué)問題中被廣泛嘗試應(yīng)用,以期能在未來不影響求解精度的情況下取代或加速數(shù)值計(jì)算。

Raissi等[4-5]首次提出了一種基于物理信息的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型(PINN),將偏微分方程(PDEs)嵌入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以求解正反問題[6]。PINN是通過用PDEs,包括質(zhì)量和動(dòng)量守恒定律,來修正神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的損失函數(shù)。這是深度學(xué)習(xí)方法的一個(gè)重要突破,PINN的輸出預(yù)測(cè)變量符合相應(yīng)的物理學(xué)定律。純數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的損失函數(shù)是由網(wǎng)絡(luò)輸出與訓(xùn)練數(shù)據(jù)的差值定義,而PINN可以在使用小數(shù)據(jù)集或沒有數(shù)據(jù)集的情況下進(jìn)行有效訓(xùn)練,且任意大小和形狀的計(jì)算域流場(chǎng)信息經(jīng)過訓(xùn)練均可以滿足相應(yīng)的控制方程,解決尋找向真值收斂的未知參數(shù)的反問題。Rao等[7]提出了一種混合變量的PINN方法,用于模擬低雷諾數(shù)下定常和非定常圓柱繞流問題,提高了PINN的可訓(xùn)練性和求解精度。Choi等[8]針對(duì)一個(gè)類似化學(xué)反應(yīng)器的多參考系系統(tǒng),使用小批量訓(xùn)練和加權(quán)損失函數(shù),解決了PINN模型的記憶誤差和發(fā)散問題。田十方等[9]提出了一種梯度優(yōu)化PINN模型提高了損失函數(shù)梯度波動(dòng)的魯棒性和求解精度。Cheng等[10]發(fā)展了一種基于Resnet塊的PINN模型,對(duì)流體動(dòng)力學(xué)問題具有更強(qiáng)的預(yù)測(cè)能力。

PINN在復(fù)雜的流體動(dòng)力學(xué)問題上也表現(xiàn)出優(yōu)異的能力,如渦激振動(dòng)(VIV)問題[11]、變截面管道流動(dòng)問題[12]、湍流燃燒化學(xué)問題[13]和基于Helmholtz方程的聲學(xué)問題[14]。在這些研究中,通過發(fā)展深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)深度學(xué)習(xí)方法,很好地預(yù)測(cè)了多物理場(chǎng)耦合問題。因此,如何將PINN方法推廣到其他類型復(fù)雜流體動(dòng)力學(xué)問題的研究中,如撲翼的氣動(dòng)特性的數(shù)值預(yù)測(cè),是本文研究工作的主要目標(biāo)。仿生撲翼微型飛行器(FMAVs)在軍事和民用中有巨大的應(yīng)用潛力[15],仿昆蟲撲翼飛行氣動(dòng)力學(xué)的實(shí)驗(yàn)[16]和數(shù)值[17]研究也受到了廣泛關(guān)注。準(zhǔn)確的氣動(dòng)力測(cè)量和詳細(xì)地流場(chǎng)信息捕獲對(duì)于揭示撲翼潛在的飛行機(jī)理具有重要意義[18]。

自動(dòng)微分法和反向傳播算法是PINN模型采用的主要訓(xùn)練方法,適用于處理復(fù)雜邊界和任意計(jì)算域內(nèi)的物理量空間時(shí)間項(xiàng)導(dǎo)數(shù)和求解神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)梯度,如權(quán)重和偏差。理想情況下,當(dāng)初始條件和邊界條件設(shè)置正確時(shí),PINN模型可以在沒有任何訓(xùn)練數(shù)據(jù)的情況下捕獲唯一解[19]。然而,PINN模型在實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定訓(xùn)練和準(zhǔn)確預(yù)測(cè)方面仍然面臨著巨大挑戰(zhàn),特別是當(dāng)需求解的偏微分方程中包含高頻或多尺度特征時(shí),PINN模型的預(yù)測(cè)精度難以滿足真實(shí)值的要求[20-21]。對(duì)于更為復(fù)雜的非線性非定常問題,現(xiàn)有PINN模型的缺點(diǎn)是比較明顯的,預(yù)測(cè)誤差隨著時(shí)間序列的推移而增大。為此,Raissi等[22]發(fā)展了隱藏流體力學(xué)(HFM)方法,通過提取少量部分流場(chǎng)信息對(duì)相應(yīng)生物醫(yī)學(xué)問題的物理流場(chǎng)進(jìn)行定量預(yù)測(cè)。Kochkov等[23]引入了一種端到端深度學(xué)習(xí)方法,通過使用比傳統(tǒng)要求的數(shù)量級(jí)更粗糙的網(wǎng)格來加速和改進(jìn)二維湍流的近似預(yù)測(cè)。

為了有效解決PINN模型對(duì)復(fù)雜瞬態(tài)流場(chǎng)預(yù)測(cè)精度低的問題,本文提出了一種混合粗?jǐn)?shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的PINN模型(HCDD-PINN),旨在利用從實(shí)驗(yàn)和數(shù)值研究中獲得的稀疏數(shù)據(jù)信息,改進(jìn)PINN模型對(duì)涉及大物體運(yùn)動(dòng)和非定常特征的撲翼擾流問題的預(yù)測(cè)精確度。施加物理控制方程和邊界條件等“硬”約束以及粗糙內(nèi)部數(shù)據(jù)“軟”約束,最小化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)損失函數(shù),得到訓(xùn)練完成的HCDD-PINN模型,對(duì)撲翼氣動(dòng)力、速度場(chǎng)和壓力場(chǎng)等物理量進(jìn)行預(yù)測(cè)。

1 撲翼問題物理學(xué)描述

1.1 撲翼運(yùn)動(dòng)學(xué)

昆蟲的翅膀圍繞著一個(gè)平面撲動(dòng),定義為撲動(dòng)平面[24],指翼根到翼尖從最大位置角掃掠到最小位置角形成的平面。撲動(dòng)平面與水平面的夾角β隨生物飛行速度和撲翼運(yùn)動(dòng)學(xué)不同而變化。假設(shè)翅膀是剛性的,其運(yùn)動(dòng)學(xué)可以用相對(duì)于撲動(dòng)平面的3個(gè)歐拉角來描述:①繞沉浮軸的沉浮運(yùn)動(dòng),由位置角φ描述;②繞俯仰軸的俯仰運(yùn)動(dòng),由攻角α描述;③繞偏航軸的偏航運(yùn)動(dòng),由偏航角θ描述。圖1(a)所示為果蠅翅膀運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)示意圖。

(a)果蠅撲翼運(yùn)動(dòng)學(xué)

(b)俯仰運(yùn)動(dòng)

為驗(yàn)證本文提出的模型HCDD-PINN對(duì)涉及大物體運(yùn)動(dòng)和非定常特征流動(dòng)問題的預(yù)測(cè)精確性,針對(duì)昆蟲撲翼飛行尺度,撲翼模型選擇俯仰運(yùn)動(dòng)的NACA0012對(duì)稱翼型,俯仰運(yùn)動(dòng)(繞撲翼中心旋轉(zhuǎn))由下式給出

α(t)=αmsin(2πft)

(1)

式中:αm為俯仰運(yùn)動(dòng)幅值,f為頻率,本文αm和f分別選取π/4和0.25 Hz。對(duì)應(yīng)基于來流速度和撲翼弦長(zhǎng)的雷諾數(shù)Re為100,與果蠅撲翼飛行雷諾數(shù)相同[17]。圖1(b)給出了本文研究的撲翼運(yùn)動(dòng)學(xué)示意圖。

1.2 控制方程和CFD計(jì)算方法

本文以基于有限體積法的計(jì)算流體力學(xué)軟件Fluent 20.0為平臺(tái),對(duì)撲翼流場(chǎng)進(jìn)行數(shù)值求解,撲翼的運(yùn)動(dòng)由Fluent用戶自定義函數(shù)UDF給出,并結(jié)合動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)來實(shí)現(xiàn)。由于本文的研究對(duì)象是基于低雷諾數(shù)條件下的昆蟲撲翼飛行,流場(chǎng)流速很低(馬赫數(shù)Ma約為0.02),且每次撲動(dòng)都在翼面產(chǎn)生新的剪切層,因此流動(dòng)可以假設(shè)為層流、不可壓縮流動(dòng),撲翼流場(chǎng)的控制方程簡(jiǎn)化為二維非定常不可壓縮Navier-Stokes方程

(2)

(3)

式中:u、ρ、p和μ分別是速度矢量、流體密度、壓力和流體動(dòng)力黏性。

在數(shù)值求解中,采用SIMPLEC算法進(jìn)行壓力-速度耦合,采用分步算法進(jìn)行時(shí)間推進(jìn)。對(duì)流項(xiàng)、擴(kuò)散項(xiàng)和時(shí)間項(xiàng)的離散格式分別選用二階迎風(fēng)格式、中心差分格式和后向隱格式。

如圖2所示,計(jì)算域?yàn)閇-5c, 10c]×[-5c, 5c],撲翼前緣置于(0, 0)處,初始攻角為0。c是撲翼弦長(zhǎng)。在進(jìn)口、頂部和底部施加速度邊界條件u=1 m/s、v=0。出口施加Neumann壓力邊界條件dp/dx=0,在撲翼上施加無滑移壁面邊界條件。計(jì)算域分為非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格的外部“變形”域和結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格的內(nèi)部“運(yùn)動(dòng)”域。內(nèi)域隨撲翼執(zhí)行相同的俯仰運(yùn)動(dòng),網(wǎng)格保持不變,保證撲翼邊界層網(wǎng)格質(zhì)量;外域網(wǎng)格采用Re-mesh法保證網(wǎng)格質(zhì)量。靠近內(nèi)域的網(wǎng)格由于撲翼俯仰運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生較大的畸變率,當(dāng)網(wǎng)格畸變率超過閾值,質(zhì)量差的網(wǎng)格會(huì)被刪除,然后再生成新的質(zhì)量好的網(wǎng)格。本研究采用的CFD計(jì)算方法已經(jīng)在先前的研究中被驗(yàn)證具有較高的流場(chǎng)特征捕獲精度[17-18]。

2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)框架搭建

2.1 PINN框架

流場(chǎng)速度和壓力分布是流場(chǎng)特征的決定性因素,也是研究者最感興趣的需要求解的物理量。在二維非定常PINN框架中,深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(DNN),也叫多層感知機(jī)(MLP),被用來預(yù)測(cè)偏微分方程的解φ*(x),也就是相應(yīng)感興趣的物理場(chǎng)變量,這里上標(biāo)*表示網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)值。DNN由Nl個(gè)完全連接的層組成,其中輸入層x=(x,y,t)包含計(jì)算域D內(nèi)的空間坐標(biāo)和時(shí)間變量,輸出層y=φ(x)=(u,v,p)包含速度和壓力變量,中間隱藏層用來連接輸入和輸出之間復(fù)雜的非線性關(guān)系,建立一種從輸入層到輸出層映射關(guān)系￡

y=￡(x)=l(x,θ)

(4)

式中:l(·,θ)∈Na→Nb表示變量為θ(W,b)的非線性組成函數(shù),W和b分別表示隱藏神經(jīng)元的權(quán)重和偏置值。通過DNN結(jié)構(gòu)傳播每個(gè)選定點(diǎn)的空間坐標(biāo)和時(shí)間變量,計(jì)算PINN的物理輸出生成預(yù)測(cè)。傳播過程為前饋傳播,如下所示

l(x,θ)=

(5)

(6)

式中:hi(·;Θi)∈li-1→li,li表示第i層輸出的大小;Θi∈li-1×li+1是第i層的權(quán)重和偏置矩陣矢量。θ≡(Θ1, …,Θi, …,ΘNl)是DNN的權(quán)重和偏置矩陣矢量。采用Xavier方法對(duì)θ進(jìn)行初始化來加速DNN的收斂,并在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過程中對(duì)θ不斷進(jìn)行評(píng)估修正。隱藏層使用雙曲正切激活函數(shù),輸出層使用線性激活函數(shù)。

基于物理信息的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PINN用式(2)和(3)表示的偏微分方程組修改傳統(tǒng)損失函數(shù),從而實(shí)現(xiàn)流體運(yùn)動(dòng)的預(yù)測(cè)。采用DNN近似相應(yīng)的流動(dòng),通常具有以下結(jié)構(gòu)

Π{φ(x)}=0,x∈D

(7)

φ(x)=φbc(x),x∈?D

(8)

式中:Π{·}是非線性微分算子,表示對(duì)流項(xiàng)、擴(kuò)散項(xiàng)和源項(xiàng)等PDEs量;φbc(·)是邊界條件函數(shù);D和?D分別表示計(jì)算域及其邊界。

采用自動(dòng)微分法(AD),計(jì)算以上構(gòu)建的PINN框架中DNN輸出關(guān)于時(shí)間和空間的偏導(dǎo)數(shù)的項(xiàng),以便直接在Tensorflow中搭建深度學(xué)習(xí)框架[25]。為了降低式(3)中導(dǎo)數(shù)的階數(shù),這里引入柯西應(yīng)力張量σ

(9)

則式(3)可表示為如下

(10)

將柯西應(yīng)力張量σ添加到DNN的輸出變量中,不僅降低了導(dǎo)數(shù)的階數(shù),而且提高了DNN的可訓(xùn)練性[7]。針對(duì)撲翼繞流問題,選取翼型弦長(zhǎng)c為特征長(zhǎng)度、撲動(dòng)周期T為特征時(shí)間、來流速度u0為特征速度。基于這3個(gè)特征參數(shù)和流體密度ρ,分別對(duì)DNN的輸入變量x、y、t和輸出變量u、v、p、σ進(jìn)行無量綱化處理。通過對(duì)PDEs進(jìn)行歸一化處理,可以避免由數(shù)據(jù)量級(jí)不同引起的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練時(shí)間延長(zhǎng)以及梯度消失和梯度爆炸造成的預(yù)測(cè)結(jié)果不準(zhǔn)確,降低模型噪聲敏感性。

PINN的關(guān)鍵特征是將物理規(guī)律嵌入損失函數(shù)中,不斷迭代最小化損失,從而神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出可以準(zhǔn)確接近期望的偏微分方程和相關(guān)邊界條件。損失函數(shù)εloss的表達(dá)形式為

(11)

(12)

(13)

式中:Ng表示計(jì)算域內(nèi)配置點(diǎn)的數(shù)量;Nbc,j表示邊界j上配置點(diǎn)數(shù)量。

以上是基于物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的框架描述,該模型可以基于物理定律來預(yù)測(cè)流場(chǎng)變量。相比于傳統(tǒng)純數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的深度學(xué)習(xí)方法,PINN不再是一個(gè)黑箱,使用小數(shù)據(jù)集或無數(shù)據(jù)集就可以對(duì)物理流場(chǎng)進(jìn)行有效訓(xùn)練,滿足相應(yīng)的控制方程,適用于任何形狀、大小的計(jì)算域,并能求解未知參數(shù)的逆問題,在復(fù)雜流體動(dòng)力學(xué)問題中表現(xiàn)出優(yōu)越的能力。理想情況下,當(dāng)施加恰當(dāng)?shù)某跏紬l件和邊界條件,PINN可以在沒有任何數(shù)據(jù)集的情況下得到相應(yīng)偏微分方程的唯一解。

2.2 HCDD-PINN框架

PINN方法被期望擴(kuò)展到更為復(fù)雜的撲翼流動(dòng)動(dòng)力學(xué)問題,但由于撲翼運(yùn)動(dòng)具有大變形、大位移特點(diǎn),相應(yīng)流動(dòng)也具有強(qiáng)非線性和非定常性,目前PINN并沒有很好地解決這個(gè)問題。PINN在訓(xùn)練穩(wěn)定性和預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性方面仍面臨巨大挑戰(zhàn),尤其是當(dāng)偏微分方程解包含高頻或多尺度特征時(shí)[20-21],不僅難以收斂,而且即使殘差降低到相對(duì)較低范圍時(shí),PINN的預(yù)測(cè)也可能難以滿足物理規(guī)律。對(duì)于非定常流動(dòng)特性,誤差會(huì)隨著時(shí)間推移而逐漸變大[11]?；诖?本文提出了一種混合粗?jǐn)?shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)基于物理信息的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型HCDD-PINN,利用從實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬中獲得的少量且不太準(zhǔn)確的數(shù)據(jù),來提高PINN模型解決涉及物體大運(yùn)動(dòng)和非定常特征流動(dòng)問題的能力。換句話說,可以利用PINN方法對(duì)這些粗糙數(shù)據(jù)集修正,以獲得完整的流場(chǎng)信息。這些粗糙的內(nèi)部數(shù)據(jù)隨機(jī)分布在時(shí)空位置,容易應(yīng)用到DNN框架中。

合適的流場(chǎng)初始化方法不僅可以加速收斂,而且能提高預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性。引入初始時(shí)刻數(shù)據(jù)集作為模型初始條件,則相應(yīng)的損失函數(shù)增加了一項(xiàng)初始條件損失εI。同時(shí),選取比參考CFD結(jié)果網(wǎng)格粗糙10倍的數(shù)值結(jié)果作為模型內(nèi)部數(shù)據(jù)訓(xùn)練集,則相應(yīng)的損失函數(shù)增加了一項(xiàng)內(nèi)部損失εint。第k個(gè)點(diǎn)處的εI、εint表達(dá)式如下

(14)

(15)

式中:NI表示用于初始化的點(diǎn)數(shù)量;Nint表示用于訓(xùn)練的內(nèi)部粗糙數(shù)據(jù)點(diǎn)集。則損失函數(shù)可以表示為

εloss=

(16)

式中:λbc/I表示初始條件和邊界條件損失權(quán)重系數(shù);λint表示內(nèi)部損失權(quán)重系數(shù)。權(quán)重系數(shù)用來平衡總損失各項(xiàng)占比,使優(yōu)化器合理均勻分配優(yōu)化各項(xiàng)損失的資源,加速神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過程,提高收斂性。圖3給出了HCDD-PINN模型的結(jié)構(gòu)框架示意圖,圖中神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)包括兩個(gè)隱藏層,每個(gè)隱藏層包含5個(gè)神經(jīng)元。

圖3 HCDD-PINN模型的結(jié)構(gòu)框架Fig.3 Structural framework of HCDD-PINN model

2.3 數(shù)據(jù)準(zhǔn)備和求解設(shè)置

基于1.2小節(jié)中介紹的數(shù)值計(jì)算方法,獲得足夠精度的俯仰撲翼擾流問題CFD計(jì)算結(jié)果作為參照算例,驗(yàn)證HCDD-PINN模型對(duì)撲翼氣動(dòng)性能預(yù)測(cè)能力。由網(wǎng)格粗糙10倍的CFD計(jì)算得到粗糙訓(xùn)練數(shù)據(jù)。HCDD-PINN計(jì)算域和邊界條件設(shè)置和CFD相同,如圖2所示。

在HCDD-PINN訓(xùn)練中,不采用傳統(tǒng)CFD計(jì)算中貼體網(wǎng)格,輸入層采用拉丁超立方抽樣法LHS隨機(jī)獲取整個(gè)時(shí)空域的配置點(diǎn)NLHS,并在撲翼附近一個(gè)矩形區(qū)域(5.5c×3c)進(jìn)行加密,以更好地捕獲流場(chǎng)細(xì)節(jié)。為了精確描述撲翼的形狀和運(yùn)動(dòng),撲翼周圍的瞬態(tài)配置點(diǎn)NLins為由linspace法生成的一個(gè)矩形域配置點(diǎn),且在整個(gè)撲動(dòng)周期內(nèi)僅在時(shí)間步長(zhǎng)Nt對(duì)應(yīng)的空間域均勻間隔采樣。圖4給出了HCDD-PINN模型在整個(gè)時(shí)空域(x,y,t)的配置點(diǎn)分布。因此,HCDD-PINN模型的全部配置點(diǎn)Ncollo可以表達(dá)為

圖4 HCDD-PINN配置點(diǎn)分布Fig.4 Collocation points distribution of HCDD-PINN model

Ncollo=NLHS+NtNLins

(17)

(18)

(19)

式中:ri是撲翼邊界上第i個(gè)配置點(diǎn)距離撲翼旋轉(zhuǎn)中心的距離。

2.4 求解流程

深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對(duì)于擬合未知的映射函數(shù)y=f(x)是比較困難的,但如果將問題轉(zhuǎn)化為學(xué)習(xí)損失函數(shù):h(x)=f(x)-y,當(dāng)h(x)=0,可滿足映射y=f(x)。這種處理方式降低了問題的復(fù)雜性,使得問題從訓(xùn)練映射關(guān)系變?yōu)閮?yōu)化損失。因此,撲翼流場(chǎng)預(yù)測(cè)問題從擬合映射函數(shù)y(u,v,p,σ)=￡(x(x,y,t))轉(zhuǎn)化為優(yōu)化損失函數(shù)εloss。

對(duì)于當(dāng)前問題,在Tensorflow框架中通過Python語言編程實(shí)現(xiàn)模型搭建和求解。采用自適應(yīng)矩估計(jì)ADAM算法和L-BFGS-B算法來調(diào)整模型參數(shù),以最小化損失函數(shù)。ADAM是一種基于動(dòng)量和自適應(yīng)學(xué)習(xí)率的優(yōu)化算法,可以在較短時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)高效收斂。L-BFGS-B算法是一種基于擬牛頓法的優(yōu)化算法,通過構(gòu)建模型Hessian矩陣的逆矩陣來更新網(wǎng)絡(luò)權(quán)重參數(shù),收斂快速,但計(jì)算復(fù)雜度較高。圖5為HCDD-PINN模型訓(xùn)練優(yōu)化流程圖。

圖5 HCDD-PINN模型前饋-反向傳播流程圖Fig.5 Flow-process diagram for forward-back-feed propagation of HCDD-PINN model

開展HCDD-PINN模型訓(xùn)練優(yōu)化,首先建立物理模型,針對(duì)所研究的物理問題,給出相應(yīng)的流動(dòng)控制方程以及邊界條件,并根據(jù)模型的特點(diǎn)生成相應(yīng)的訓(xùn)練集數(shù)據(jù),對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理。然后,設(shè)計(jì)合適的深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)DNN,包括網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、激活函數(shù)、學(xué)習(xí)率以及迭代步數(shù)等,并根據(jù)物理模型構(gòu)建相應(yīng)的損失函數(shù)。接著使用訓(xùn)練集數(shù)據(jù)對(duì)DNN進(jìn)行訓(xùn)練,建立輸入層和輸出層的映射關(guān)系,通過反向傳播中ADAM和L-BFGS-B優(yōu)化算法更新神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重參數(shù)矩陣,直到訓(xùn)練達(dá)到設(shè)定的迭代步數(shù)或模型損失函數(shù)降到一定閾值,結(jié)束訓(xùn)練。最后,保存模型流場(chǎng)預(yù)測(cè)結(jié)果和損失函數(shù),優(yōu)化收斂信息。

3 結(jié)果與分析

3.1 訓(xùn)練和預(yù)測(cè)性能

從CFD計(jì)算結(jié)果可以看到,撲翼產(chǎn)生的氣動(dòng)力在3個(gè)撲動(dòng)周期內(nèi)已經(jīng)達(dá)到周期性狀態(tài)。因此,選擇第四周期的CFD結(jié)果對(duì)HCDD-PINN模型進(jìn)行訓(xùn)練、預(yù)測(cè)和比較。

根據(jù)經(jīng)驗(yàn)選擇合適的模型超參數(shù),如損失加權(quán)系數(shù)(λbc/I=5,λint=3)、神經(jīng)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)(8個(gè)隱藏層,每層50個(gè)神經(jīng)元)、配置點(diǎn)(Ncollo=1.74×105,其中NLHS=9.5×104,NLins=790,Nt=100)以及ADAM優(yōu)化器的學(xué)習(xí)率(5×10-4)和最大迭代步(5×103)。選取第四撲動(dòng)周期開始時(shí)參照的CFD流場(chǎng)數(shù)據(jù)(t/T=3),對(duì)HCDD-PINN模型進(jìn)行初始化。

在CFD數(shù)值計(jì)算中,流場(chǎng)3個(gè)標(biāo)量(速度u、v和壓力p)的計(jì)算結(jié)果被保存成100個(gè)流場(chǎng)快照。采用TTS(Train Test Split)方法將相應(yīng)的粗糙計(jì)算結(jié)果隨機(jī)地分為訓(xùn)練集和測(cè)試集。其中訓(xùn)練集占總數(shù)據(jù)點(diǎn)的百分比將決定每個(gè)快照用于訓(xùn)練的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)量,而一個(gè)周期內(nèi)用于訓(xùn)練模型的快照數(shù)將決定用于訓(xùn)練的粗糙數(shù)據(jù)點(diǎn)總數(shù)量。本文選擇41個(gè)流場(chǎng)快照(包含初始時(shí)刻t/T=0),且每個(gè)快照訓(xùn)練集數(shù)據(jù)占粗糙數(shù)據(jù)的百分比為0.05。

表1 PINN模型和HCDD-PINN模型訓(xùn)練和預(yù)測(cè)性能對(duì)比

(20)

(21)

(22)

從表1可以看出,原始PINN模型在基于俯仰運(yùn)動(dòng)的撲翼流場(chǎng)控制方程和相應(yīng)邊界條件的約束下,即使損失已經(jīng)優(yōu)化到O(10-4)量級(jí),但速度場(chǎng)和壓力場(chǎng)的預(yù)測(cè)并不準(zhǔn)確。同時(shí),模型訓(xùn)練時(shí)間很長(zhǎng),L-BFGS-B算法優(yōu)化器是因?yàn)榈綌?shù)達(dá)到上限而停止優(yōu)化損失函數(shù)。本文提出的HCDD-PINN模型借助少量粗糙內(nèi)部數(shù)據(jù)(每個(gè)快照近103個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)),流場(chǎng)的預(yù)測(cè)誤差均大大降低,且訓(xùn)練過程縮短了75%。由于引入了內(nèi)部損失εint,加權(quán)后的總損失增大,但L-BFGS-B算法優(yōu)化器是因?yàn)檫_(dá)到收斂條件而停止優(yōu)化。

圖6給出了各項(xiàng)損失收斂歷史的更多細(xì)節(jié),包括總損失εloss、控制方程損失εg、邊界條件損失εbc、初始條件損失εI、以及內(nèi)部損失εint?？梢钥吹?HCDD-PINN模型需要近60 000迭代步數(shù)就完成了訓(xùn)練。初始條件和邊界條件容易滿足,相應(yīng)損失容易優(yōu)化,因此加權(quán)系數(shù)λbc/I取較大值。模型在從ADAM優(yōu)化器切換到L-BFGS-B優(yōu)化器時(shí),損失函數(shù)可以實(shí)現(xiàn)快速收斂?？倱p失中各項(xiàng)貢獻(xiàn)度主要由相應(yīng)配置點(diǎn)的數(shù)量決定,配置點(diǎn)數(shù)量越多,相應(yīng)的損失項(xiàng)數(shù)值越大,占比越多。流域內(nèi)整個(gè)時(shí)空配置點(diǎn)遠(yuǎn)大于相應(yīng)邊界處配置點(diǎn)。

圖6 損失函數(shù)隨迭代步數(shù)的關(guān)系曲線圖Fig.6 Curves for the relationship between different loss terms and iterations

對(duì)于完成訓(xùn)練的HCDD-PINN模型,任意時(shí)刻撲翼周圍的瞬時(shí)速度場(chǎng)和壓力場(chǎng)幾乎可以立即實(shí)現(xiàn)預(yù)測(cè),單從計(jì)算資源和成本方面來看,HCDD-PINN模型在撲翼問題的優(yōu)化研究中具有相當(dāng)大的優(yōu)勢(shì)。特別是當(dāng)計(jì)算擴(kuò)展到更高維度時(shí),如果仍采用傳統(tǒng)的CFD求解器,通常需要高質(zhì)量的網(wǎng)格來保證數(shù)值計(jì)算精度,計(jì)算成本將會(huì)大大增加。采用HCDD-PINN模型,在保證計(jì)算精度的同時(shí)又能較大程度的節(jié)約計(jì)算資源。本文選擇計(jì)算域中近105個(gè)空間散點(diǎn),對(duì)不同時(shí)刻的撲翼流場(chǎng)進(jìn)行預(yù)測(cè),在整個(gè)撲動(dòng)周期內(nèi)共保存51個(gè)流場(chǎng)快照,包括初始時(shí)刻和最終時(shí)刻。圖7對(duì)比了原始PINN模型和HCDD-PINN模型一個(gè)周期內(nèi)預(yù)測(cè)速度(u,v)和預(yù)測(cè)壓力p相對(duì)L2誤差的變化?？梢钥闯?HCDD-PINN在整個(gè)周期內(nèi)對(duì)u、v和p的預(yù)測(cè)精度均顯著提高,能夠準(zhǔn)確構(gòu)建撲翼流場(chǎng),并捕捉到相應(yīng)的流動(dòng)非定常特性。

(a)速度u

(b)速度v

(c)壓力p

3.2 瞬時(shí)氣動(dòng)力預(yù)測(cè)

撲翼的升力FL、阻力FD、壓力FP和黏性力FV分別由下式計(jì)算得到

(23)

(24)

(25)

(26)

相應(yīng)的,氣動(dòng)力無量綱系數(shù)由下式給出

(27)

式中:ρ為流體密度;u0為進(jìn)口速度;c為撲翼弦長(zhǎng);CL是升力系數(shù);CD是阻力系數(shù);CP是壓力系數(shù);CV是黏性力系數(shù)。

圖8給出了原始PINN模型和本文提出的HCDD-PINN模型對(duì)撲翼產(chǎn)生的4種氣動(dòng)力周期分布預(yù)測(cè)結(jié)果,并與CFD結(jié)果進(jìn)行比較。從圖中可以看出:原始PINN模型并不能準(zhǔn)確預(yù)測(cè)撲翼表面產(chǎn)生的氣動(dòng)力大小和趨勢(shì);HCDD-PINN模型不僅可以定量捕捉不同時(shí)刻撲翼氣動(dòng)力的大小,而且可以定性預(yù)測(cè)撲翼氣動(dòng)力周期內(nèi)分布。從圖8可以看出,采用HCDD-PINN模型得到阻力和壓力的預(yù)測(cè)結(jié)果與相應(yīng)CFD計(jì)算結(jié)果十分吻合,而黏性力和升力預(yù)測(cè)結(jié)果還存在較小誤差。由于撲翼升力是壓力和黏性力在垂直方向上的分量之和,因此撲翼氣動(dòng)力的預(yù)測(cè)誤差主要來源于垂直來流方向的黏性力誤差。要實(shí)現(xiàn)HCDD-PINN模型準(zhǔn)確預(yù)測(cè)任意計(jì)算域內(nèi)撲翼的瞬時(shí)氣動(dòng)力,關(guān)鍵在于準(zhǔn)確構(gòu)建撲翼附近物理流場(chǎng)。

(a)升力系數(shù)

(b)阻力系數(shù)

(c)壓力系數(shù)

(d)黏性力系數(shù)

3.3 瞬時(shí)流場(chǎng)預(yù)測(cè)

為了研究HCDD-PINN模型對(duì)撲翼氣動(dòng)性能的預(yù)測(cè)能力,圖9～圖11分別給出了PINN模型和HCDD-PINN模型在t/T為0.25、0.5和0.75時(shí)速度場(chǎng)和壓力場(chǎng)的預(yù)測(cè)結(jié)果,并與CFD參照的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。其中,HCDD-PINN模型預(yù)測(cè)的速度u、v和壓力p相對(duì)于CFD參照的誤差在圖中第4列給出,分別由絕對(duì)誤差Δu、Δv和Δp表示

圖9 t/T=0.25時(shí)速度(u, v)場(chǎng)和壓力p場(chǎng)云圖Fig.9 Cloud pictures of velocity (u, v) and pressure p fields at t/T=0.25

圖10 t/T=0.5時(shí)速度(u, v)場(chǎng)和壓力p場(chǎng)云圖Fig.10 Cloud pictures of velocity (u, v) and pressure p fields at t/T=0.5

圖11 t/T=0.75時(shí)速度(u, v)場(chǎng)和壓力p場(chǎng)云圖Fig.11 Cloud pictures of velocity (u, v) and pressure p fields at t/T=0.75

(28)

(29)

(30)

從圖9～圖11可以看出,原始PINN模型預(yù)測(cè)的速度場(chǎng)和壓力場(chǎng)與CFD參照計(jì)算結(jié)果在不同時(shí)刻均存在明顯差異,特別是撲翼前緣和尾緣臨近區(qū)域,相應(yīng)的流場(chǎng)結(jié)構(gòu)不能被準(zhǔn)確捕捉。相比于原始PINN模型的預(yù)測(cè)結(jié)果,本文提出的HCDD-PINN模型的預(yù)測(cè)流場(chǎng)嚴(yán)格遵循偏微分控制方程PDEs物理定律以及強(qiáng)制施加的“硬”邊界條件,能精確捕捉撲翼附近和尾跡的流動(dòng)區(qū)域,僅在遠(yuǎn)場(chǎng)處和尾跡流存在輕微的時(shí)序序列偏差。整個(gè)撲動(dòng)周期內(nèi),撲翼渦結(jié)構(gòu)特征產(chǎn)生、發(fā)展和脫落的演化過程、以及相應(yīng)位置和強(qiáng)度大小均能準(zhǔn)確的進(jìn)行預(yù)測(cè),且絕對(duì)誤差控制在2%～15%以內(nèi)。對(duì)于驗(yàn)證的算例,速度場(chǎng)預(yù)測(cè)誤差比壓力場(chǎng)預(yù)測(cè)誤差更小。

4 結(jié) 論

本文基于物理信息的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PINN原始模型,提出了一種混合粗糙數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的HCDD-PINN模型。將描述俯仰撲翼流動(dòng)的偏微分控制方程以及初始條件和邊界條件,強(qiáng)制施加到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的損失函數(shù)中,混合粗糙訓(xùn)練集數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)模型訓(xùn)練,通過ADAM和L-BFGS-B優(yōu)化算法對(duì)損失目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。當(dāng)損失函數(shù)降低到一定閾值時(shí),訓(xùn)練完成的模型就能對(duì)撲翼周期內(nèi)的流場(chǎng)時(shí)空演變過程進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測(cè),相應(yīng)地瞬時(shí)氣動(dòng)力和時(shí)均氣動(dòng)特性也能夠得到準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。得到的主要結(jié)論如下。

(1) 粗糙訓(xùn)練集數(shù)據(jù)是從相應(yīng)實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬中獲得的少量且不太準(zhǔn)確的數(shù)據(jù),用來提高PINN模型解決涉及大物體運(yùn)動(dòng)和非定常特征流動(dòng)問題的能力。亦或是,利用HCDD-PINN模型對(duì)這些粗糙數(shù)據(jù)集進(jìn)行修正以獲得完整的流場(chǎng)信息,這是傳統(tǒng)數(shù)值模擬算法難以處理的流動(dòng)逆問題。這些粗糙的內(nèi)部數(shù)據(jù)隨機(jī)分布在時(shí)空位置,容易應(yīng)用到深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)DNN框架中。通過添加初始條件損失εI和內(nèi)部損失εint,引入相應(yīng)權(quán)重系數(shù),可以加速收斂,提高預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性。

(2) 原始PINN模型即使訓(xùn)練很長(zhǎng)時(shí)間將損失優(yōu)化到O(10-4)量級(jí),仍不能準(zhǔn)確預(yù)測(cè)撲翼的氣動(dòng)力特性和流場(chǎng)特征。HCDD-PINN模型借助少量粗糙內(nèi)部數(shù)據(jù),就可以大大降低相應(yīng)的預(yù)測(cè)誤差,準(zhǔn)確構(gòu)建撲翼非定常流場(chǎng),并評(píng)估撲翼氣動(dòng)性能,且模型訓(xùn)練時(shí)間縮短了75%。

(3)訓(xùn)練完成的HCDD-PINN模型可以對(duì)撲翼在任意時(shí)刻的瞬時(shí)流場(chǎng)進(jìn)行快速預(yù)測(cè),而傳統(tǒng)CFD方法則需要重新計(jì)算才能獲得未保存時(shí)刻的瞬時(shí)流場(chǎng),從計(jì)算時(shí)間成本上來看,對(duì)于更高維的翼型優(yōu)化、撲翼運(yùn)動(dòng)學(xué)優(yōu)化以及氣動(dòng)力優(yōu)化等問題的研究,采用HCDD-PINN模型的優(yōu)勢(shì)更明顯,可以極大程度上節(jié)約計(jì)算資源。

(編輯 杜秀杰)