梁 進(jìn)， 陶曉宇

（同濟(jì)大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海 200092）

公司債券可能由于因其在到期日資不抵債而無法按面值支付暴露的信用風(fēng)險(xiǎn)越來越為投資者所重視，因此信用評(píng)級(jí)作為能直接反映信用風(fēng)險(xiǎn)的工具也被應(yīng)用在債券定價(jià)當(dāng)中?，F(xiàn)在學(xué)術(shù)和市場上的公司債券信用風(fēng)險(xiǎn)分析方法主要分為結(jié)構(gòu)化方法（structural approach）和約化方法（reduced form approach）兩類。約化法始于Jarrow和Turnbull的研究，這是一種外生的方法［1］，它不直接考慮違約與公司價(jià)值之間的關(guān)系，而是通過給定違約概率或者強(qiáng)度來確定違約過程。而結(jié)構(gòu)化方法最早開始于Merton，這是一種內(nèi)生的方法［2］，所以也被稱為基于公司價(jià)值（asset-base）模型。

通常認(rèn)為一個(gè)公司的信用等級(jí)往往與它本身的資產(chǎn)負(fù)債結(jié)構(gòu)密切相關(guān)，因此在某些情況下使用內(nèi)生的結(jié)構(gòu)化方法來刻畫公司的信用等級(jí)遷移會(huì)比約化法更加直觀。在結(jié)構(gòu)化方法的框架下，許多學(xué)者對(duì)信用風(fēng)險(xiǎn)分析方法進(jìn)行了推廣。梁進(jìn)等［3］首次利用結(jié)構(gòu)化的方法對(duì)含信用等級(jí)遷移的公司債券進(jìn)行了研究，他們假設(shè)公司資產(chǎn)滿足幾何布朗運(yùn)動(dòng)，有關(guān)參數(shù)都為常數(shù)，利用無套利原理和Feynman Kac 公式得到了偏微分方程及其定解條件，并證明了這個(gè)問題解的存在唯一性。Hu等［4］研究了具有信用等級(jí)遷移風(fēng)險(xiǎn)的債券定價(jià)的自由邊界問題，模型中認(rèn)為信用等級(jí)邊界和公司的資產(chǎn)負(fù)債比有關(guān)，通過結(jié)構(gòu)化方法對(duì)債券定價(jià)并且得到了自由邊界問題的一些性質(zhì)。Liang 等［5］首次將漸近行波解與信用評(píng)級(jí)遷移問題聯(lián)系起來，采用自由邊界建立了債券定價(jià)模型，并證明了解的存在唯一性、唯一性和正則性。Liang 等［6］在結(jié)構(gòu)法框架下，建立了含信用等級(jí)遷移的公司債券的效用無差異定價(jià)模型；Wu等［7］基于宏觀機(jī)制轉(zhuǎn)換，建立了一個(gè)具有信用等級(jí)遷移風(fēng)險(xiǎn)的公司債券估值模型。Wu等［8］采用自由邊界模型，在結(jié)構(gòu)化框架下考慮了具有信用等級(jí)遷移風(fēng)險(xiǎn)的可違約公司債券的估值。梁進(jìn)等［9］基于Vasicek 利率模型，對(duì)擔(dān)保信用等級(jí)變換的利率互換合約進(jìn)行了定價(jià)，并推導(dǎo)出了相應(yīng)合約價(jià)值的解析解。

上述研究中，信用風(fēng)險(xiǎn)分析方法往往將波動(dòng)率設(shè)為常數(shù)，但這顯然是理想化的，實(shí)際市場上波動(dòng)率呈現(xiàn)“微笑”效應(yīng)，將波動(dòng)率簡單地設(shè)為常數(shù)往往會(huì)低估風(fēng)險(xiǎn)，比如經(jīng)典的Black-Scholes（BS）［10］模型。Scott、Hull 和Wiggins 等對(duì)BS 模型進(jìn)行了推廣，以允許隨機(jī)波動(dòng)率。Heston［11］在1993 年基于BS 模型和CIR（cox-ingersoll-ross）模型提出了一種隨機(jī)波動(dòng)率模型，模型假設(shè)公司資產(chǎn)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，資產(chǎn)波動(dòng)率滿足CIR［12］模型，實(shí)證表明，其隱含波動(dòng)率與實(shí)際更接近，從而得到較廣泛的接受。

梁進(jìn)等［13］基于Heston 模型，針對(duì)波動(dòng)率在高、低等級(jí)下定義了不同的長期均值，通過建立隨機(jī)波動(dòng)率模型來評(píng)估信用等級(jí)遷移風(fēng)險(xiǎn)，然后利用一張?zhí)厥獾牧阆⑵眮韺?duì)沖由波動(dòng)率的隨機(jī)性造成的風(fēng)險(xiǎn)，最后將問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)債券價(jià)值關(guān)于時(shí)間、公司資產(chǎn)和波動(dòng)率的二階拋物型方程，并推導(dǎo)出在信用等級(jí)遷移處的債券價(jià)值關(guān)于公司資產(chǎn)的一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的邊值條件，最后采取ADI（alternating direction implicit method）交替方向隱式法求取出數(shù)值解。

本文在文獻(xiàn)［13］的基礎(chǔ)上，同樣通過債券定價(jià)方式，使用Heston 模型，即資產(chǎn)滿足幾何布朗運(yùn)動(dòng)，資產(chǎn)波動(dòng)率方差滿足CIR過程?；陬A(yù)先設(shè)定的公司資產(chǎn)閾值將公司分為高、低兩個(gè)等級(jí)，與文獻(xiàn)［13］不同的是，本文模型考慮到在不同的信用等級(jí)下，資產(chǎn)的波動(dòng)率方差也會(huì)有不同的波動(dòng)性，因此在本文模型中，波動(dòng)率方差的波動(dòng)率σ在不同的信用等級(jí)下設(shè)定為不同的常數(shù)，即低等級(jí)下σ=σ1，高等級(jí)下σ=σ2，且由于低等級(jí)下波動(dòng)更劇烈，因此σ1＞σ2，以此反映資產(chǎn)波動(dòng)率方差在不同信用等級(jí)下的波動(dòng)情況。于是在不同的信用等級(jí)下，公司資產(chǎn)和波動(dòng)率滿足不同的隨機(jī)過程，以此建立了具有隨機(jī)波動(dòng)率方差的信用等級(jí)遷移模型。

1 建立具有隨機(jī)波動(dòng)率的信用等級(jí)遷移模型

1.1 模型假設(shè)

假設(shè)（1） 市場是完備的，不存在套利機(jī)會(huì)，無風(fēng)險(xiǎn)利率r。

假設(shè)（2） 作為研究工具的公司債券為一張面值為F，到期日為T的零息債券，且違約只發(fā)生在到期日T，即到期日的公司資產(chǎn)ST小于F判定為違約，若公司未違約，償付面值F，反之償付ST。

假設(shè)（3） 記信用等級(jí)邊界為K，若在t(t≤T)時(shí)刻，公司資產(chǎn)St＜K，則認(rèn)為公司處于低等級(jí)，反之處于高等級(jí)，公司的信用等級(jí)隨著St的變化而變化，且假設(shè)高、低等級(jí)下的債券價(jià)值在信用等級(jí)邊界K處連續(xù)。為了滿足高等級(jí)下債券一定不違約的假設(shè)，設(shè)定K≥F。

假設(shè)（4） 公司資產(chǎn)St和波動(dòng)率方差vt滿足Heston模型，即

式中：、為兩個(gè)不同的由完備帶流概率空間生成的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，且他們的相關(guān)系數(shù)為ρ；IA是事件A的示性函數(shù)；k為均值回歸系數(shù)；θ為長期均值。

記U=U(St，vt，t)、V=V(St，vt，t)，分別代表低、高等級(jí)下的債券價(jià)值。低等級(jí)下資產(chǎn)波動(dòng)率方差的波動(dòng)率為σ1，高等級(jí)下資產(chǎn)波動(dòng)率方差的波動(dòng)率為σ2，由于低等級(jí)下的波動(dòng)往往要比高等級(jí)下的波動(dòng)劇烈，設(shè)定σ2＜σ1。波動(dòng)率是非負(fù)的，根據(jù)Feller條件，參數(shù)需滿足2kθ≥σ2i［12］(i=1，2)。

假設(shè)（5） 在到期日，由于低等級(jí)債券可能違約，高等級(jí)債券一定不會(huì)違約，因此，低等級(jí)下的債券價(jià)值U(ST，vT，T)=min{ST，F(xiàn)}，高等級(jí)下的債券價(jià)值V(ST，vT，T)=F。

假設(shè)（6） 以上假設(shè)中的F、K、σi、ρ、r、T、k、θ均為正常數(shù)。

1.2 偏微分方程以及邊值條件

債券價(jià)值U和V是關(guān)于隨機(jī)變量St和vt的函數(shù)，因此U和V都實(shí)際蘊(yùn)含兩個(gè)不同的隨機(jī)波動(dòng)項(xiàng)。由假設(shè)（1）根據(jù)無風(fēng)險(xiǎn)套利，本文運(yùn)用兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)來對(duì)債券的風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行對(duì)沖，其中一種為公司本身的權(quán)益資產(chǎn)St，下面借鑒文獻(xiàn)［13］引入另外一種特殊的資產(chǎn)P并構(gòu)建無風(fēng)險(xiǎn)的投資組合，推導(dǎo)得到U和V滿足的偏微分方程以及他們滿足的邊值條件。

1.2.1 引入對(duì)沖工具

本文選取一張?zhí)厥獾睦逝c資產(chǎn)波動(dòng)率方差vt變化相一致的零息票作為對(duì)沖工具［13］。記零息票為不同信用等級(jí)下的零息票價(jià)值，P1代表低等級(jí)，低等級(jí)下t時(shí)刻的利率為，利率的波動(dòng)率為σ1；P2代表高等級(jí)，高等級(jí)下t時(shí)刻的利率為，利率的波動(dòng)率為σ2，T'為到期日，面值為1。為了保證在每個(gè)時(shí)刻都能夠充分對(duì)沖掉公司債券的風(fēng)險(xiǎn)，本文假設(shè)T'＞T。由于零息票的利率與資產(chǎn)波動(dòng)率方差變化相一致，于是

這里的k、θ、、σi同假設(shè)（4），于是Pi=Pi(vt，t；σi，T')，再由于Pi是一張零息票，因此它在t時(shí)刻的價(jià)值等于到期日面值按利率的折現(xiàn)，即

由方程（2）和（3）以及Feynman-Kac 公式［14］，可以推導(dǎo)出在鞅測度下，Pi滿足的Cauchy 問題，并得到Pi的解析式為

式中：Ai(t；σi)，Bi(t；σi)滿足

1.2.2 偏微分方程的推導(dǎo)

利用1.2.1中引入的特殊的對(duì)沖工具Pi以及公司本身的權(quán)益資產(chǎn)St來對(duì)沖掉債券的風(fēng)險(xiǎn)，通過做多一份公司債券的同時(shí)做空份的St以及份的Pi來構(gòu)造高、低等級(jí)下的無風(fēng)險(xiǎn)投資組合。根據(jù)Pi的解析式、無風(fēng)險(xiǎn)套利原理和多元Ito公式可以得到份額的表達(dá)式以及U和V滿足的偏微分方程，份額表達(dá)式如下：

結(jié)合假設(shè)（3）和假設(shè)（5）以及偏微分方程，U(S，v，t)和V(S，v，t)是以下邊界耦合線性偏微分方程組的解：

事實(shí)上，在利用Δ-對(duì)沖推導(dǎo)偏微分方程的時(shí)候，對(duì)遷移邊界可以做相似的處理，可以推導(dǎo)出在遷移邊界處的邊值條件，這個(gè)條件方程是一個(gè)關(guān)于高、低等級(jí)債券價(jià)值對(duì)波動(dòng)率的一階偏導(dǎo)和時(shí)間的函數(shù)，結(jié)合這個(gè)特殊的方程和公式（6）才構(gòu)成了本文完整的具有隨機(jī)波動(dòng)率方差的信用等級(jí)遷移模型。

1.2.3 信用等級(jí)遷移邊界上條件的推導(dǎo)

本文與文獻(xiàn)［13］同樣是基于Heston 模型，但后者的信用等級(jí)遷移體現(xiàn)在長期均值上，本文的信用等級(jí)遷移則是體現(xiàn)在波動(dòng)率方差的波動(dòng)率上，因此過信用等級(jí)遷移邊界的條件不同。根據(jù)市場無套利，高、低等級(jí)下的無風(fēng)險(xiǎn)投資組合價(jià)值在S=K處連續(xù)，即

由于高、低等級(jí)債券價(jià)值在遷移邊界處連續(xù)U|S=K=V|S=K，根據(jù)前面推導(dǎo)出的的表達(dá)式，代入式（7）可以得到

由Pi的表達(dá)式（4），可以得到Pi關(guān)于v的導(dǎo)數(shù)為

結(jié)合Bi(t；σi)的表達(dá)式，得到

將式（10）代入式（8），得到遷移邊界處的邊值條件為

結(jié)合式（11）和方程組（6），就構(gòu)成了完整的二階拋物型偏微分方程的定解問題，于是得到了具有隨機(jī)波動(dòng)率方差的信用等級(jí)遷移模型，即

其中

2 數(shù)值結(jié)果及參數(shù)分析

2.1 蛻化邊界的處理

Fichera條件［15］是對(duì)具有非負(fù)特征的方程在邊界上是否應(yīng)該配置邊界條件給定的判定法則?？梢钥闯?，v=0 為定解問題（12）的蛻化邊界，根據(jù)Fichera函數(shù)的定義，在邊界v=0上，方程的Fichera函數(shù)為

由 前 面 的λi(v，t) 表 達(dá) 式 ，λi(0，t)=可以證明λi(0，t)是關(guān)于t的單調(diào)遞減的函數(shù)，于是B(t，S，0)在t=T處取最小值。當(dāng)

B(t，S，0)是恒非負(fù)的，于是在條件（14）下，不需要在v=0上額外添加邊界條件。

2.2 隱差分格式的推導(dǎo)

對(duì)于一般的拋物型偏微分方程數(shù)值解法如顯示格式和隱式格式，前者計(jì)算較為簡單，卻無法保證解是穩(wěn)定的，而后者可以保證微分方程的解絕對(duì)穩(wěn)定，且不依賴于步長的選取，還有諸如交替方向隱格式（ADI法）、Crank-Nicolson格式［16］等推廣方法也是無條件穩(wěn)定的。本文采取隱差分格式來對(duì)問題求取數(shù)值解。

2.2.1 偏微分方程的差分化

原問題（12）的變量取值區(qū)間為Ω={0 ＜S＜∞，0 ＜v＜∞，0 ＜t＜T}，為了方便求解，取截?cái)噙吔鏢∞=v∞=4K，對(duì)網(wǎng)格進(jìn)行剖分，并記

定義如下差分算子：

對(duì)式（12）的PDE（partial differential equation）方程進(jìn)行隱格式差分，得到如下差分方程：

2.2.2 邊值條件和終值條件的差分化

（1）v=0、v∞=4K

接下來對(duì)邊界進(jìn)行差分化處理。由于v=0 是蛻化邊界，且在條件（14）下，不需要在v=0 上額外添加邊界條件，于是本文對(duì)原始PDE 方程取v=0，可以得到如下的蛻化后的一階偏微分方程：

同樣地，根據(jù)上面定義的差分算子式（15）對(duì)式（17）進(jìn)行差分得到v=0上債券價(jià)值的差分表達(dá)式為

在截?cái)噙吔鐅∞=4K處，可以認(rèn)為波動(dòng)率趨于無窮時(shí)，波動(dòng)率的微小變化對(duì)債券價(jià)值的影響不大，因此取

（2）t=T

在終值時(shí)刻t=T，根據(jù)條件可以得到

（3）S=0、S∞=4K以及遷移邊界S=K

在S趨于0 時(shí)，可以認(rèn)為公司處于破產(chǎn)清算階段，于是取=0，在S∞=4K時(shí)，公司不會(huì)有違約風(fēng)險(xiǎn)，因此

在信用等級(jí)遷移邊界S=K處，即i=M時(shí)，根據(jù)式（11）可以得到

此處的Bi(t)的定義見式（4），對(duì)上式進(jìn)行移項(xiàng)處理得到

根據(jù)前面差分后的偏微分方程、終值和邊值條件以及各參數(shù)間滿足的關(guān)系，對(duì)參數(shù)取值。首先設(shè)定公司債券的到期日T=1 年，T'＞T，因此假設(shè)對(duì)沖工具零息票的到期日T'=1.07；公司債券面值F=1 元，K＞F，于是假設(shè)信用等級(jí)遷移邊界K=1.2；固定波動(dòng)率方差的波動(dòng)率σ1=0.6，σ2=0.000 7［17］，根據(jù)交易所的數(shù)據(jù)顯示，歷史年化隱含波動(dòng)率在股災(zāi)期間可超過100%，在這里設(shè)定波動(dòng)率方差的長期均值θ=0.5，根據(jù)2kθ≥σ2，于是假設(shè)均值回歸系數(shù)k=0.9；根據(jù)市場情況，在大多數(shù)時(shí)候，1年期國庫券的實(shí)際利率在3%上下浮動(dòng)，因此假設(shè)無風(fēng)險(xiǎn)利率r=0.03；兩個(gè)隨機(jī)過程的相關(guān)系數(shù)ρ=0.2；經(jīng)過驗(yàn)算，以上參數(shù)取值滿足Fichera條件。得到的數(shù)值結(jié)果如圖1～6所示。

圖2 債券價(jià)值隨時(shí)間t的變化Fig. 2 Change in the value of bond with time t

圖3 債券價(jià)值隨資產(chǎn)S的變化Fig. 3 Change in the value of bond with S

從圖1可以看出，債券價(jià)值關(guān)于資產(chǎn)S是單調(diào)遞增的，并且在低等級(jí)下債券價(jià)值隨著S的增大而快速增大，在高等級(jí)下，隨著S的增大而增長緩慢。

從圖1～6 可以看出，債券價(jià)值是隨著時(shí)間的增大而增大的，并且含信用等級(jí)遷移的債券的價(jià)值是介于一直處于同一等級(jí)的高、低等級(jí)債券價(jià)值之間。從圖4 可以看出，在信用等級(jí)遷移邊界S=K處，債券價(jià)值關(guān)于S的一階導(dǎo)數(shù)有一個(gè)下凹的尖角，符合模型在邊界處帶跳的情況，但是由于參數(shù)的取值需滿足式（19），因此在S=K處的跳數(shù)值較小，下凹現(xiàn)象不是特別明顯。

圖4 含信用等級(jí)遷移債券隨資產(chǎn)S的變化Fig. 4 Change of credit rating migration bond with S

圖5 債券價(jià)值隨波動(dòng)率v的變化Fig. 5 Change in the value of bond with v

圖6 是初始時(shí)刻不同波動(dòng)率方差v下債券價(jià)值隨資產(chǎn)S的變化曲線，可以看出，在同樣的資產(chǎn)S下，債券價(jià)值隨著波動(dòng)率的增大而減小。

圖6 不同波動(dòng)率下含信用等級(jí)遷移債券隨資產(chǎn)S的變化Fig. 6 Change of bond with credit rating migration as asset S changes at different volatilities

2.3 參數(shù)分析

通過對(duì)各參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，分析不同參數(shù)取值對(duì)于債券價(jià)值的影響。

圖7 是在t=0，v=0.36 時(shí)的不同均值回歸速度k下債券價(jià)值隨資產(chǎn)S的變化曲線，可以看出，波動(dòng)率方差的均值回歸速度越大，債券價(jià)值越小。實(shí)際上，在現(xiàn)實(shí)生活中，對(duì)于利率來說，回歸速度越快，波動(dòng)越小，即債券凸度帶來的收益越小，于是債券價(jià)值越低。

圖7 不同均值回歸速度下含信用等級(jí)遷移債券隨資產(chǎn)S的變化Fig. 7 Change of migration bonds with credit rating as asset S changes at different mean regression speeds

圖8 是t=0，v=0.36 時(shí)公司資產(chǎn)和波動(dòng)率方差滿足的兩個(gè)隨機(jī)過程的不同相關(guān)系數(shù)ρ下的債券價(jià)值隨資產(chǎn)S變化的曲線，可以看出，相關(guān)系數(shù)ρ越大，債券價(jià)值越低，在Shimko等［18］的文章中，也有類似結(jié)論。

圖8 不同相關(guān)系數(shù)下含信用等級(jí)遷移債券隨資產(chǎn)S的變化Fig. 8 Change of bonds with credit rating migration as asset S changes at different correlation coefficients

圖9是t=0，v=0.36時(shí)不同長期均值θ下債券價(jià)值隨資產(chǎn)S的變化曲線，可以看出，在同一資產(chǎn)S的情況下，均值越大，債券價(jià)值越小，實(shí)際生活中，θ代表波動(dòng)率在未來達(dá)到穩(wěn)定后的水平，θ越大代表波動(dòng)越大，信用風(fēng)險(xiǎn)越大，于是信用利差也會(huì)變大，因此債券價(jià)值越低。

圖9 不同長期均值下含信用等級(jí)遷移債券隨資產(chǎn)S的變化Fig. 9 Change of bonds with credit rating migration as asset S changes at different long-term means

3 結(jié)語

本文以公司債券定價(jià)為工具來評(píng)估信用等級(jí)遷移風(fēng)險(xiǎn)。公司的信用等級(jí)由公司資產(chǎn)決定，預(yù)先設(shè)定信用等級(jí)遷移邊界將公司分為高等級(jí)和低等級(jí)，通過將公司資產(chǎn)波動(dòng)率方差的波動(dòng)率在不同信用等級(jí)下設(shè)定為不同的常數(shù)，基于Heston 模型，通過債券定價(jià)方式，建立了具有隨機(jī)波動(dòng)率方差的信用等級(jí)遷移模型。然后基于市場無套利的假設(shè)，通過對(duì)沖的方法將隨機(jī)微分方程組轉(zhuǎn)化為一個(gè)二階的帶內(nèi)邊界的拋物型初邊值問題。這個(gè)推導(dǎo)出來的定解問題在信用等級(jí)遷移邊界處的條件不同于一般的邊界條件，遷移邊界處的跳是一個(gè)關(guān)于高、低等級(jí)債券價(jià)值對(duì)波動(dòng)率的一階偏導(dǎo)和時(shí)間的函數(shù)，這也是本模型的一個(gè)創(chuàng)新之處。后續(xù)本文采取了隱格式求取了這個(gè)PDE的數(shù)值解，并進(jìn)行了參數(shù)分析。

本文將Heston 隨機(jī)波動(dòng)率模型應(yīng)用到公司債券的信用等級(jí)遷移風(fēng)險(xiǎn)的研究當(dāng)中，改進(jìn)了以Black Sholes模型為基礎(chǔ)的信用等級(jí)遷移模型中資產(chǎn)波動(dòng)率為常數(shù)的問題。本文模型基于Heston 隨機(jī)波動(dòng)率模型，引入不同的“波動(dòng)率的波動(dòng)率”來刻畫不同信用等級(jí)下資產(chǎn)波動(dòng)率的波動(dòng)性，同時(shí)考慮了波動(dòng)率與資產(chǎn)價(jià)格之間的相關(guān)性，以此建立了信用等級(jí)遷移模型，也使得信用等級(jí)遷移模型更加符合實(shí)際。關(guān)于本文模型的數(shù)值結(jié)果，總結(jié)得到如下結(jié)論：公司處于高等級(jí)、公司資產(chǎn)越大、離到期日越近、資產(chǎn)波動(dòng)率越小、均值回歸速度越小、相關(guān)系數(shù)越小、長期均值越小，都會(huì)使得債券價(jià)值越大，基本符合實(shí)際，因此在實(shí)際應(yīng)用中，要重點(diǎn)關(guān)注這幾項(xiàng)參數(shù)，只有正確估值，才能充分避險(xiǎn)。進(jìn)一步的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值會(huì)在以后的工作中進(jìn)行實(shí)證研究。

作者貢獻(xiàn)聲明：

梁 進(jìn)：提出研究選題與模型，研究思路、寫作指導(dǎo)。

陶曉宇：負(fù)責(zé)模型推導(dǎo)，數(shù)值計(jì)算，論文撰寫等。