葉春暖

數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)是數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一。在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)過(guò)程中，指導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生產(chǎn)生活中的實(shí)際問(wèn)題，這一過(guò)程能讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用過(guò)程中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)概念、原理、思想和方法。文章從函數(shù)、三角函數(shù)和圓錐曲線三個(gè)方面給出了在中職數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中滲透數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的案例，以發(fā)展學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)和創(chuàng)新能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升。

一、培養(yǎng)中職數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的意義

數(shù)學(xué)模型是針對(duì)實(shí)際問(wèn)題，為特定的目的，通過(guò)抽象簡(jiǎn)化而得出數(shù)學(xué)公式、圖形或算法的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)建模就是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題，運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和方法，通過(guò)抽象和簡(jiǎn)化建立相對(duì)應(yīng)的模型，并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和數(shù)學(xué)運(yùn)算，從而加以解決。數(shù)學(xué)建模為現(xiàn)實(shí)問(wèn)題和數(shù)學(xué)之間建立了一座橋梁，在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，其重要意義不言而喻。

1.有利于增強(qiáng)中職學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程的興趣。中職學(xué)校重視學(xué)生能力的培養(yǎng)，將貼近現(xiàn)實(shí)生活的數(shù)學(xué)建模案例引入數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，使數(shù)學(xué)知識(shí)不再抽象枯燥，能夠積極調(diào)動(dòng)學(xué)生的求知欲望和探索欲望，從而促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣，有效地解決實(shí)際問(wèn)題，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解能力，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模過(guò)程中，體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)更多的實(shí)用性，對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣會(huì)進(jìn)一步得到提高。

2.有利于加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)理論知識(shí)的理解，實(shí)現(xiàn)從“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)”到“使用數(shù)學(xué)”的轉(zhuǎn)化。在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，使學(xué)生清楚數(shù)學(xué)是怎樣具體地解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的，明白數(shù)學(xué)有用，并了解怎么用。從而使學(xué)生更加深刻地理解數(shù)學(xué)理論知識(shí)，并逐步形成“使用數(shù)學(xué)”的能力。

3.有利于學(xué)生提高創(chuàng)新意識(shí)和能力?，F(xiàn)實(shí)中的實(shí)際問(wèn)題通常沒(méi)有現(xiàn)成的解決方法，需要學(xué)生根據(jù)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行抽象和簡(jiǎn)化，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)解決，并且這些問(wèn)題又往往沒(méi)有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)答案。這就鼓勵(lì)學(xué)生打破常規(guī)，想出形式多樣的解決方法，從而促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和能力的提高。

二、中職數(shù)學(xué)建模教學(xué)現(xiàn)況及面臨的挑戰(zhàn)

一是建模在高職高考中沒(méi)有大規(guī)模出現(xiàn)建模內(nèi)容，在高職高考中，若對(duì)數(shù)學(xué)建模不作要求，學(xué)生以高考為目的，自然對(duì)數(shù)學(xué)建模不夠重視，從而對(duì)數(shù)學(xué)建模沒(méi)有興趣。

二是中職學(xué)校的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模的知識(shí)不夠清晰，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱，對(duì)數(shù)學(xué)建模涉及的知識(shí)內(nèi)容不知如何調(diào)動(dòng)，在這些方面存在一定的不足，大多數(shù)學(xué)生在自己熟悉的題目情境中，只能運(yùn)用已知的數(shù)學(xué)模型來(lái)解題，卻缺乏對(duì)同類題型進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)換模型的解題能力。

三是教師教學(xué)以知識(shí)本身為主，脫離具體的實(shí)際情境，中職學(xué)生較少實(shí)踐數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，缺少對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析與提煉，缺少體驗(yàn)將實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)化的過(guò)程。學(xué)生鮮有機(jī)會(huì)親身體會(huì)到數(shù)學(xué)在解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中的價(jià)值和作用，從而導(dǎo)致中職學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模活動(dòng)顯得力不從心，建模能力較弱。

但隨著新課程改革的推進(jìn)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教育已成為必然，而數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)又是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，因此，教師在日常的教學(xué)中將數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)滲透到學(xué)生中，不僅可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，而且可以增強(qiáng)學(xué)生分析問(wèn)題和解析問(wèn)題的能力，從而提高中職學(xué)生的綜合能力，促進(jìn)學(xué)生全方面的發(fā)展。

三、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)滲透到中職數(shù)學(xué)教學(xué)中的案例

1.二次函數(shù)專題中的建模學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)是學(xué)生用數(shù)學(xué)理論知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的一種方式。學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)，體會(huì)到了解決實(shí)際問(wèn)題的完整過(guò)程，感受到了數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值，增強(qiáng)了應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，提高了數(shù)學(xué)實(shí)踐能力。比如下面二次函數(shù)模型應(yīng)用的數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)：

如今，智慧農(nóng)業(yè)日益深入人心，農(nóng)產(chǎn)品的產(chǎn)量和質(zhì)量都可以通過(guò)科學(xué)的種植而得到大幅度的改善。在果樹(shù)栽培過(guò)程中，如果栽種密度過(guò)大，就會(huì)影響果樹(shù)之間的透氣性，不能保證光照充足，對(duì)果實(shí)的產(chǎn)量、品質(zhì)都會(huì)造成較大影響。通過(guò)一些數(shù)據(jù)分析，某果園在種植面積不變的情況下，種植50棵的果樹(shù)，平均每棵果樹(shù)可產(chǎn)出果實(shí)300kg。若種植密度增加，每多種一棵果樹(shù)，平均每棵果樹(shù)的產(chǎn)果量就會(huì)相應(yīng)減少5kg。那么，想要使果園的總產(chǎn)量達(dá)到最大，該如何安排種植果樹(shù)數(shù)量呢？最大產(chǎn)量是多少kg？

模型分析：根據(jù)果園總產(chǎn)量＝ 平均每棵樹(shù)的產(chǎn)果量×種植數(shù)量，得到總產(chǎn)量與種植數(shù)量的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)總產(chǎn)量最大，確定種植數(shù)量。

模型假設(shè)：從樣例中的數(shù)據(jù)信息來(lái)看，隨著種植數(shù)量的增加，平均產(chǎn)量就會(huì)減少。種植數(shù)量每多種一棵樹(shù)，平均每棵樹(shù)的產(chǎn)果量就會(huì)減少5千克。

模型建立：設(shè)果園總產(chǎn)量為y千克，增種x棵果樹(shù)，則種植數(shù)量為（50+x），每棵樹(shù)的產(chǎn)果量為（300-5x）千克，依題意可得，

果園總產(chǎn)量為y=（50+x）（300-5x）

模型求解：根據(jù)二次函數(shù)的最值，

y= （50+x）（300-5x）

=-5（x-5）2 +15125

求解得到，當(dāng)x=5時(shí)，y有最大值15125.

結(jié)果解釋：果數(shù)種植數(shù)量為50+5即55棵時(shí)，果園產(chǎn)量最大，最大產(chǎn)量為15125千克。

教師在講解二次函數(shù)求最值的相關(guān)知識(shí)時(shí)，可以介紹此案例。當(dāng)然此解并非唯一方法，還可以假設(shè)果園總產(chǎn)量為y千克，種植x棵果樹(shù)，則每棵樹(shù)的產(chǎn)果量為［300－5（x－50）］千克，總產(chǎn)量為y= x ［300－5（x－50）］。

2.三角函數(shù)專題中的建模實(shí)驗(yàn)

在學(xué)習(xí)完三角函數(shù)專題中的正弦定理后，教師可以設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)型的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)：測(cè)量東莞最高文物建筑——金鰲洲塔的高度，指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用已學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，利用自制測(cè)角儀和卷尺，運(yùn)用三角函數(shù)的知識(shí)來(lái)測(cè)量金鰲洲塔的高度，同時(shí)也是在數(shù)學(xué)課中落實(shí)“大思政課”，學(xué)生在做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中，感受所在城市的悠久歷史文化，激發(fā)學(xué)生愛(ài)國(guó)情感。

3.圓錐曲線專題中數(shù)學(xué)建模的研究性學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)側(cè)重于引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到的某一具體數(shù)學(xué)問(wèn)題，對(duì)結(jié)論進(jìn)行合理的猜測(cè)，通過(guò)自主探究或合作的方式進(jìn)行

例如在學(xué)習(xí)立體幾何和解析幾何后，打籃球的同學(xué)提出了一個(gè)問(wèn)題：當(dāng)籃球放在平整的地面上時(shí)，陽(yáng)光斜照下來(lái)，籃球的影子輪廓是不是一個(gè)橢圓呢？如果是，怎么證明它就是一個(gè)橢圓？

要解決這個(gè)問(wèn)題，教師需要指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何與解析幾何，掌握橢圓第一定義和橢圓第二定義，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程等知識(shí)，學(xué)生需要大量的知識(shí)儲(chǔ)備。

計(jì)算機(jī)繪圖進(jìn)行分析，如圖1所示，地面為平面α，假設(shè)球的半徑為R，太陽(yáng)光線與地面所形成的夾角為α并設(shè)過(guò)球心且垂直于光線的平面為β，其與地面α的交線為l，平面β截球面所得的大圓的直徑為A′O′B′，二面角α-l-β的大小為θ，θ=π2 -α

指導(dǎo)學(xué)生使用解析幾何和立體幾何的知識(shí)來(lái)進(jìn)行分析求解。

解題方法如下：點(diǎn)P是所求曲線上的任意一點(diǎn)，它是從圓O′上的點(diǎn)P′處直射而來(lái)的。則PP⊥β。由于PH和PP′都是球的切線，且PP=PH。作PQ⊥l于點(diǎn)Q，從而PP′PQ=sinθ=cosα，PHPQ=cosα①

所以，陰影輪廓線是一個(gè)橢圓。

需要補(bǔ)充上，H是定點(diǎn)。直線l是定直線，cosα<1，①式滿足橢圓的第二定義，所以其為橢圓方程，其中H為橢圓的焦點(diǎn)，直線l為橢圓的準(zhǔn)線，橢圓的離心率e=cosα。

那么還有沒(méi)有其他不同的解法呢？教師引導(dǎo)學(xué)生再思考，讓他們的思維發(fā)散開(kāi)來(lái)。

數(shù)學(xué)建模的研究性學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生和教師的要求都比較高，有一定的難度，因?yàn)樗粌H僅局限于簡(jiǎn)單地傳授學(xué)生純粹的書(shū)本知識(shí)。學(xué)生在研究性學(xué)習(xí)中，不僅要會(huì)運(yùn)用學(xué)過(guò)的知識(shí)，在知識(shí)之間建立一定的聯(lián)系，而且還要主動(dòng)地去學(xué)習(xí)新的知識(shí)去解決問(wèn)題，所以研究性學(xué)生要注重每個(gè)學(xué)生的差異，重視在學(xué)習(xí)過(guò)程中的評(píng)價(jià)，這就要求教師全程指導(dǎo)、學(xué)生協(xié)同合作去完成。

四、中職數(shù)學(xué)建模的幾點(diǎn)教學(xué)建議

數(shù)學(xué)建模對(duì)中職學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升具有重要作用，但是，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的提升并不是一蹴而就，而是要循序漸進(jìn)。教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動(dòng)時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

1.合理選擇案例

數(shù)學(xué)建模的教學(xué)案例應(yīng)來(lái)自于學(xué)生的日常生活實(shí)際，是學(xué)生在學(xué)習(xí)或生活中遇到的實(shí)際問(wèn)題，從而更加有效地調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，引發(fā)學(xué)生的求知欲和探索欲。同時(shí)，選擇的案例也不能太過(guò)復(fù)雜，大大超出學(xué)生的能力范圍的案例會(huì)使學(xué)生不能接受，最好涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)是學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)并且掌握的內(nèi)容，即使是新的內(nèi)容也能較易尋求到學(xué)習(xí)途徑并能學(xué)會(huì)，從而有利于開(kāi)展數(shù)學(xué)建模的教學(xué)。

2.結(jié)合數(shù)學(xué)建模專題教學(xué)與日常常規(guī)教學(xué)

在進(jìn)行數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動(dòng)時(shí)，既要有專題的集中學(xué)習(xí)，即針對(duì)某個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，學(xué)生體會(huì)“發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題——建立數(shù)學(xué)模型——分析和決問(wèn)題”的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)完整過(guò)程，也要化整為零，在日常教學(xué)中對(duì)其中的某一步進(jìn)行專項(xiàng)訓(xùn)練，積累經(jīng)驗(yàn)。

3.教學(xué)方式靈活多樣

由于數(shù)學(xué)建模內(nèi)容豐富多樣，從而數(shù)學(xué)建模教學(xué)不能只采用傳統(tǒng)的講授方法進(jìn)行教學(xué)，我們可以進(jìn)行多種教學(xué)方式，如建模學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和研究性學(xué)習(xí)。

[課題項(xiàng)目：本文系廣東省東莞市教育科研“十四五”規(guī)劃2023年度課題“四維融合”視角下中職數(shù)學(xué)“品質(zhì)作業(yè)”設(shè)計(jì)與實(shí)施研究的研究成果，課題編號(hào)：2023GH476。]

責(zé)任編輯 何麗華