楊培軍 王偉民

(1.安徽省阜陽(yáng)市教育科學(xué)研究所,安徽阜陽(yáng) 236031;2.安徽省太和縣宮集鎮(zhèn)中心學(xué)校,安徽阜陽(yáng) 236652)

1 原題呈現(xiàn)

例1.(2023年高考物理全國(guó)甲卷第20題)光滑剛性絕緣圓筒內(nèi)存在著平行于軸的勻強(qiáng)磁場(chǎng),筒上P點(diǎn)開(kāi)有一個(gè)小孔,過(guò)P的橫截面是以O(shè)為圓心的圓,如圖1所示.一帶電粒子從P點(diǎn)沿PO射入,然后與筒壁發(fā)生碰撞.假設(shè)粒子在每次碰撞前、后瞬間,速度沿圓上碰撞點(diǎn)的切線(xiàn)方向的分量大小不變,沿法向方向的分量大小不變、方向相反;電荷量不變.不計(jì)重力.下列說(shuō)法正確的是

圖1

(A)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡可能通過(guò)圓心O.

(B)最少經(jīng)過(guò)2次碰撞,粒子就可能從小孔射出.

(C)射入小孔時(shí)粒子的速度越大,在圓內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)間越短.

(D)每次碰撞后瞬間,粒子速度方向一定平行于碰撞點(diǎn)與圓心O的連線(xiàn).

2 題目剖析

本題是一道綜合性很強(qiáng)的題目,知識(shí)層面重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)洛倫茲力公式、圓周運(yùn)動(dòng)的向心力公式等內(nèi)容的掌握情況,能力層面考查學(xué)生是否具備推測(cè)、設(shè)想、周密論證的能力及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決相關(guān)物理問(wèn)題的能力.[1]

由題目條件可知,帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后由于受洛倫茲力的作用,會(huì)在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng).因?yàn)閹щ娏Ｗ用看闻c筒壁碰撞之后,粒子運(yùn)動(dòng)速度的大小不變,而粒子在碰撞前后瞬間的速度與過(guò)碰撞點(diǎn)半徑的夾角相等(這一碰撞規(guī)律類(lèi)似于光在反射現(xiàn)象中角度的變化規(guī)律),所以,在圓形有界磁場(chǎng)范圍內(nèi),帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡是一系列連續(xù)排列的相等的圓弧.因?yàn)榱Ｗ邮茄貙?duì)著圓心的方向由P點(diǎn)進(jìn)入圓形磁場(chǎng)的,所以,帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)行軌跡的第一段圓弧所在圓,是與直線(xiàn)PO相切于P點(diǎn)的圓,如圖2所示(我們以帶電粒子帶負(fù)電情形進(jìn)行的研究,帶電粒子帶正電時(shí)粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律不變),設(shè)帶電粒子的質(zhì)量為m,電荷量為q,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,當(dāng)粒子以速度v進(jìn)入磁場(chǎng)后軌跡圓的半徑為R,則有

圖2

由該公式可知,當(dāng)帶電粒子的質(zhì)量、電荷量、磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度一定的情況下,粒子軌跡圓的半徑正比于它進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的初速度.所以,同一個(gè)帶電粒子先后以不同初速度由P點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng),如果它的初速度是連續(xù)遞增的,那么,它進(jìn)入磁場(chǎng)后軌跡圓的半徑也將是連續(xù)遞增的.圖2繪出的3條軌跡圓的圓弧,指的就是同一個(gè)帶負(fù)電的粒子,先后以不同速度進(jìn)入磁場(chǎng)后的運(yùn)動(dòng)軌跡.這些半徑不等的軌跡圓的圓心都在過(guò)點(diǎn)P與直線(xiàn)PO垂直的直線(xiàn)上.由圖2可知,軌跡圓的半徑增加時(shí),它與磁場(chǎng)邊界的交點(diǎn)逐漸地向右移動(dòng),但是,無(wú)論軌跡圓的半徑有多大,軌跡圓與磁場(chǎng)邊界圓的交點(diǎn)都不可能到Q點(diǎn),所以,粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)行的第1段圓弧一定不過(guò)O點(diǎn).帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡以后的相鄰各段圓弧都是相等的圓弧,可視為第1段圓弧繞O點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到的,所以,以后各圓弧軌跡也不可能過(guò)O點(diǎn),因此,選項(xiàng)(A)錯(cuò)誤.

因?yàn)檐壽E圓的第1段圓弧與磁場(chǎng)邊界的交點(diǎn),一定在磁場(chǎng)邊界圓弧下面的半圓弧上(指負(fù)電粒子,不含P、Q兩點(diǎn)),而且可以是半圓弧上除了兩個(gè)端點(diǎn)P、Q之外的任意一點(diǎn),所以,如果粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的初速度大小合適,可以使得軌跡圓弧與磁場(chǎng)邊界的第一個(gè)交點(diǎn)在磁場(chǎng)邊界上截得的圓弧(劣弧)恰為磁場(chǎng)邊界圓周長(zhǎng)的1/3.在此情況下,帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)將與磁場(chǎng)邊界碰撞2次,沿3段相等的圓弧運(yùn)動(dòng)之后恰好從P點(diǎn)射出,選項(xiàng)(B)正確.

選項(xiàng)(C)對(duì)應(yīng)的物理情景比較復(fù)雜,為了分析得更為透徹,后面作為一個(gè)獨(dú)立的問(wèn)題單獨(dú)詳細(xì)討論,先分析選項(xiàng)(D)是否正確.

為便于分析,繪出帶電粒子從進(jìn)入磁場(chǎng)開(kāi)始,在磁場(chǎng)中與磁場(chǎng)邊界連續(xù)碰撞而形成一系列圓弧的前面3段圓弧及其所在的圓,如圖3所示.這些圓分別是☉O1、☉O2、☉O3,它們與磁場(chǎng)邊界的交點(diǎn)分別為P1、P2、P3.因?yàn)閳A弧PP1與☉O的半徑OP相切,而圓弧一定是軸對(duì)稱(chēng)圖形,對(duì)稱(chēng)軸為過(guò)圓弧中點(diǎn)的圓弧半徑所在的直線(xiàn),所以,圓弧PP1與☉O的另一條半徑OP1一定相切.同理,后續(xù)的各段軌跡圓弧都與過(guò)各碰撞點(diǎn)的☉O的半徑相切.這就是說(shuō),每次碰撞前后的瞬間,粒子速度方向一定平行于碰撞點(diǎn)與圓心O的連線(xiàn),選項(xiàng)(D)正確.

圖3

3 進(jìn)入磁場(chǎng)的粒子未必都能夠從P點(diǎn)射出

假設(shè)☉O的周長(zhǎng)為C,帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)之后與磁場(chǎng)邊界連續(xù)碰撞,☉O上相鄰兩個(gè)碰撞點(diǎn)之間的弧長(zhǎng)為L(zhǎng),因?yàn)榱Ｗ铀俣冗B續(xù)變化時(shí),L的大小也是連續(xù)變化的,因此,L/C是小于1/2的任意實(shí)數(shù),其中v→∞時(shí),L/C→1/2.若L/C是有理數(shù),不妨設(shè)為k/n(k/n是一個(gè)既約分?jǐn)?shù)),則帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng),與磁場(chǎng)邊界連續(xù)碰撞(n-1)次后從P點(diǎn)射出.如果L/C是一個(gè)無(wú)理數(shù),則帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)之后,無(wú)論與磁場(chǎng)邊界碰撞多少次,它都不會(huì)從P點(diǎn)射出.因?yàn)轭}目并沒(méi)有限制帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度,所以,它可以任意速度進(jìn)入磁場(chǎng),因此,L/C既可能是有理數(shù),也可能是無(wú)理數(shù),所以,進(jìn)入磁場(chǎng)的帶電粒子最終未必都能夠從P點(diǎn)射出.

4 帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)行時(shí)間長(zhǎng)短分析

因?yàn)椴皇撬械膸щ娏Ｗ幼罱K都可以從P點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng),所以,進(jìn)入磁場(chǎng)之后永遠(yuǎn)無(wú)法離開(kāi)磁場(chǎng)的帶電粒子,也就無(wú)所謂運(yùn)行時(shí)間長(zhǎng)短的比較了,因此,我們只需分析L/C為有理數(shù)時(shí),帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)行時(shí)間的長(zhǎng)短即可.下面以和兩種情形分別討論.[2]

4.1 =的情形

在☉O的圓周上,從P點(diǎn)起按逆時(shí)針?lè)较虬穴慜的周長(zhǎng)分成n等份,各分點(diǎn)依次為P1,P2,…Pn-1.如果帶電粒子(帶負(fù)電荷)從P點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)之后,與☉O的圓周發(fā)生多次碰撞,第1次只“跨越”一段圓弧而與邊界圓的圓周相交于P1,那么,粒子將分別沿著各軌跡圓所在的n條相等的圓弧繞O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)一圈之后,最終恰好從P點(diǎn)射出,如圖4所示(圖4中僅畫(huà)出了第1段軌跡圓弧,即圓弧PMP1).設(shè)∠POP1=α,∠PO1P1=β,則,α=所以

圖4

設(shè)軌跡圓☉O1的半徑為R,由可得,因?yàn)閹щ娏Ｗ友剀壽E圓運(yùn)動(dòng)1周需要的時(shí)間為,所以,粒子沿圓弧PMP1運(yùn)動(dòng)需要的時(shí)間為

因此,帶電粒子從由P點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)到最終由P點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)的整個(gè)過(guò)程中,運(yùn)行了與圓弧PMP1相等的n段圓弧,運(yùn)行的總時(shí)間為

4.2 =的情形

在☉O的圓周上,從P點(diǎn)起按逆時(shí)針?lè)较虬穴慜的周長(zhǎng)分成n等份,各分點(diǎn)依次為P1,P2…Pn-1.如果帶電粒子(帶負(fù)電荷)從P點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)之后,第1次便“跨越”☉O圓周上的k個(gè)圓弧,而與☉O的圓周相交于第k個(gè)分點(diǎn)Pk點(diǎn),如圖5所示.那么,以后粒子每次都“跨越”☉O圓周上的k個(gè)圓弧(k＜n/2).這樣,帶電粒子將分別沿著各軌跡圓所在的n條相等的圓弧,繞O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)若干圈之后,最終恰好從P點(diǎn)射出——圖5中僅畫(huà)出了第1段軌跡圓弧,即圓弧PMPk.設(shè)∠POPk=α,∠PO1Pk=β,則α=,所以

圖5

軌跡圓☉O1的半徑為R=,由于帶電粒子沿軌跡圓運(yùn)動(dòng)1周需要的時(shí)間為所以,粒子沿圓弧PMPk運(yùn)動(dòng)需要的時(shí)間為

因此,帶電粒子由P點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)到最終由P點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)的整個(gè)過(guò)程中,運(yùn)行了與圓弧PMPk相等的n段圓弧,運(yùn)行的總時(shí)間為

當(dāng)k=1時(shí),t=,這正是我們?cè)谏厦媲樾沃蟹治龅贸龅慕Y(jié)果.

以n=13,k=1,2,3,4,5,6的情形為例,繪出了帶電粒子從P點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)開(kāi)始,在圓形磁場(chǎng)內(nèi)與磁場(chǎng)邊界發(fā)生多次碰撞,最終由P點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)的整個(gè)過(guò)程中,粒子運(yùn)動(dòng)軌跡示意圖分別如圖6(a)-(f)所示.為方便作圖,粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡本應(yīng)為圓弧,這里全部畫(huà)成直的線(xiàn)段了,這樣畫(huà)圖主要是為了尋找粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的變化規(guī)律,線(xiàn)段替代圓弧并不影響我們對(duì)問(wèn)題的分析.

圖6

由公式t=可知,n一定時(shí),粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)行的時(shí)間,隨著運(yùn)行軌跡中一個(gè)圓弧“跨越”的☉O圓周被等分圓弧個(gè)數(shù)的增加而增大.由圖6可以推測(cè),對(duì)于n一定,且粒子最終都可以離開(kāi)磁場(chǎng)的各種情形.k越大,對(duì)應(yīng)粒子的運(yùn)動(dòng)速度就越大,所以,n一定時(shí),對(duì)于最終可以離開(kāi)磁場(chǎng)的帶電粒子,射入小孔時(shí)粒子的速度越大,在圓內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)間越短”的運(yùn)動(dòng)規(guī)律也是正確的.

那么,如果綜合考慮公式中n和k的變化,對(duì)于最終能夠離開(kāi)磁場(chǎng)的帶電粒子,上述運(yùn)動(dòng)規(guī)律是否還正確?

答案是否定的.從公式t=可以看出,對(duì)于n=11,k=1,和n=13,k=2,這兩種不同的運(yùn)動(dòng)情況,帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)行的時(shí)間卻是相同的,都是t=,但是,后者對(duì)應(yīng)的軌跡圓弧在☉O圓周上截得的圓弧較長(zhǎng),其對(duì)應(yīng)的帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度較大.所以,“射入小孔時(shí)粒子的速度越大,在圓內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)間越短”的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是錯(cuò)誤的.當(dāng)n、k取不同數(shù)值時(shí),我們還可以得出很多類(lèi)似的反例來(lái)進(jìn)行佐證說(shuō)明.

上述分析是從定量的視角分類(lèi)討論,得出(C)選項(xiàng)的說(shuō)法是錯(cuò)誤的.從定性角度來(lái)看,我們只要能夠判斷粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圓弧在磁場(chǎng)邊界圓上截得的圓弧長(zhǎng)度與邊界圓周長(zhǎng)之比L/C,可以是小于1/2的任意非負(fù)實(shí)數(shù),而當(dāng)L/C是無(wú)理數(shù)時(shí),帶電粒子永遠(yuǎn)無(wú)法離開(kāi)磁場(chǎng)這一結(jié)果,便可以判斷“射入小孔時(shí)粒子的速度越大,在圓內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)間越短”的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是錯(cuò)誤的.

該題主要考查學(xué)生關(guān)鍵能力中的思維認(rèn)知能力.考查學(xué)生是否從多個(gè)視角思考同一個(gè)問(wèn)題,思維是否具有發(fā)散性,是否分類(lèi)假設(shè)并進(jìn)行推理論證,主要考查學(xué)生的高階思維能力.[3]

5 對(duì)高考題目的變式創(chuàng)新

筆者認(rèn)為,該題目設(shè)置出能夠經(jīng)過(guò)深入推理可以判斷結(jié)果的物理情境.為充分發(fā)揮背景材料的應(yīng)用價(jià)值,不妨稍微改動(dòng)一下題設(shè),創(chuàng)設(shè)一道開(kāi)放性的高考題目變式,以便于培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力.

例2.光滑剛性絕緣圓筒內(nèi)存在著平行于軸的勻強(qiáng)磁場(chǎng),筒上P點(diǎn)開(kāi)有一個(gè)小孔,過(guò)P的橫截面是以O(shè)為圓心的圓,如圖7所示,P,P1,P2…Pn-1是按逆時(shí)針?lè)较蚺帕楔慜圓周的n等分點(diǎn).一帶負(fù)電粒子從P點(diǎn)沿PO射入,然后與筒壁發(fā)生碰撞.假設(shè)粒子在每次碰撞前后速度大小不變,只是速度方向發(fā)生改變,碰撞前瞬間速度方向與過(guò)碰撞點(diǎn)法線(xiàn)的夾角等于碰撞后瞬間速度方向與法線(xiàn)的夾角.已知粒子的荷質(zhì)比為q/m,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,☉O的半徑為R0.

圖7

(1)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度滿(mǎn)足什么條件,它在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間之后會(huì)從P點(diǎn)射出而離開(kāi)磁場(chǎng)?

(2)若帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)之后第一次與☉O圓周的碰撞點(diǎn)恰好為Pk點(diǎn)(k＜n/2),試求帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)行的時(shí)間?

可以發(fā)現(xiàn),跟原來(lái)的高考題目相比,該變式給出的背景材料基本沒(méi)有變化,只是更改了部分題設(shè)和要求解的問(wèn)題,但是,題目難度卻增加了很多.

解析:(1)設(shè)帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后第1次與☉O圓周的碰撞點(diǎn)為A,設(shè)軌跡圓的半徑為R,∠POA=α,如圖8所示.設(shè)帶電粒子的速度為v時(shí),它在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間之后會(huì)從P點(diǎn)射出而離開(kāi)磁場(chǎng),由題目條件可知R=,所以

圖8

(2)由上面的分析可知,帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)行的時(shí)間為t=(詳細(xì)的解答過(guò)程在上面的分析中已經(jīng)給出,這里不再重復(fù)).

6 結(jié)語(yǔ)

2023年高考物理全國(guó)甲卷這道選擇題目,編者創(chuàng)設(shè)了對(duì)著圓心方向讓帶電粒子進(jìn)入有界圓形磁場(chǎng)后,與磁場(chǎng)邊界發(fā)生碰撞的物理情境,并精心編制4個(gè)很有代表性的選項(xiàng).對(duì)選項(xiàng)(A),根據(jù)帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)軌跡圓的位置特征即可定性判斷,選項(xiàng)(B)(D)利用與圓有關(guān)的幾何知識(shí)也可判定,(A)(B)(D)3個(gè)選項(xiàng)考查學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)定性分析問(wèn)題的能力,體現(xiàn)出高考考查的基礎(chǔ)性.而對(duì)選項(xiàng)(C),需要對(duì)粒子的運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行歸納分類(lèi),并分別進(jìn)行嚴(yán)密的邏輯推理,考查學(xué)生定量分析問(wèn)題的能力,體現(xiàn)出高考考查的綜合性和創(chuàng)新性.[3]它能引導(dǎo)高中物理課堂教學(xué)加強(qiáng)學(xué)生發(fā)散性思維能力的培養(yǎng),指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)推測(cè)、分類(lèi)假設(shè)并進(jìn)行周密論證,進(jìn)而提升學(xué)生的高階思維能力.[1]