田苗苗, 劉俊利

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院, 陜西 西安 710048)

禽流感是由甲型流感病毒引起的一種以禽類為主要侵害對象的人畜共患傳染病。2013年3月,中國東部首次發(fā)現(xiàn)H7N9亞型禽流感病毒,至2020年8月,禽流感已經(jīng)出現(xiàn)了5次爆發(fā),感染人數(shù)突破千人,致死率達(dá)35%以上,嚴(yán)重危害著人類的身體健康[1]。 相關(guān)報道顯示,2013年4—6月我國發(fā)生的H7N9禽流感疫情對家禽行業(yè)造成超過600億元的巨大經(jīng)濟(jì)損失,平均每天損失約10億元[2],嚴(yán)重影響了經(jīng)濟(jì)的發(fā)展。 因此研究禽流感的傳播極其重要。

許多學(xué)者建立了不同的數(shù)學(xué)模型來研究禽流感的傳播。 為評估新型H7N9禽流感病毒的傳播能力,文獻(xiàn)[3]建立了人-家禽流感模型,模擬結(jié)果表明,為了防止禽流感在家禽中爆發(fā)而引起人群中疾病的爆發(fā),需要對家禽進(jìn)行仔細(xì)檢測和實(shí)施持續(xù)干預(yù)策略。 文獻(xiàn)[4]提出了一個數(shù)學(xué)模型,解釋了禽流感從鳥到人的傳播,分析表明,為了控制禽流感的傳播,不僅要對感染禽流感的鳥采取滅絕措施,還必須對感染突變型禽流感的人采取隔離措施。 文獻(xiàn)[5]考慮了媒體宣傳對禽流感傳播的影響,模型中使用了飽和治療函數(shù),研究結(jié)果表明,撲殺禽類、及時治療病患和加入媒體報道,可以有效減少人類感染禽流感的概率。 文獻(xiàn)[6-8]研究了政府干預(yù)對疫情的影響,結(jié)果表明,政府及時實(shí)施干預(yù)策略可以有效控制H7N9禽流感的爆發(fā)和傳播。 文獻(xiàn)[9]建立了一類人-禽H7N9禽流感模型,假設(shè)家禽之間,家禽和人之間具有不同的傳染率,數(shù)值模擬結(jié)果表明,加強(qiáng)飼養(yǎng)場及禽類交易市場的衛(wèi)生消毒力度以及增強(qiáng)人們的預(yù)防意識可以有效降低疾病的傳播。 文獻(xiàn)[10]考慮了禽流感病毒在人群中的潛伏期和對人接種,研究發(fā)現(xiàn),接種疫苗之后,潛伏期的感染者和染病者的數(shù)量顯著減少。 文獻(xiàn)[11]提出了一個SI-V-SEIR禽流感傳染病模型,考慮了禽流感在人、家禽和環(huán)境3者之間的傳播,研究結(jié)果表明,降低環(huán)境中的病毒數(shù)量,降低禽類之間以及禽到人的接觸率能夠有效地減少染病人數(shù)。 文獻(xiàn)[12]同樣研究了一個SI-V-SEIR禽流感傳染病模型,模型中加入了各種干預(yù)措施(包括撲殺、接種疫苗、篩查、消毒和降低接觸率等),結(jié)果表明,綜合使用這些干預(yù)措施,并將這些措施與實(shí)際情況相結(jié)合,是控制H7N9禽流感疫情的必要條件。

隨著流感病毒的進(jìn)化,一些通常在動物中傳播的流感病毒有時會感染人類,人類感染的主要風(fēng)險因素是直接或間接接觸受感染的活的或死的動物以及受污染的環(huán)境[13]。 本文在文獻(xiàn)[12]的基礎(chǔ)上重新建立了一個SI-V-SIR模型,研究禽流感在家禽、人和環(huán)境3者之間傳播的動力學(xué)行為。

1 模型的建立

家禽總數(shù)、人口總數(shù)和周圍環(huán)境中的病毒載量分別用Np,Nh和V表示。 家禽分為2類:易感禽類Sp和染病禽類Ip;人口分為3類:易感者Sh,染病者Ih和恢復(fù)者Rh。 假設(shè)家禽的輸入率為A,家禽的屠宰率為dp,人口輸入率為B,人的自然死亡率為dh,家禽和人的因病死亡率分別為μp和μh,家禽之間的傳染率為λp,染病的家禽對人的傳染率為λh,環(huán)境中的病毒對家禽和人的傳染率分別為βp和βh,染病家禽釋放病毒的速率為r,設(shè)病毒的清除率為dv,染病者的恢復(fù)率為δ。 本文對家禽實(shí)施撲殺干預(yù)措施,撲殺可直接以αp的速度減少易感家禽和感染家禽的數(shù)量。 依據(jù)以上假設(shè),建立如下模型:

(1)

系統(tǒng)(1)的初始條件為

Sp(0)≥0,Ip(0)≥0,V(0)≥0,Sh(0)≥0,Ih(0)≥0,Rh(0)≥0。

(2)

假設(shè)μp≥0,模型(1)中其他參數(shù)都是正常數(shù)。

下面研究系統(tǒng)(1)在條件(2)下解的非負(fù)性和有界性,記

由定理1可知Ω為系統(tǒng)(1)的正向不變集。

定理1 系統(tǒng)(1)在條件(2)下的解(Sp,Ip,V,Sh,Ih,Rh)始終是非負(fù)有界的。

證明 首先證明解的非負(fù)性。 將系統(tǒng)(1)表示成向量形式,令

式中,F:R6→R6且F∈C(R6),則系統(tǒng)(1)變?yōu)?/p>

(4)

下面證明解的有界性。 家禽總數(shù)Np(t)和人口總數(shù)Nh(t)滿足下面的微分方程:

2 基本再生數(shù)和穩(wěn)定性分析

定理2 當(dāng)R0<1時,無病平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的;當(dāng)R0>1時,E0不穩(wěn)定。

證明 系統(tǒng)(1)在無病平衡點(diǎn)E0處的雅可比矩陣為

式中:

顯然A2有3個負(fù)的特征值,A1有1個特征值為-(dp+αp),它的其余特征值滿足方程

f(λ)=0,

(5)

式中

令

則

f(λ)=λ2+c1λ+c2=0。

(6)

定理3 當(dāng)R0<1時,無病平衡點(diǎn)E0在Ω內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的。

(7)

考慮系統(tǒng)(7)的輔助系統(tǒng)

規(guī)模上，雖然大多宣稱支持上萬路攝像頭的大型組網(wǎng)，但由于各家軟件內(nèi)部底層設(shè)計(jì)和存儲轉(zhuǎn)發(fā)轉(zhuǎn)碼等技術(shù)水平差異，還需要實(shí)際應(yīng)用案例和運(yùn)營狀況的事實(shí)支撐。

(8)

(λ+dh+μh+δ)f(λ)=0,

(9)

下面證明地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。

定理4 當(dāng)R0>1時,系統(tǒng)(1)存在地方病平衡點(diǎn)E*,且在Ω內(nèi)是局部漸近穩(wěn)定的。

式中:

Z3+a1Z2+a2Z+a3=0。

顯然當(dāng)R0>1時,ai>0,i=1、2、3,a1a2-a3>0,因此由Routh-Hurwitz判據(jù)知D1的所有特征值都具有負(fù)實(shí)部,從而JE*的所有特征值都具有負(fù)實(shí)部。 因此,當(dāng)R0>1時,地方病平衡點(diǎn)E*是局部漸近穩(wěn)定的。 定理得證。

下面討論地方病平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性。 在一般情況下,地方病平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性不易證明,我們僅考慮當(dāng)家禽的因病死亡率μp=0時的情況。

定理5 假設(shè)μp=0,若R0>1,則E*在Ω上是全局漸近穩(wěn)定的。

(10)

對于系統(tǒng)(10),構(gòu)造Dulac函數(shù)

容易算出

3 參數(shù)的敏感性分析

基本再生數(shù)是決定疾病是否流行的閾值。 為了檢測它對各個參數(shù)的依賴性,本文使用PRCC(偏秩相關(guān)系數(shù))方法對模型(1)中的參數(shù)進(jìn)行敏感性分析,以確定各個參數(shù)對基本再生數(shù)的影響。ρPRCC的絕對值越大,表明參數(shù)對R0的影響越大,其中正值表示該參數(shù)的增加會導(dǎo)致R0的增加,負(fù)值表示該參數(shù)的增加會導(dǎo)致R0的減少。 本文選取8個參數(shù)A,λp,βp,dv,r,αp,dp以及μp進(jìn)行敏感性分析。 參數(shù)值見表1。

表1 模型的參數(shù)值Table 1 Parameter values of the model

由圖1可以看出,在這些參數(shù)中,A,λp,βp以及r對R0有正影響,αp,dp,dv以及μp對R0有負(fù)影響,且參數(shù)λp,βp,r和μp的ρPRCC的絕對值較大,即這4個參數(shù)對R0的影響較大。

圖1 敏感性分析Fig.1 Sensitivity analysis

1) 定期對環(huán)境進(jìn)行消殺,降低環(huán)境中禽流感病毒的存活率,減小環(huán)境中禽流感病毒對易感家禽的傳染率;

2) 對感染家禽及時撲殺和隔離,使家禽和人群盡量避免接觸感染家禽,降低染病家禽對易感家禽的傳染率;

3) 疫情爆發(fā)前就對家禽接種疫苗,增強(qiáng)其免疫力,降低家禽感染禽流感的風(fēng)險。

4 結(jié) 論

本文建立了一個禽流感在家禽,人和環(huán)境中相互傳播的SI-V-SIR傳染病模型,模型假設(shè)人與人之間不傳染,分別考慮家禽與家禽、家禽與人、環(huán)境中的禽流感病毒對家禽及人的傳播。 通過定義模型的基本再生數(shù)R0,分析了模型平衡點(diǎn)的存在性以及穩(wěn)定性,并通過數(shù)值模擬對參數(shù)進(jìn)行敏感性分析,研究了控制禽流感傳播的有效措施。 結(jié)果表明,定期對環(huán)境進(jìn)行消殺,撲殺感染家禽或適當(dāng)?shù)膶仪萁臃N疫苗能夠有效控制禽流感的傳播。