閆娟娟, 雒志學(xué), 高文哲

(蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院, 蘭州 730070)

傳染病嚴(yán)重危害人類的健康,如登革熱,霍亂等給人類的生存帶來(lái)了巨大的災(zāi)難.眾所周知,疾病發(fā)展的過程中,了解傳染率至為關(guān)鍵,目前已有大量學(xué)者建立了具有雙線性發(fā)生率和標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率的傳染病模型.在現(xiàn)實(shí)生活中,傳染病一般會(huì)有潛伏期,當(dāng)易感者與染病者接觸感染后,先是攜帶病毒,但病毒不會(huì)立即爆發(fā),而是經(jīng)過一段時(shí)間才發(fā)病成為染病者,這一過程在數(shù)學(xué)模型中通常用時(shí)滯來(lái)表示.文獻(xiàn)[1]對(duì)具有雙線性發(fā)生率的時(shí)滯傳染病模型進(jìn)行了分析,對(duì)平衡點(diǎn)進(jìn)行了討論,證明了滿足某些條件時(shí)時(shí)滯可以導(dǎo)致Hopf分支的產(chǎn)生,并討論了分支的性質(zhì).隨著染病者行為的變化,發(fā)生率會(huì)趨近于飽和狀態(tài),因此采用飽和發(fā)生率更加符合實(shí)際.文獻(xiàn)[2]研究了具有飽和發(fā)生率的媒介傳染病模型,文獻(xiàn)[3-9]對(duì)具有飽和發(fā)生率和潛伏期時(shí)滯的傳染病模型進(jìn)行了分析,討論了在一定條件下平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性,間接說(shuō)明時(shí)滯也許不會(huì)給疾病的傳播帶來(lái)影響.文獻(xiàn)[10]研究了具有飽和發(fā)生率和免疫期時(shí)滯的傳染病模型,給出了平衡點(diǎn)全局穩(wěn)定性的條件,證明了時(shí)滯可以導(dǎo)致地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性發(fā)生變化從而在該平衡點(diǎn)存在Hopf分支.在文獻(xiàn)[11-13]中,學(xué)者對(duì)具有時(shí)滯的媒介傳染病模型進(jìn)行了研究.無(wú)癥狀感染者由于沒有明顯的特征而被忽略,從而低估疫情爆發(fā)的風(fēng)險(xiǎn).上述模型均沒有考慮無(wú)癥狀感染者.本文在文獻(xiàn)[2]的基礎(chǔ)上討論了一類具有無(wú)癥狀感染者和時(shí)滯影響的媒介傳染病模型．

1 模型的建立

在文獻(xiàn)[2]的基礎(chǔ)上本文建立如下具有時(shí)滯的媒介傳染病模型:

(1)

其中,Sh(t)、Ia(t)、Ib(t)、Rh(t)分別表示人群中的易感者,無(wú)癥狀的感染者,有癥狀的感染者,恢復(fù)者.Sv(t)、Iv(t)分別表示易感媒介,染病媒介.Λh,Λv分別表示人群和媒介的補(bǔ)充率,β1表示染病媒介對(duì)易感人群的感染率,β2表示染病人群對(duì)易感媒介的感染率,μh表示人群中的自然死亡率,μv表示媒介的自然死亡率,γa表示無(wú)癥狀感染者的恢復(fù)率,γb表示有癥狀感染者的恢復(fù)率,da表示無(wú)癥狀感染者的因病死亡率,db表示有癥狀感染者的因病死亡率,αi(i=1,2,3)表示飽和發(fā)生率,p表示無(wú)癥狀感染者向易感媒介傳播疾病的概率,θ表示易感者與染病媒介所接觸成為無(wú)癥狀感染者的概率,τ為時(shí)滯,表示疾病的潛伏期.

模型的初始條件滿足:

Sh(θ)=φ1(θ),Ia(θ)=φ2(θ),

Ib(θ)=φ3(θ),Iv(θ)=φ4(θ),φi(θ)>0,φi(0)>0(i=1,2,3,4),θ∈[-τ,0].

(2)

(3)

下面證明Ω是系統(tǒng)(3)的正向不變集．

引理1設(shè)(Sh(t),Ia(t),Ib(t),Iv(t))是系統(tǒng)(3)滿足初值條件(2)的解,當(dāng)t≥0時(shí),(Sh(t),Ia(t),Ib(t),Iv(t))是有界的．

2 平衡點(diǎn)的存在性和基本再生數(shù)

R0=

k1=μh+γa+da,k2=μh+γb+db.

(4)

其中,

3 穩(wěn)定性分析

3.1 平衡點(diǎn)E0的穩(wěn)定性分析

局部穩(wěn)定性的證明類似于文獻(xiàn)[14]中的證明,因此得到如下定理．

定理2當(dāng)R0<1且τ≥0時(shí),平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的;當(dāng)R0>1時(shí),E0是不穩(wěn)定的．

定理3當(dāng)R0<1時(shí),系統(tǒng)(3)的平衡點(diǎn)E0是全局漸近穩(wěn)定的．

證明構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

V=Z1Ia+Z2Ib+Iv+

其中,

k1=μh+γa+da,k2=μh+γb+db,

則V關(guān)于系統(tǒng)(3)的導(dǎo)數(shù)為

3.2 平衡點(diǎn)E*的穩(wěn)定性分析及Hopf分支存在的條件

定理4當(dāng)R0>1時(shí),平衡點(diǎn)E*是局部漸近穩(wěn)定的．

證明系統(tǒng)(3)在平衡點(diǎn)E*處所對(duì)應(yīng)的特征方程為

λ4+c1λ3+c2λ2+c3λ+

(d1λ2+d2λ+d3)e-λτ+c4=0,

(5)

其中,

c1=h1+k1+k2+h2,c2=k2h2+k1k2+k1h2+h1k2+h1h2+h1k1,c3=h1k2h2+k1k2h2+h1k1k2+h1k1h2,c4=h1k1k2h2,d1=cm2+m1b,d2=cm2k1+cm2h1-adm1-aem2+(h1+k2)m1b,d3=h1cm2k1+h1m1bk2-adm1k2-aem2k1,

其中,

k1=μh+γa+da,k2=μh+γb+db,

1) 當(dāng)τ=0時(shí),方程(5)變?yōu)?/p>

λ4+c1λ3+(c2+d1)λ2+(c3+d2)λ+

d3+c4=0.

(6)

根據(jù)Hurwitz判別法,(6)式的每一個(gè)根均有負(fù)實(shí)部,因此,當(dāng)R0>1且τ=0時(shí),系統(tǒng)(3)的平衡點(diǎn)E*局部漸近穩(wěn)定．

2) 當(dāng)τ>0時(shí),設(shè)λ=iω(ω>0)是方程(5)的一個(gè)純虛根,分離實(shí)部與虛部得

(7)

將(7)式的兩個(gè)方程分別平方后再相加得

ω8+B1ω6+B2ω4+B3ω2+B4=0,

(8)

其中,

(9)

令w2=y,則方程(8)變?yōu)?/p>

y4+B1y3+B2y2+B3y+B4=0.

(10)

定義

根據(jù)文獻(xiàn)[15]中根的分布可以得到方程(10)的根有以下結(jié)論.

1) 若B4<0,則方程(10)必有一個(gè)正實(shí)根．

2) 若Δ≥0,B4≥0,當(dāng)且僅當(dāng)y1>0,h(y1)<0時(shí),方程(10)存在正實(shí)根．

3) 若Δ<0,B4≥0,當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)y*∈(y1,y2,y3),使得y*>0,h(y*)≤0,則方程(10)至少存在一個(gè)正實(shí)根．

其中,

當(dāng)τ=τ0、λ=iω0時(shí),可以得到

其中,

d2,

2d1ω0,

綜上所述,可以得到如下定理.

定理5當(dāng)R0>1且β1V1+β2V2≠0時(shí),

1) 當(dāng)τ∈[0,τ0)時(shí),系統(tǒng)(3)的地方病平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的;

2) 當(dāng)τ>τ0時(shí),系統(tǒng)(3)的地方病平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的;

3) 當(dāng)τ=τ0時(shí),系統(tǒng)(3)在地方病平衡點(diǎn)E*處產(chǎn)生Hopf分支．

4 Hopf分支方向和周期解的穩(wěn)定性

4.1 建立抽象微分方程

如果τ=μ+τ0,則在μ=0處,系統(tǒng)(3)將會(huì)在地方病平衡點(diǎn)E*處產(chǎn)生Hopf分支,即μ=0為系統(tǒng)(3)產(chǎn)生Hopf分支的分支值．

x′(t)=Lμxt+f(μ,xt),

(11)

其中,x(t)=(x1(t),x2(t),x3(t),x4(t))T∈R4,Lμ:D→D4,f:R×D→R4.

當(dāng)φ=(φ1,φ2,φ3,φ4)∈D([-1,0],R4)時(shí),有

Lμ(φ)=

(12)

其中,

(13)

其中,

由Riesz表示定理可知,存在一個(gè)有界變差函數(shù)η(θ,μ),θ∈[-1,0],使得

(14)

事實(shí)上,可以令

(15)

其中,

對(duì)于φ∈C([-1,0],R4),定義

則系統(tǒng)(11)轉(zhuǎn)化為

x′(t)=Aμxt+Rμxt,

(16)

其中,xt(θ)=(x1(t+θ),x2(t+θ),x3(t+θ),x4(t+θ)),θ∈[-1,0]．

4.2 Hopf分支的方向和穩(wěn)定性

對(duì)于φ∈C([-1,0],R4),定義A的伴隨算子A*如下,

對(duì)于φ,φ∈C,定義雙線性內(nèi)積為

(17)

其中,η(θ)=η(θ,0),A(0)與A*是一對(duì)共軛算子.±iω0τ0是A(0)的特征根,則它也是A*的特征根,下面計(jì)算A(0)關(guān)于特征根iω0τ0的特征向量以及A*關(guān)于特征值-iω0τ0的特征向量．

假設(shè)p(θ)=(1,p1(0),p2(0),p3(0))Teiω0τ0θ是A(0)關(guān)于特征值iω0τ0的特征向量,于是有A(0)p(θ)=iω0τ0p(θ),計(jì)算可得

由(17)式得

〈p*(s),p(θ)〉=

(1,p1,p2,p3)Teiω0τ0ξdξ=

為了確?！磒*(s),p(θ)〉=1,令

根據(jù)文獻(xiàn)[16]中Hassard提出的方法可以得到一些重要的系數(shù):

其中,

(18)

下面求B1,B2,當(dāng)θ=0時(shí),有

(19)

因此有

K11(0)=

(20)

將(18)式的第一個(gè)式子和(20)式的第一個(gè)式子代入(19)式的第一個(gè)式子得

等價(jià)于

同理將(18)式的第二個(gè)式子和(20)式的第二個(gè)式子代入(19)式的第二個(gè)式子得:

求出B1、B2的值后可分別代入W20(θ),W11(θ)的表達(dá)式中,進(jìn)一步也可以算出g21.因此可以算出下列表達(dá)式的值:

(21)

綜上所述得到以下定理.

定理6當(dāng)τ=τ0時(shí),分支周期解的性質(zhì)由(21)的各個(gè)表達(dá)式?jīng)Q定,因而得到以下3個(gè)結(jié)論.

1) Hopf分支的方向由μ2的符號(hào)決定,若μ2>0(μ2<0),則Hopf分支是超臨界的(亞臨界的)．

2) 分支周期解的穩(wěn)定性由β2的符號(hào)決定,若β2<0(β2>0),分支周期解是穩(wěn)定的(不穩(wěn)定的)．

3) 分支周期解的大小由T2的符號(hào)決定,若T2>0(T2<0),分支周期解的周期增大(減小)．

5 結(jié)論

本文是在文獻(xiàn)[2]的基礎(chǔ)上,同時(shí)考慮無(wú)癥狀感染者和潛伏期時(shí)滯的媒介傳染病模型.通過分析得到以下結(jié)論:1) 當(dāng)τ≥0且R0<1時(shí),平衡點(diǎn)E0是全局漸近穩(wěn)定的,疾病不再存在.當(dāng)R0>1且τ=0時(shí),平衡點(diǎn)e*是局部漸近穩(wěn)定的;2) 當(dāng)R0>1且0≤τ<τ0時(shí),平衡點(diǎn)e*局部漸近穩(wěn)定,τ>τ0地方病平衡點(diǎn)不穩(wěn)定;3) 當(dāng)R0>1且時(shí)滯τ經(jīng)過臨界值τ0時(shí),地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性喪失,從而這個(gè)平衡點(diǎn)處出現(xiàn)Hopf分支,利用Hassard等[16]提出的規(guī)范型理論和中心流形定理分析了分支方向和周期解的穩(wěn)定性.這種媒介傳染病模型的研究,對(duì)預(yù)防和控制此類傳染病有著非常重要的作用．