王 選,唐利明

(湖北民族大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院,湖北 恩施 445000)

隨著計算機科學技術(shù)的不斷發(fā)展,圖像處理和分析逐漸形成了獨立的科學體系。在計算機視覺和圖像處理領域,圖像分割占據(jù)著重要地位,被廣泛應用于圖像恢復、醫(yī)學檢測等方面。自20世紀以來,關于圖像分割的研究一直受到眾多學者的關注,并在醫(yī)學、交通、工業(yè)等領域得到了廣泛應用。

在現(xiàn)有的圖像分割方法中,基于活動輪廓模型的方法由于分割精度高、理論基礎完整受到了廣泛關注[1-4]?；顒虞喞Ｐ徒Y(jié)合圖像的特征信息,利用偏微分方程驅(qū)動輪廓演化,從而實現(xiàn)圖像分割。該模型可以分為2類:基于邊緣的活動輪廓模型[5-7]和基于區(qū)域的活動輪廓模型[8-11]。其中,基于邊緣的活動輪廓模型利用圖像的邊緣信息構(gòu)造,最具代表性的是Caselles等[12]提出的測地輪廓(geodesic active contours,GAC)模型,該模型通過演化參數(shù)曲線對圖像進行分割,對于背景簡單且邊界清晰的圖像能達到較好的分割效果,但對邊界復雜、目標邊界模糊的圖像分割效果不理想,且分割結(jié)果容易受到噪聲、紋理等因素的影響。為了對目標邊界復雜圖像和弱邊界圖像進行分割,可考慮將圖像的區(qū)域信息融入到模型中,因此學者提出了大量基于區(qū)域的活動輪廓模型,其中最具代表性的是Chan等[13]在2001年提出無邊緣活動輪廓的CV(Chan-Vese)模型。該模型通過活動輪廓曲線內(nèi)部和外部區(qū)域的信息差驅(qū)動活動輪廓運動,利用圖像的全局信息建立能量泛函對圖像進行分割,對于目標和背景比較均勻的圖像有較好的分割效果,但對灰度不均勻圖像往往不能得到準確的分割結(jié)果。對此,Li等[14]引入圖像的局部信息,建立局部二值擬合能量驅(qū)動的隱式活動輪(implicit active contours driven by local binary fitting energy,LBF) 模型。該模型利用高斯核函數(shù)實現(xiàn)局部區(qū)域的建模,可以捕捉圖像灰度的局部變化,從而克服CV模型的局限性,實現(xiàn)灰度不均勻圖像的分割。但LBF模型中含有二次積分,模型復雜度較高,導致計算效率較低。為提高分割效率,Zhang等[15]基于LBF模型構(gòu)建局部擬合圖像提取圖像信息,并量化原始圖像與擬合圖像之間的差異,提出了局部圖像擬合能量驅(qū)動的活動輪廓(active contours driven by local image fitting energy,LIF)模型。相較于LBF模型,該模型提高了處理灰度不均勻圖像的能力,降低了計算量,但容易受到背景信息的干擾,產(chǎn)生誤分割的情況。

為了更加準確反映圖像的信息,避免陷入局部最優(yōu),精準找到目標的邊界,Krinidis等[16]提出基于模糊能量的活動輪廓分割(fuzzy energy-based active contours,FEAC)模型。該模型利用能量的模糊性提供了極強的拒絕局部極小化的能力,并且對圖像噪聲具有魯棒性,但是對于一些背景較為復雜的灰度不均勻圖像分割效果不理想?；贔EAC模型,各學者提出了多種結(jié)合模糊能量的活動輪廓模型,如Shyu等[17]提出利用全局模糊能量和局部模糊能量促進輪廓進行演化,Sun等[18]提出具有自適應對比度約束的活動輪廓模型,Fang等[19]提出加權(quán)全局和局部擬合能量驅(qū)動的模糊活動輪廓(fuzzy region-based active contours driven by weighting global and local fitting energy,FRAGL)模型。盡管這些模型對于灰度不均勻圖像均取得了較好的分割效果,但是計算量較大,并且對于灰度嚴重不均勻圖像分割效果仍不理想。

為此,結(jié)合圖像的局部和全局信息,提出基于加權(quán)L1-L2擬合能量項的模糊活動輪廓圖像分割(fuzzy active contour based on weightedL1-L2fitting energy for image segmentation,FAWFE)模型。該模型利用圖像的局部和全局信息構(gòu)建混合模糊擬合圖像,通過L1范數(shù)量化擬合圖像與原圖像之間的差異,進而構(gòu)建加權(quán)L1擬合能量項,以更好地對異常值進行處理;然后結(jié)合L2擬合能量項,以保證能量泛函的凸性,避免陷入局部極小;最后通過對真實圖像和合成圖像的分割實驗驗證FAWFE模型的優(yōu)勢。

1 FAWFE模型的構(gòu)建

1.1 混合模糊擬合圖像

為反映圖像的灰度信息,建立圖像I(x)的理想化擬合圖像,表示為

(1)

其中,h1(x)、h2(x)分別為圖像目標區(qū)域和背景區(qū)域的灰度值,Ω1、Ω2分別為圖像中的目標區(qū)域與背景區(qū)域。為更好地反映圖像的灰度不均勻性,考慮利用加權(quán)的灰度均值常數(shù)圖像和平滑圖像逼近理想化的擬合圖像,即有

hi(x)=λici+(1-λi)fi(x),i=1,2,

(2)

其中,λi為正的加權(quán)參數(shù),且0≤λi≤1,ci為常值,fi(x)表示演化輪廓內(nèi)部區(qū)域和外部區(qū)域的局部灰度均值。

在模糊集理論中,每個像素點對于各個區(qū)域都有1個隸屬度,此時的隸屬度從只能取值為0或1擴展到[0,1],且像素點對于各個區(qū)域的隸屬度之和為1。這種基于模糊集理論的軟分割算法提供了不確定性的機制,能更好地反映圖像的真實信息。因此,舍棄傳統(tǒng)的硬分割算法,利用模糊隸屬度函數(shù)將擬合圖像IFI建模為混合模糊擬合圖像,如下所示:

IHFFI(x)=u1(x)mh1(x)+u2(x)mh2(x),

(3)

其中,m>1,u1(x)、u2(x)分別是隸屬度函數(shù),u1(x),u2(x)∈[0,1],且u1(x)+u2(x)≡1。因此,混合模糊擬合圖像可改寫為

IHFFI(x)=[u(x)]mh1(x)+[1-u(x)]mh2(x),

(4)

即

IHFFI(x)=[u(x)]m(λ1c1+(1-λ1)f1(x))+[1-u(x)]m(λ2c2+(1-λ2)f2(x))。

此時,演化輪廓C表示為0.5水平集。

1.2 加權(quán)L1擬合能量

尋找圖像I(x)在某種度量意義下的最優(yōu)混合模糊擬合圖像IHFFI(x),過程如下所示。

(5)

與L2范數(shù)相比,L1范數(shù)具有的最小絕對偏差方法更具備魯棒性,能夠?qū)Ξ惓Ｖ颠M行更好處理。將其應用到圖像分割領域,可以較好地處理灰度不均勻、噪聲、野點的干擾。另外,為了加強圖像邊緣等重要信息的擬合程度,在擬合能量中引入邊緣檢測算子,提出加權(quán)L1最優(yōu)擬合能量,如下所示:

(6)

求解能量泛函EF關于u(x)、h1(x)、h2(x)的極小值點,按式(5)計算可得到最優(yōu)混合模糊擬合圖像IHFFI(x)。下面研究EF關于變量u(x)、h1(x)、h2(x)的凹凸性,有如下命題。

命題1固定u(x),擬合能量EF關于h1(x)、h2(x)均為凸。

命題2固定h1(x)、h2(x),當I(x)-[u(x)]mh1(x)-[1-u(x)]mh2(x)≥0時,擬合能量EF關于u(x)為凹;當I(x)-[u(x)]mh1(x)-[1-u(x)]mh2(x)≤0,擬合能量EF關于u(x)為凸。

命題1證明對EF進行分析,經(jīng)計算,有

根據(jù)命題1和命題2,可得到如下結(jié)論:

1) 由命題1可知,根據(jù)凸優(yōu)化理論,擬合能量EF關于h1(x)、h2(x)存在極小值點,并且是唯一的。

2) 由于u(x)為模糊隸屬度函數(shù),滿足0≤u(x)≤1,根據(jù)極值原理,可得

minI(x)≤ci≤maxI(x);minI(x)≤fi(x)≤maxI(x)。

由于0≤λi≤1,可得minI(x)≤hi(x)≤maxI(x)。綜上,可得I(x)-[u(x)]mh1(x)-[1-u(x)]mh2(x)無法恒大于0或者恒小于0。因此,由命題2可知,擬合能量EF關于u(x)非凸。

為了保證擬合能量關于u(x)的凸性,FAWFE模型在加權(quán)L1擬合能量項中增加1個強凸項,具體方案如下節(jié)所示。

1.3 加權(quán)L1-L2擬合能量

為避免陷入局部極小并保證分割精度,結(jié)合加權(quán)L2函數(shù)進行擬合,構(gòu)造基于加權(quán)的局部和全局信息的區(qū)域能量項,確保模型的凸性及模型解的存在性和唯一性。在圖像分割中,此二次擬合項可以提高模型捕捉目標邊緣信息的能力,降低圖像的灰度不均勻性給分割結(jié)果帶來的不利影響,確保演化曲線到達精準的邊界。加權(quán)L2擬合能量項的定義如下所示:

(7)

其中,h1、h2的定義與式(2)相同。結(jié)合加權(quán)L1擬合能量項,構(gòu)成FAWFE模型的能量泛函E。如下所示:

E=ER+αEF,

(8)

即

(9)

其中,α為正的加權(quán)參數(shù)。

下面研究E關于變量u(x)、h1(x)、h2(x)的凹凸性,有如下命題成立。

命題3固定u(x),能量泛函E關于h1(x)、h2(x)均為凸。

命題3證明經(jīng)計算,有

命題4證明對能量泛函E作關于u(x)的二階偏導,即:

其中,m>1,α為正的加權(quán)參數(shù),u(x)∈[0,1],h1(x),h2(x)>0,g>0。

綜上分析可知,當加權(quán)參數(shù)α限制在一定范圍內(nèi)時,即可保證模型的凸性,又可避免陷入局部極小,從而實現(xiàn)更高精度的圖像分割。

1.4 模型求解

首先,由1.1中hi的定義可知,求能量泛函關于hi(i=1,2)的極小值點,即為求能量泛函關于ci和fi(x)的極小值點。為簡化計算,不直接求其極小,而是采用近似極小值點。ci為活動輪廓內(nèi)外的全局灰度均值,則c1、c2分別表示為模糊隸屬度函數(shù)劃分的目標與背景區(qū)域的灰度均值,如下所示:

另外,fi(x)為活動輪廓內(nèi)外的局部灰度均值,定義為

其中,*表示卷積運算,ωk(x)是大小為(2k+1)、標準差為σ的高斯窗口,發(fā)揮著代表局部空間權(quán)重的作用。

接著,求能量泛函關于隸屬度函數(shù)u(x)的極小值點。為了對u(x)進行更新,保持4個變量c1、c2、f1(x)、f2(x)不變,通過歐拉-拉格朗日方程計算能量的最小值點,可得

通過上式可以得到隸屬度u(x)的表達式,如下所示:

(10)

(11)

對隸屬度函數(shù)進行更新要通過式(10)更新點x處的隸屬度函數(shù)u(x)。該函數(shù)的變化將引起能量E的變化,通過新舊能量差ΔE判斷是否對該點的隸屬度進行更新:如果ΔE<0,則采用新的模糊隸屬度;如果ΔE≥0,則保留舊的模糊隸屬度。這種優(yōu)化算法能使得模型的收斂速度更快。

2 實驗結(jié)果與分析

實驗采用Windows 10,64位操作系統(tǒng),內(nèi)存為8GB,處理器為Intel(R) Core(TM) i5-8250U CPU @ 1.60GHz 1.80GHz,利用Matlab 2020a軟件進行仿真實驗,測試FAWFE模型的有效性。實驗主要針對合成圖像、真實圖像、醫(yī)學圖像的分割,并與CV模型[13]、LIF模型[15]、FEAC模型[16]、FRAGL模型[19]進行對比實驗。

2.1 FAWFE模型的測試

2.1.1 輪廓初始位置的魯棒性 為驗證FAWFE模型對輪廓初始位置的魯棒性,選取3幅圖像(建筑、硬幣、螺絲)進行實驗,結(jié)果如圖1所示,圖中的綠色曲線為初始輪廓,紅色曲線為最終的分割效果。由圖1可知,建筑圖像與硬幣圖像的目標與背景灰度信息相差較大,螺絲圖像中目標區(qū)域的部分灰度信息與背景相似,都易對分割結(jié)果造成影響;從實驗結(jié)果來看,無論初始輪廓在什么位置,均可以得到理想的分割效果。由此證明,FAWFE模型的分割結(jié)果與輪廓初始位置無關,對輪廓初始位置更具魯棒性。

圖1 對輪廓初始位置的魯棒性Fig.1 Robustness to initial position of contours

2.1.2 加權(quán)L1擬合能量項的作用 為驗證加權(quán)L1擬合能量項在FAWFE模型中的重要性,選取4幅圖像(螺絲、汽車、鴨子、草坪),使用無加權(quán)L1擬合能量項的模型和有擬合能量項的FAWFE模型進行實驗,結(jié)果如圖2所示。由圖2可知,螺絲圖像的背景干凈、目標突出,汽車、鴨子、草坪圖像的背景較為復雜,容易對分割結(jié)果造成影響;比較分割結(jié)果可以發(fā)現(xiàn),利用無加權(quán)L1擬合能量項的模型對圖像進行處理時,容易受到目標信息的干擾,產(chǎn)生誤分割的情況,而有加權(quán)L1擬合能量項的FAWFE模型能夠準確地識別目標信息,精準找到目標邊界,并準確地對圖像進行分割。

2.1.3 加權(quán)L2擬合能量項的作用 為驗證加權(quán)L2擬合能量項在FAWFE模型中的重要性,選取4幅圖像(茶杯、鴨子、草坪、飛蛾),使用無加權(quán)L2擬合能量項的模型和有加權(quán)L2擬合能量項的FAWFE模型進行實驗,結(jié)果如圖3所示。由圖3可知,茶杯圖像與鴨子圖像的背景干凈、目標突出,草坪圖像、飛蛾圖像具有較強的灰度不均勻性,容易對分割結(jié)果造成影響;比較分割結(jié)果可以發(fā)現(xiàn),利用無加權(quán)L2擬合能量項的模型對圖像進行處理時,容易受到圖像灰度不均勻的影響,無法準確定位目標邊界,而有加權(quán)L2擬合能量項的FAWFE模型能夠準確定位目標的邊界,提高模型的分割精度。

圖3 加權(quán)L2擬合能量項在模型中的作用Fig.3 The role of the weighted L2 fit energy term in the models

2.2 對比實驗測試

首先,選取5幅合成圖像(雙橢圓、圓圈、橢圓、多圓、五瓣花)作為分割對象,測試CV模型、LIF模型、FEAC模型、FRAGL模型和所提FAWFE模型的分割結(jié)果;其中的幾個對比模型都經(jīng)過了多次實驗,選擇不同的初始輪廓和模型參數(shù),最后將較好的分割結(jié)果進行對比分析,結(jié)果如圖4所示。由圖4可知,雙橢圓圖像具有細紋理,圓圈圖像與橢圓圖像具有灰度不均性,多圓圖像為多目標圖像,五瓣花圖像為弱邊緣圖像,各圖像的分割都具有一定難度。

幾個對比模型的分割時間、迭代數(shù)量及均值如表1所示。由表1可知,FAWFE模型在分割時間和迭代數(shù)量上的降低不明顯;但是結(jié)合圖4的圖像分割效果對比可知,該模型仍然可以準確地提取目標輪廓,在分割精度上具有明顯的優(yōu)勢。另外,由表1可知,FAWFE模型的分割時間都為1s左右,且均值(0.952s)小于1s,這在可以接受的范圍內(nèi)。

接著,選取5幅真實圖像(花朵、小貓、大雁、繡球、鐵鏈)作為分割對象,測試CV模型、LIF模型、FEAC模型、FRAGL模型和所提FAWFE模型的分割結(jié)果;類似地,幾個對比模型都經(jīng)過了多次實驗,將較好的分割結(jié)果進行對比分析,結(jié)果如圖5所示。由圖5可知,花朵、小貓、大雁圖像的目標較為突出,背景干擾不是太大,分割難度相對較小,繡球、鐵鏈圖像的目標區(qū)域與背景區(qū)域具有一定的相似性,分割結(jié)果容易受到干擾;雖然幾個對比模型的部分圖像分割結(jié)果與FAWFE模型分割結(jié)果沒有太大的差距,但是整體上看,FAWFE模型對于所有的5幅測試圖像都可以取得較好的分割效果,很少出現(xiàn)誤分割現(xiàn)象。

幾個對比模型的分割時間、迭代數(shù)量及均值如表2所示。由表2可知,對于真實圖像來說,FAWFE模型在迭代數(shù)量和時間上更具有優(yōu)勢,可以在更短的時間內(nèi)對圖像進行準確地分割。

表2 真實圖像CV、LIF、FEAC、FRAGL、FAWFE模型分割時間和迭代數(shù)量對比Tab.2 Comparison of real images segmentation time and iteration times between CV,LIF,FEAC,FRAGL and FAWFE models

3 結(jié)論

FAWFE模型基于圖像的局部和全局信息,構(gòu)建了加權(quán)L1-L2擬合的模糊能量。該模型首先通過衡量原始圖像和模糊擬合圖像之間的差構(gòu)建加權(quán)L1擬合能量項;為保證能量泛函的凸性,再結(jié)合加權(quán)L2擬合項構(gòu)成FAWFE模型的能量泛函;最后通過計算新舊能量差對隸屬度函數(shù)進行更新。一系列模型性能測試實驗及對比模型實驗結(jié)果表明,FAWFE模型的分割效果不受輪廓初始位置的影響,能精準定位目標邊界,并且能夠在0.6s左右完成圖像的分割,與其他模型相比,收斂速度較高。所提模型對合成圖像和真實圖像均有良好的處理效果。