江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)新城小學(xué)北校區(qū) 張勇成

江蘇省南京致遠(yuǎn)外國語小學(xué) 劉 媛

一、問題提出：圖形直觀的數(shù)學(xué)意義

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）指出，小學(xué)階段核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)為數(shù)感、量感、符號(hào)意識(shí)、運(yùn)算能力、幾何直觀、空間觀念、推理意識(shí)、數(shù)據(jù)意識(shí)、模型意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)。幾何直觀有助于把握問題的本質(zhì)，明晰思維的路徑。曹培英在《跨越斷層，走出誤區(qū)》一書中也介紹：一方面，直觀是數(shù)學(xué)抽象的基礎(chǔ)與數(shù)學(xué)認(rèn)知的有力支撐；另一方面，直觀又是數(shù)學(xué)理解，乃至數(shù)學(xué)抽象的重要內(nèi)涵與數(shù)學(xué)本質(zhì)認(rèn)識(shí)的深化。聯(lián)系小學(xué)生的發(fā)展特點(diǎn)，由于生理與心理上的日趨成熟，他們的求知欲發(fā)展得很快，抽象思維能力也在不斷發(fā)展，導(dǎo)致他們更關(guān)注知識(shí)的形成過程而不僅僅是結(jié)果。此時(shí)，如果進(jìn)一步落實(shí)學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)，不僅可以幫助學(xué)生將抽象知識(shí)變得直觀可視，更能讓學(xué)生將原本錯(cuò)綜復(fù)雜的知識(shí)進(jìn)行關(guān)聯(lián)，從而探尋知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系。

二、教學(xué)思考：幾何直觀的應(yīng)用價(jià)值

（一）化復(fù)雜為簡單，推理數(shù)學(xué)規(guī)律

在新課標(biāo)中，幾何直觀主要是指利用圖表描述和分析問題的意識(shí)與習(xí)慣。這也為一線教師的課堂教學(xué)指明了方向。

比如，蘇教版數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)“三位數(shù)乘兩位數(shù)”單元中有這樣的思考題：用0，1，2，3，4這五個(gè)數(shù)字組成一個(gè)兩位數(shù)和一個(gè)三位數(shù)，要使乘積最大，應(yīng)是哪兩個(gè)數(shù)？要使乘積最小呢？解決這個(gè)問題有兩個(gè)關(guān)鍵：一是要使乘積最大，大數(shù)占高位；要使乘積最小，小數(shù)占高位；二是和一定，兩數(shù)之差越小，乘積越大；兩數(shù)之差越大，乘積越小。教學(xué)中，教師可以借助幾何直觀來分析數(shù)位及數(shù)量之間的關(guān)系，幫助學(xué)生形象直觀地理解規(guī)律中隱藏的秘密。

【情況1】乘積最大，0放在三位數(shù)的個(gè)位上

聯(lián)系圖示可知（如圖1），0和任何數(shù)相乘結(jié)果都為0。如果0放在三位數(shù)的個(gè)位上，依次要和兩位數(shù)的個(gè)位、十位相乘，相當(dāng)于損耗了個(gè)位、十位；而0放在兩位數(shù)的個(gè)位上，依次要和三位數(shù)的個(gè)位、十位以及百位相乘，相當(dāng)于損耗了個(gè)位、十位和百位。要使乘積最大，損耗就要盡可能小，所以0放在三位數(shù)的個(gè)位上。

【情況2】乘積最小，0放在兩位數(shù)的個(gè)位上

依舊聯(lián)系圖示（如圖2）進(jìn)行上述分析。這里要使乘積最小，損耗就要盡可能大，所以0放在兩位數(shù)的個(gè)位上。

圖2

接著再研究其他數(shù)位上的數(shù)，學(xué)生就能夠順利解決了。

（二）將抽象變直觀，實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移

借助幾何直觀可以建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型。在實(shí)際課堂教學(xué)中，筆者也通過嘗試發(fā)現(xiàn)，借助幾何直觀不僅能夠幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形深層次的含義，直觀理解數(shù)學(xué)，記憶某些結(jié)論，發(fā)展重要的學(xué)習(xí)能力，還能夠幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移，建立起新舊知識(shí)之間的聯(lián)系。如在蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)“和的奇偶性”一課中，筆者主要設(shè)計(jì)了以下三個(gè)環(huán)節(jié)：

【環(huán)節(jié)1】教師出示三個(gè)抽獎(jiǎng)轉(zhuǎn)盤（如圖3）和游戲規(guī)則：轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，若指針指著的兩數(shù)相加的和是奇數(shù)，則中獎(jiǎng)。通過調(diào)動(dòng)學(xué)生生活中參加游戲中獎(jiǎng)的經(jīng)驗(yàn)，激起他們探究的欲望，引導(dǎo)他們思考：“為什么沒有中獎(jiǎng)？怎樣才能中獎(jiǎng)？”學(xué)生自然調(diào)動(dòng)原有經(jīng)驗(yàn)舉例驗(yàn)證，繼而發(fā)現(xiàn)，要判斷兩個(gè)數(shù)和的奇偶性可以直接計(jì)算個(gè)位上的數(shù)相加的和。

圖3

【環(huán)節(jié)2】基于舉例驗(yàn)證得出猜想正確后，教師提出“以形助數(shù)”的驗(yàn)證方法（如圖4）：如果用1個(gè)方格表示1，2個(gè)方格就表示2，3個(gè)方格就表示3，以此類推，這里第一行表示的都是奇數(shù)，第二行表示的都是偶數(shù)，結(jié)合數(shù)的奇偶性，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)：偶數(shù)對(duì)應(yīng)的都是完整的正方形或長方形，奇數(shù)對(duì)應(yīng)的不是完整的圖形，或表示奇數(shù)的都多1格，表示偶數(shù)的都正好擺成2排。幫助學(xué)生通過圖示深層次理解奇偶數(shù)及其求和后的特點(diǎn)，借助幾何直觀，為學(xué)生打開了驗(yàn)證規(guī)律的另一扇窗。接著，教師利用所給的材料，鼓勵(lì)學(xué)生合作探究其他的驗(yàn)證方法，拼圖驗(yàn)證兩個(gè)不是0的自然數(shù)的和的奇偶性。學(xué)生在拼擺過程中總結(jié)出結(jié)論：偶數(shù)＋偶數(shù)＝偶數(shù)、奇數(shù)＋奇數(shù)＝偶數(shù)、偶數(shù)＋奇數(shù)＝奇數(shù)。

圖4

【環(huán)節(jié)3】學(xué)生繼續(xù)通過方格圖逼近知識(shí)本質(zhì)，通過分類討論三種情況：若干個(gè)偶數(shù)相加的和是偶數(shù)；奇數(shù)個(gè)奇數(shù)連加的和是奇數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇數(shù)連加的和是偶數(shù)。

和的奇偶性問題本身是十分抽象的，但借助方格圖的直觀性作為形象支撐，通過層層遞進(jìn)的方式一步步把兩個(gè)或幾個(gè)數(shù)相加的和的奇偶性規(guī)律展示出來，既滲透了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、化歸等數(shù)學(xué)思想，又更有效地提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（三）由內(nèi)隱到外顯，掌握數(shù)學(xué)本質(zhì)

比較、溝通和聯(lián)想是幫助學(xué)生由內(nèi)隱走向外顯，探尋知識(shí)本質(zhì)的基本路徑。曹培英也在《跨越斷層，走出誤區(qū)》一書中指出，溝通同類事物內(nèi)在的聯(lián)系，可實(shí)現(xiàn)幾何直觀的結(jié)構(gòu)意義?？梢?，用幾何直觀聯(lián)結(jié)“數(shù)”與“形”之間的關(guān)系，可以充分激發(fā)學(xué)生的推理能力，提升學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，從而幫助學(xué)生更加深刻地理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法。

在教學(xué)蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”一課時(shí)，筆者通過課前調(diào)查發(fā)現(xiàn)，不少學(xué)生已經(jīng)在課前基本學(xué)會(huì)了分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的算法，那么，理解分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的算理、溝通算理和算法之間的聯(lián)系便成了本節(jié)課的重中之重。在這里，筆者也設(shè)置了三個(gè)環(huán)節(jié)：

【環(huán)節(jié)1】“數(shù)”“形”結(jié)合，初探算法

先出示例題（如圖5），讓學(xué)生嘗試列式并猜測(cè)結(jié)果，再鼓勵(lì)其用學(xué)過的方法證明結(jié)論。在這個(gè)問題中，正確計(jì)算出結(jié)果并不難，但對(duì)于為什么用分子相乘的積做分子、分母相乘的積做分母，學(xué)生并不清楚。因此，教學(xué)時(shí)要讓學(xué)生用自己學(xué)過的知識(shí)證明對(duì)此，多數(shù)學(xué)生用的是化成小數(shù)的做法（如圖6），極個(gè)別的用了畫圖的方法（如圖7）。此時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到：將“數(shù)”和“形”進(jìn)行溝通，可以清晰地看到算法中隱藏的道理。

圖5

圖6

圖7

【環(huán)節(jié)2】由“數(shù)”到“形”，理解算理

在學(xué)生已經(jīng)能用“化成小數(shù)”和“畫長方形圖”兩種方法證明分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)上，繼續(xù)鼓勵(lì)學(xué)生證明的結(jié)果。這時(shí)，不能化成有限小數(shù)，這就激發(fā)了學(xué)生的又一次反思——可以用畫圖的方法來證明。經(jīng)過層層遞進(jìn)的環(huán)節(jié)，學(xué)生在一次又一次反思的過程中，借助幾何直觀的“可視性”，慢慢接近了分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的算理。

【環(huán)節(jié)3】由“形”到“數(shù)”，融通理法

教材中提供的是靜態(tài)的結(jié)果圖，所以筆者在學(xué)生經(jīng)歷了用畫圖的方法找出分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的結(jié)果的過程后，反其道而行，鼓勵(lì)學(xué)生根據(jù)圖示寫出算式，再一次利用幾何直觀讓學(xué)生溝通算理和算法之間的聯(lián)系。經(jīng)過前兩個(gè)環(huán)節(jié)，這里學(xué)生看到的雖然是靜態(tài)圖，但是已經(jīng)可以通過聯(lián)想，化靜態(tài)圖為動(dòng)態(tài)圖（如圖8）。

圖8

像這樣，學(xué)生在算式和幾何直觀中建立“數(shù)”與“形”的聯(lián)系，不斷經(jīng)歷由反思到重構(gòu)的過程，將思維從幾分之一乘幾分之一延伸到幾分之幾乘幾分之幾，乃至分?jǐn)?shù)乘整數(shù)，直觀感受分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的算法，揭示分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)算理的本質(zhì)，逐步完成對(duì)分?jǐn)?shù)乘法計(jì)算法則的整體建構(gòu)。

三、實(shí)踐探索：幾何直觀的實(shí)施路徑

幾何直觀能告訴我們什么是可能重要、可能有意義和可接近的，并使我們?cè)谡n題、概念和方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力具有重要意義。對(duì)于如何切實(shí)培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，筆者也嘗試進(jìn)行了一些思考。

（一）釋意義：在直觀中豐富數(shù)形經(jīng)驗(yàn)

幾何直觀通過直觀感知、數(shù)形結(jié)合，可以培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力。比如，在平均數(shù)問題中，借助條形圖的直觀性進(jìn)行分析，可以抽象出“求平均數(shù)”的本質(zhì)即“移多補(bǔ)少”；在近似數(shù)意義的理解中，也可以借助數(shù)軸，直觀地感知“四舍五入”中“幾十五”約等于后一個(gè)整十?dāng)?shù)的道理。

在蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)“小數(shù)的近似數(shù)”一課，有一道思考題：“有一個(gè)三位小數(shù)，精確到百分位是4.80。這個(gè)三位小數(shù)最大是多少？最小呢？”對(duì)于這一問題，多數(shù)學(xué)生采取的是“分析法”，即要想三位小數(shù)最大，千分位需要“四舍”，所以4.80不變，千分位寫4，也就是三位小數(shù)最大是4.804；反之，要想三位小數(shù)最小，千分位需要“五入”，那么4.79可以通過“五入”得到4.80，這時(shí)千分位還要盡可能地小，也就是三位小數(shù)最小是4.795。但是，其中的道理如何幫助學(xué)生理解呢？可以用“數(shù)軸”來直觀地分析。在數(shù)軸中（如圖9），先固定4.80的位置，根據(jù)“沿著正方向（一般從左往右，以箭頭指向?yàn)闇?zhǔn)）數(shù)軸上的數(shù)越來越大”，先確定近似數(shù)為4.80的三位小數(shù)的取值范圍在4.79～4.81，即固定數(shù)軸中4.79和4.81的位置。接著，在兩位小數(shù)的基礎(chǔ)上繼續(xù)關(guān)注千分位，縮小取值范圍：根據(jù)四舍五入原則，大于4.79而小于4.80的三位小數(shù)中，4.795為近似于4.80的最小值，同理，大于4.80而小于4.81的三位小數(shù)中，4.804為最大值，從而最終確定了準(zhǔn)確結(jié)果。

圖9

這樣，不僅為學(xué)生創(chuàng)造機(jī)會(huì)積累數(shù)形經(jīng)驗(yàn)，用圖形直觀闡釋小數(shù)近似值的確定方法，也在不斷縮小取值范圍的分析中滲透數(shù)形結(jié)合思想。

（二）理關(guān)系：在操作中助力概念理解

學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)不能只是停留在畫圖、看圖、分析圖的層面上，還要有剪、拼、折、圍等操作活動(dòng)，這樣才能更好地把數(shù)學(xué)知識(shí)由抽象變?yōu)榫唧w。在幾何圖形概念的教學(xué)中，如果能通過操作直觀地進(jìn)行深入觀察，往往能幫助學(xué)生對(duì)幾何圖形建立深刻的表象體驗(yàn)，引發(fā)學(xué)生深度思考，從而更準(zhǔn)確地把握幾何圖形的要素。

如蘇教版數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)“認(rèn)識(shí)三角形”一課的教學(xué)。在理解三角形特征的環(huán)節(jié)，教師提供了火柴棒、毛線、點(diǎn)子圖和釘子板四種工具，鼓勵(lì)學(xué)生通過擺一擺、拉一拉、畫一畫、圍一圍等方法做一個(gè)三角形。交流時(shí)，讓學(xué)生在充分體驗(yàn)的基礎(chǔ)上對(duì)三角形的概念進(jìn)行提煉，總結(jié)出“三條線段”“首尾相接”“圍成”等要素。最后，利用生成的資源激發(fā)學(xué)生深度思考的意識(shí)，提出“回顧做三角形的過程，你覺得有哪些注意點(diǎn)”這一問題，為學(xué)生提供完整的反思機(jī)會(huì)，從而為學(xué)生由深入觀察到深刻體驗(yàn)，最終走向深度思考畫上一個(gè)完整的句號(hào)。

整個(gè)環(huán)節(jié)中，不僅借操作幫助學(xué)生積累幾何直觀經(jīng)驗(yàn)，也利用歸納思想對(duì)不同方法制作出的三角形特點(diǎn)進(jìn)行要素提煉，并歸納總結(jié)出三角形的概念，使學(xué)生對(duì)三角形的理解從感性層面上升到理性層面。

（三）明數(shù)理：在形象中掌握知識(shí)本質(zhì)

“‘形’缺‘?dāng)?shù)’時(shí)難入微，‘?dāng)?shù)’缺‘形’時(shí)少直觀”是著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生的名言。數(shù)形結(jié)合思想便是掌握數(shù)學(xué)本質(zhì)的有力抓手，充分運(yùn)用圖形的直觀功能，在形象中看透抽象本質(zhì)，可以使學(xué)生的數(shù)學(xué)理解力逐步提升。

教學(xué)蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)“解決問題的策略——轉(zhuǎn)化”一課時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)在計(jì)算的結(jié)果時(shí)，幾乎所有學(xué)生都不約而同地選擇了通分，甚至有學(xué)生嘗試將分?jǐn)?shù)逐一轉(zhuǎn)化成小數(shù)后再進(jìn)行加法計(jì)算?；趯W(xué)情，筆者將練習(xí)題進(jìn)行了調(diào)整：計(jì)算。此時(shí)，“通分”和“化小數(shù)”的方法都不方便，以此激發(fā)學(xué)生探究新策略的欲望。這樣，通過“形”來解決問題就顯得很重要。學(xué)生可以把正方形看作單位“1”，結(jié)合已有經(jīng)驗(yàn)以及分?jǐn)?shù)的意義，迅速領(lǐng)悟到其中的奧妙（如圖10）：這些分?jǐn)?shù)相加的和，就是單位“1”減去最后剩下部分的差，而最后的剩下部分對(duì)應(yīng)的就是最小的那個(gè)加數(shù)，從而發(fā)現(xiàn)

圖10

探究過程中，學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合的直觀分析，不僅可以掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，更能深刻地體會(huì)到轉(zhuǎn)化思想帶來的無窮魅力。

（四）找方法：在簡明中拓展思維空間

歸納推理也是小學(xué)階段一種重要的數(shù)學(xué)思想，常常以特殊為起點(diǎn)，尋求解決問題的一般方法和規(guī)律，再反過來指導(dǎo)特殊問題的解決。

再以蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)“解決問題的策略——轉(zhuǎn)化”為例，練習(xí)中出現(xiàn)了三組題：“練一練”的第2題，實(shí)質(zhì)是啟發(fā)學(xué)生將求一組連續(xù)自然數(shù)和的連加算式轉(zhuǎn)化為可以用乘法計(jì)算的同數(shù)連加算式；“練習(xí)十六”的第5題，既可以借助“練一練”第2題的經(jīng)驗(yàn)，轉(zhuǎn)化用乘法計(jì)算的同數(shù)連加算式，也可以聯(lián)系平均數(shù)的特點(diǎn)直接確定這九個(gè)數(shù)的平均數(shù)，旨在鼓勵(lì)學(xué)生根據(jù)題目特點(diǎn)合理選擇；而“練習(xí)十六”的第7題則以形助數(shù)，把從1開始的連續(xù)奇數(shù)相加借助直觀圖轉(zhuǎn)化成求一個(gè)數(shù)的平方。三組題目同為數(shù)列求和問題，但各有偏重，這是“同中見異”的落腳點(diǎn)，但亦有“異中求同”的生長點(diǎn)，即都在豐富學(xué)生轉(zhuǎn)化思想的經(jīng)驗(yàn)。所以筆者也進(jìn)行了大膽的嘗試：將三組問題編為一組，先逐一呈現(xiàn)，深挖其落腳點(diǎn)，再合并觀察比較，生發(fā)其共同處——無論是連續(xù)自然數(shù)求和，還是連續(xù)奇數(shù)相加，每組數(shù)中相鄰兩數(shù)的差是一定的，從而歸納出等差數(shù)列的求和一般方法。

這樣，把內(nèi)容放在知識(shí)體系中研究，關(guān)注前后知識(shí)的銜接，同中見異、異中求同，將學(xué)習(xí)研究的素材合理編排，這才是有效發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要保證。

正如數(shù)學(xué)家希爾伯特在《直觀幾何》中所描述的那樣，“圖形可以幫助我們發(fā)現(xiàn)、描述研究的問題，可以幫助我們尋求解決問題的思路，可以幫助我們理解和記憶得到的結(jié)果?！笨梢?，只要教師留心觀察、積極思考，以讓學(xué)生親身經(jīng)歷與數(shù)學(xué)相關(guān)的學(xué)習(xí)過程為設(shè)計(jì)理念，將幾何直觀作為有力抓手，就能為學(xué)生思維的發(fā)展、能力的提升添磚加瓦。