陳小玲

【摘 要】計(jì)數(shù)原理作為概念，對(duì)小學(xué)生而言，抽象、晦澀。而作為排列組合最基本的思想方法，教學(xué)中有必要通過(guò)“搭配”活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生感悟有序枚舉，進(jìn)而將計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用滲透到學(xué)生的日常生活中。

【關(guān)鍵詞】計(jì)數(shù)原理 加法原理 乘法原理

計(jì)數(shù)原理作為排列組合最基本的思想方法，分為“加法原理”和“乘法原理”。計(jì)數(shù)原理的概念，對(duì)于小學(xué)低年級(jí)的學(xué)生而言，較為抽象且難以理解，因此曹培英教授認(rèn)為“就知識(shí)而言，只是滲透與孕伏”。

如何讓小學(xué)生理解這兩個(gè)基本原理呢？在北師大版數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊(cè)“搭配中的學(xué)問(wèn)”中有涉及。本課的核心問(wèn)題是小丑的服裝搭配問(wèn)題，即小丑有2頂帽子和3條褲子的搭配，一共有多少種不同的搭配方式？運(yùn)用“加法原理”可以這樣理解，第1類，第1頂帽子搭配3條褲子，有3種不同的方法；第2類，第2頂帽子搭配3條褲子，有3種不同的方法。這兩類可以用算式3+3=6表達(dá)。運(yùn)用“乘法原理”理解，則強(qiáng)調(diào)分步討論，第1步，選擇2頂帽子中的其中1頂，有2種不同的方法；第2步，選擇3條褲子中的其中1條，有3種不同的方法。這兩步用算式2×3=6表達(dá)。

以下是筆者在本課教學(xué)中的一些嘗試。

【教學(xué)片段】

（一）服裝搭配，初步感知計(jì)數(shù)原理

1.情境導(dǎo)入，自主探究

師：兒童節(jié)當(dāng)天，小丑皮皮接受了到學(xué)校表演的邀請(qǐng)，衣柜里有這些服裝，皮皮想給自己選一頂帽子和一條褲子，可以怎樣搭配呢？

活動(dòng)1：

請(qǐng)你用學(xué)具擺一擺，可以怎樣搭配？一共有多少種不同的方法？

2. 有序枚舉，初步感知計(jì)數(shù)原理

學(xué)生借助學(xué)具擺一擺，有了不同的搭配方法。教師不急于讓學(xué)生分享匯報(bào)，而是引導(dǎo)學(xué)生：同學(xué)們都擺好了，找到了不同的搭配方法。咱們把這些方法記錄下來(lái)。

活動(dòng)2：

記一記：用你喜歡的方式（畫(huà)一畫(huà)、記一記或?qū)懸粚?xiě)等），將不同的擺法記錄下來(lái)。

算一算：請(qǐng)用算式表達(dá)一共有多少種不同的方法。

3.展示交流，滲透計(jì)數(shù)原理

師：對(duì)比這兩種方法（如圖1、圖2），哪里不一樣？

生1：第一個(gè)同學(xué)漏了一種方法。

師：那他究竟少了哪一種？

生1：少了尖帽子和格子褲子的搭配。

師：請(qǐng)你分析一下，是什么原因?qū)е滤佼?huà)了一種？

生1：可能他還沒(méi)畫(huà)完。

生2：你看他畫(huà)得有點(diǎn)亂，如果他能按照順序畫(huà)就不會(huì)漏了，先用尖帽子搭配3條褲子，再用方帽子搭配3條褲子，3+3=6（種），一共有6種方法，這樣就不會(huì)有錯(cuò)了。

師：那第二個(gè)同學(xué)的呢？

生3：他用第1頂帽子搭配3條褲子，第2頂帽子搭配3條褲子。

師：同學(xué)們分析得真好?。∫簿褪钦f(shuō)，我們?cè)谒伎紗?wèn)題的時(shí)候，要按照一定的順序，才能做到不遺漏，也不重復(fù)。

思考：在教學(xué)中滲透計(jì)數(shù)原理的思想方法，首先要引導(dǎo)學(xué)生有序思考，不遺漏、不重復(fù)地找全所有不同的方法。在教學(xué)過(guò)程中，讓學(xué)生經(jīng)歷亂序排列及有序排列的對(duì)比，感知“有序思考”有助于快速、全面地解決問(wèn)題。

師：這個(gè)同學(xué)記錄的方式（如圖3）跟剛才兩個(gè)同學(xué)的有什么不同？

生1：他們的搭配方法是一樣的，只不過(guò)這個(gè)同學(xué)用的是連線，第1頂帽子連3條褲子，第2頂帽子連3條褲子。

師：我們看他的算式是2×3=6（種），這里的2和3分別表示什么？

生2：2表示的是2頂帽子，3表示3條褲子，搭配起來(lái)就是6種方法。

思考：相對(duì)于逐一畫(huà)出每種搭配方法，這種連線的方法顯然更方便。在搭配過(guò)程中，學(xué)生已經(jīng)初步具有分類的意識(shí)，懂得運(yùn)用“加法原理”進(jìn)行解析。

師：再來(lái)看這種記錄方式（如圖4），你們能看明白嗎？

生1：他用三角形表示帽子，用正方形表示褲子。

師：同學(xué)們用畫(huà)圖、文字、數(shù)字、圖形等方式記錄了搭配方法。大家認(rèn)為哪種記錄方式更簡(jiǎn)便？

生2：用圖形。

師：是的，我們?cè)谟涗浀臅r(shí)候可以用圖形替代。

思考：相對(duì)于象形圖，抽象圖形等記錄方式本質(zhì)是符號(hào)記錄方式，不同記錄方式的逐一呈現(xiàn)，使學(xué)生經(jīng)歷具象到抽象的數(shù)學(xué)化過(guò)程，激活學(xué)生的符號(hào)意識(shí)。而符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)，有助于學(xué)生應(yīng)用計(jì)數(shù)原理分析問(wèn)題，因此也是本課的教學(xué)重點(diǎn)。

師：再來(lái)看這個(gè)同學(xué)的搭配方法（如圖5），與剛才展示的有什么不同？請(qǐng)小組討論30秒。

生1：他用1條褲子搭配2頂帽子，再用1條褲子搭配2頂帽子，再用1條褲子搭配2頂帽子。一共有6種方法。

師：他沒(méi)有寫(xiě)算式，你們認(rèn)為他會(huì)用什么算式表達(dá)？

生2：2+2+2=6。

生3：2×3=6。

師：剛剛我們也運(yùn)用了算式2×3=6（指板書(shū)），它們表示的意思相同嗎？

生4：剛才是用帽子分別搭配褲子，現(xiàn)在是用褲子搭配帽子。

師：也就是說(shuō)，前面的方法是先選擇了帽子，再搭配褲子，而后面的方法是先選擇了褲子，再搭配帽子。兩者都可以用算式2×3表示。

思考：從不同的思考角度詮釋2×3所表達(dá)的意義，分步思考（第一步選擇帽子，第二步選擇褲子；也可以第一步選擇褲子，第二步選擇帽子），滲透乘法原理。

4.增加一條褲子，巧妙滲透乘法原理

師：當(dāng)皮皮拿出帽子和褲子時(shí)，他發(fā)現(xiàn)衣柜里還有一條褲子，現(xiàn)在又有多少種不同的方法呢？

生1：剛剛說(shuō)1條褲子可以搭配2頂帽子，也就是說(shuō)在原來(lái)的6上面再上2種方法，所以是6+2=8。

師：非常棒！你懂得用遞推的方式，在原來(lái)的基礎(chǔ)上增加兩種方法。

生2：還可以用2×4=8。2是2頂帽子，4是4條褲子，1條褲子可以搭配2頂帽子，4條褲子就有8種搭配方法。

師：說(shuō)得真好，4條褲子，搭配2頂帽子，就可以用2×4=8來(lái)表示。

思考：沒(méi)有操作學(xué)具或畫(huà)圖，學(xué)生給出算式6+2=8，在原有討論的基礎(chǔ)上遞推，理解在原有的3個(gè)2的基礎(chǔ)上，再增加一個(gè)2，也就有了4個(gè)2。這說(shuō)明學(xué)生已經(jīng)能自覺(jué)地運(yùn)用計(jì)數(shù)原理在腦海里進(jìn)行圖像表征，并用語(yǔ)言描述。

二、路線搭配，體驗(yàn)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用

1.變換情境，應(yīng)用計(jì)數(shù)原理

師：皮皮在學(xué)校表演完了，下午他要趕往動(dòng)物園參加下一場(chǎng)表演。這是學(xué)校到動(dòng)物園的路線圖（圖略）。從學(xué)校經(jīng)過(guò)少年宮，再到動(dòng)物園，一共有多少條不同的路線？請(qǐng)你用喜歡的方式記錄所有的路線。

師：對(duì)比一下，你們有什么想說(shuō)的？

生1：我認(rèn)為圖6的方法比較好，他把路線圖畫(huà)出來(lái)了，我們就知道路是怎么走的。

生2：我認(rèn)為圖7的方法比較好，題目問(wèn)我們一共有多少條路可以走，而且圖6已經(jīng)標(biāo)明字母了，走A路再走C路或者D路或者E路，還可以走B路，再走C路或者D路或者E路，一共有6條路線。

師：算式2×3=6表示什么意思？

生3：從A路走，可以選擇3條路，從B路走可以選擇3條路，所以用2×3=6。

思考：低年級(jí)的學(xué)生處于具象思維階段，看到地圖抽象出簡(jiǎn)單的曲線圖，是抽象思維的初步發(fā)展，而圖7學(xué)生直接用字母表示，具有一定的符號(hào)意識(shí)，進(jìn)一步發(fā)展了抽象思維。圖7的記錄方式及算式表明學(xué)生懂得運(yùn)用加法原理解決問(wèn)題。

2.各增加一條路

師：如果從學(xué)校到少年宮增加一條路，從少年宮到動(dòng)物園也增加一條路，請(qǐng)思考，從學(xué)校到動(dòng)物園一共有多少條不同的路線？（如圖8）同桌之間商量。

生：A和C、A和D、A和E、A和G，這里就有4條路， B也可以和C、D、E、G一起，有4條路，F(xiàn)也是一樣的，所以3×4=12。

生：剛才從學(xué)校到少年宮有2條路，從少年宮到動(dòng)物園有3條路，我們用2×3=6表示。所以，從學(xué)校到少年宮有3條路，從少年宮到學(xué)校有4條路，就用3×4=12表示。

師：是不是這樣理解，從學(xué)校到少年宮有3條路，我們?nèi)芜x一條，有3種方法，從少年宮到動(dòng)物園有4條路，任選一條，有4種方法，一共有3×4=12（條）。

思考：學(xué)習(xí)至此，學(xué)生用枚舉的策略、遷移的策略，說(shuō)明乘法原理在起作用。課堂上不明示“計(jì)數(shù)原理”“加法原理”“乘法原理”等概念，但不影響相關(guān)的知識(shí)已經(jīng)滲透。

三、總結(jié)提升，聯(lián)結(jié)計(jì)數(shù)原理

師：請(qǐng)同學(xué)們思考“搭配服裝”和“去動(dòng)物園的路線”這兩個(gè)不同的情境，它們有哪些方面是相同的？

生1：都是搭配問(wèn)題。

生2：記錄搭配的方法是相同的。

生3：比如說(shuō)，2頂帽子搭配3條褲子，可以用2×3=6，2條路搭配3條路也可以用2×3=6。

師：雖然情境不同，但都屬于搭配問(wèn)題，可以用相同的方法記錄，都是可以先選擇帽子，再搭配褲子；或者，先選擇左邊的路，再選擇右邊的路。這就是我們今天學(xué)習(xí)的有關(guān)搭配的知識(shí)。

思考：低年級(jí)學(xué)生缺乏概括、聯(lián)結(jié)知識(shí)的能力，不同情境的對(duì)比與歸納，有助于學(xué)生總結(jié)、概括同類知識(shí)，讓計(jì)數(shù)原理的滲透再次得到加強(qiáng)。

計(jì)數(shù)方法中涉及的“加法原理”和“乘法原理”是高中排列組合的基礎(chǔ)，在教材中要到高中才開(kāi)始學(xué)，但這絲毫不影響在小學(xué)進(jìn)行這種思想的滲透。在本節(jié)課中，學(xué)生通過(guò)動(dòng)手用實(shí)物擺一擺、記一記（用自己的方法記錄擺的過(guò)程）、說(shuō)一說(shuō)（將自己記錄的方法與同學(xué)交流）的活動(dòng)，對(duì)“加法原理”和“乘法原理”有了初步的感悟。