張海濱，徐津強，江軍毅，張匯，趙衛(wèi)芳，周同星，熊楊壽，黃康

(1.安徽智寰科技有限公司，安徽合肥 230601；2.大港油田第四采油廠電力管理站，天津300450；3.新疆油田公司數(shù)據(jù)公司，新疆克拉瑪依 834000；4.航空結(jié)構(gòu)件成形制造與裝備安徽省重點實驗室，安徽合肥 230009)

0 前言

行星減速器具有體積小、質(zhì)量輕、傳動比大、扭矩大等優(yōu)點，廣泛應(yīng)用于機器人關(guān)節(jié)、工程機械、儀器儀表等各個行業(yè)。無論應(yīng)用在何種場合，都要保證其運動的平穩(wěn)、可靠，即要求較高的傳動精度。減速器工作過程中會產(chǎn)生不同程度的齒面磨損，使得使用過程中傳動精度逐漸降低，最終影響傳動的準確性和可靠性。因此，研究齒面的磨損情況及定量分析齒面磨損對傳動精度的影響程度，對降低磨損對傳動誤差的影響具有重大意義。

國內(nèi)外學者對減速器的傳動精度進行了大量研究，并取得了諸多成果。傳動誤差是衡量減速器傳動精度的主要指標，主要由齒輪加工誤差以及安裝偏心誤差產(chǎn)生[1-4]。CHAARI 等[5]建立了考慮偏心誤差和齒形誤差的行星齒輪系統(tǒng)動力學模型，分析了誤差對系統(tǒng)動力學特性的影響。VELEX、 AJMI[6-7]基于六自由度動力學模型研究了齒廓修形對傳動誤差的影響。JIN等[8]分析了影響RV減速器傳動誤差的各種因素，并通過實驗證明了偏心誤差和擺線輪的等距變形影響最大。鄧效忠等[9]通過理論分析及實驗驗證了齒距嚙合偏差對傳動誤差的影響。王朝兵等[10-12]建立了行星齒輪系統(tǒng)的傳動誤差模型，并利用耦合補償?shù)姆椒ń档土藗鲃诱`差。以上文獻對傳動精度的研究沒有考慮其他不確定因素，尤其是磨損對傳動精度的影響，很難反映真實工況下減速器的傳動精度。而在精密傳動中磨損等不確定因素的影響不能忽視，文中考慮減速器在額定工況下的齒面磨損這一因素。國內(nèi)外學者對齒輪磨損理論及磨損量的計算預測方法進行了許多研究。目前使用最為廣泛的磨損模型是Archard磨損模型[13-14]，學者們又基于該模型提出了許多預測齒輪磨損量的模型方法。WU、 CHENG[15-16]將齒輪的接觸等效為時變圓柱體接觸問題，并提出了滑動磨損模型。RAO等[17-18]通過試驗確定不同工況下磨損系數(shù)的經(jīng)驗公式。FLODIN、 ANDERSSON[19-21]提出計算漸開線齒廓接觸壓力和相對滑動距離的方法，并結(jié)合Archard磨損模型，建立直齒輪和斜齒輪的磨損預測模型。張俊等人[22]利用赫茲理論和Archard磨損公式，建立面向真實工況的直齒圓柱齒輪準靜態(tài)磨損模型。

本文作者綜合考慮3z-Ⅱ型行星減速器各構(gòu)件的加工誤差、安裝誤差、齒廓偏差、齒厚偏差及齒距偏差等短周期誤差以及運行過程中的齒面磨損等因素，對某3z-Ⅱ型行星減速器的傳動誤差展開研究?？紤]上述加工安裝誤差，建立整個3z-Ⅱ型行星齒輪系的傳動誤差模型，結(jié)合Archard磨損模型和赫茲接觸模型理論，建立行星齒輪系統(tǒng)的磨損模型，并基于各齒輪磨損量建立考慮磨損的3z-Ⅱ型行星齒輪系的傳動誤差模型。

1 傳遞誤差模型的建立

傳動誤差是指輸入軸單向回轉(zhuǎn)時，輸出軸的實際轉(zhuǎn)角與理論轉(zhuǎn)角的差值。它的主要影響因素包括齒輪系統(tǒng)各構(gòu)件的加工偏心誤差、安裝偏心誤差和齒輪的齒距偏差、齒廓偏差、齒厚偏差、齒側(cè)間隙以及各構(gòu)件的變形等誤差。文中主要考慮具有隨機性的誤差，包括加工和安裝偏心誤差、齒距偏差、齒廓偏差、齒厚偏差。

1.1 一對齒輪傳動誤差

根據(jù)傳動誤差的概念可以把一對齒輪的傳動誤差表示為

ET=θ′-θ

(1)

其中：θ為從動輪的理論轉(zhuǎn)角；θ′為從動輪的實際轉(zhuǎn)角。

式(1)中的理論轉(zhuǎn)角容易算出，而實際轉(zhuǎn)角卻需要經(jīng)過試驗測得，故而式(1)主要用于對傳動誤差的實驗分析及實驗數(shù)據(jù)處理，不適合對傳動誤差的理論分析。理論分析需要用到當量嚙合誤差的概念，將各個來源誤差轉(zhuǎn)化為當量嚙合誤差，再把當量嚙合誤差轉(zhuǎn)化為齒輪的轉(zhuǎn)角，從而將各種來源誤差與傳動誤差建立聯(lián)系。當量嚙合誤差就是把加工、安裝等各種誤差投影到嚙合線上得到的當量誤差。加工偏心誤差和安裝偏心誤差和嚙合線不重合，需要投影到嚙合線上；齒輪的齒距偏差、齒廓偏差和齒厚偏差可以認為在嚙合線上，這樣就只需要求出偏心類誤差的當量嚙合誤差。齒輪副各齒輪偏心誤差的當量嚙合誤差如表1所示。

表1 齒輪副各齒輪偏心誤差的當量嚙合誤差

齒輪的齒距偏差、齒廓偏差和齒厚偏差有重合部分，不分別討論，其當量嚙合誤差合計為f。綜上所述，可以得到外嚙合齒輪副嚙合線上的當量嚙合誤差為

ew=eE1+eE2+eA1+eA2+f1+f2

(2)

同樣地，內(nèi)嚙合齒輪副嚙合線上的當量嚙合誤差為

en=eE1+eE2+eA1+eA2+f1+f2

(3)

1.2 3z-Ⅱ型行星傳動系統(tǒng)傳動誤差模型

3z-Ⅱ型行星傳動的構(gòu)件主要包括太陽輪a、行星輪c、固定內(nèi)齒圈b、內(nèi)齒圈e和行星架H，其中太陽輪a作為輸入端，內(nèi)齒圈e為輸出端，其結(jié)構(gòu)示意如圖1所示。整個減速器的傳動誤差可以看作是數(shù)對內(nèi)嚙合齒輪和外嚙合齒輪傳動誤差的組合。

圖1 3z-Ⅱ型行星傳動結(jié)構(gòu)

其中內(nèi)齒輪b固定，可認為不存在安裝誤差，各軸承、行星軸等構(gòu)件的公差引起的誤差均計入到安裝誤差內(nèi)，行星架加工偏心誤差包含在其他偏心誤差內(nèi)，不單獨考慮。

減速器各構(gòu)件的偏心誤差及其相應(yīng)的當量嚙合誤差表示如表2所示。

表2 各齒輪偏心誤差的當量嚙合誤差

對各個齒輪產(chǎn)生的傳動誤差單獨分析，可以得到反映到各個齒輪自身轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動誤差，其表達式為

(4)

(5)

(6)

(7)

各齒輪的傳動誤差通常根據(jù)傳動比轉(zhuǎn)化到輸出軸上，并且以角度值的形式表示，整個減速器的傳動誤差為

(8)

2 齒輪嚙合磨損計算模型

齒輪磨損是減速器運行過程中不可忽略的問題，隨著工作時間增加，齒面磨損造成齒厚減薄增加，會使齒輪的傳動精度下降，達到一定程度將影響正常使用。因此，在分析減速器的傳動精度時，考慮磨損對傳動精度的影響。齒輪磨損包括3個階段：磨合階段、穩(wěn)定磨損階段和急劇磨損階段。考慮到行星減速器的潤滑、工況較好，按照處于穩(wěn)定磨損階段分析。

2.1 磨損基本模型

齒輪在嚙合過程中，由于輪齒間的相對滑動和滾動齒面會產(chǎn)生磨損。對于齒面任意嚙合點處的磨損量，一般利用Archard磨損模型計算。齒面某嚙合點的磨損量可表示為

(9)

式中：h為磨損深度；k為磨損系數(shù)；p為赫茲接觸應(yīng)力；s為相對滑動位移。

2.2 接觸壓力

對于漸開線齒輪，其嚙合過程可以等效為以嚙合點漸開線曲率為半徑的兩滾子圓柱間的嚙合。為了獲得任意接觸點的壓力，可利用赫茲接觸理論，將接觸點壓力等效為兩時變圓柱滾子情況。在齒輪法向載荷的作用下，以接觸點為中心的一定范圍內(nèi)發(fā)生彈性變形，形成一個近似矩形的微小變形區(qū)，如圖2所示，在該接觸區(qū)內(nèi)的接觸壓力稱為赫茲應(yīng)力，利用赫茲理論求得接觸半寬a為

圖2 接觸應(yīng)力示意

(10)

1/R′=1/R1+1/R2

(11)

(12)

其中：Fn為法向載荷；b為齒寬；R′為綜合曲率；E′為等效彈性模量；R1、R2為接觸點的曲率半徑；E1、E2和ν1、ν2分別為兩齒輪的彈性模量和泊松比。

任意接觸點的曲率半徑，即為該點到基圓切點的距離：

(13)

式中：r1、r2為齒輪分度圓半徑；α′為嚙合角；y為嚙合點到節(jié)點的距離，且y=rb1(tanαp-tanα′)，rb1為主動輪的基圓半徑，αp為嚙合點對應(yīng)的圓心角。

由圖2可以看出：赫茲應(yīng)力在接觸區(qū)域并非均勻分布，應(yīng)力在接觸中心區(qū)域最大，兩側(cè)逐漸減小，總體近似呈橢圓形分布，任意一點的接觸壓力為

(14)

2.3 磨損系數(shù)

齒輪磨損情況受齒輪材料、表面粗糙度、潤滑條件以及負載的影響，根據(jù)前人總結(jié)可將這些因素對磨損的影響用一個系數(shù)來表示，稱為磨損系數(shù)，用k表示。磨損系數(shù)是一個動態(tài)變化的數(shù)值，JANAKIRAMAN等[18]根據(jù)實驗數(shù)據(jù)，運用統(tǒng)計學方法擬合出磨損系數(shù)的計算公式：

k=3.981×1029L1.219G-7.377S1.589/E′

(15)

式中：L、G、S分別為量綱一載荷、量綱一潤滑劑壓力-黏度系數(shù)、量綱一等效粗糙度；E′為齒輪副的等效彈性模量。上述各項參數(shù)的計算公式如下：

(16)

G=αE′

(17)

(18)

(19)

其中：Rq1、Rq2分別為兩齒輪相嚙合齒面的粗糙度，可根據(jù)齒輪公差等級查設(shè)計手冊得到。

2.4 相對滑動距離

主動輪和從動輪齒廓的接觸點p1、p2的圓周速度U1、U2可以表示為

(20)

點p1、p2的相對滑動距離為

(21)

2.5 磨損計算結(jié)果分析

以某3z-Ⅱ型行星減速器為例分析，傳動比i=105，額定轉(zhuǎn)速n=15 r/min，額定轉(zhuǎn)矩T=167 N·m，其基本參數(shù)如表3所示，為反映實際工作中的磨損，各參數(shù)均按照額定值分析。

表3 各齒輪參數(shù)

根據(jù)以上磨損模型，結(jié)合實例參數(shù)對各齒輪不同工作時間的磨損情況進行仿真分析，得到各齒輪齒面的磨損量如圖3—6所示，圖中橫坐標為齒廓各點到軸心的距離。可以看出：各齒輪節(jié)圓處磨損量最小，齒根(半徑10.572 mm處)和齒頂(半徑最大處)處磨損較嚴重，并且齒根處的磨損最為嚴重，符合實際情況。并且行星輪c和太陽輪a的磨損量最大，內(nèi)齒圈b的磨損量也較內(nèi)齒圈e大，說明靠近輸入端的磨損較為嚴重。

圖3 不同工作時間下齒輪a磨損深度

圖4 不同工作時間下齒輪c磨損深度

圖5 不同工作時間下齒輪b磨損深度

圖6 不同工作時間下齒輪e磨損深度

3 傳動誤差仿真分析

由于減速器傳動誤差的各種加工和安裝偏差、公差都是隨機變量，因此實際過程中其傳動誤差不會是定值，而是會出現(xiàn)各種可能的情況。為了更準確地反映實際情況，需要對減速器的傳動誤差這一整體隨機變量進行蒙特卡羅方法模擬計算，得到預測值。

蒙特卡羅模擬的基本思想是：針對實際存在的一些不確定性問題，假定一個符合實際要求的概率模型或隨機過程，令其參數(shù)等于問題的解；通過大量的模擬抽樣可得問題的近似解。

利用蒙特卡羅進行傳動誤差分析時，通常步驟為：

(1)根據(jù)國標給出的各項誤差數(shù)值，由上述逆變換公式抽樣，得出一個抽樣值；

(2)將上述抽樣值代入公式(8)進行計算，得出這一隨機變量的抽樣值；

(3)重復步驟(2)N次(N=1 000)，得到N個齒輪系統(tǒng)傳動誤差的抽樣值，最后即可得到傳動誤差的基本范圍。

齒輪的加工偏心誤差E可用(F′i-f′i)/2和f′i/2綜合表示，它們都服從瑞利分布；齒輪的安裝偏心誤差可用A表示，其服從正態(tài)分布；偏心誤差存在相位角θ，其在[0，2π]內(nèi)服從均勻分布。

3.1 各隨機變量的抽樣公式及分布參數(shù)的確定

若R1、R2均為[0，1]區(qū)間上服從均勻分布的隨機變量，則產(chǎn)生瑞利分布隨機變量X的抽樣公式[23]為

(22)

其中：η為其分布參數(shù)。

產(chǎn)生正態(tài)分布隨機變量Y的抽樣公式為

(23)

其中：μ為Y的均值；σ為Y的方差。

產(chǎn)生均勻分布隨機變量Z的抽樣公式為

Z=2πR1

(24)

隨機變量X、Y的取值都在其相應(yīng)公差范圍內(nèi)隨機變動。對于隨機變量X，取置信度為99.7%，則分布參數(shù)取值應(yīng)為

(25)

其中：μ為X的分布參數(shù)。

對于服從正態(tài)分布的隨機變量Y，可按3σ原則，取置信度為99.7%，則均值和標準差為

(26)

其中：μ為Y的均值；σ為Y的方差。

以文中提到3z-Ⅱ型行星減速器為研究實例，太陽輪a為輸入端，內(nèi)齒圈b固定在箱體上，3個行星輪與行星架是浮動的，內(nèi)齒圈e作為輪系的輸出端。內(nèi)齒圈b作為基準，故不存在安裝偏心誤差。各齒輪的精度等級為6級，模數(shù)均為1.5 mm。此實例各參數(shù)與磨損計算中完全相同，其余參數(shù)如表3所示。

按照公差標準查找各齒輪公差值，并計算出相應(yīng)的分布參數(shù)，減速器各部分的公差和分布參數(shù)如表4所示[24]。

表4 齒輪公差與分布參數(shù)

3.2 不考慮磨損時的傳動誤差

在不考慮磨損的情況下，利用蒙特卡羅模擬計算減速器的傳動誤差。在MATLAB中編程，將表4中各項公差的分布參數(shù)代入各個抽樣公式，利用rand函數(shù)生成1 000個0～1內(nèi)的隨機數(shù)，將抽樣公式的結(jié)果代入第1.2節(jié)的公式(8)中進行計算，得到減速器傳動誤差的1 000個隨機數(shù)，仿真結(jié)果如圖7所示。

圖7 無磨損時減速器的傳動誤差

從圖7可以看出：利用蒙特卡羅方法計算出的傳動系統(tǒng)傳動誤差主要集中在-0.83′～3.07′，平均值為1.25′，負號表示輸出端實際轉(zhuǎn)角相對于理論轉(zhuǎn)角滯后。

3.3 考慮磨損的傳動誤差

由于齒面磨損會對傳動誤差產(chǎn)生影響，磨損存在于齒面上，因此可以將磨損等效為齒廓偏差進行分析。為便于分析，假設(shè)理想情況下，同一齒輪上的所有輪齒齒面的磨損情況相同。盡管如此，其實磨損深度在同一輪齒上的不同部位也不相同，考慮到傳動精度的要求，取最大磨損量進行傳動誤差分析，并且按減速器工作1 000 h時各齒輪的磨損量分析。同樣利用蒙特卡羅方法，將磨損量等效為齒廓偏差進行分析，具體步驟與第3.2節(jié)中相同，仿真結(jié)果如圖8所示。

從圖8可以看出：考慮磨損時整個傳動系統(tǒng)的傳動誤差有所增加，傳動誤差集中在-0.42′～3.75′，平均值為1.71′，同時相比無磨損時，正向傳動誤差增大，誤差滯后降低。

4 結(jié)論

文中對3z-Ⅱ型行星系統(tǒng)的傳動誤差進行分析，建立磨損模型和傳動誤差模型，對比分析磨損對傳動誤差的影響，得到如下結(jié)論：

(1)建立了3z-Ⅱ型行星齒輪系的傳動誤差模型，并利用蒙特卡羅法得出無磨損情況下，3z-Ⅱ型行星齒輪系理論傳動誤差在置信度為0.997下的置信區(qū)間為[-0.83′,3.07′]，平均值為1.25′。

(2)建立了3z-Ⅱ型行星齒輪系的齒面磨損模型，根據(jù)仿真結(jié)果分析，靠近輸入端的齒輪齒面磨損最為嚴重，其次是行星輪和固定內(nèi)齒圈，輸出內(nèi)齒圈磨損較輕。

(3)考慮磨損的3z-Ⅱ型行星齒輪系傳動誤差在置信度為0.997下的置信區(qū)間為[-0.42′，3.75′]，平均值為1.71′。計算表明：工作1 000 h的磨損量對系統(tǒng)傳動誤差有較明顯的影響，并且使傳動誤差的滯后量顯著降低。