紀(jì)勝飛，梁森，孫興帥，馬國(guó)瑞

(青島理工大學(xué)機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院，山東青島 266520)

0 前言

近年來(lái)，技術(shù)變革越來(lái)越依賴新材料的發(fā)展，作為未來(lái)發(fā)展方向之一的復(fù)合材料也得到了更多的應(yīng)用和推廣。其中，嵌入式共固化阻尼結(jié)構(gòu)作為復(fù)合材料的代表，它是由不同性質(zhì)的材料克服單一材料缺陷、發(fā)揮各自材料優(yōu)勢(shì)復(fù)合而成的一種多相固體，具有阻尼性能優(yōu)異、抗老化、不脫落、耐疲勞等優(yōu)點(diǎn)[1-2]，而且圓板結(jié)構(gòu)作為機(jī)械工程中最基本的結(jié)構(gòu)單元，被廣泛應(yīng)用于航空航天、船舶工業(yè)、儀器儀表等領(lǐng)域，因此對(duì)嵌入式共固化阻尼復(fù)合材料圓板結(jié)構(gòu)的研究具有廣泛的應(yīng)用前景。

ROSE等[3]提出了一種黏彈性?shī)A層結(jié)構(gòu)模型，用于分析黏彈性層對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)性能的影響和動(dòng)力響應(yīng)。后來(lái)對(duì)夾層結(jié)構(gòu)的研究主要集中在有限元與實(shí)驗(yàn)研究。DI SCIUVA[4]利用正交各向異性的較厚層合板的非線性運(yùn)動(dòng)方程研究了復(fù)合材料板的振動(dòng)；后來(lái)，DI SCIUVA[5]運(yùn)用連續(xù)性假設(shè)并建立模型來(lái)實(shí)現(xiàn)有限元方法的發(fā)展。ROY、 GANESAN[6]提出了一種約束阻尼層處理的圓板振動(dòng)和阻尼分析的有限元方法。 FARAG、 PAN[7]利用數(shù)值模擬方法研究了各向同性薄板的面內(nèi)自由振動(dòng)和模態(tài)特性。李烜等人[8]以丁基橡膠為主要原料，利用模壓法制得阻尼薄膜試件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探索，結(jié)果表明：阻尼層可以有效提高結(jié)構(gòu)的阻尼性能。ESHAGHI等[9]通過(guò)實(shí)驗(yàn)分析了磁流變液為芯層的環(huán)形圓板的動(dòng)力學(xué)性能。

對(duì)夾層板的理論探索大多集中在矩形板[10-13]或各向同性材料圓板[14-15]。ZHAI等[16]結(jié)合哈密頓原理與納維解求解了夾層板的動(dòng)態(tài)特性，在驗(yàn)證效率和精度的基礎(chǔ)上，得到了多參數(shù)對(duì)夾層板的影響規(guī)律。PILGUN、 AMABILI[17]研究了各向同性材料制成的復(fù)雜幾何形狀淺圓形圓柱板的非線性自由振動(dòng)和受迫振動(dòng)特性。WEI、QING[18]應(yīng)用修正的耦合應(yīng)力理論(Modified Couple Stress Theory，MCST)分析了圓形板軸對(duì)稱(chēng)靜力彎曲、彈性屈曲和自由振動(dòng)特性。JAVANI等[19]利用廣義微分求積法對(duì)功能梯度圓板的振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了細(xì)致的研究。

綜上可知，有關(guān)嵌入阻尼各向異性圓板結(jié)構(gòu)的理論探索還處于空白階段。本文作者在四邊固支的邊界條件下求解結(jié)構(gòu)的理論模型，利用實(shí)驗(yàn)結(jié)果和有限元數(shù)值模擬結(jié)果驗(yàn)證理論模型的正確性；在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步探索阻尼層比率、半徑大小與阻尼層厚度比以及復(fù)合材料層與阻尼層厚度比對(duì)結(jié)構(gòu)的影響，數(shù)值計(jì)算結(jié)果可為工程人員設(shè)計(jì)大剛度、高阻尼的復(fù)合材料結(jié)構(gòu)提供一定的參考。

1 ECDCCPS固有頻率和損耗因子的推導(dǎo)

嵌入式共固化復(fù)合材料阻尼圓板結(jié)構(gòu)(Embedded Co-cured Damping Composite Circular Plates Structure，ECDCCPS)的幾何結(jié)構(gòu)如圖1所示。為得到振動(dòng)方程，做如下基本假設(shè)：(1)忽略不計(jì)ECDCCPS結(jié)構(gòu)在厚度方向的變形；(2)每層界面之間不發(fā)生滑移。

1.1 結(jié)構(gòu)的幾何方程與本構(gòu)關(guān)系

根據(jù)一階剪切變形理論表述結(jié)構(gòu)的位移場(chǎng)，各層位移函數(shù)用式(1)表示：

(1)

(2)

每層的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系表示為

(3)

(4)

黏彈性層的損耗因子與復(fù)合材料層相比較大，因此對(duì)黏彈性層的彈性模量和剪切模量用式(5)表示：

(5)

1.2 控制微分方程的推導(dǎo)

由上面應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式可以得到ECDCCPS的應(yīng)變能和動(dòng)能為

(6)

(7)

式中：V表示ECDCCPS的體積；ρi表示第i層板的密度；S表示第i層r-θ方向中性面的面積。

黏彈性層的位移可以用上下面板位移來(lái)表示：

(8)

結(jié)構(gòu)在四邊固支邊界條件為r=0處解有限及r=R處u=0，v=0，w=0，?w/?r=0，α=0，β=0。

考慮圓板關(guān)于坐標(biāo)的周向?qū)ΨQ(chēng)性，采用分離變量法，設(shè)陣型解為

(9)

其中：ω*表示頻率；非負(fù)整數(shù)m表示相應(yīng)振型的周向波數(shù)，m=0表示軸對(duì)稱(chēng)振動(dòng)。

Ritz法采用容許基函數(shù)來(lái)描述結(jié)構(gòu)的位移，滿足幾何邊界條件。位移函數(shù)用多項(xiàng)式函數(shù)乘以邊界函數(shù)來(lái)描述，表示為

(10)

其中：ak、bk、ck、fk、lk為多項(xiàng)式函數(shù)的未知系數(shù)；k為整數(shù)；N表示位移幅度函數(shù)多項(xiàng)式的最高次數(shù)。

由拉格朗日能量函數(shù)得到結(jié)構(gòu)的能量表達(dá)式為

Π=U-T

(11)

利用Rayleigh-Ritz法將拉格朗日能量函數(shù)相對(duì)于任意系數(shù)最小化得到阻尼復(fù)合材料圓板的自由振動(dòng)方程為

(12)

將位移表達(dá)式代入控制方程并簡(jiǎn)化為矩陣形式

(K-(ω*)2M){X}=0

(13)

利用編程程序MATLAB計(jì)算式(13)的特征值，ECDCCPS結(jié)構(gòu)的振動(dòng)頻率和損耗因子由式(14)計(jì)算可得：

(14)

2 算例分析與討論

為了驗(yàn)證理論模型的有效性，采用模態(tài)應(yīng)變能法計(jì)算四邊固支邊界條件下嵌入阻尼膜復(fù)合材料圓板結(jié)構(gòu)的固有頻率和損耗因子。其半徑R=0.15 m，復(fù)合材料層的材料參數(shù)見(jiàn)表1，阻尼材料參數(shù)見(jiàn)表2。

表1 ECDCCPS上下面板材料參數(shù)

表2 ECDCCPS阻尼層材料參數(shù)

此算例采用ANSYS有限元模擬對(duì)理論模型計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。板單元采用實(shí)體185單元，劃分網(wǎng)格單元尺寸為1 mm，上、中、下3層共節(jié)點(diǎn)連接。圖2所示為圓板劃分網(wǎng)格，表3為Ritz法理論計(jì)算和有限元數(shù)值模擬計(jì)算結(jié)果對(duì)比。

表3 理論與模擬結(jié)果對(duì)比

圖2 圓板劃分網(wǎng)格模型

如表3所示，Rayleigh-Ritz法計(jì)算的固有頻率和損耗因子略微大于數(shù)值模擬結(jié)果，誤差主要來(lái)源于理論模型的基本假定以及由于圓板形狀的特殊性造成劃分網(wǎng)格大小不一等因素，但前3階固有頻率和損耗因子誤差均在5%以內(nèi)，證明了理論模型的有效性。接下來(lái)將使用模態(tài)實(shí)驗(yàn)法對(duì)結(jié)果的正確性進(jìn)行佐證。

3 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的搭建與模型驗(yàn)證

3.1 試件的制備

采用碳纖維-環(huán)氧樹(shù)脂預(yù)浸料加以雙面刷涂工藝制作阻尼層，將復(fù)合材料和阻尼層在濕熱環(huán)境箱中共固化得到ECDCCPS試件。圓板在固支夾具中放置如圖3所示，夾持部分長(zhǎng)度不計(jì)，實(shí)際測(cè)試半徑為150 mm，上下面板總厚度為2.1 mm，阻尼層厚度為0.1 mm。圓板沿半徑方向4等分，沿圓周方向18等分，測(cè)點(diǎn)共73個(gè)。

圖3 圓板的固支夾具

3.2 實(shí)驗(yàn)測(cè)試系統(tǒng)組成及后處理

模態(tài)實(shí)驗(yàn)采用B &K公司的模態(tài)測(cè)試設(shè)備[8]，包括激勵(lì)力錘(8206-002)、加速度傳感器(4524-B-004)和PULSE (3560B)。具體實(shí)驗(yàn)裝置如圖4所示。

圖4 實(shí)驗(yàn)設(shè)備

邊界條件設(shè)定為四邊固支，激勵(lì)力錘設(shè)置在點(diǎn)38，如圖5所示，測(cè)試采用單點(diǎn)激勵(lì)多點(diǎn)響應(yīng)，3次激勵(lì)數(shù)值取平均，3次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)再次取平均，以獲得準(zhǔn)確的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。具體測(cè)試過(guò)程如圖6所示。

圖5 激勵(lì)力錘設(shè)置點(diǎn)

圖6 實(shí)驗(yàn)測(cè)試過(guò)程

將實(shí)驗(yàn)結(jié)果導(dǎo)入后處理軟件PULSE Reflex Version中進(jìn)行參數(shù)識(shí)別設(shè)置，選擇恰當(dāng)?shù)姆治鲱l帶，模態(tài)參數(shù)分析方法采用有理多項(xiàng)式Z變換法，進(jìn)行全局求解，迭代計(jì)算結(jié)果如圖7所示。其中紅色菱形表示模態(tài)頻率、模態(tài)阻尼和模態(tài)振型都是穩(wěn)定的，系統(tǒng)自動(dòng)識(shí)別最佳的模態(tài)計(jì)算結(jié)果，表示為黑色圓圈，橫坐標(biāo)數(shù)值即表示實(shí)驗(yàn)得到的固有頻率結(jié)果。

圖7 迭代計(jì)算結(jié)果

3.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

表4為PULSE迭代計(jì)算得到的試件前3階模態(tài)頻率和模態(tài)阻尼。其中，誤差1表示理論解與ANSYS模擬結(jié)果的相對(duì)誤差，誤差2表示實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論解的相對(duì)誤差。

表4 理論、模擬與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

由表4知：理論、實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬結(jié)果誤差均在5%以內(nèi)，滿足工程實(shí)際應(yīng)用要求。模態(tài)實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步驗(yàn)證了理論模型的正確性，為工程實(shí)際應(yīng)用Rayleigh-Ritz法求解ECDCCPS的固有頻率和損耗因子提供便利，為固支邊界條件下嵌入阻尼膜復(fù)合材料圓板結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)和優(yōu)化奠定基礎(chǔ)。

4 ECDCCPS的動(dòng)態(tài)特性

在驗(yàn)證理論模型有效的基礎(chǔ)上，運(yùn)用該理論模型，進(jìn)一步探討阻尼層比率、半徑大小與阻尼層厚度比以及上下面板厚度與阻尼層厚度比對(duì)自由振動(dòng)頻率和損耗因子的影響，得到四邊固支ECDCCPS振動(dòng)特性的變化規(guī)律。

4.1 阻尼層比率對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響

將阻尼層比率定義為阻尼層厚度占板總厚度的比值。保持圓板厚度不變，改變阻尼層的厚度，圖8所示固有頻率和損耗因子隨阻尼層比率的變化趨勢(shì)。

圖8 阻尼層比率對(duì)ECDCCPS固有頻率(a)和損耗因子(b)的影響

由圖8可知：當(dāng)結(jié)構(gòu)的阻尼層比率增大時(shí)，結(jié)構(gòu)的固有頻率均呈現(xiàn)不斷減小的趨勢(shì)，高階時(shí)表現(xiàn)更為顯著；損耗因子則隨阻尼層比率的增大先增大到峰值后急劇減小并趨于平緩，這說(shuō)明存在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的最優(yōu)值，當(dāng)阻尼層比率為0.4時(shí)，損耗因子達(dá)到峰值。這是因?yàn)楫?dāng)阻尼層厚度增加時(shí)，結(jié)構(gòu)總厚度不變，而上下面板變薄，導(dǎo)致阻尼層的剪切應(yīng)變不斷減小。因此阻尼層越厚阻尼性能不一定越好，較薄的阻尼層更能明顯增強(qiáng)結(jié)構(gòu)的阻尼性能。

4.2 半徑大小與阻尼層厚度之比對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響

保持結(jié)構(gòu)半徑大小以及上下面板厚度不變，研究半徑與阻尼層厚度比對(duì)ECDCCPS固有頻率和損耗因子的影響。為表述方便，引入變量B，將其定義為半徑值與阻尼層厚度之比。圖9描述了改變B值時(shí)固有頻率和損耗因子的變化規(guī)律。

圖9 B值對(duì)ECDCCPS固有頻率(a)和損耗因子 (b)的影響

由圖9可知：隨著B(niǎo)值的不斷增大，一階固有頻率不斷增大并趨于平緩，高階固有頻率呈現(xiàn)不斷增大的趨勢(shì)；損耗因子隨B值的增大有突變的情況，表現(xiàn)為先急劇增大到極大值后不斷減小，說(shuō)明該處存在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的較優(yōu)點(diǎn)。當(dāng)B=273時(shí)，損耗因子達(dá)到峰值。這是因?yàn)榇藭r(shí)恰當(dāng)?shù)淖枘釋雍穸仁蛊涞玫搅顺浞值氖芰ψ冃?，使得損耗因子達(dá)到最大。因此在半徑一定的情況下，取與半徑值適當(dāng)比例的阻尼層厚度可以使結(jié)構(gòu)擁有較大的剛度和較為理想的阻尼性能。

4.3 復(fù)合材料層厚度與阻尼層厚度之比對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響

保持復(fù)合材料層厚度不變，改變阻尼層的厚度，定義二者比值為L(zhǎng)，研究它對(duì)ECDCCPS動(dòng)態(tài)特性的影響。圖10描述了L隨結(jié)構(gòu)振動(dòng)頻率和損耗因子的變化規(guī)律。

圖10 L值對(duì)ECDCCPS固有頻率(a)和損耗因子(b)的影響

如圖10所示：結(jié)構(gòu)的固有頻率變化趨勢(shì)基本相同，隨著L的增大而增大；損耗因子隨L的增加先增大到極大值后不斷減小。這說(shuō)明在復(fù)合材料層厚度一定時(shí)，適當(dāng)增加阻尼層厚度可以明顯提高結(jié)構(gòu)剛度，因此存在復(fù)合材料層與阻尼層厚度的較優(yōu)比。當(dāng)L=4時(shí)，結(jié)構(gòu)的損耗因子較大，在此比例下的復(fù)合材料層和阻尼層使得ECDCCPS既有較強(qiáng)的剛度又有較為理想的阻尼性能，并且當(dāng)結(jié)構(gòu)的阻尼層厚度大于復(fù)合材料板厚度時(shí)，結(jié)構(gòu)的剛度和阻尼性能均較差。

5 結(jié)論

文中研究了固支邊界條件下ECDCCPS的自由振動(dòng)特性。利用Rayleigh-Ritz法得到ECDCCPS的振動(dòng)控制方程，求解了結(jié)構(gòu)固有頻率和損耗因子計(jì)算式；基于數(shù)值模擬與模態(tài)試驗(yàn)，驗(yàn)證了理論模型的正確性；并運(yùn)用該理論模型進(jìn)一步研究阻尼層厚度參數(shù)對(duì)ECDCCPS的影響規(guī)律，主要結(jié)論如下：

(1)當(dāng)阻尼層比率為0.4時(shí)，損耗因子存在峰值。因此，較薄的阻尼層更能明顯增強(qiáng)結(jié)構(gòu)的阻尼性能；

(2)在半徑一定的情況下，取與半徑恰當(dāng)比例的阻尼層厚度可以使結(jié)構(gòu)擁有較大的剛度和較為理想的阻尼性能；

(3)存在復(fù)合材料層與阻尼層厚度的較優(yōu)比，為ECDCCPS設(shè)計(jì)優(yōu)化提供參考。