周欣竹，鄭建軍，范興朗，張 煒，葉 浩

(1.浙江工業(yè)大學 土木工程學院，浙江 杭州 310023；2.浙江省工程結(jié)構(gòu)與防災(zāi)減災(zāi)技術(shù)研究重點實驗室，浙江 杭州 310023)

在土木、水利和機械工程中，各種材料和各種形狀的板結(jié)構(gòu)得到廣泛的應(yīng)用[1-4]。變厚度圓板的應(yīng)用也不罕見，如汽輪機葉盤、板式離合器、往復(fù)機械中的活塞和電視塔基礎(chǔ)等[5-7]。由于變厚度圓板彎曲方程過于復(fù)雜，一般解析解僅限于簡單荷載作用下的線性變厚度板[5]。對于復(fù)雜荷載作用下的一般變厚度圓板，大多采用數(shù)值方法。劉葉丹等[8]提出了變厚度圓板彎曲的初參數(shù)法，這種方法對板結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計具有一定的優(yōu)越性。李欣業(yè)等[9]提出了線性變厚度圓板的有限差分法。周欣竹等[10]基于特殊函數(shù)理論給出了Winkler地基上環(huán)板單元的傳遞矩陣，并用于一般變厚度環(huán)板的靜力分析。吳敏達等[11]考慮板的剪切變形，應(yīng)用攝動法給出了指數(shù)變厚度圓板和環(huán)板的級數(shù)解。近年來，Vivio等[12]獲得了一類冪型變厚度圓板彎曲的解析解。這些研究都限于變厚度圓板或環(huán)板的軸對稱彎曲，而對于反對稱彎曲文獻中鮮有報道[5-7]。而在實際工程中，如果變厚度圓板垂直置于液體中，液體對圓板的壓力可以分解為軸對稱荷載和反對稱荷載。因此，研究軸對稱變厚度圓板的反對稱彎曲對于進一步理解板的受力特性具有理論意義，而且對于圓板設(shè)計和厚度優(yōu)化也具有參考價值。

1 基本方程和等厚度圓環(huán)板彎曲的解析解

考慮如圖1所示的變厚度圓板，周邊簡支或固支，將圓板劃分成N的單元，其中：第1個是圓板單元，其余N-1個是環(huán)板單元。圓板承受反對稱荷載為

P(r,θ)=p(r)cosθ

(1)

圖1 軸對稱變厚度圓板及其單元劃分

為了分析這些板單元，將它們按等厚度處理，很顯然，單元數(shù)N越大，這些板單元的組合越接近原來的軸對稱變厚度圓板。設(shè)第i個板單元的彎曲剛度為Di，所承受的荷載為

Pi(r,θ)=pi(r)cosθ

(2)

根據(jù)板殼理論，第i個板單元的撓度Wi(r,θ)滿足如下方程：

(3)

根據(jù)外荷載的形式，設(shè)撓度Wi(r,θ)為

Wi(r,θ)=wi(r)cosθ

(4)

相應(yīng)的徑向轉(zhuǎn)角Φr(r,θ)、徑向彎矩Mr(r,θ)和徑向剪力Vr(r,θ)分別為

Φir(r,θ)=φir(r)cosθ

(5)

Mir(r,θ)=mir(r)cosθ

(6)

Vir(r,θ)=vir(r)cosθ

(7)

式中：φir(r)，mir(r)，vir(r)分別表示為

(8)

(9)

(10)

式中μ為板材料的泊松比。

將式(4)代入式(3)并消去cosθ有

(11)

式(11)的解由兩部分組成：一部分是與式(11)相對應(yīng)齊次方程的解，另一部分是式(11)的特解。很顯然，相應(yīng)于式(11)的齊次方程解為

(12)

式中：ci(i=1,2,3,4)為待定系數(shù)；函數(shù)fi(r)(i=1,2,3,4)分別為

(13)

(14)

(15)

(16)

根據(jù)常微分方程理論，式(11)的特解可設(shè)為

(17)

式中：d1(r)，d2(r)，d3(r)，d4(r)分別為r的函數(shù)，滿足下列條件：

(18)

(19)

(20)

將式(17)代入式(11)并注意式(18～20)有

(21)

聯(lián)立求解方程式(18～21)可得

(22)

設(shè)第i個環(huán)板單元的內(nèi)半徑和外半徑分別為ri-1和ri，則d1(r)，d2(r)，d3(r)，d4(r)分別為

(23)

(24)

(25)

(26)

這樣，就得到等厚度環(huán)板反對稱彎曲撓度、徑向轉(zhuǎn)角、徑向彎矩和徑向剪力的解析解。對于等厚度圓板單元，由于板中心的撓度和彎矩有限，只需令c3=c4=0就可以得到撓度、徑向轉(zhuǎn)角、徑向彎矩和徑向剪力。

2 環(huán)板單元傳遞矩陣和變厚度圓板總體傳遞矩陣

(27)

Ci=[c1,c2,c3,c4,1]T

(28)

對于第i個環(huán)板單元，當r=ri-1時，由式(12，14～17，24～26)有

Ai-1Ci=Qi-1

(29)

式中Ai-1為

(30)

求解方程組式(29)可得

(31)

(32)

同樣，當r=ri時，由式(12，14～17，24～26)可得

Qi=BiCi

(33)

式中Bi為

(34)

由式(31，33)可得

Qi=TiQi-1

(35)

式中環(huán)板單元的傳遞矩陣Ti為

(36)

對于圓板單元，c3=c4=0。當r=r1時，由式(12，14～17，24～26)可得Q1為

(37)

式中B1為

(38)

根據(jù)傳遞矩陣法原理，對于圖1所示的變厚度圓板有

(39)

式中總體傳遞矩陣T為

(40)

無論是周邊簡支還是固支，利用兩個邊界條件求得系數(shù)c1和c2，將c1和c2代入式(37)求出Q1，再利用傳遞關(guān)系式(35)求得各節(jié)圓上的撓度、徑向轉(zhuǎn)角、徑向彎矩和徑向剪力。

3 數(shù)值驗證和討論

考慮一軸對稱變厚度圓板，半徑為a，彈性模量為E，泊松比μ=0.3，板厚變化方程h(r)=h0[1-r/(2a)]，所承受的荷載P(r,θ)=p0(r/a)cosθ，板周邊簡支和固支兩種情況，撓度W(r,θ)和軸向彎矩Mr(r,θ)分別寫成

(41)

Mr(r,θ)=M1(r)pa2cosθ

(42)

計算發(fā)現(xiàn)：當將圓板劃分成100 個等厚度單元時，結(jié)果收斂令人滿意。令N=100，W1(r)和M1(r)的計算結(jié)果如圖2～5所示，其中TMM和FEM分別表示傳遞矩陣法和有限單元法。從圖2～5可以看出：傳遞矩陣法與有限元法吻合良好，對于簡支圓板，W1(r)和M1(r)的最大相對誤差分別為0.068 5%和0.379%，對于固支圓板，W1(r)和M1(r)的最大相對誤差分別為1.09%和0.856%。因此，傳遞矩陣法的有效性得到數(shù)值驗證。

圖2 簡支圓板撓度

圖3 簡支圓板徑向彎矩

圖4 固支圓板撓度

圖5 固支圓板徑向彎矩

下面討論板厚變化對撓度和徑向彎矩的影響。設(shè)半徑為a，彈性模量為E，泊松比μ=0.3，板厚變化方程h(r)=h0exp(αr)，承受的荷載P(r,θ)=p0(r/a)cosθ，令W1(r)和M1(r)的最大值分別為W1max和M1max，對于周邊固支圓板，產(chǎn)生負的徑向彎矩，如圖5所示，令M1(r)的最小值為M1min，計算結(jié)果如圖6～10所示。從圖6～10可以看出：板厚參數(shù)變化對板撓度影響較大，而對板徑向彎矩影響較小。當α從-0.5增大到0.5時，簡支板最大撓度和最大徑向彎矩分別減小83.8%和17.8%，固支板最大撓度和最大徑向彎矩分別減小85.8%和37.4%，而固支板的最小徑向彎矩增大32.4%。

圖6 簡支圓板最大撓度

圖7 簡支圓板最大徑向彎矩

圖8 固支圓板最大撓度

圖9 固支圓板最大徑向彎矩

圖10 固支圓板最小徑向彎矩

3 結(jié) 論

基于等厚度環(huán)板反對稱彎曲撓度、徑向轉(zhuǎn)角、徑向彎矩和徑向剪力的解析解，導(dǎo)出了環(huán)板單元的傳遞矩陣，提出了軸對稱變厚度圓板反對稱彎曲的傳遞矩陣法。該方法的主要優(yōu)點：可以通過增加單元數(shù)模擬復(fù)雜變厚度板，提高計算精度，而總體傳遞矩陣的階數(shù)始終保持5 階，節(jié)省計算機內(nèi)存。與有限單元法比較，證實了該傳遞矩陣法的有效性，討論了板厚度變化對圓板最大撓度、最大徑向彎矩和最小徑向彎矩的影響。

本文得到了浙江工業(yè)大學研究生核心課程項目(GZ17571060001)和本科核心課程建設(shè)項目(PX-48181685)的資助。