陳艷陽

變式教學(xué)以試題改編、一題多解、知識遷移等為手段，從不同的角度引發(fā)學(xué)生對試題產(chǎn)生新的思考，有效鍛煉學(xué)生的思維能力，是數(shù)學(xué)教學(xué)中一種常用的訓(xùn)練手段.變式教學(xué)使學(xué)生對原有的試題產(chǎn)生新的認(rèn)識，為知識建構(gòu)、實(shí)現(xiàn)舉一反三創(chuàng)造了條件，調(diào)動(dòng)學(xué)生的高階思維參與學(xué)習(xí)活動(dòng)，有效促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的開展，提升學(xué)習(xí)效果.

1 何謂深度學(xué)習(xí)

深度學(xué)習(xí)是指學(xué)習(xí)者圍繞學(xué)習(xí)目標(biāo)積極主動(dòng)地運(yùn)用所學(xué)知識進(jìn)行觀察、分析和探究，并主動(dòng)接受新的知識，領(lǐng)悟其中思想，從而將新知與舊知進(jìn)行整合，進(jìn)一步完善知識結(jié)構(gòu)，有效實(shí)現(xiàn)知識遷移，尋求解決問題路徑的一種學(xué)習(xí)方式.深度學(xué)習(xí)要求學(xué)習(xí)者能夠有效整合知識，注重對學(xué)習(xí)過程的反思與建構(gòu)，從而培養(yǎng)批判性思維，發(fā)展思維的靈活性，提升解決問題的能力.

本文從八年級“直角三角形”中的一道習(xí)題出發(fā)，通過習(xí)題變式展開教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識和方法的建構(gòu)與反思，從而實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí).

2 指向深度學(xué)習(xí)的變式教學(xué)

2.1 例題展示與分析

例題 如圖1，已知AD與BD垂直，AC與BC垂直，AB的中點(diǎn)為E，請問DE與CE是否相等，并說明理由.

解析：因?yàn)锳B的中點(diǎn)為E，AD與BD垂直，AC與BC垂直，所以根據(jù)直角三角形斜邊與斜邊上中線的關(guān)系，可以得到DE，CE都等于AB的一半.因此，DE與CE相等.

本題考查學(xué)生對直角三角形斜邊與斜邊上中線的關(guān)系這一知識點(diǎn)的掌握情況，通過將兩個(gè)直角三角形疊加，找到它們共用的斜邊，構(gòu)建出多種等量關(guān)系，實(shí)現(xiàn)相互轉(zhuǎn)化，從而找到答案.本題在結(jié)構(gòu)上看似簡單，巧妙地構(gòu)造出共用斜邊的直角三角形，實(shí)則結(jié)構(gòu)精巧，內(nèi)涵豐富.通過這道例題，學(xué)生更加深刻地掌握了直角三角形的性質(zhì)定理，提升了知識運(yùn)用能力.

2.2 變式教學(xué)的實(shí)踐

（1）線段關(guān)系

變式1 如圖2，已知AD與BD垂直，AC與BC垂直，AB的中點(diǎn)為E，CD的中點(diǎn)為F，證明EF與CD垂直.

分析：本題從等腰三角形的性質(zhì)出發(fā)，將原題中求解線段的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為證明線段的位置關(guān)系，從而引導(dǎo)學(xué)生能夠透過現(xiàn)象抓住本質(zhì)，運(yùn)用已學(xué)知識構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，進(jìn)一步理解三角形的性質(zhì)定理，靈活運(yùn)用知識解決問題，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力.

（2）角度關(guān)系

變式2 如圖3，在三角形ABC中，BD與AC垂直，垂足為D，AB與CE垂直，垂足為E，BC的中點(diǎn)為F，∠EFD等于50°，求∠DEF的度數(shù).

變式3 如圖4，在四邊形ABCD中，∠ABC和∠ADC為直角，對角線AC的中點(diǎn)為E，連接BE，ED，BD，若∠BAD等于58°，求∠EBD的度數(shù).

分析：變式2和變式3依托放置在不同位置的直角三角形進(jìn)行設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度進(jìn)行思考，使學(xué)生學(xué)會知識遷移，從思考線段間的關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)樗伎冀情g的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)思維的進(jìn)階，提升學(xué)生綜合運(yùn)用基礎(chǔ)知識的能力，進(jìn)一步理解三角形的性質(zhì)定理.

變式4 如圖5，在銳角三角形ABC中，AB與AC上的高分別是CD和BE，M和N分別是線段BC和DE的中點(diǎn).

（1）連接DM與ME，請問∠A與∠DME之間是什么關(guān)系，并證明.

（2）如圖6，若將銳角三角形ABC變?yōu)殁g角三角形ABC，你的結(jié)論還成立嗎？請說明理由.

解析：（1）∠DME=180°－2∠A.

下面證明.由已知條件，可知BM=DM=EM=CM，因此∠ABC=∠MDB，∠ACB=∠MEC.所以∠BMD+∠CME=180°－2∠ABC+180°－2∠ACB=2∠A，故∠EMD=180°－（∠BMD+∠CME）=180°－2∠A.

（2）連接DM與ME，可以得到∠BME+∠CMD=2（∠ABC+∠ACB），經(jīng)過轉(zhuǎn)化可以得到∠DME=2∠BAC－180°.

變式4通過條件的拓展，進(jìn)一步探究三角形中的角度關(guān)系，考查學(xué)生從復(fù)雜問題中抽象數(shù)學(xué)模型的能力，提升分析和推理能力，進(jìn)一步促進(jìn)深度學(xué)習(xí).

3 多角度設(shè)計(jì)指向知識遷移

3.1 基本圖形中的線段長度關(guān)系

變式5 如圖7，已知AC與BC垂直，BD與AD垂直，AB的中點(diǎn)為E，AB與CD相交于點(diǎn)F，假設(shè)AD與BD相等，EF，DE的長度分別為3和4，求CD的長度.

本題利用基本圖形中直角三角形共用斜邊，運(yùn)用勾股定理、等面積法、等腰三角形三線合一等知識求解線段的長度，

滲透了知識遷移的思想，

使學(xué)生能夠綜合運(yùn)用知識求解問題，培養(yǎng)思維的靈活性.

3.2 基本圖形中的坐標(biāo)問題

變式6 如圖8，在三角形ABC中，∠A等于67.5°，BC的長度等于4，BE與CA垂直，垂足為E，CF與AB垂直，垂足為F，BC的中點(diǎn)為D.假設(shè)以F為原點(diǎn)，以FD所在的直線為x軸構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)E的橫坐標(biāo)是（）.

本題在基本圖形中加入了坐標(biāo)軸的知識，使學(xué)生學(xué)會將三角形的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形與坐標(biāo)軸的知識相結(jié)合，利用直角三角形共用斜邊的知識，結(jié)合線段的長度求解點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步發(fā)散思維，學(xué)會透過現(xiàn)象抓住本質(zhì)，拓寬了視野，培養(yǎng)舉一反三和知識遷移的能力.

3.3 基本圖形中的面積關(guān)系

變式7 如圖9，已知三角形ABC中，BD和CE是高，BC邊的中點(diǎn)為F，連結(jié)DE，EF和DF.

（1）如果∠A等于45°，請判斷三角形DEF的形狀，并說明理由;

（2）如果∠A與∠DFE的度數(shù)比為5∶2，BC的長度為4，求三角形DEF的面積.

解析：（1）三角形DEF是等腰直角三角形.下面證明.因?yàn)锽D和CE是高，BC邊上的中點(diǎn)為F，所以EF等于BC的一半，且與DF相等.因?yàn)椤螦等于45°，所以∠EBF+∠DCF=180°－45°=135°.因?yàn)镋F與BF相等，所以∠EBF與∠FEB相等，同理∠DCF與∠FDC相等.于是∠FEB與∠FDC的和為135°，所以∠BFE與∠CFD的和為90°.由此可知，三角形DEF為等腰直角三角形.

（2）作EG垂直于DF，垂足為G.設(shè)∠A為5x，則∠DFE為2x，所以∠FEB+∠FDC=∠EBF+∠DCF=180°－5x.因此可得∠BFE+∠CFD=10x，所以10x+2x=180°，解得x=15°.結(jié)合BC的長度為4，可以求得三角形DEF的面積為1.

本題涉及等腰三角形的性質(zhì)和判定、三角形的內(nèi)角和定理及面積公式，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識的能力.通過變式7，進(jìn)一步考查學(xué)生從綜合性問題中抽象出基本圖形的能力，有效訓(xùn)練學(xué)生靈活運(yùn)用知識和遷移知識的能力.根據(jù)這一變式練習(xí)，鞏固了學(xué)生對基礎(chǔ)圖形性質(zhì)定理的掌握，同時(shí)又開闊了視野，在不同角度的知識應(yīng)用中實(shí)現(xiàn)能力的提升和思維的跨躍.

從基本的習(xí)題出發(fā)，通過題干條件和設(shè)問內(nèi)容的變化，實(shí)現(xiàn)變式練習(xí)，使學(xué)生能夠通過基本的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)思想，形成關(guān)于基本圖形的結(jié)論、解題思路和解題方法，并能夠?qū)⒔忸}方法靈活運(yùn)用到變式習(xí)題中，有效鍛煉了抽象思維能力.這樣的教學(xué)過程能幫助學(xué)生建立起一種解決問題的模型，并應(yīng)用這一模型解決問題，既落實(shí)了基本的數(shù)學(xué)知識和技能，同時(shí)又發(fā)展了抽象思維能力，在積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)又體驗(yàn)了數(shù)學(xué)的思想和方法，在變式練習(xí)中落實(shí)了核心素養(yǎng).