白天竺

(遼寧省鐵嶺水文局，遼寧 鐵嶺 112000)

對(duì)于中型水庫(kù)而言，其主要用于區(qū)域灌溉供水和發(fā)電，尤其是在枯水期，需要對(duì)其徑流進(jìn)行預(yù)測(cè)，從而制定相應(yīng)的供水和發(fā)電計(jì)劃[1]。因此對(duì)于中型水庫(kù)而言，其枯水期徑流預(yù)測(cè)精度的高低，直接影響水庫(kù)的調(diào)度效益[2]。當(dāng)前，對(duì)于水庫(kù)枯水期徑流預(yù)測(cè)取得一定研究成果[3-8]，其中Copula函數(shù)通過(guò)建立水庫(kù)枯水期徑流數(shù)據(jù)系列，對(duì)其未來(lái)變化概率進(jìn)行趨勢(shì)預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)效果要好于傳統(tǒng)趨勢(shì)預(yù)測(cè)模型，但傳統(tǒng)Copula函數(shù)需要對(duì)不同數(shù)據(jù)系列進(jìn)行概率密度的推求，使得其求解精度往往不高[9]。有學(xué)者針對(duì)傳統(tǒng)Copula函數(shù)求解精度不高的局限，引入變量條件概率邊際分布函數(shù)對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)，并在國(guó)內(nèi)一些大型水庫(kù)枯水期徑流預(yù)測(cè)中得到相關(guān)應(yīng)用[10-15]，應(yīng)用結(jié)果均好于傳統(tǒng)Copula函數(shù)。但改進(jìn)的Copula函數(shù)在中型水庫(kù)枯水期徑流預(yù)測(cè)中還未得到相關(guān)應(yīng)用，大型水庫(kù)多為季節(jié)調(diào)節(jié)型，其枯水期徑流預(yù)測(cè)精度相比較高，而對(duì)于中型水庫(kù)而言，其枯水期徑流受季節(jié)調(diào)蓄作用影響較大，因此其徑流預(yù)測(cè)難度較高，為提高中型水庫(kù)枯水期徑流預(yù)測(cè)的精度，引入改進(jìn)的Copula函數(shù)對(duì)鐵嶺地區(qū)中型水庫(kù)進(jìn)行枯水期徑流預(yù)測(cè)，研究成果對(duì)于中型水庫(kù)枯水期徑流預(yù)測(cè)方法具有重要參考價(jià)值。

1 改進(jìn)的Copula函數(shù)

對(duì)于任何一個(gè)變量X和Y按照Copula函數(shù)原理建立聯(lián)合概率法密度分布函數(shù)C(u，v)，其條件概率密度函數(shù)H(X，Y)的計(jì)算方程為：

H(X，Y)=C(u，v)

(1)

其中：

u=Fx(x)=P(X≤x)

(2)

v=FY(y)=P(Y≤y)

(3)

式中，u和v—變量條件概率密度函數(shù)；FX和FY—各變量對(duì)應(yīng)的概率函數(shù)。

改進(jìn)的Copula函數(shù)對(duì)水庫(kù)枯水期徑流采用二元模型進(jìn)行概率密度分布函數(shù)的構(gòu)建，并計(jì)算其聯(lián)合概率分布函數(shù)的特征值：

(4)

對(duì)構(gòu)建的Copula函數(shù)采用K-S檢驗(yàn)方法進(jìn)行離差檢驗(yàn)：

(5)

式中，Cemp、Ci—概率密度函數(shù)的邊際密度計(jì)算系數(shù)。

相鄰月份徑流概率條件分布采用改進(jìn)Copula函數(shù)進(jìn)行描述，任一個(gè)系列的月枯期徑流量采用前一月份已知的水庫(kù)枯期徑流進(jìn)行推求，其計(jì)算步驟為：

(1)計(jì)算枯期徑流序列邊緣概率函數(shù)：

(6)

式中，α、β、α0—概率密度函數(shù)分布參數(shù)；x—徑流預(yù)測(cè)值，m3；Γ(α)—條件概率密度分布函數(shù)。

(2)計(jì)算相鄰月份枯期徑流條件概率分布函數(shù)：

(7)

式中，ut，n+1—推求的相鄰時(shí)間段的水庫(kù)枯期徑流量預(yù)測(cè)值，m3；St，St-1—不同時(shí)間段枯水期徑流變量概率密度函數(shù)；xt，n+1—水庫(kù)枯水期總的徑流量預(yù)測(cè)值，m3；Ft—預(yù)測(cè)變量在時(shí)間t內(nèi)的概率分布函數(shù)。

水庫(kù)枯水期徑流預(yù)測(cè)變量按照P-Ⅲ型分布進(jìn)行計(jì)算：

(8)

式中，Φt—模型概率密度函數(shù)的偏態(tài)系數(shù)；xt，n+1，xt—不同時(shí)間段的徑流預(yù)測(cè)樣本數(shù)據(jù)系列。

改進(jìn)的Copula函數(shù)對(duì)水庫(kù)枯水期徑流預(yù)測(cè)序列進(jìn)行置信度區(qū)間的設(shè)置：

(9)

(10)

式中，uup和ulow—樣本序列置信區(qū)間最高和最低值；xup和xlow—預(yù)測(cè)變量置信區(qū)間的最高和最低值。

2 模型應(yīng)用

2.1 分析數(shù)據(jù)

以鐵嶺地區(qū)寇河誠(chéng)信中型水庫(kù)為具體實(shí)例，水庫(kù)主要功能為灌溉供水，水庫(kù)枯水期水量調(diào)度的關(guān)鍵在于其枯水期徑流預(yù)測(cè)精度的高低。11月份～次年的4月份為誠(chéng)信水庫(kù)枯水期月份，結(jié)合水庫(kù)2000—2020年近20年的枯水期徑流數(shù)據(jù)系列作為分析數(shù)據(jù)，其中枯水期徑流預(yù)測(cè)變量的概率密度分布函數(shù)采用2000—2015年徑流數(shù)據(jù)序列進(jìn)行計(jì)算，2011—2020年的枯水期徑流系列主要用于對(duì)比分析改進(jìn)前后的Copula函數(shù)在誠(chéng)信水庫(kù)枯水期徑流預(yù)測(cè)的精度。

2.2 模型構(gòu)建

采用誠(chéng)信水庫(kù)2000—2015年枯水期徑流數(shù)據(jù)作為改進(jìn)前后Copula函數(shù)變量計(jì)算序列樣本，分別對(duì)不同時(shí)間尺度下模型的參數(shù)進(jìn)行設(shè)定，結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 改進(jìn)前后Copula函數(shù)計(jì)算變量參數(shù)

2.3 年尺度預(yù)測(cè)精度對(duì)比

結(jié)合誠(chéng)信水庫(kù)在2011—2020年11月份～次年的4月份實(shí)際入庫(kù)水量，對(duì)比分析改進(jìn)前后的Copula函數(shù)在水庫(kù)枯水期年尺度的入庫(kù)水量的預(yù)測(cè)精度，并對(duì)改進(jìn)前后模型預(yù)測(cè)值和實(shí)際入庫(kù)量之間的相關(guān)系數(shù)和誤差分布進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果見(jiàn)表2，如圖1所示。

圖1 誠(chéng)信水庫(kù)年尺度枯水期預(yù)測(cè)值和實(shí)際值誤差統(tǒng)計(jì)

從改進(jìn)前后Copula函數(shù)下誠(chéng)信水庫(kù)年尺度入庫(kù)水量預(yù)測(cè)精度對(duì)比結(jié)果可看出，相比于改進(jìn)前的Copula函數(shù)，改進(jìn)后的Copula函數(shù)其枯水期徑流預(yù)測(cè)精度得到明顯改善，改進(jìn)后誠(chéng)信水庫(kù)在枯水期年尺度下的入庫(kù)水量預(yù)測(cè)值和實(shí)際入庫(kù)水量之間的相對(duì)誤差均在±10%以?xún)?nèi)，而改進(jìn)前的相對(duì)誤差均高于±10%，相比于改進(jìn)前，改進(jìn)后水庫(kù)枯水期徑流預(yù)測(cè)相對(duì)誤差均值降低13.4%。從絕對(duì)誤差對(duì)比可看出，改進(jìn)前，各年份誠(chéng)信水庫(kù)枯水期徑流預(yù)測(cè)值和實(shí)際入庫(kù)量之間的絕對(duì)誤差在27.72萬(wàn)m3～69.84萬(wàn)m3之間，且具有明顯的年際變幅，而改進(jìn)后誠(chéng)信水庫(kù)枯水期徑流預(yù)測(cè)的絕對(duì)誤差可控制在30萬(wàn)m3之內(nèi)，且年際變幅較小。從改進(jìn)前后Copula函數(shù)下誠(chéng)信水庫(kù)枯水期年尺度預(yù)測(cè)誤差統(tǒng)計(jì)結(jié)果可看出，相比于改進(jìn)前，改進(jìn)后的相關(guān)系數(shù)達(dá)到0.856，相關(guān)系數(shù)提高0.285，相對(duì)誤差分布也更為集中。

2.4 月尺度預(yù)測(cè)精度對(duì)比

對(duì)于水庫(kù)而言，枯水期徑流在月尺度變化更為明顯，因此在年尺度精度對(duì)比分析基礎(chǔ)上，分別結(jié)合改進(jìn)的Copula函數(shù)對(duì)枯水期各月徑流量進(jìn)行預(yù)測(cè)精度對(duì)比，并統(tǒng)計(jì)改進(jìn)前后徑流預(yù)測(cè)的誤差分布，統(tǒng)計(jì)結(jié)果分別見(jiàn)表3，如圖2所示。

圖2 誠(chéng)信水庫(kù)月尺度枯水期預(yù)測(cè)值和實(shí)際值誤差統(tǒng)計(jì)

表3 改進(jìn)前后Copula函數(shù)下誠(chéng)信水庫(kù)月尺度入庫(kù)水量預(yù)測(cè)精度對(duì)比

從改進(jìn)前后Copula函數(shù)下誠(chéng)信水庫(kù)月尺度入庫(kù)水量預(yù)測(cè)精度對(duì)比可看出，相比于改進(jìn)前，改進(jìn)后的Copula函數(shù)下誠(chéng)信水庫(kù)月尺度入庫(kù)水量預(yù)測(cè)精度也同樣明顯改善，改進(jìn)后誠(chéng)信水庫(kù)枯水期各月入庫(kù)水量預(yù)測(cè)值和實(shí)際入庫(kù)水量之間的相對(duì)誤差均在±10%以?xún)?nèi)，且要低于年尺度預(yù)測(cè)相對(duì)誤差，這主要是因?yàn)槟瓿叨认聫搅黝A(yù)測(cè)有均化現(xiàn)象，一定程度提高了其預(yù)測(cè)誤差。相比于改進(jìn)前，在月尺度上改進(jìn)后的Copula函數(shù)下誠(chéng)信水庫(kù)月尺度入庫(kù)水量預(yù)測(cè)值和實(shí)際入庫(kù)水量之間的相對(duì)誤差均值降低11.5%，絕對(duì)誤差降低3.97萬(wàn)m3。從誠(chéng)信水庫(kù)月尺度枯水期預(yù)測(cè)值和實(shí)際值誤差統(tǒng)計(jì)結(jié)果可看出，對(duì)于月尺度而言，改進(jìn)后的Copula函數(shù)其徑流預(yù)測(cè)值和實(shí)際入庫(kù)水量之間的相關(guān)系數(shù)提高0.273，誤差分布也相比于改進(jìn)前更為集中。

3 結(jié)語(yǔ)

(1)在采用改進(jìn)后Copula函數(shù)對(duì)中型水庫(kù)進(jìn)行枯水期徑流預(yù)測(cè)時(shí)，應(yīng)結(jié)合K-S檢驗(yàn)對(duì)其預(yù)測(cè)變量序列的概率密度分布函數(shù)進(jìn)行離差檢驗(yàn)，檢驗(yàn)系數(shù)低于0.95時(shí)其變量概率密度函數(shù)可通過(guò)檢驗(yàn)。

(2)在進(jìn)行中型水庫(kù)枯水期逐月徑流預(yù)測(cè)時(shí)，可降低其預(yù)測(cè)變量置信區(qū)間的上限值，通?？稍?.5～1.5之間進(jìn)行調(diào)整，可解決其不同月份之間徑流預(yù)測(cè)差異較大的問(wèn)題。

(3)降水量變化對(duì)于中型水庫(kù)枯水期徑流預(yù)測(cè)影響較大，在后續(xù)研究中可建立降水和徑流量的雙變量Copula函數(shù)，充分考慮降水變化對(duì)其枯水期徑流影響。